МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СДАВЛИВАЕМОГО СЛОЯ ВЯЗКОЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ С УПРУГОЙ ТРЕХСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНОЙ С ЛЕГКИМ НЕСЖИМАЕМЫМ ЗАПОЛНИТЕЛЕМ

Электронный научный журнал "Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках" http://mathmod.esrae.ru/ URL статьи: mathmod.esrae.ru/17-65 Ссылка для цитирования этой статьи:

Блинкова О. В., Кондратов Д.В. Математическая модель взаимодействия сдавливаемого слоя вязкой сжимаемой жидкости с упругой трехслойной пластиной с легким несжимаемым заполнителем // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2018. №1_

УДК 51-74

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СДАВЛИВАЕМОГО СЛОЯ ВЯЗКОЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ С УПРУГОЙ ТРЕХСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНОЙ С ЛЕГКИМ НЕСЖИМАЕМЫМ ЗАПОЛНИТЕЛЕМ

Блинкова О. В.1,2, Кондратов Д.В.2 1 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Саратовская государственная юридическая академия", Поволжский институт управления имени П.А. Столыпина - филиал Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации, Россия, Саратов, oksana_parfilova@mail.ru, 2 Поволжский институт управления имени П.А. Столыпина - филиал Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации, Россия, Саратов, kondratovdv@yandex.ru

MATHEMATICAL MODEL OF LAYERED VISCOUS COMPRESSED LIQUID LAYER INTERACTION WITH ELASTIC THREE-LAYER PLATE WITH A LIGHT INCOMPLETE FILLER

Blinkova O.V.12, Kondratov D.V 2 1Federal State Budget Educational Institution of Higher Education Saratov State

Academy of Law,

Volga Management Institute named after P.A. Stolypin - a branch of Federal State-Funded Educational Institution of Higher Education Russian Presidential Academy of

National Economy and Public Administration Russia, Saratov, oksana parfilova@mail.ru, 2 Volga Management Institute named after P.A. Stolypin - a branch of Federal State-Funded Educational Institution of Higher Education Russian Presidential Academy of

National Economy and Public Administration, Russia, Saratov, kondratovdv@yandex.ru

Аннотация. Рассматривается задача моделирования течения вязкой сжимаемой жидкости в щелевом канале, состоящем из двух пластин. Первая пластина является

абсолютно жесткой и совершает гармонические колебания в вертикальной плоскости. Вторая представляет собой упругую трехслойную пластину с легким несжимаемым заполнителем. Математическая модель в безразмерных переменных представляет собой связанную систему дифференциальных уравнений в частных производных, описывающую динамику движения вязкой сжимаемой жидкости и упругой балки-полоски с соответствующими граничными условиями.

Annotation. The problem of modelling the flow of a viscous compressible fluid in a slit channel consisting of two plates is considered. The first plate performs harmonic oscillations in the vertical plane relative to the second and is absolutely rigid. The second is an elastic three-layer plate with a light incompressible filler and is held rigidly by the edges. The mathematical model in dimensionless variables is a connected system of partial differential equations describing the dynamics of the motion of a viscous compressible fluid and an elastic beam-strip with the corresponding boundary conditions.

Современное бурное техническое развитие стало причиной построения и рассмотрения математических моделей упругих трехслойных элементов конструкций. Для многих современных технических изделий характерно все более частое использование различных слоистых материалов и многослойных упругих элементов конструкций. К таким элементам относятся стержни и пластины со слоистой структурой.

Вопросы моделирования деформирования трехслойных конструкций при силовых статистических нагрузках широко изучены, например, изгиб несимметричных по толщине упругих трехслойных пластин изучался Зеленой А.С. [1], механика слоистых вязкоупругопластических элементов конструкций описана Горшковым А.Г., Старовойтовым Э.И., Яровой А.В. [2], проводилось так же изучение их поведения при динамическом взаимодействии с жидкостью, например, математическое моделирование динамики взаимодействия слоя вязкой несжимаемой жидкости с упругим трехслойным статором и абсолютно твердым вибратором опоры описывалось в работах Могилевича Л.И., Попова В.С., Поповой А.А., Скородумова Е.С., Грушенкова Е.Д и др., циклическое деформирование трехслойного стержня локальной поверхностной нагрузкой изучалось Старовойтовым Э.И., Леоненко Д.В., Плескачевским Ю.М. [3]. В рассмотренных ранее задачах гидроупругости жидкостных демпферов с упругими элементами моделировалась динамика вязкой жидкости в щелевых каналах, стенки которых могли быть ребристыми и трехслойными [4-7], а также задачи гидроупругости труб кольцевого профиля с жидкостью между ними при вибрации [8, 9] .

Несмотря на большое количество исследований, поведение трехслойных пластин при динамическом взаимодействии с жидкостью изучено пока еще недостаточно широко. Разработка агрегатов, состоящих из упругих

тонкостенных конструкций в виде пластин, взаимодействующих с окружающим слоем вязкой жидкости, предусматривает исследование динамики механической системы пластина-слой вязкой жидкости. Это приводит к необходимости постановки и решения задач моделирования динамики взаимодействия трехслойных стержней и пластин со слоем вязкой жидкости, находящейся в плоском щелевом канале, в которой поддерживается гармонически изменяющееся давление.

Рассмотрим физическую модель механической системы (рис.1). Она состоит из абсолютно жесткой пластины I (вибратора) и трехслойной пластины с несжимаемым заполнителем II (статора), представляющей собой упругую стенку щелевого канала. Пространство III между пластинами I и II заполнено вязкой сжимаемой жидкостью. Внутренняя поверхность вибратора считается плоской и является одной из стенок щелевого канала. Предполагается, что вибратор имеет подвес, который обладает упругой податливостью. В результате пульсации давления в жидкости в соответствии с гармоническим законом возникают колебания вибратора в вертикальном направлении относительно статора. Движение пластины I описывается гармоническим законом и имеет амплитуду 2т.

Статор представляет собой упругую трехслойную пластину с несжимаемым легким и жестким заполнителем. Делается предположение, что в несущих слоях статора 1 и 2 выполняются гипотезы Кирхгофа, а в заполнителе 3 нормаль поворачивается на некоторый угол р( х), но является прямолинейной и не меняет длины. Предполагается, что на торцах трехслойного статора расположены жесткие диафрагмы. Торцы трехслойного статора являются свободно опертыми, а деформации статора считаются малыми.

Рис.1 Физическая модель

Длина и ширина статора (21 и Ь) аналогична длине и ширине вибратора. Считается, что ширина стенок значительно больше их длины, то есть 2Ь >> 21. Предполагается, что жесткость пластины вдоль стороны Ь гораздо больше ее жесткости вдоль стороны 21. В данной модели плоскости в направлении оси у можно считать неограниченными. Таким образом, далее рассматривается плоская задача, т.е. всеми производными по у можно пренебречь.

Следовательно, можно считать, что вибратор и статор в данной модели являются неограниченными в направлении стороны Ь и трехслойный статор II имеет изгиб, сходный с цилиндрическим, другими словами, прогибы статора можно моделировать как прогибы трехслойного стержня.

Вязкая сжимаемая жидкость III полностью заполняет щелевое пространство, образованное вибратором I и упругим трехслойным статором II. Предполагается также, что в жидкости, заполняющей щелевой зазор, и вне его, поддерживается давление р0 + , состоящее из постоянной составляющей р0 и гармонической по времени составляющей Р\\(ю().

Толщина слоя вязкой сжимаемой жидкости имеет ширину И0, которая значительно меньше длины пластин: 21 >> Н0.

Считается так же, что температура жидкости, вибратора и упругого статора является постоянной. Предполагается также, что возникающие при взаимодействии слоя жидкости со статором прогибы пластины II и амплитуда колебаний вибратора являются намного меньшими средней толщины слоя жидкости, т.е. Н0 >> 2т.

Таким образом, физическая модель опоры представляет собой совокупность абсолютно жесткого вибратора, упругого трехслойного статора, взаимодействующих друг с другом через сдавливаемый слой вязкой сжимаемой жидкости с пульсирующим в ней давлением. Кроме того, предполагается, что ширина вибратора и трехслойной пластины значительно больше их длины. Пусть х, 2 - декартовы координаты; ¥х - проекция вектора скорости на ось х; У2 - проекция вектора скорости на ось г; X - время; р - давление; р -плотность; у - коэффициент кинематической вязкости жидкости.

Введем в рассмотрение следующие безразмерные переменные: т = оЛ, % = X,

С = , ¥ = -0 «1 * = ¥, Vx = ZfHu^M, Vz = zmMUc(£С,т)

-o I h0 h0 h h

p = p0 + А(т), Ma2 = ™ c Re = !$Ш0О,

c2 м Poo M

w = wmW(%,т), u = umU(£,т), где um, wm - амплитуды упругих перемещений

срединной плоскости верхнего слоя 1 статора в направлении осей Ox и Oz,

Динамика движения вязкой сжимаемой жидкости, заполняющей пространство между пластинами, описывается уравнениями Навье-Стокса и

уравнением неразрывности [10]:, которые в безразмерных переменных имеют вид [7]:

(ди ди ди Л

(Яе+ЛМа2 Р)

+ли

+ли

£ д£ с дс

др д£

- + дс2

£-+¥2

д2и 4 £ +1

у2 (Яе+ЛМа 2 Р)

+ли

+ли

дР 2 дс

Г4 д 2ис 1 --с + 2

£+у2

д 2исл

Ма2 др + ЛМа2 дт

д£ с дс

+ (Яе+ЛМа2 Р)

(ди. ди, Л —£ +—с

д£ дс

Граничные условия системы уравнений (1) представляют собой условия прилипания вязкой сжимаемой жидкости к поверхностям абсолютно жесткого вибратора и упругого трехслойного статора. В рассматриваемом случае данные условия выражаются в совпадении скорости жидкости со скоростями движения поверхностей:

и£= 0, ис

при с = 1+ ЛЛ (т);

и£= о, ис= —дЖ

£ с - дт

при с = Лw

Кроме того, уравнения (1) дополняются условиями свободного истечения вязкой сжимаемой жидкости на торцах. Эти условия в направлении оси х и в противоположном направлении являются условиями совпадения давления на торце с давлением в жидкости. Данные условия в безразмерных переменных записываются следующим образом:

Р = 0 при £ = 1, (3)

— = 0 при £ = 0.

Нормальное напряжение, оказывающее действие на поверхность упругого трехслойного статора со стороны жидкости примет следующий вид в случае безразмерных переменных:

( „ди, Л

Р - 2у

Р1(т) пРи с = л

Касательное напряжение в безразмерных переменных запишется следующим образом:

( _ диг ди.\\

у—^ +—^

при £ =

Уравнения динамики упругого трехслойного статора (в данном случае совпадающие с уравнениями динамики трехслойного стержня) принимают вид [11]:

д 2и д 2т д3w А

а\\^гг + а6^г2 - а7^ТТ = о; дх2 дх2 дх

д 2и д 2т д3 w А аб—2+а2—^2 - аз—г = 0; дх2 дх2 дх

д 3и дъу д 4 w

+ аз

д 2 w дх2

Ро + р1(т) +

Здесь т0 = р Н1 + р2 Н2 + 2р3 с, где рк - плотность материала к - го слоя, к = 1,2,3 - номер слоя;

Я ж, - напряжения, действующие со стороны слоя жидкости на поверхность упругого трехслойного статора.

Здесь введены следующие коэффициенты, отражающие жесткостные свойства слоев:

а1 = К+ К + К+ Н2 + 2 К3+ с;

К+ К + К 2+ к2 + 2 К3+ с

а2 = с

; а3 =с

К1+ К (с +1К 1 + К+К (с +1К1 ■+ 2 К+ с2

"2 п2

а4 = К+ Н1 с2 + ск1 +1 И2^1 + К+К2 с2 + ск2 +1Н2 \\ + 2К+съ;

а5 = 2G3c; а6 = с К+ Н1 -К2Н2 ; а7 = К+ Н1 с + ^Н1\\-К2Н2 с + ^Н2

( 1 ^ ( 1 &+ К 1^+ и ■ г. — Т/-+ и 1 и \\ 1 1

объемной деформации.

Умножая первое уравнение в (4) на а2, второе на а6 и вычитая из первого

и приняты обозначения: К+ = Кк +—Ок; где Ок, Кк - модули сдвиговой и

второе, получаем

д2и , д^

, д w 1 а2а7 - а3а6 Ь—-, где ¿1 =дх дх3 а1а2 -а6

умножая первое уравнение в (4) на а6 , второе на а1 и вычитая из второго уравнения первое, получаем:

д2Р_и д^ , _а1а3 - а7аб

ь2-где °2

а 1а 2 — а 6

Учитывая найденную связь и, р, — и введенные безразмерные

переменные, получим уравнение, определяющее прогиб:

- ™т 1 -1 (а4 - а7Ь1 - а3Ь2 + т0®2 [ = Ро + Р\\ (т) + ^^ (5)

[ I дт ] п0^2

Граничные условия в случае безразмерных переменных примут следующий вид:

ф = 0, = 0 при £ = 1;

Ф = о, дЖ = о при £ = -1. (6)

Итак, сформулирована связанная нелинейная динамическая задача упругости виброопоры, состоящая из: уравнения динамики слоя вязкой сжимаемой жидкости (1); уравнения динамики упругого трехслойного статора с несжимаемым легким заполнителем (стержня) (5); граничных условий на поверхностях пластин (2), граничных условий для давления на торцах и в торцевых щелях (3) и условий свободного опирания упругого трехслойного статора (6).

Таким образом, осуществлена постановка задачи в безразмерных переменных для механической системы, состоящей из абсолютно жесткого вибратора, упругого трехслойного статора с несжимаемым заполнителем и движущегося между ними слоя вязкой сжимаемой жидкости. Исследование указанной математической модели, расчеты и оценки поведения упругих трехслойных конструкций, взаимодействующих с жидкостью, необходимы для конструирования современных изделий машиностроительной и авиакосмической промышленности.

Выполнено при поддержке грантов РФФИ 16-01-00175-а и 18-01-00127-а и гранта Президента РФ МД-756.2018.8.

Список литературы