Спросить
Войти
Электронный научный журнал "Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках" http://mathmod.esrae.ru/ URL статьи: mathmod.esrae.ru/26-98 Ссылка для цитирования этой статьи:
Быкова Т.В., Могилевич Л.И., Грушенкова Е.Д., Ридель В.В. Моделирование волнового процесса в оболочке с физической нелинейностью Шамеля с учетом демпфирования и окружающей среды // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2019. №3
Выполнено при поддержке гранта РФФИ № 19-01-00014а._
УДК 539.3
МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВОГО ПРОЦЕССА В ОБОЛОЧКЕ С ФИЗИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ ШАМЕЛЯ С УЧЕТОМ ДЕМПФИРОВАНИЯ И ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ
Быкова Т.В.1, Могилевич Л.И.2, Грушенкова Е.Д.3, Ридель В.В.4
Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.,
Россия, Саратов, tbykova69@gmail.com 2Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.,
Россия, Саратов, mogilevich@info.sgu.ru 3Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.,
Россия, Саратов, katenok.15@mail.ru 4 Российский университет транспорта (МИИТ), Россия, Москва,
riedelvv@yandex.ru
Аннотация. Изучение поведения деформационных волн в упругих оболочках является важной частью современной волновой динамики. В то же время влияние на волновой процесс в физически нелинейных упругих структурах Шамеля как при продольном затухании структуры, так и в упругой среде в литературе не изучалось. В данной работе мы исследуем влияние структурного демпфирования и окружающей среды на распространение нелинейных волн деформации, что требует компьютерного моделирования. Текущий подход используется при построении разностных диаграмм. Полученные в результате разностные расчеты позволили нам интерпретировать физические процессы.
SIMULATION OF A WAVE PROCESS IN A SHELL WITH PHYSICAL SCHAMEL NONLINEARITY CONSIDERING DAMPING AND
SURROUNDING MEDIA.
Bykоvа T.V. 1, Mogilevich L. I.2, Grushеnkоvа E.D.3, Riedel V.V.
Saratov, mogilevich@info.sgu.ru 3Yuri Gagarin State Technical University of Saratov, Russia, Saratov, katenok.15@mail.ru 4 Russian University of Transport (MIIT), Russia, Moscow, riedelvv@yandex.ru
Abstract. The study of the behavior of deformation waves in elastic shells is an important part of modern wave dynamics. At the same time, the influence on the wave process in physically nonlinear elastic Shamel structures both during longitudinal attenuation of the structure and in an elastic medium has not been studied in the literature. In this paper, we study the effects of structural damping and the environment on the propagation of nonlinear deformation waves, which requires computer simulation. The current approach is used in the construction of difference diagrams. The resulting difference calculations allowed us to interpret physical processes.
Деформационная теория пластичности А. А. Илюшина [1,2] связывает компоненты тензора напряжений сх, с компонентами тензора деформаций
ех, е и интенсивностью деформаций еи [3,4].
E í /i m Л
к + M>SJ &1 + ~S,
(s+Mosx J1 + m S
s =—¡=
Si + £, М = 1
(1 -Мо )
> Mi =
(1 -Мо )
Здесь Е - модуль Юнга; т - константа материала, определяемая из опытов на растяжение или сжатие; ¿и0 - коэффициент Пуассона материала оболочки.
Рассматривается осесимметричный случай цилиндрической геометрически линейной оболочки с радиусом серединной поверхности Я, плотностью ро толщиной Н0 и упругими перемещениями - продольным и и прогибом Ж, направленным к центру кривизны. ди д Ж Ж Ж
sx = — x dx
- zдх2& Я ~Я2 Введем малый параметр задачи е << 1 и соотношения, характеризующие задачу. Полагаем
т т ттт * X * С^ 2
U = и и , W = w и, X = —, t =— t, c =
A(1 -Мо2)
и <Л\\( R
t = S = o(1); IR j
Wm = O(s); ^ = O(1) £ = O(1)
; ^ = o(s); h0 = o s^ ; m = o(1);
В этих переменных (1) и (2) уравнения динамики оболочки принимают
вид [5].
I Е\\ _д_
II — дх*
^л/3 у
&и Л2(диЛ2
и ди w _1 — и _ти
I дх А Я Мз
и ди w
+ +
\\дх у
+ А
с2 д2 и
рпИ -4-и —-1 — елрпИ и л
Г0 О ^2 т 1 ~0 0 ^2 т
ЕКо КО д
А Я и3
w д и w
_т__1 +__т и
ч 12 дх*2 Я2 "3 у
I дх* | I дх
I дх * w и ди,
и ди w
и _к__ти
А I дх * Я Мз
w и ди,
ч^/з у
и ди 2
I дх *
+ А——и
у V с,
с2 д2и с + w рп К —--т3 + к Р К —
тГ О 0 ^2 1 О 0 ^2
VИ у/2 0
w и = 0;
Здесь р0 - плотность материала оболочки; вх - коэффициент демпфирования, к1 - коэффициент постели окружающей среды, с0 - скорость звука, t - время [6, 7].
Введем независимые переменные в виде
* , * 1 /2 > * ¿;= х — сг , т = 8 г
где с - безразмерная неизвестная скорость волны; т - быстрое время. В этих переменных, оставляя члены не выше второго порядка, получим уравнения
+ А
и ди.
I А Я из
^ и ди Л
и ди w + А—2 I Я 3
ди ди с-1 — 8
• <
ит ди1 ^
г 2 ^1/2 - ^
I д£ Я
из +
^л/3 у
„ ит
Мо и?
I д£ Я
+ М
г л2 & w
и2 +
ит дщ wm + М2——1 —и3 2 I Я 3
д 2щ3 д^2
д 2щз д£дт
по V Я у
Из этой системы получаем
Wml \\ _ 2 щ3о I = с
ди1о ^1
изо = о
^Т,изо = Мо -щт, с2 = 1 -Мо2 (6)
итЯ дЬ
Следовательно, и10 - остается произвольной функцией, а безразмерная
Е_ Ро
скорости волны в стержне. Здесь
так как оболочка имеет бесконечную длину.
В следующем приближении е2 получим систему уравнений
д / дщ. w I
д£\\ д^
о и Я 31
_2_ v4з у
+ М
х и Я
w I ди1П
+ м —~и 1о
и Я Ло д^
^ди1П w I Л
о и Я 3о у
Ю + ^ д и11
ди1о .
д^дт д^ е1/2 д^
ди11 _ д? ытя
У о Л
и31 +
+ М1
V итЯУ
и30 + М2
™т1 ди10
итЯ д?
V 1 У 1/
ди10 ™т1
д? итЯ
V "Ъ у
Б1&1 /2 итЯ д?
+ к1
™т1 итЯ
Подставим соотношение (6) в уравнения (7) и получим систему
w / ди
у о л1/2 у &2 \\ т &
и Я д?
^л/3 у
(1 _м0 Хм +М2М0 +
+М1М02)
Ул. л
Кд? у д?
w I 1 Я2 и
(1 _м0 К
д?дт Б д 3и
+ к
д? иЯ " Б1/2 /2У д?
Умножим обе части второго уравнения на м и продифференцируем по ?. Оно примет вид
w / ди,
м0 +
д? итЯ д? б / д? б
Левые части уравнения (8) и уравнения (9) совпали. Вычтем, почленно, из уравнения (9) первое уравнение системы (8) и получим разрешающее уравнение
д3 ( 2у/2 - &
+ —
д?дт 2
^л/3 у д 4и,
у] (1 _ М02 Хм + М2М0 + М1м0 У4
Ул. л
V д? у
+ ^7^ М0(1 +
Б I д? Б
Разделим обе части полученного уравнения на 2дД _ и получим
д2и,„ 3 ( 2 ^ - ^
+ д?дт 4
чл/Э у
+ ■
л/1 _М02 д\\
у!1 _ м0 М + М2М0 + М1М0)>4
У л., л
V д? у
д 2и д?2
д Ч0 +1 дию = 0
^ТГ^ д? 2 е1/2 д?
Полученное уравнение есть обобщенное уравнение Шамеля для —10
Если, учитывая (2), положить
w = К , и =— , -= Б
т & т Я /2
и уравнение становится таким
д2и1П 3 -10 + —
дфт 4
fV1- x (х + мХс + xxC)>
д<Т
+ ХС
л/1" X д4UiC
xC д 2и1с +1 _е_ ди1с =0
Полагая
р, Ц = C1 g, t = С2 Т
получим обобщенное уравнение Шамеля [4]
др 1/2 др др др
— + 6р — + —— + s — + s0 р = С дt дц дц3 дц
x + Х2Х0 + ХХ2
С2 = С,-2 1 Е 8
(1 - Хо2 Y2 (Х + XX + XX2 ^ :
при этом положено
При отсутствии продольного конструкционного демпфирования 5о = о (е: = о) получаем уравнение Шамеля
др , 1/2 др др др — + 6р — + —— + s1 — дt дц дцъ дц
Оно имеет точное решение в виде солитона
р = 25kAch- {k[rj - (16k2 + s )t]}
Фазовая скорость положительная
- = 16k2 + s
Следовательно, скорость волны сверхзвуковая.
Влияние постели окружающей среды (s1) увеличивает скорость волны.
Конструкционное демпфирование в продольном направлении (s0>0) оказывает влияние на амплитуду волны. Это влияние исследуется с помощью численного решения уравнений Шамеля при so>0. В качестве начального условия принимается решение (11) при t=0.
Волновое число к - произвольная величина. Разностная схема для уравнения (10) имеет вид
ип+1 - ип (м"+! - ы"+1)+ (и" - ип,)
т 1 4И
(„ 3/2п+1 „ 3/2"+1 | , („ 3/2п „ 3/2п |
(и 1+1 - и 1-1 )+(и 1+1 - и 1 -1 ) + 4И +
(1- 2и;+:+2ип-- 1)+(ип+2- 2ип+1+2и"-1- и"-2)
ип 1 ип
+ ^^-}- = 0
Проведено численное исследование модели (10), (11) с помощью разностной схемы (12). Результаты приведены на рисунках ниже.
Рис. 1. Отсутствие влияния окружающей среды ($1=0) и конструкционного демпфирования в
продольном ($о=0) направлении, к=0,3
При отсутствии влияния окружающей среды и конструкционного демпфирования в продольном направлении, скорость и амплитуда волны не меняется (рис. 1). Это означает что скорость движения сверхзвуковая.
Рис. 2. Отсутствие конструкционного демпфирования в продольном (¿о=0) направлении при наличии влияния окружающей упругой среды (¿1=1), к=0,3
При отсутствии конструкционного демпфирования в продольном направлении и наличии влияния окружающей упругой среды амплитуда волны не меняется. Движение происходит в положительном направлении (рис. 2). Это означает, что скорость движения увеличивается.
Рис. 3. Наличие влияния конструкционного демпфирования в продольном направлении (¿о=1)
и окружающей упругой среды (¿1=1), к=0,3
При влиянии конструкционного демпфирования в продольном направлении и наличии влияния окружающей упругой среды амплитуда волны падает. Движение происходит в положительном направлении, скорость движения увеличивается. (рис. 3).
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 19-01-00014а.
