Спросить
Войти
Электронный научный журнал "Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках" http://mathmod.esrae.ru/ URL статьи: mathmod.esrae.ru/11-31 Ссылка для цитирования этой статьи:
Яровая А. В. Термоупругопластическое деформирование круговой трехслойной пластины на упругом основании // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2017. №1
Работа выполнена при финансовой поддержке БР ФФИ (проект Т16Р-010)._
УДК 539.3
ТЕРМОУПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ КРУГОВОЙ ТРЕХСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНЫ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
Яровая А. В.
Белорусский государственный университет транспорта, Гомель, Беларусь,
av.yar@yandex.ru
THERMOELASTOPLASTIC DEFORMATION OF CIRCLE SANDWICH
PLATE ON ELASTIC FOUNDATION
Аннотация. Рассмотрен термоупругий изгиб упругопластический круговой трехслойной пластины с легким заполнителем, покоящейся на деформируемом основании. Для описания кинематики несимметричного по толщине пакета пластины приняты гипотезы ломаной нормали. Реакция основания описывается моделью Винклера. Уравнения равновесия получены с помощью вариационного метода Лагранжа, учтена работа заполнителя в тангенциальном направлении. Аналитические решения задачи теории малых упругопластических деформаций получено методом упругих решений. Приведены численные результаты для трехслойной металлополимерной пластины.
Abstract. Thermoelastic bending of elastoplastic sandwich circular plate with light filler lying on elastic foundation is considered. For the description of kinematics of package with asymmetrical thickness the broken normal hypothesis was accepted. Reaction of foundation was described on the base of Winkler&s model. The equilibrium equations are derived using the Variational method of Lagrange, take into account the work of the filler in the tangential direction. Analytic solution to the problem of the theory of small elastoplastic strains obtained by the method of elastic solutions. Numerical results for sandwich metal-polymeric plate were adduced.
Введение. В связи с широким применением композитных, в том числе трехслойных, элементов конструкций, становится актуальной проблема создания адекватных математических моделей для описания их
Yarovaya A.V. Belarusian State University of Transport, Belarus, Gomel,
av.yar@yandex.ru
деформирования при комплексных термосиловых нагрузках.
В монографиях [1-4] рассматриваются различные математические модели статического и динамического деформирования многослойных и трехслойных элементов конструкций, приведены постановки краевых задач, изложены методы их расчета. В статьях [5, 6] исследовано деформирование композитных многослойных пластин и балок, в том числе с жестким соединением между слоями. Изотермическое динамическое деформирование слоистых (трехслойных) элементов конструкций, в том числе связанных с упругим основанием, под действием непрерывных и локальных нагрузках изучено в работах [7-11]. Колебания трехслойных круговых пластин, вызванных тепловым и радиационным ударами, рассмотрены в статьях [12, 13]. Там же приведен вывод формулы распределения температуры в трехслойной конструкции при воздействии теплового потока. Решение уравнения теплопроводности получено методом усреднения теплофизических характеристик материалов по толщине пакета пластины. Постановки и методики решения краевых задач об изотермическом деформировании, в том числе циклическом, упругопластических трехслойных элементов конструкций, связанных с упругим основанием, приведены в [14-17]. Краевые задачи об изотермическом циклическом деформировании упругопластических слоистых элементов конструкций рассмотрены в статьях [18-20]. Напряженно-деформированное состояние упругопластических трехслойных пластин на упругом основании изучалось, как правило, при изотермическом деформировании.
Здесь приведена постановка и построено аналитическое решение краевой задачи о термосиловом деформировании трехслойной упругопластической круглой пластины, связанной с упругим основанием. Численная апробация решения проведена в случае металлополимерных слоев.
Постановка задачи и ее решение проводятся в цилиндрической системе координат г, ф, г. Для изотропных несущих слоев, толщиной h2, приняты гипотезы Кирхгофа. Несжимаемый по толщине заполнитель = 2 с) легкий, т. е. в нем пренебрегается работа касательных напряжений оГ2. Деформированная нормаль заполнителя остается прямолинейной, но поворачивается на некоторый дополнительный угол у. На границах слоев перемещения непрерывны. На контуре пластины предполагается наличие жесткой диафрагмы, препятствующей относительному сдвигу слоев.
Пусть в начальный момент времени на трехслойную круговую пластину, находящуюся на упругом основании, начинают действовать симметричная вертикальная нагрузка q0(r) и тепловой поток интенсивности qt, направленный перпендикулярно несущему слою 1 (рис. 1). На границе заданы усилия Тг°, Нг0, Ы°, $. Задача определения соответствующего температурного поля рассмотрена в [3], поэтому считаем температуру Т(г, О известной.
У/ШШМШ шшш/шшшш
Рис. 1
В силу симметрии нагрузки тангенциальные перемещения в слоях отсутствуют: иф(к) = 0 (к - номер слоя), а прогиб пластины, относительный сдвиг в заполнителе и радиальное перемещение координатной плоскости не зависят от координаты ф, т. е. и(г), у(г), ^(г). В дальнейшем эти функции считаются искомыми. Все перемещения и линейные размеры пластины отнесены к ее радиусу г1, через ^ обозначена относительная толщина к-го слоя.
Используя гипотезу прямолинейности нормали заполнителя 2г(Г3> = и?\\2 + = у, после интегрирования получим выражения для радиальных перемещений в слоях и/к) через искомые функции:
и(1) = и + су-тм,г ( с<г<с + к), и(3) = и +гу-(-с<г<с),
иГ2 = и - су-ТМ,Г ( - с - к2 < г <-с), (1)
где г - координата рассматриваемого волокна (расстояние до срединной плоскости заполнителя), (и + су) - величина смещения внешнего несущего слоя за счет деформации заполнителя, (и - су) - смещение второго несущего слоя, запятая в нижнем индексе обозначает операцию дифференцирования по следующей за ней координате.
Малые деформации в слоях следуют из (1) и соотношений Коши. Предположим, что материалы несущих слоев рассматриваемой круговой трехслойной пластины в процессе деформирования в температурном поле могут проявлять упругопластические свойства. Напряжения и деформации в них связаны неизотермическими соотношениями теории малых упругопластических деформаций [21]. В физически нелинейном заполнителе дополнительно учитывается влияние вида напряженного состояния. В девиаторно-шаровой форме это будут соотношения:
) = 2Gk (Тк )(1 - Шк (8?),Тк )Э), а = г, ф, а(к) = ЪКк(Тк)(8(к)-а0кТк), к=1,2.
Ф^Тз« = 2Gз(Tз)(1-Юз(8U3),Tз))эазp), (а, р = г, ф), s<? = 2Gз(Tз)f (3)(8(з),ТзН?, ф2(а(з))а(з) = зКз(Тз)(8(з)-а,ъТъ). (2)
Здесь ^), эа)- девиаторы, а а(к), 8(к) - шаровые части тензоров напряжений и деформаций; Gk(Tk), Кк(Тк) - температурно-зависимые модули упругости
материалов слоев; а0к - коэффициенте линейного температурного удлинения; ю^е^, Тк) - функции пластичности материалов несущих слоев и физической нелинейности заполнителя, зависящие от интенсивности деформаций е^ и температуры Тк; в заполнителе функции нелинейности ф1(о(3), Т3), ф2(о(3)) учитывают влияние гидростатического напряжения о(3); к - номер слоя.
Используя соотношения (2), выделим линейную и термо-нелинейную составляющие в нормальных компонентах тензора напряжений а^):
=<%-о22, = 2Gkэ() + 3^, а<£ = 2Gk т(к) э(к) + 3Кка окТк, (к = 1,2), 435 = 43?-о2, 03) = 2Gзэi3) + 3К3В(3), < =фу(а(3))-1 (у = 1, 2),
а® = 2GзЮ(3) э(3) + 3^7+т((3) ^3) + т<3)а(3), а = г, ф,
а(3) = а(3)-а(3), а(3) = 2^э(3), а(3) = 2аш(3)э(3) + ш(3У3). (3)
Введем внутренние усилия и моменты в слоях пластины, также выделяя в них линейные и нелинейные части:
Та = Тае -Т„=УТ2> = У "У/О .
к=1 к=1 к=1 нк к=1 нк
М = М -М = УМ{к)-УМ(к) = У\\а(k)zdz-У[а(к)zdz,
а ае ат / , ае / , ат / , I ае / * I ат а
к=1 к=1 к=1 н к=1 и
Н^ =М® +с(т»>-722«), Н„=М£ + С(т™-722?), а = г,ф. (4)
Уравнения равновесия пластины выводятся из вариационного принципа Лагранжа:
где 5А = 5А + 5А2 - вариация суммарной работы внешних нагрузок q0(r), реакция основания - qR и контурных усилий Тг0, Нг0, М°, $
§41 = Л (q0 - qR )5wrdrdф, 5Л2 = | (Тг°5и + Нг05у +Мг05^,г + Q05w)dф,
ММф . (6)
У /(а?>5е<*) + <)5ефк««dz
_к=1 Н
Интеграл распространен по всей срединной поверхности заполнителя
Подставив выражения (3) в соотношения (6), (5) и проведя соответствующие преобразования, получим систему уравнений равновесия в усилиях, описывающую термоупругопластическое деформирование круговой трехслойной пластины с легким заполнителем, лежащей на упругом основании (индекс «е» внизу опустим):
Т ,г + ~(ТГ - Тф) = ^ , Нг ,г + Нг - Нф) = Нт , г г
Mr ,rr + -(2Mr -Мф ) = -q0 + qR + qra, (7)
Соответствующие граничные условия в усилиях имеют вид (r = 1):
Tr = Tr° + To, Hr = Hr0 + Hm, Mr = Mr0 + Мю,
Mr,r + i(Mr -Mф) = Q + Mr,,r + i(Mm-MфЮ). (8)
rr Предполагается, что связь между реакцией основания и прогибом пластины описывается моделью Винклера (Winkler E.), согласно которой
qR=кw, (9)
где к0 - коэффициент жесткости упругого основания (коэффициент постели).
Линейные обобщенные внутренние усилия в уравнениях (7) и граничных условиях (8) можно выразить через искомые перемещения с помощью закона Гука и соотношений (4). В результате система нелинейных дифференциальных уравнений равновесия (7) с учетом (9) в перемещениях принимает вид L2 (a1u + a2y - a3w,r) = pш, L2 (a2u + a4y - a5 w,r) = hш,
L3(a3u + a5^-a6wv)- кw = -qo + qro. (10)
где L2, L3 - дифференциальные операторы второго и третьего порядков
Ш - rL2(g)) ,r - g ,rrr + ^ - %+4, L2(g) -fVg)
ry & r r r
g +s &r 6
r о ?rr 2
Коэффициенты аi определяются в (10) интегральными соотношениями, следующими из вывода зависимостей внутренних усилий от перемещений, так как модули упругости материалов в слоях изменяются по толщине вместе с
температурой
а1 =XKk0, а2 = с(К10 - К20 ) , аз =XKk1, а4 = Кз2 + с2(К10 + K20),
к=1 к=1
а5 = Кз2 + с(К11 -К21) , аб =ХКк2 ,
Ккт = Як (Тк)+| Gk (Тк)] , (т = 0, 1, 2). (11)
Нелинейные добавки в правых частях уравнений следующие:
РШ = ТГШ ,Г + (ТГШ- Тфш) , = Нгш ,Г + (Нгш- Нфш) ,
Чш = Мгш ,гг + ^(М ,г -Мфш ,г ) . (12)
Задача отыскания функций и(г), у(г), ^(г) замыкается присоединением к (10) силовых (8) или кинематических граничных условий. При жесткой заделке контура пластины должны выполняться требования
и = у = ^ = w,r = 0. (1з)
При шарнирном опирании
и = у = w =Мг = 0. (14)
Сформулированная краевая задача является существенно нелинейной, поэтому говорить о ее точном решении не приходится. Рассмотрим процедуру применения метода упругих решений Ильюшина [21] к рассматриваемой задаче. Для этого перепишем систему (10) в итерационном виде:
п п п \\ п-1 Т / п п п \\ 7 п-1
(а3и" + а5^п -а6<)- к0^ _ -q 0+ qТ-1. (15)
Здесь п - номер приближения, величины р«-1, Л«-1, qТ-1 называют «дополнительными» внешними нагрузками и на первом шаге полагают равными нулю, а в дальнейшем вычисляют по результатам предыдущего приближения. При этом используют формулы типа (12), в которых все слагаемые имеют индекс «п -1» вверху:
п-1 _ гр п-1 + 1 (гр п-1 гр п-1) Ь,п-1 _ ТТ п-1 + 1 ( ТТ п-1 тт п-1)
Р<в _ тгю ,Г + (тгю — Тфю ), hco _ Нгю ,г + (Нгю — Н фю ) ,
с _ к:,гг+-(2мг: ,г -мтю,г). (16)
При этом
С - _ X / 2в„ т„ (¿к)"-1 Э > -&А,
к _1 кк к _1 ^
м п: - х К"-1^ _ х / 2Ск «к (¿(к,п-1 )э(к >,
к _1 hk к _1 hk
НТ1 _ м (Г + с (Та(Г - ТТ)п-1), ( а _ г, ф). (17)
Таким образом, на каждом шаге приближения мы имеем линейную задачу теории упругости с известными дополнительными «внешними» нагрузками, которые вычисляются по формулам (16), (17).
С помощью первых двух в третьем уравнении системы (15) обнуляем коэффициенты перед искомыми функциями ип и уп. После двукратного интегрирования этих уравнений система приводится к виду
ип _Ьу>п--— [г [(а^Т"1 -а4р«"1)^+О + -2
—-[ г [ (а2К-1 - а4 р«"1)^+с;г+-2и.^М&4 О&2 г г
V _ Ь2w,n +-21 [г [(алп-1 - О2рТ&^Мг+Сзпг+
/7/7 — Г1 V •> •> Г
) +кХ _q + /г, (18)
Сп /^п /^п /^п
к _к0£, q_q0D, Ь1 -¿^Ч Ь2О104 О2 О104 О2
DqЮ—1 + А1^). + А-№-1)
а1(а1а4 -а^)
(а1а6 - аз2)(а1а4 - а^) - (а1а5 а1(аза4 - а2 а5)
(а1а6 - аз2 )(а1а4 - а^) - (а1а5 а1(а1а5 - а2аз)
(а1а6 - а3 )(а1а4 - а2) - (а1а5 - а2а3) Третье уравнение в (18) в развернутом виде следующее:
п п п п 4 п п
w п +— w п--w п +— w п + к4wn = q + /
гу ?гггг &ггг 2 &гг з &г " ./о
г г г
Его общее решение можно записать в виде
wи = С5т Ьег(кг) + С6т bei( кг) + С7т кег( кг) + С8т kei(кг)+w0n (г), (20)
где Ьег(кг), Ье^кг), кег(кг), ке^кг) - функции Кельвина нулевого порядка; w0n (г) - частное решение уравнения (19).
Функция кегх и ее первая производная в нуле не ограничены (кег0 , кеГ 0 = ). Так как прогиб и его первая производная в центре пластины должны быть конечными, то в решении (20) для сплошных круговых пластин следует : С8п = 0. Частное решение в этом случае можно принять с
положить
использованием ядра Коши:
(г)=| к (г,s)+
К (г, ^ = С1( s)фl(г) + С2 (^(г) + Cз(s )фз(г) + С4^ )ф4(г),
ф1(г)=Ьег(кг), ф2(г) = bei( кг), ф3(г) = кег( кг), ф4(г) = ке^кг). Здесь функции Cn(s) определяются отношениями
Ж (s) &
Ж (г) =
ф1(г) ф2(г) фз(г) ф4(г) ф; (г) ф2(г) фз(г) ф4(г) фГ(г) ф22 (г) фз (г) ф4(г) фГ(г) ф2(г) ф з&(г) ф4(г)
Ж1(г)=
Wз(г)=
Ф1 (г) 0 Фз(г) ф4(г)
Ф1 (г) 0 Ф3(г) Ф4(г) Ф1(г) 0 Ф3(г) Ф4(г)
ФГ(г) 1 Фз3(г) Ф4(г)
Ф1(г) Ф2(г) Фз(г)0 Ф1(г) Ф2(г) Ф3(г)0 Ф1&(г) Ф2(г) Фз3(г)0
Фх(г) Ф2(г)0 Ф4(г) Ф1(г) Ф2(г)0Ф4(г) Ф1(г) Ф2 (г )0 Ф4 (г) ФГ(г) Ф2(г )1 Ф4&(г)
ФГ(г) Ф 2&(г) Ф 3(г )1
Частное решение (21) и ядро Коши удовлетворяют условиям:
^0(0) = 4(0) = < (0) = <(0) = 0,
К(s,s) = К&(s, s) = К&(s, s) = 0, Кs)=1. (22)
штрихи вверху обозначает производные по г.
В результате для сплошной пластины искомое итерационное решение принимает вид
ип = ¿1<
-2 -1 г | (а2 н:-1 - «4 р^Мг+СПг+
а1а4 - а2 Н г
уп = ь2 1Г г Г (анп-1 - «2 р^^Мг+Сзпг
/7/7 — Г1 V •> •> Г
а1а4 - а2 г
= С5п Ьег( кг) + С6п Ъе1( кг) + w0n (г):
Сп /~чп
пластины:
Ц- Г г| (а2К-1 - а4Р7У^г[=0, С4П =--Г г| (а^-1 - а2р^Мг
^ а2 г 4 а2
Константы интегрирования Сь С3, С5, С6 следуют из условий закрепления контура рассматриваемой трехслойной пластины, находящейся на упругом основании.
При жесткой заделке контура пластины решение (23) должно удовлетворять условиям (13). В результате
—п=| г Г а н:-1 - а4 р;-у^г
— 2 , — 3
—п = w0n (1)Ъе1 к- Ь4 Won (1) —п
— 5 = - - , —6
Ь4Ъег к- b3bei к
= -| г Г (а^-1 - а2 pГ1)dгdг
w0n (1)Ъет к- b3w0n (1) b3Ъei к-Ь4Ъег к
Ь3 = к ^ [Ъег1 к+Ъei1 к], Ь4 = [- Ъег1 к+Ъei1 к].
Если контур пластины шарнирно оперт, то константы интегрирования следуют из (14).
Таким образом, общее решение (2з) с частным решением (21) и константами интегрирования (24) описывает термоупругопластическое деформирование круговой трехслойной пластины с легким заполнителем и жестко заделанным контуром, лежащей на упругом основании.
Численные исследования проводились для защемленной по контуру пластины, слои которой набраны из материалов Д16Т-фторопласт-Д16Т. Геометрические параметры пластины отнесены к ее радиусу г1, относительные толщины слоев: h1 = ^ = 0,04, ^ = 0,4.
Для рассматриваемой пластины теплотой, ушедшей на нагревание внешнего металлического слоя, пренебрегаем (в силу малой теплоемкости). Его температура принимается равной температуре заполнителя в месте склейки: Т-1-* = Т-з)(с, ¿). Вся теплота, воспринимаемая пластиной за время идет на нагревание полимерного заполнителя. Температура второго несущего слоя также принимается равной температуре заполнителя в месте их склейки Т^2) = Т^-с, ¿). Температурное поле в заполнителе определено в [з]. При тепловом потоке qt = 5000 Дж / (м • с) температура во внешнем слое достигает значения Т1 = 597 К в момент времени ¿0 = 60 мин., что соответствует достаточному разогреву дюралюминия, но меньше температуры плавления заполнителя-фторопласта. Во втором слое температура постоянна.
Для описания зависимости модулей упругости материалов несущих слоев (металлов) от температуры используется формула, предложенная Беллом [з]:
{G(Т), К(Т), Е(Т)} = ^(0), К(0), Е(0)} ф(Т),
( 1, 0 < Т / Тпл < 0,06,
ф(Т) = ^ & пл (25)
*1,0з(1-Т/(2Тпл)), 0,06<Т/Тпл <0,57, 4 7
где Тпл - температура плавления материала; G(0), К(0), Е(0) - значения модулей при так называемой нулевой температуре. Например, зная величину модуля сдвига G0 при некоторой температуре Т0, получим G(0) = G0/ф(Т0). При
более высоких температурах Т / Тпл > 0,57 возможно малое отклонение поведения материала от линейного закона (25).
Зависимость параметров упругости полимерных материалов (заполнителя) от температуры принимается в виде
^(Т), К (Т)} = {^, К>}/Фз(Т), фз(Т) = (1 + Б(АТ / ТПл)у sgn ДТ), где А Т = Т - Т0, Т0 - начальная температура; G0, К0 - значения параметров при температуре Т0; В, у - параметры материала заполнителя, получаемые экспериментально.
Функции пластичности материалов несущих слоев и физической нелинейности заполнителя, зависящие от интенсивности деформаций е^, температуры Тк и гидростатического напряжения о(з), принимаются в виде
% (е; т) =
-"т0
еи +ет0 ет !
екТ(Т ) =
аТ (ТТ)
Е (Тт )&
тт е <е ,
и т& „к ^ Л еи >ет1 1
Т V ТТ
Ф1(а(3),Тз) = (1-А2| а|а2)(1+В(АТ3 /Т3алУ sgn ДТ3), ф2(а(3)) =
Р ^ Ро5 , Р < Ро5
где Аш «1т , Еи, кт, экспериментально; ет
А2, а2, А3, а3 - константы материалов слоев, получаемые (Т) - предел текучести материала по деформациям при
температуре Тт, ет0(Т) - предел текучести при начальной температуре; р0 -минимальное давление, закрывающее все внутренние дефекты в материале заполнителя.
В качестве заполнителя часто используются полимерные материалы. Механизм их объемного поведения при положительных средних напряжениях о качественно и количественно отличается от такового при всестороннем сжатии. Надежных соответствующих опытных данных пока нет. Поэтому функция нелинейности ф2 определена только в области о < 0. Все термомеханические характеристики используемых материалов, входящие в (25), (26) приведены в
Числовое исследование полученного решения при основании средней жесткости (к0 = 100 МПа / м) продемонстрировало быструю сходимость метода упругих решений. Максимальное отличие перемещений в 4-м приближении, принятых за искомые решения, от предыдущих - менее 1 %. Интенсивность поверхностной нагрузки принималась q0 = -20 МПа.
На рис. 2 показаны перемещения (а - прогиб, б - сдвиг) в рассматриваемой пластине, лежащей на упругом основании средней жесткости: 1 - упругий изгиб, 2 - термоупругий, 3 - термоупругопластический, 4 -термоупругопластический в пластине, пределы текучести материалов которой уменьшены в 2 раза. Учет физически нелинейного термосилового деформирования материалов слоев приводит к увеличению упругого расчетного прогиба на 12,5 %. Если принять материалы несущих слоев более пластичными, то эта разница составит 17 %.
а /Уг
/>г/&&
б 2 > ----^ 1
Рис. 2
Изменение радиальных напряжений по толщине пластины в ее центре показано на рис. 3: 1 - изотермический изгиб, 2 - термоупругопластический в момент времени и0 = 60 мин. За счет нагревания и физически нелинейного деформирования первый слой и часть заполнителя расширяются и испытывают сжатие из-за защемления контура пластины. Это вызывает в них сдвиг напряжений в отрицательную область. В первом слое наблюдается резкое увеличение напряжений по модулю. Во втором несущем слое температура не изменяется, поэтому и напряжения примерно такие же по величине.
-1,6 -0,24 -0,20
Рис. 3
Выводы. Приведенное в работе общее решение (21), (23) можно использовать для исследования любого случая изгиба симметричной термосиловой нагрузкой трехслойной круговой пластины с легким заполнителем на упругом основании, при наличии отверстия или без него.
Работа выполнена при финансовой поддержке БР ФФИ (проект Т16Р-010).
