МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В ДВУХ СООСНЫХ ОБОЛОЧКАХ ЗАПОЛНЕННЫХ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТЬЮ С УЧЕТОМ ИНЕРЦИИ ЕЕ ДВИЖЕНИЯ И ОКРУЖЕННЫХ УПРУГОЙ СРЕДОЙ

Электронный научный журнал "Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках" http://mathmod.esrae.ru/ URL статьи: mathmod.esrae.ru/25-94 Ссылка для цитирования этой статьи:

Блинков Ю.А., Евдокимова Е.В., Могилевич Л.И., Кондратов Д.В. Моделирование волновых процессов в двух соосных оболочках заполненных вязкой жидкостью с учетом инерции ее движения и окруженных упругой средой // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2019. №2 Выполнено при поддержке гранта РФФИ 19-01-00014 и гранта Президента Российской Федерации МД-756.2018.8_

УДК 532.516:539.3

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В ДВУХ СООСНЫХ ОБОЛОЧКАХ ЗАПОЛНЕННЫХ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТЬЮ С УЧЕТОМ ИНЕРЦИИ ЕЕ ДВИЖЕНИЯ И ОКРУЖЕННЫХ УПРУГОЙ СРЕДОЙ

Блинков Ю.А.1, Евдокимова Е.В2, Могилевич Л.И.3, Кондратов Д.В.4 1 Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, Россия, Саратов, BlinkovUA@info.sgu.ru 2 Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.,

Россия, Саратов, eev2106@mail.ru 3 Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А., Россия, Саратов, mogilevich@sgu.ru 4 Поволжский институт управления имени П.А. Столыпина - филиал Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации, Россия, Саратов, kondratovdv@yandex.ru

NONLINEAR WAVES IN TWO COAXIAL CYLINDER SHELLS CONTAINING A VISCOUS LIQUID WITH INERTIA OF ITS MOVEMENT, UNDER THE IMPACT OF THE SURROUNDING ELASTIC MEDIUM AND STRUCTURAL DAMPING IN THE LONGITUDINAL DIRECTION

Blinkov Y.A.1, Evdokimova E.V.2, Mogilevich L.I.3, Kondratov D.V.4 1Saratov State University, Russia, Saratov, BlinkovUA@info.sgu.ru

eev2106@mail.ru

mogilevich@sgu.ru

Аннотация. Известны математические модели волновых движений в бесконечно

длинных геометрически нелинейных оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость, на базе связанных задач гидроупругости, описываемых уравнениями динамики оболочек и вязкой несжимаемой жидкости, в виде обобщенных уравнений Кортевега де Вриза (КдВ). Также методом возмущений по малому параметру задачи получены математические модели волнового процесса в бесконечно длинных геометрически нелинейных соосных цилиндрических упругих оболочках, отличающиеся от известных учетом наличия несжимаемой вязкой жидкости между оболочками, в виде системы обобщенных уравнений КдВ. В представленной статье проведено исследование модели волновых явлений в двух геометрически нелинейных упругих соосных цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость, как между ними, так и внутри и окруженных упругой средой, действующей, как в нормальном, так и в продольном направлении. Для рассмотренных систем уравнений с учетом влияния жидкости с помощью построения базиса Грёбнера получены разностные схемы типа Кранка-Николсона. Для генерации этих разностных схем использованы базовые интегральные разностные соотношения, которые аппроксимируют исходную систему уравнений.

Abstract. The present article deals with further developing of perturbation method for deformation non-linear waves in an elastic cylinder shell, filled with viscous incompressible liquid without inertia of its movement, surrounded by an elastic media and under construction damping in longitudial direction. Surrounding medium presence leads to integral-differential equation, to generalizing Korteweg-de Vries ones and possessing the same soliton in the form of a solitary wave - a soliton. It does not contain an arbitrary constant number unlike Korteweg-de Vries equation solution. The viscous incompressible liquid presence inside the shell behavior is described by means of dynamics and continuity equation, is solved together with boundary conditions liquid adhesion to a shell wall. The solution is presented by direct expansion of unknown function by small parameter of hydroelasticity problem and reduced to the problem for hydrodynamics lubrication theory equations. The equations solution defines the tensions on the part of the liquid, the tensions influence the shell longitudinal and normal directions. The liquid presence in the shell adds to longitudial deformation waves equations one more equation member, which does not allow to find exact solution. Construction damping in a longitudial direction adds the same equation member, like liquid presence does. They posses opposite signs in the case of shell Poisson coefficient being smaller than 1/2. In contrary case signs coincide. Liquid presence in the shell and construction damping demand for numerical research. The liquid presence leads to the equation, generalizing Kortevega-de-Vrisa equation, lacking the exact solution and demanding numerical investigation. The numerical investigation is carried out with the use of the modern approach, relying on the universal algorithm of commutative algebra for integro-interpolation method. As a result of difference Grobner basis construction, the difference Crank-Nicolson type schemes are generalized. The schemes were obtained due to the use of basic integral difference correlations, approximating the initial equations system. Computational experiment showed that in the case of construction damping and liquid impact have opposite signs but coincide in value, their influence does not case and a soliton propagates without changing its direction and its amplitude, which coincide analytical solution. If constructive damping exceeds liquid impact, the wave amplitude decreases; in the opposite case the wave amplitude grouse.

Введение

В работе рассматривается задача взаимодействия вязкой несжимаемой жидкостью с двумя соосными геометрически и физически нелинейными оболочками с учетом влияния упругой среды на внешнею оболочку. Аналогичная задача без влияния упругой среды была рассмотрена в работе [1]. Решение этой задачи имеет важное значение для акустической диагностики и неразрушающего контроля материалов. Во многом интерес к подобным задачам инициирован необходимостью анализа упругих и динамических свойств нанообъектов, в частности, карбоновых нанотрубок.

В современной волновой динамике одним из важных направлений является изучение поведения волн деформаций в упругих оболочках. В условиях вибрации взаимодействие вязкой несжимаемой жидкости с упругими оболочками исследовалось в [2-4], а с учётом вращения жидкости - в [5]. Проблемы распространения волн в упругих и вязкоупругих тонкостенных конструкциях, в том числе в бесконечно длинных цилиндрических оболочках без взаимодействия с вязкой несжимаемой жидкостью, рассматривались в [6] с позиции теории солитонов [5,6].

Известны математические модели, учитывающие влияние вязкой несжимаемой жидкости на волновые процессы в бесконечно длинных геометрически и физически нелинейных оболочках [7, 8]. При этом найдены эффекты влияния вязкой несжимаемой жидкости на поведение волны деформации в оболочке в зависимости от коэффициента Пуассона материала оболочки. В частности, при наличии жидкости в оболочке из неорганических материалов (различные трубопроводы в технологических сооружениях) выявлен экспоненциальный рост амплитуды волны. В случае органического материала (кровеносные сосуды) волна в жидкости быстро затухает.

Методом возмущений по малому параметру задачи получены математические модели волнового процесса в бесконечно длинных геометрически нелинейных соосных цилиндрических упругих оболочках [8], которые описываются уравнениями динамики оболочек и несжимаемой вязкой жидкости, находящейся между ними, с соответствующими краевыми условиями, в виде системы обобщенных уравнений Кортевега де Вриза (КдВ). Показано, что волна деформаций во внешней оболочке приводит во внутренней оболочке к возникновению волны деформаций, которой в начальный момент времени не было. Происходит «перекачка энергии» (через слой жидкости) от внешней оболочки к внутренней, в результате этого во внешней оболочке имеет место немонотонное падение амплитуды волны, и, как следствие, немонотонное снижение скорости её распространения. При этом во внутренней оболочке амплитуда немонотонно увеличивается. С течением времени значения скоростей и амплитуд волн в оболочках выравниваются.

Постановка задачи

Рассмотрим, окруженные упругой средой, две соосные бесконечно длинные упругие оболочки на рисунке 1, между которыми находится вязкая несжимаемая жидкость. Ширина щели, занимаемой жидкостью 8, радиус

срединной поверхности оболочки Я; Я = Я(1) —0

- внутренний радиус

внешней оболочки; Я2 = Я(2) +

- внешний радиус внутренней оболочки;

Я = Я(2) —- внутренний радиус внутренней оболочки, Я(1), Я(2) - радиусы

срединных поверхностей внешней и внутренней оболочек; ^(1), И- их толщины. Все механические перемещения внутренней оболочки обозначены индексом (2) сверху, а внешней - индексом (1).

Рис.1. Упругие бесконечно длинные соосные цилиндрические оболочки

Записывая уравнение движения элемента цилиндрической оболочки в перемещениях для модели Киргофа-Лява, считаем материал линейно-упругим с линейной зависимостью интенсивности напряжений < от интенсивности деформаций е1 [9]

< = Щ,

где Е - модуль Юнга.

Запишем уравнение Навье-Стокса для несжимаемой вязкой жидкости и уравнение неразрывности в цилиндрической системе координат в случае осесимметричного течения [10, 11]

дУ дУ дУ 1 др

дt дг дх р дг

__+ _ г + г

дг2 г дг дх2 г2

д¥ дУ дУ 1 др

^ + у ^ + у ^ =--— + у

дt дг дх р дх

д 2Ух 1 дУх д V

х __х + х

дг2 г дг дх

дУ У дУ

г + +

дг г дх

На границе оболочек и жидкости на рисунке 1 при г = Я - Ж(г) выполняются условия прилипания жидкости [11]

У = ^^У = -дЖ-. (2)

х дt г дt

Здесь

и(г) - продольное упругое перемещение оболочки по оси х; Ж() -прогиб оболочки, положительный к центру кривизны; t - время; р - давление,

р - плотность, у - кинематический коэффициент вязкости жидкости; У, У -проекции на оси цилиндрической системы координат вектора скорости жидкости; х, г - цилиндрические координаты. Уравнения динамики оболочки записываются в виде [12, 13]

Рок<о

)с2 Сп

и С) +1 и ?)2 +1 Ж()2 +

-Ж(г)2 хх

-рки) г )2 Рок0

£3Я(г)2 и(&) - к4 ро^ и(г)

РокО^с1& к

ди(г)&

+ Мо

(2 - г) = ) - ~х ( " -1),

Ж(г) \\

и (г) +1 и (г)2 +1 +

Ж^)2 -Мо

(Я (") )2

Я(г) - 2 (яС) )_ - 24 (Я« ]4

Моихг) +1 Моихг)2 +1 МоЖх(г)2 +М,ЖС)2

(¡он (Ж (г))_

_ (я(г))_ 24 (я(г))

Роко

СоЖ(г)(2 - г) + Роког)Ж« = (-1)-1 ^ + ~ ( г -1)

Здесь индекс = 1 соответствует внешней оболочке, а = 2 соответствует

внутренней; к() - толщины оболочек; мо - коэффициент Пуассона, ро х

плотность; и(), Ж() - продольное перемещение и прогиб, положительный к центру кривизны, х - продольная координата; I - время; , дп - напряжения со стороны жидкости, которая находится между оболочками; ~, ~ - напряжения со стороны жидкости, заполняющая внутреннею оболочку;

^ Ж(1), ^ Я(1) Мз^о и(1) _ £4 Р0^ и(1)3 - реакция упругой среды в

I I /2^(1/

нормальном и продольном направлениях [14-20]; c0 =

-/-ТЛ - скорость

Ро I1 _Ао)

звука в оболочке. Нижние индексы у перемещений обозначают соответствующие частные производные.

Напряжения со стороны слоя жидкости определяются формулами

(дК дК Л

qn = -p+, qx = -ру • (4)

Уравнения динамики оболочек

Принимая длину волны l за характерный размер и обозначая амплитуду продольного перемещения um и прогиба wm, переходим к безразмерным переменным:

W <" = WmU< ),u <& > = «m«f", t * = cf t, x*= x • (5)

Полагаем

и R(i ) - h(i) W

-f = e = o(1), — = O(e2), = O(e),wm = O(e) (6)

Введем полухарактеристические (бегущие) координаты и растянутое

время:

q = x - ct , т = et , (7)

где c - неизвестная безразмерная скорость волны.

Записываем систему уравнений (3) в безразмерных переменных с использованием формул (5)-(7) и разложим упругие перемещения по степеням

e = um &

u1(i) = u(i) + eu1(i) + •••,u(i) = u« + Щ + ••• (8)

Подставим разложение (8) в полученные уравнения из (3) и после некоторых преобразований этих уравнений, приравняем нулю коэффициенты

при e0, получим

wml (i) = (i) П-##2-Л/&") =0

(i) u30xi Mouioq, (1 Mo c )u10g 0

Следовательно, и10 - произвольная функция, а безразмерная скорость

волны с = -^1 -^0 , так как с2 = 1 -А .

Приравниваем коэффициенты при е в правых и левых частях уравнений и учтем предыдущие результаты, получаем:

и ) + 1Ш

+ е 2 -■

(«■ )2

АзУ1 -Я02 2

и(0 +

"и10^ ,2.

чХ) + ~х-1)

я(г) Г ддИ

е х (- 1)-1 + (■ -1)

В представлениях (8) взято два первых члена разложения по е для учета нелинейности исходной системы уравнений(3), как следует из системы (9).

В случае, когда жидкость отсутствует, правая часть уравнений становится равна нулю и получаются независимые уравнения, каждое из которых имеет свое точное решения. Надо определить правую часть, для чего необходимо решить уравнение гидродинамики для случая кольцевого и кругового сечений трубы. Для этого можно воспользоваться результатами работы [21]

я (1) „ я (1)

/ д<Ц

--Яелд -а02(

) ди310) ди (2)

(1)„(2) . .. Я2) дд^= Я(2) рус0/^п

Я(2) д~

- -11^1 -А02( -ди^)(1Чх -А0

и„, диФ

— & -А [1 - 2^012 иш ди10

- Я рс]\\(1 -А02)[(1-2А0)2 . 12А02] иШ

Здесь с принятой точностью ^ /Я«0(е),8Я2 = ^<< 1, обозначено

Я(1) « Я12 = Я при этом положено « « ^ и 1~е =

>(2) _

Система уравнений (9) становится такой с учетом найденной правой части (10)

и0) + ит ^ + 1б

u(l) u(l) +1

Я(1Г Я

км1—— и(1)10^ - к3 —— и(1)ю + к4

+ 6мо

ой Vя У

Я(2) 1 2е

М и(1) + и10^ +

ди(1) ди(2) 1 Я

/ди10 ди10 у 1 _ 1 Я \\

( _ ,, )( 2 моя)

-а2"й- 1 Я

и(2) + ит

(2; 10 )(112 м0Я

и(2) и(2) + 1 2 +

&Я V Мф

м- и (2) +

+ 6М02

Р0А0 Яс08

ди(2) ди (1) 1 Я ^дu(0 ди10 ^ 1 _ 1 ——) 2 М0

" д£2

+ 2(1 - 2М0

р0А0е Яс0

У -и(2) иЩ

--Л-Я [(1 - 2М0)2 + 12М02 ^ =0.

Л0А0е 1 12

Можно также ввести обозначения и10) = с3ф(1), ищ = с3ф(2),^ = с^, t = с2г,

с2 = 6м0

( - ) V Я У

М02л/12 М0

с2 1е 12 СТ1 _с1 К

с1 ит 41 - м0& с2 2ф - 2 Мо

СТ4 с3 к4 ит , ст = (1

с2с1 М02 Я 2е

^ - 2М0)2 + 12М021

с2 р0А0е 1 12

а5=^кед/г^а -Я

В результате получим

г++0-41> -о ф >dV+О ((#& ><Ц)3+Ф<» - Ф<2> - О, ф - фЦ2 >)=о,

Ф?2 + 6Ф<2)Ф,(21 + ^^ + Ф{1) - Ф&" - < Ф<21 - Ф?>)+ Ф - МТ = 0. (12)

Система уравнений (12) при отсутствии жидкости распадается на два независимых уравнения, для ф(1)

фФ1+вфО&ф!»+ф<;> + ^ - < +< (ф^=0

с точным решением

ф(1> =

l Оз (

— Ц- _ V

°"3 о

— + 2о4 + в в

и для ф

с точным решением

ф>+бф(ф + ф® =0

ф<2> = - - -&--2

где <т3/<4 - произвольная величина.

Как следует из (13) и (14) скорость солитона ф(1) больше, чем скорость солитона ф(2) при одинаковых амплитудах. При наличии жидкости во внутренней оболочке и окружающей упругой среды для внешней оболочки численное исследование системы уравнений (12) при начальном условии

ф(1>(ц,0) =0, ф(2>(ц,0)

- Оз ,-2 = -—cosh 2ол

позволить оценить их влияния на волновые процессы в соосных оболочках.

В результате получим следующую разностную схему для уравнения (12), аналогичную схеме Кранка-Николсона для уравнения теплопроводности:

(1)и+1 Л1)и - и )

(и(1)2; +1 - ииг;-1) + (и^; +1 - и^;-1)

(и(1)И+2 -2и(1)П+1 + 2и(1)П!1 - и(1)И+2) + (и(1)И+2 -2и(1)"+1 + 2и(1)"-1 - и(1)И-2)

\\И + 1

\\И +1

\\И +1

(и^к - и_К)+(»(1);х - и(1);-1) _ и;- +и;

п +1 п\\П +1Ч (Л\\П п\\П „ 7ГИ +1

+ ст

+и зп и(1)П+1 +и(1)П и(2)П+1 +и(2)И

+ ст4--+

С , П \\п +1

\\п +1

\\П +1 .

(и(1)П+1 - и(1)П-1) + (и(1)п+1 - и(1)П-0 (и(2)П+1 - и(2)П-1) + (и(2)П+1 - и(2)П-1)Л

(и^+ 1 +4и (1)П + и(1)П-1 )А-и+1 - и] -1) =0,

„ ,1 „ тИ +1 тИ + 1 тИ тИ

?у(2)И ,/2)И. Лу(2)2 ■ 1 7,(2)2 . Л . Л/2)2 . , 1/(2) . , \\ и } - и } ^(и ] +1 - и }-1) + (и } +1 - и }-1)

(и^+2 - 2и(2)"+1 + 2и(2)"ч - и(2)И-+2) + (и(2)И+2 - 2и(2)И+1 +2и(2)И-1 - и(2)И-2)

и(2)И+1 +и(2)И и (1)И+1 +и(1)И

чИ +1

\\И +1 ,

&(и^ - и^Жи^ - и(2)И-0 (и^+1 - иС1)И-1)+(и(1)И+1 - и(1)И-0

„(2)И +У ,/2)И (Л2)И +1 (2)И+1 ч , (2)И (2)И ч и } +и } (и } +1 - и }-1) + (и } +1 - и }-1) + СТ-:--СТ2-—--0.

Рис.2. Численное решение уравнений (12) с начальными условиями (15) при < = 0.1, < = 0, < = 0.004 = 0.1, < = 1 и < = 0.

ао1 0.00

■ = (Нкв

-----1=1.™ ..... 1 = 2.Яй| - 1 = 3.03 — í = J.0l

г V Л&-1 V < 1 [) 1 ) 0 )

о.ш ош

. = 11.1*) ■ = 0.<№

-----1 = 1 .Уи ..... 1 = 205 - t=3,03 — * = 4.01

ь> < J ) 1 ) й )

Рис.3. Численное решение уравнений (12) с начальными условиями (15) при = 0.1, <г2 = 0.5, <г3 = 0.004,а4 = 0.1, <т5 = 1 и <х = 1.0.

Заключение

При наличии жидкости между оболочками происходит перекачка энергии. Aмплитуда во второй оболочке падает, а в первой - растет пока они не выровняются (Рис. 2). При наличии жидкости внутри второй оболочки на втором этапе происходит падение амплитуд волн в обеих оболочках за счет вязкости жидкости и уменьшении скорости волн за счет инерции движения жидкости(Рис. 3). Волновое число и, следовательно, длина волны определяются наличием влияния окружающей упругой среды в продольном направлении, в то время как ее влияние в нормальном направлении сказывается на скорости волны.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 19-01-00014 и гранта Президента Российской Федерации МД-756.2018.8.

Литература