МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОУПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ ТРЕХСЛОЙНОГО ЭЛЕМЕНТА ОПОРЫ С ПУЛЬСИРУЮЩИМ СЛОЕМ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

УДК 532.517.2:539.3

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОУПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ ТРЕХСЛОЙНОГО ЭЛЕМЕНТА ОПОРЫ С ПУЛЬСИРУЮЩИМ СЛОЕМ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Грушенкова Е.Д. , Могилевич Л.И. , Попова А.А. Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А., Россия, Саратов, katenok.09041992@gmail.com 2Поволжский филиал Московского государственного университета путей сообщения (МИИТ), Россия, Саратов, mogilevich@sgu.ru Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.,

Россия, Саратов, anay_p@bk.ru

HYDROELASTIC OSCILLATIONS MATHEMATICAL MODELING OF THREE-LAYER ELEMENTS OF SUPPORTING DEVICE WITH PULSATING LAYER OF VISCOUS INCOMPRESSIBLE LIQUID

Grushenkova E.D. , Mogilevich L.I. , Popova A.A.

Russia, Saratov, mogilevich@sgu.ru

Аннотация. Исследована задача гидроупругих колебаний трехслойной пластины образующей стенку щелевого канала опоры. Трехслойная пластина считается жестко защемленной на торцах. Колебания пластины обусловлены пульсацией вязкой несжимаемой жидкости в щелевом канале. Рассматривается плоская задача для режима установившихся гармонических колебаний. Построена математическая модель опоры и предложены подходы к ее исследованию.

Abstract. The hydroelastic oscillation problem of a three-layer plate, forming slit channel wall of supporting device is investigated. The three-layer elastic plate is clamped at its butt ends. The plate oscillations are caused by pulsation of viscous incompressible liquid in the slit channel. We investigate the flat problem for the regime of stationary harmonic oscillations. As a result, the mathematical model of supporting device was built and we have proposed the approaches for its study.

Статика и динамика трехслойных конструкций в настоящее время достаточно хорошо изучена, например, сошлемся на обзор в [1]. Данные конструкции находят все более широкое применение на практике, и в частности, в качестве стенок каналов заполненных жидкостью. Проблемы

гидроупругости однородных пластин достаточно хорошо изучены, сошлемся здесь на обзорные части [2-5]. Особый практический интерес вызывают задачи гидроупругих колебаний при взаимодействии упругих элементов с реальной (т.е. вязкой) жидкостью. Например, в работах [6-15] рассмотрены задачи динамики взаимодействия однородных пластин со слоем вязкой жидкости в различных постановках. В [16-20] рассмотрены осесимметричные задачи колебаний геометрически регулярных и ребристых цилиндрических оболочек, в том числе образующих кольцевой канал с вязкой жидкостью. Задачи без осевой симметрии рассмотрены в работах [21-26]. Проблемам изучения распространения нелинейных продольных волн деформаций в цилиндрических оболочках, заполненных вязкой жидкостью, в осесимметричной постановке посвящены работы [27-29]. В [30-32] исследованы проблемы гидроупругости круглых трехслойных пластин с жестким защемлением, а в [32, 33] прямоугольных пластин с шарнирным опиранием взаимодействующих с вязкой жидкостью в условиях пульсации давления в жидкости и вибрации. Однако, представляют несомненный теоретический и практический интерес разработки математических моделей гидроупругости трехслойных стенок каналов для случая их жесткого защемления на торцах.

В предлагаемой работе рассматривается вопрос построения математической модели гидроупругости трехслойных конструкций взаимодействующих с пульсирующим слоем жидкости применительно к гидроопоре. Рассмотрим опору, представляющую собой плоский канал шириной Ь и длиной 21, одна из стенок которого абсолютно жесткая, а вторая -упругая трехслойная балка-полоска (стержень) - статор опоры. Статор представляет собой пакет, набранный из двух несущих слоев: верхний -толщиной (взаимодействующий с жидкостью) и нижний - толщиной воспринимающих основные динамические и статические нагрузки, и заполнителя толщиной 2с, обеспечивающего их совместную работу. Материал заполнителя можно считать жестким. Для статора справедлива гипотеза ломаной нормали, т.е. в тонких несущих слоях справедливы гипотезы Кирхгофа, а в несжимаемом заполнителе нормаль остается прямолинейной и не меняет своей длины, однако поворачивается на некоторый дополнительный угол ф(х). На торцах трехслойного статора предполагается наличие жестких диафрагм, препятствующих относительному сдвигу слоев, но не мешающих деформированию из своей плоскости. Торцы трехслойного статора считаются жестко защемленными. Деформации трехслойного статора можно считать малыми. Вязкая несжимаемая жидкость полностью заполняет зазор между стенками. В жидкости, находящейся в левой и правой торцевой полости, поддерживается пульсирующее давление р(м). Средняя величина щелевого зазора равна к0. На торцах сторон 21 имеются торцевые уплотнители, и истечение жидкости через эти торцы отсутствует. При этом предполагается что, на торцах сторон Ь торцевые уплотнители отсутствуют, и жидкость из щелевых зазоров вдоль сторон Ь может свободно истекать в окружающую жидкость, находящуюся в технологических полостях корпуса опоры.

Введем в рассмотрение декартовую систему координат Oxyz, связанную со срединной поверхностью заполнителя упругого трехслойного стержня (статора) в невозмущенном состоянии. Закон изменения давления на торцах имеет вид

Р = Рш/р (т), (1)

/р (т) = Рш ып(т + фр). (2)

Динамика рабочей жидкости в двумерном случае описывается системой уравнений Навье-Стокса и неразрывности [34]:

+ Я

дР 2 д2 и 4 — + У-т- + „

д4 ^ ^ ^

д4 д£&

- + А

^ + и£-^

дР 2 д^

у -^ + ■

д42 дС

ди4 ди, 4 +—^ = 0,

во введенных для рассматриваемой задачи безразмерных переменных

<< 1, л=-ш, т=ш, 4=-, £=

их = wш аТ~ и 4&

и2 = wш ®иС :

Р(4,т)

здесь х, z - декартовы координаты; их, и - проекции вектора скорости жидкости на оси координат; р - давление; р, V - плотность и коэффициент кинематической вязкости жидкости; к, Re - параметры, характеризующие задачу.

Краевые условия системы (3) - условия прилипания жидкости к стенкам канала [31, 32]

и4= о, ис = о при с=1;

ит ди

= при ,

Wш дт 4 дт х & & (5)

где и = иши (4,т), w = wшW (4,т), (р = фш Ф(4,т), - перемещения статора в направлении оси Ох и Oz и поворот нормали в заполнителе соответственно.

Условие свободного истечения жидкости в направлении оси Ох и в противоположном направлении принимают вид для давления Р = 0 при 4=± 1. (6)

Уравнения динамики упругого трехслойного статора (уравнения динамики трехслойного стержня с несжимаемым заполнителем см. [1]) во введенных безразмерных переменных имеют вид:

дт I дд

^Т72(абими + а29мФ - а3~ —) - азРмФ =

. Т(мбмми + м2$мФ - м3 7

дт I дд

дЖл 2 д2

—) = + м1а — дд дт

ж Ж +

д2 1 д

+ ими + ЩФм Ф - м4~ ™м~).

дт I дд I дд

Здесь а1 = К+h1 + К+ ¿2 + 2 К+ с; а2 = с2

К1+ ¿1 с + - ¿1 V 2 У

+ К 2+ ¿2

с + — Я 2

К1 н, + К 2 ¿2 + 3 К 3 с

+ - К 3+ с 2 3 3

( 1 л а4 = К1+ Н1 с2 + сН1 + — Н2

+ К 2+ ¿2

с 2 + сН- + - Н 2

+ - К 3+ с3; 3 3

К 2+ ¿2

с + — 22

= Р1 ¿1 + Р2 ¿2 + 2Р3 с, Ш6 = (Р1 ¿1 -Р2 ¿2)с

Р1 ¿1(с + ¿1/2) -Р2 ¿2(с + ^/2), м2 = (Р1 ¿1 +Р2 ¿2 + 4Р3 с/3)с& [р1 ¿1(с + ¿1/2) + р2 Н2(с + ¿2/2) + 2р3с2 /3]с,

м4 = р1 (с2 + с\\ + /3) + р2 ¿2 (с2 + с^ + ¿2^/3) + 2р3с3 / 3,

и приняты обозначения: К^ = Кк + ^ Gk; Gk, Кк - модули сдвиговой и

объемной деформации; рк - плотность материала к-го слоя, к = 1, 2, 3 - номер

слоя; ягх, - напряжения, действующие на внутреннюю поверхность статора со стороны слоя жидкости.

Выражения для напряжений д2х, ягг, действующих на статор со стороны жидкости в безразмерных переменных (4) запишутся как

г „ дЦг ди Л

Ягг =- Р(т) РУМ>м а

+ ■

дд д^

Р - 2у

при £ =ЛЖ.

Уравнения динамики трехслойного статора дополняются условиями его

жесткого защемления на торцах

Ж = Ф = и = -= 0 при 4 = ±1.

Re—^ =--+

дР д и

д4 дС

ди4 ди, —4 +—^ = 0, д4 д^

и соответствующие им граничные условия и4= 0, и^ = 0 при С=1 ,

и4= 0, и

при ^ = 0,

а также условия для гидродинамического давления на торцах (6). Принимая во внимание, что согласно (8), (9) выполняется условие qzz >> qzx, пренебрегаем qzx и в нулевом приближении по X и щ, нормальное напряжение на статоре имеет вид

=- р(т)-ВТ^Р.

также учтем, что ш4/12 << ш1, ш7 /1 << ш1, ш3/1 << ш1 и ими можно пренебречь.

Проводя решение задачи динамики жидкости (11) с граничными условиями (12), (6) при гармоническом изменения давления (1), (2) найдено безразмерное давление в жидкости:

^ 2 д2Ж дЖ& 2е а—— +12^

+12^

(4(4, (14)

(14(14++ Ц

где 2е2 = И^а/у, а, у - частотозависимые коэффициенты, определенные в [32].

Решение уравнений (7) исходя из граничных условий (10) представим в виде разложения по собственным функциям

п п п

Ж = 2 Rk (т)Хк (4), и = -2 Qk (т) Ук (4)ак, Ф = -2 Qk (т) Ук (4)ак:

к=1 к=1 к=1

соБак4 сНак4

V соб а к

л/2& ¥к =

буп а к4 shак4

V соб а к

Здесь ак - собственные числа - корни уравнения

№ак + tgаk = 0,

при этом а1 = 2,356, а2 = 5,498, ...., ак = (к -1/4)п .

Подставляя (15) в уравнения (7) с учетом (13), (14) и производя переразложение членов уравнения по собственным функциям Yk, Хк учитывая гармонический характер по времени, полагая

d2Rk Щ d 2Qk Q d2Pk р dRk Щ dQk ю dPk р

= -Щ, 2 = -Qk, ту = -р, = Щ, ~г~ =^к, = р dт dт dт dт dт dт

и приравнивая коэффициенты при одинаковых собственных функциях получим

системы алгебраических уравнений

тУЕ КиА + аьФтр -а7-ЕI k=l I р=1

■у Е [аби ^ + а 2?тРк - а3~

I k=1 1 р=1 k=1

-Е [а7ит^ + азФтРк - а4~

-с Е [т1ит^ + тбФтРк - т!~ ™тЩк ]ак¥к = 0,

ТУ Е К^к + а 2 Фт Pk - а3~. ™тЩк ]а1 Е - а5 Е <РтРкакУк

-Ю Е К^к + ЩФтРк - ™тЩк ]акУк = 0,

п0щ k=1ак р=1 k=1

Р(т)Е dk Хк

Здесь ^р = 4 4 4 (a3ptgak -а\\^ар), если р ф k и ак -ар

= tg2аk - 3^ если р = k,

/1,2 = ^ 2а 3 ^к аk

^ -^-(аЪptgаk -а1^ар ), если Р Ф k и

(аk -ар )ар

dTp = 2ак - 3 ^ если р = k, dpl =* ЪЧ аk ак Приравнивая коэффициенты при одинаковых собственных функциях, получаем систему линейный алгебраических уравнений. Задаваясь количеством членов разложения из этой системы можно известными методами найти искомые величины Qk, Рк, Щк тем самым, определяя перемещения трехслойного статора

в зависимости от заданного давления р(т).

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ15-01-01604-а.

Литература

жидкости, находящимся между ними // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2009. Т.1. № 4. С. 7-13.