МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВОГО ПРОЦЕССА В ОБОЛОЧКЕ С ФИЗИЧЕСКОЙ КВАДРАТИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ С УЧЕТОМ ДЕМПФИРОВАНИЯ И ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ

Электронный научный журнал "Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках" http://mathmod.esrae.ru/ URL статьи: mathmod.esrae.ru/25-89 Ссылка для цитирования этой статьи:

Иванов С.В., Могилевич Л.И., Евдокимова Е.В. Моделирование волнового процесса в оболочке с физической квадратической нелинейностью с учетом демпфирования и окружающей среды // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2019. №2

Выполнено при поддержке гранта РФФИ № 19-01-00014а._

УДК 539.3

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВОГО ПРОЦЕССА В ОБОЛОЧКЕ С ФИЗИЧЕСКОЙ КВАДРАТИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ С УЧЕТОМ ДЕМПФИРОВАНИЯ И ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ

им. Н.Г. Чернышевского, evilgraywolf@gmail.com 2Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.,

mogilevich@info.sgu.ru 3Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.,

eev2106@mail.ru

Аннотация. Исследование поведения волн деформации в упругих оболочках является важным направлением в современной волновой динамике. Вместе с тем, в литературе отсутствуют исследования влияния на волновой процесс в физически нелинейных упругих оболочках конструкционного демпфирования в продольном направлении, а также упругой окружающей среды. В настоящей работе исследуется учет влияния конструкционного демпфирования и окружающей среды на распространение нелинейных волн деформации, что требует компьютерного моделирования. В настоящей работе использован современный подход для построения разностных схем. Расчеты по полученным разностным схемам позволили сделать интерпретацию физических процессов.

SIMULATION OF A WAVE PROCESS IN A SHELL WITH PHYSICAL SQUARE NONLINEARITY CONSIDERING DAMPING AND

SURROUNDING MEDIA

Saratov State University, evilgraywolf@gmail.com 2Yuri Gagarin State Technical University of Saratov, mogilevich@info.sgu.ru 3Yuri Gagarin State Technical University of Saratov , eev2106@mail.ru Abstract. Investigating deformation waves behavior inelastic shells presents a significant trend in contemporary wave dynamics. But there is a lack of sources devoted to investigating

Иванов С.В.1, Могилевич Л.И.2, Евдокимова Е.В.

Ivanov S. V.1, Mogilevich L. I.2, Evdokimova E.V.3

construction damping impact on longitudinal direction in physically non-linear elastic shells. The same concerns an elastic surrounding medium. The paper deals with investigating constructing damping an surrounding medium on deformation non-linear waves propagation, demanding computer modeling methods. The modern approach to constructing difference schemes is used in the present paper. The calculations of the obtained difference schemes allowed for interpretation of physical processes.

Деформационная теория пластичности А. А. Илюшина [1,2] связывает компоненты тензора напряжений <х, < с компонентами тензора деформаций ех, е0 и интенсивностью деформаций еи [3,4].

Л 2 (£x + Mo^©)l1 + m £u 1 -Mo V E .

E í /ч m л

--) (s©+Mo^x ) 1 + -£u

(1 -Mo )2.

(1 -Mo )2.

Здесь Е - модуль Юнга; т - константа материала, определяемая из опытов на растяжение или сжатие; ¿и0 - коэффициент Пуассона материала оболочки.

Рассматривается осесимметричный случай цилиндрической геометрически линейной оболочки с радиусом серединной поверхности Я, плотностью ро толщиной Н0 и упругими перемещениями - продольным и и прогибом Ж, направленным к центру кривизны.

■ - z W

£в=---zW

дх дхА & " Я Яг Введем малый параметр задачи е << 1 и соотношения, характеризующие задачу. Полагаем

* X * Cq 2

ü = UmU1> W = WmU3 > X =J > t = t , Co

Um = s = o(1); R = O l W l

= O (4 ^ = O (1);

f \\\\ Б2

r o(£>& 7 ■ o

Po(1 -M())

»о л/м

В этих переменных (1) и (2) уравнения динамики оболочки принимают вид [5].

Urn dU1 .. w l дх

Y ГдЦ

+ M)

um д^ Wm l дх* R

u3 +

+ Ц

Р0П0 ^2 Пт 3*2

С0 дщ £1РоПО-0 ит^Т I д?

^По / П02 д2

М)^ти3

^ дЧ ,

"г" - и~1

/2 дх*2

/ дх [ / дх

<дщ_

// Щт дЩ1 ™т..

Ц--*--и

/ дх* Я

у V Я 2 т

+ Ц ^

+ Ц2 , г, и3 - * / Я дх *

л/э Е

Гит ди1 V ^ ^

+ дик

/Я 3 дх

> + ™тР0П0 -¡2-^р + к1Р0П

Здесь р - плотность материала оболочки; е1 - коэффициент демпфирования, к1 - коэффициент постели окружающей среды, с0 - скорость звука, X - время [6].

Введем независимые переменные в виде

д = х - с?, т = е?

где с - безразмерная неизвестная скорость волны; т - быстрое время. В этих переменных, получим уравнения [7]

+ Ц

ит_ и .. ^ / дд

> = _т

дддт

ит дщ wт + Ц ——тщ

и_ дщ дщ с—1 -е 1

ит дщ wт 2 т

Ц0 —1--т и3 +

/ дд я

^ „ ит ди1

Ц----и

+ Ц1

и3 +

+ ит ди1 ^тщ

дддт

д /ди10

!10 _ М ™т/ и . = с

д#\\ д£ М0 итЯ 37 д£2

д£ итЯ

Из этой системы получаем

мА ди

^ из0 = 0

-^из0 = , с2 = 1 _ Мо (6)

итЯ д£

Следовательно, ыю - остается произвольной функцией, а безразмерная

скорость волны с = (1 _ м0 )2 и следовательно скорость волны равна скорости волны в стержне. Здесь

так как оболочка имеет бесконечную длину.

В следующем приближении е2 получим систему уравнений

А/ди11 .. "т1

и31 +

Г т1 диюЛ М2—и 10

и„Л 30 д£

л/з Е

гдию мт1 Л

^ди10Л

+ М1

"т1 V итЯ

—1 сди

д£дг д£2 е д£

ди11 мт/ М0^ГГ--^и31 +

+ М2

д£ итЯ

л/3 Ее

д£ итЯ

+ М1

"т1 V итЯ У

и30 +

итЯ д£

е 12 итЯ д£

е Я и Я

Подставим соотношение (6) в уравнения (7) и получим систему

_М0 т 31

+ М1М0

Я д£ л/3 Ее

М + М2М0 +

Л£2 _ 2лА _М0 дед д£ д£дг е

дМц Мт1

М —11--— и

(1 _м0 )

М0-Г7Г + к0 М0 д£ е Я д£

д£ итЯ ^ е /^ Умножим обе части второго уравнения на м0 и продифференцируем по £. Оно примет вид

^ ди31 =__

итЯ дд е /

. + к11 п0 Ц02

дд е я 0 дд2

Левые части уравнения (8) и уравнения (9) совпали. Вычтем, почленно, из уравнения (9) первое уравнение системы (8) и получим разрешающее уравнение

(1 -„0 /д <и

^ 1(1 -Ц )Ц

+ Ц2Ц0 + Ц1Ц0

^ ^ ди

+--~„о

,2 „0 V1 „0 / л г4 ■ к1 П&Ц0 лг2 V &0^1-.

е /2 дд4 е Я дд2 е дд

Разделим обе части полученного уравнения на 2^1 - Ц и получим

+ ^ = 0

дддт л/3 Ее 1 Я2 2

+—~ Ц

дд дд

е Я 2л1 „о2 дд

Полученное уравнение есть обобщенное уравнение Кортевега - де Вриза

(КдВ) для

. Если, учитывая (2), положить дд

П/ Я2 wm = П, м = —, = е

и уравнение становится таким

тП = т = 0(1)

Ее Я Е

дддт л/3 Е +к

+ „2„0 + „1„0

дд ддг

+ Ц

-„02 дд2 2 е дд Полагая

= ф, 7 = С^ ? = с2т

получим обобщенное уравнение Кортевега - де Вриза (КдВ)

дф , дф д Ъф дф + 6ф —^ +--— + + ф = 0

д? д7 дщ д7

& 2 1/& т 2 +М2М0 +М1М0У2 2

Е 343 "0

при этом положено

С2 - С1

(1 - "0 ("1 + "2" + И

& - к1 I-7"

С 2 £ С 2д/1 - "02

-2 ^ ^ 2

При отсутствии продольного конструкционного демпфирования л0 - 0 (£ - 0) получаем уравнение КдВ

др , д3р _ — + 6р— + —— + ^ — - 0 дг дц дц3 дц

Оно имеет точное решение в виде солитона

р - 2к 2сН "2 {к[ц - (4к2 + ^ > ]} Фазовая скорость положительная

(О „2 — - 4к + к 1

Скорость волны сверхзвуковая

Влияние постели - окружающей среды (я1) увеличивает скорость волны. Конструкционное демпфирование в продольном направлении (я0>0) оказывает влияние на амплитуду волны. Это влияние исследуется с помощью численного решения уравнений КдВ при я0>0.

В качестве начального условия принимается точное решение (11) при

Волновое число к - произвольная величина. I -Л- — - длина волны.

Разностная схема соответствующая уравнению КдВ (10) имеет вид.

п +1 п I п +1 п +1 I , I п п

и - ,.. и+1- и-1)+(«п+1- и-1, +

I 2п +1 2п +Ц мп 2п I | 3 (и - +1 - и --1 )+ (и - +1 - и --1 )

(и"+1 - 2и;+1 + 2и- +1 - иД)+ (и;+2 - 2и-+1 + 2и-_х - и--2)

и +1 + и -- - 0

Проведено численное исследование модели (10), (11) с помощью разностной схемы (12). Результаты приведены на рисунках ниже.

Рис. 1. Отсутствие влияния окружающей среды ($1=0) и конструкционного демпфирования в

продольном ($о=0) направлении, к2=0,1

При отсутствии влияния окружающей среды и конструкционного демпфирования в продольном направлении, скорость и амплитуда волны не меняется (рис. 1). Это означает что скорость движения сверхзвуковая.

Рис. 2. Отсутствие конструкционного демпфирования в продольном ($0=0) направлении при наличии влияния окружающей упругой среды ($1=1), к2=0,1

При отсутствии конструкционного демпфирования в продольном направлении и наличии влияния окружающей упругой среды амплитуда волны не меняется. Движение происходит в положительном направлении (рис. 2). Это означает, что скорость движения увеличивается.

Рис. 3. Наличие влияния конструкционного демпфирования в продольном направлении (soo=1)

и окружающей упругой среды (si=1), k2=0,1

При влиянии конструкционного демпфирования в продольном направлении и наличии влияния окружающей упругой среды амплитуда волны падает. Движение происходит в положительном направлении, скорость движения увеличивается. (рис. 3).

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 19-01-00014а.

Литература