МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ ДИСКА, ИМЕЮЩЕГО УПРУГУЮ СВЯЗЬ С ЖЕСТКОЙ ВОССТАНАВЛИВАЮЩЕЙ СИЛОЙ

Электронный научный журнал "Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках" http://mathmod.esrae.ru/ URL статьи: mathmod.esrae.ru/19-75 Ссылка для цитирования этой статьи:

Попова А.А. Математическая модель колебаний диска, имеющего упругую связь с жесткой восстанавливающей силой // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2018. №3_

УДК 532.517.2:539.3

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ ДИСКА, ИМЕЮЩЕГО УПРУГУЮ СВЯЗЬ С ЖЕСТКОЙ ВОССТАНАВЛИВАЮЩЕЙ СИЛОЙ

Попова А.А.1

Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.,

Россия, Саратов, anay_p@bk.ru

MATHEMATICAL MODEL OF SPRING-DISK SYSTEM WITH HARDENING RESTORING FORCE

Popova A.A.1 1Yuri Gagarin State Technical University of Saratov, Russia, Saratov, anay_p@bk.ru

Аннотация. В работе представлена математическая модель для исследования колебаний жесткого диска, подвешенного на пружине с жесткой восстанавливающей силой. Диск является стенкой узкого канала, заполненного вязкой жидкостью. Вторая стенка канала неподвижна. Для пружинного подвеса выбрана модель с жесткой восстанавливающей силой, имеющей кубическую нелинейность. Для рассматриваемой колебательной системы предложена математическая модель, включающая уравнения ползущего движения вязкой несжимаемой жидкости и уравнения Дуффинга. Рассмотрена осесимметричная задача динамики слоя вязкой жидкости. В качестве граничных условий выбраны условия прилипания жидкости к стенкам канала и свободного истечения на торце. В результате решения уравнений динамики жидкости определено давление в слое жидкости и определен демпфирующий член уравнения Дуффинга.

Abstract. The paper presents a mathematical model for investigation of hard disk non-linear oscillation. We assume hard disk attached to a nonlinear spring of hardening type and interacting with viscous liquid layer. The hard disc is a wall of a narrow channel filled with a viscous liquid. The opposite channel wall is a stationary disk, which is coaxial and parallel to the disk attached to the spring. Hardening restoring force model with cubic nonlinearity is chosen for the nonlinear spring. The mathematical model of considered oscillatory system consists of the creeping motion equations of viscous incompressible fluid and the Duffing equations. The axisymmetric dynamic problem of viscous liquid layer is considered. The non-slip conditions at the channel walls and free discharge at the channel edge are chosen as boundary ones. The liquid layer pressure is obtained

and the damping term of the Duffing equation is determined on the base of liquid layer dynamics equations solution.

Математическое моделирование поведения аэрогидроупругих систем является современным направлением прикладной математики и имеет важное теоретическое и практическое значение [1-4]. В связи с этим актуальной является разработка новых математических моделей для исследования колебаний тел, взаимодействующих с жидкостью. Например, в [6] предложена модель вынужденных колебаний пластины, взаимодействующей с одной стороны с водой, и являющейся излучателем звуковых волн в жидкость. В [5] предложена модель для исследования вибраций пластины, взаимодействующей с окружающей ее идеальной несжимаемой жидкостью, имеющей свободную поверхность. В [7] разработана математическая модель колебаний гильзы двигателя внутреннего сгорания с водяным охлаждением, на базе рассмотрения колебаний балки, взаимодействующей с идеальной жидкостью, и на базе данной модели предложена методика оценки кавитационного ресурса гильзы двигателя. Математическая модель хаотических колебаний праямоугольной пластины, находящейся в потоке идеальной несжимаемой жидкости, предложена в [8]. Вопросы построения и исследования математических моделей собственных колебаний пластин, контактирующих с идеальной жидкостью, находящейся в равновесии или движении рассмотрены в [9-12]. С другой стороны, при исследовании гидроупругих колебаний конструкций видится важным необходимость учета демпфирующих свойств жидкости, обусловленных ее вязкостью. Например, в [13,14] исследованы задачи колебаний балок, взаимодействующих со слоем вязкой жидкости, в плоской постановке, а в [15,16] рассмотрены аналогичные задачи для балки, окруженной вязкой жидкостью и находящейся в ее потоке. Исследования движения вязкой жидкости в щелевом и клиновидном каналах, имеющих упругоподатливые стенки, выполнены в [17-21]. Разработка математических моделей взаимодействия стенок щелевых каналов, образованных параллельными дисками или пластинами, с вязкой жидкостью, которая находится между ними, проведена в [22-33]. Вопросы построения моделей для исследования вынужденных колебаний цилиндрической оболочки, окруженной слоем вязкой жидкости рассмотрены в [34-40]. Моделирование взаимодействия ламинарного пульсирующего потока жидкости с цилиндрической оболочкой выполнено в [41, 42], аналогичная проблема для ребристой оболочки исследована в [43-45]. В [46-50] проведено математическое моделирование распространения нелинейных волн деформаций в цилиндрических оболочках, взаимодействующих с вязкой жидкостью. В [51-54] проведено математическое моделирование колебаний пластин, установленных на упругое основание и взаимодействующей с идеальной жидкостью. В [55-61] разработаны модели

гидроупругости пластин, установленных на упругое основание Винклера или Пастернака, взаимодействующих со слоем вязкой жидкости, а в [62-64] -модели гидроупругих колебаний стенки кольцевого канала, заполненного вязкой жидкостью, и окруженного средой Винклера.

Однако, вне рамок указанных выше работ, остались вопросы разработки математической модели для исследования колебаний диска, имеющего упругий подвес с нелинейной восстанавливающей силой и взаимодействующего с тонким слоем сильновязкой жидкости.

Рассмотрим узкий канал образованный двумя жесткими дисками 1 и 2, условно представленный на рис.1. Диски соосны и параллельны друг другу. Радиусы дисков совпадают и равны R. В канале, между дисками, находится сильновязкая несжимаемая жидкость 3. В невозмущенном состоянии ширина канала д0 << R. Будем рассматривать далее осесимметричную задачу. Свяжем цилиндрическую систему координат О^ф с центром неподвижного диска 2. Будем полагать, что по торцам канала, образованного дисками, жидкость свободно истекает в ту же жидкость, т.е. давление в торцевом сечении канала совпадает с давлением в окружающей жидкости. Закон изменения данного давления будем полагать заданным. Стенка 1 имеет упругий подвес с жесткой восстанавливающей силой. Полагаем, далее, что данная стенка может перемещаться только вдоль направления оси z под действием заданного закона пульсации давления на торце канала. Стенка 2 считается неподвижной.

Рис. 1. Узкий канал образованный двумя дисками

Заданный закон пульсации давления по торцу канала представим в виде:

Ро = Рт!&р №^ С1)

гдерт - амплитуда пульсации давления, ю - частота, ^ - характерное время.

В узком канале, образованном дисками, согласно [65] движение вязкой несжимаемой жидкости можно считать ползущим. В этом случае уравнения ее движения представляют собой уравнения Навье-Стока и уравнение неразрывности, записанные в виде:

--— = V

--— = V

^ д \\ 1 диг д \\ иг^

Г +--г_ + г г

ч дг2 г дг дг2 г2 у

^ д и 1 диг д 2и^

ч дг2 г дг дг2 у

диг 1 ди7 _ —г- + -иг +—^ = 0. дг г дг

Здесь иг, и2 - компоненты вектора скорости слоя жидкости, р - плотность жидкости, V - кинематический коэффициент вязкости жидкости, р - давление в слое жидкости.

Уравнения (2) дополняются краевыми условиями - условия прилипания жидкости к стенкам канала

иг = 0, иг = 0 при г = 0, (3)

иг = ^ иг = "Т при г = 50 + zm:f(^t), (4)

условием совпадения давления на торце канала с давлением в окружающей жидкости

р = Р0 при г = R, (5)

и условием ограниченности давления на оси симметрии

г— = 0 при г = 0. (6)

Здесь (ой) - закон движения диска 1.

Уравнения колебаний диска с упругим подвесом с жесткой восстанавливающей силой согласно [66] можно записать как

+ F = N, Е = кг + рг\\ (7)

Здесь т - масса диска, Е - нелинейная (жесткая) восстанавливающая сила,

к - коэффициент жесткости линейной составляющей восстанавливающей силы,

в - коэффициент жесткости нелинейной составляющей восстанавливающей

силы, N - вынуждающая сила, обусловленная пульсацией давления в вязкой

жидкости, заполняющей канал.

Вынуждающая сила N определяется нормальным напряжением жидкости

на диске и может быть представлена в виде

N = -Ь|qzzdx, =-р + 2рv(дuг/дг) при г = 0. (8)

Введем безразмерные переменные

¥ = ^1R << 1, Л = гт^0 << 1, Т = ^, £ = г/R, £ = г/д,; (9)

иг = ; иг = Zm^U^|¥^; р = р0 + р(т) + Р^т®(д¥2)~1 Р •

Здесь у, Х- параметры, характеризующие задачу.

В безразмерных переменных (8) уравнения динамики жидкости в узком канале примут вид

дР д2и, 2

— =-£ + ¥

д£ дС

гд 2и£ 1 ди£ и£л д£2 £~д£~£2

дР 2 — = ¥ дС

д 1 ди

+ ■

д£2 £ д£

+ д 2и( с2

ди£ 1 ди, —£ +1 и£ +—0. д£ £ £ д£

краевые условия (3)-(5) примут вид

и£ = о, и^ = о при £=0, и£ = 0, Ц- = при £= 1 + #{т),

Р = 0 при £=1, £— = 0 при £ =0,

а выражение для силы (6) запишется как

N = 2П{2р^°\\(Р -2¥2 и

I { дС,

Принимая во внимание, что щ << 1 и X << 1 уравнения (9) упрощаются и получаем следующую задачу динамики тонкого слоя вязкой жидкости между дисками:

дР д 2и£ дР ди£ 1 ди, л

—=-£, — = 0, —£ + — и£+—0,

д£ дС д£ д£ £ £ д£

с краевыми условиями

и = 0, ис= 0 при с=0; и£= 0, ис = ^ при с= 1;

Р = 0 при £=1, £— = 0 при £ = 0,

а выражение для силы (12) принимает вид

\\ Р£ё£.

Решая задачу (13)-(14) определяем закон изменения безразмерного давления в слое жидкости между дисками

Р = -(16)

Учитывая (16) в (15) находим выражение для силы, действующей на диск 1 со стороны слоя вязкой жидкости в канале, в размерном виде

ЛГ п2 3лЯ2рv ёг N=пЯр0• (17)

В результате уравнение колебаний диска на упругом подвесе с жесткой восстанавливающей силой (6) принимает вид

d2z 3nR2pv dz dt2 2S0^2 dt

m^z + dz + kz + в = nR2 p0. (18)

Полученное в результате уравнение динамики диска (18) является уравнением Дуффинга с жесткой восстанавливающей силой и демпфированием, за счет вязких свойств слоя жидкости в канале. Данное уравнение описывает осциллятор с кубической нелинейностью и его исследование возможно численно или известными приближенными методами [66, 67]. Таким образом, получена математическая модель для исследования колебаний жесткого диска, подвешенного на пружине с жесткой восстанавливающей силой, и взаимодействующего со слоем вязкой несжимаемой жидкости.

Литература

вибрации // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ. 2015. № 7. С. 134-136.

внутри нее применительно к трубопроводному транспорту // Наука и техника транспорта. 2007. № 2. С. 64-72.