Электронный научный журнал "Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках" http://mathmod.esrae.ru/ URL статьи: mathmod.esrae.ru/26-99 Ссылка для цитирования этой статьи:
Ермаков Р.В., Львов А.А., Серанова А.А., Кондратов Д.В. Результаты численного моделирования алгоритма оптимального оценивания угловой скорости поворотного стенда по показаниям датчиков различной физической природы // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2019. №3 Результаты, представленные в данной статье, получены при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ, проект 9.2108.2017/4.6._
УДК 681.2.088
РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ АЛГОРИТМА ОПТИМАЛЬНОГО ОЦЕНИВАНИЯ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ ПОВОРОТНОГО СТЕНДА ПО ПОКАЗАНИЯМ ДАТЧИКОВ РАЗЛИЧНОЙ ФИЗИЧЕСКОЙ ПРИРОДЫ
Ермаков Р.В.1, Львов А.А.2, Серанова А.А.3, Кондратов Д.В.4 Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.,
Россия, Саратов, roma-ermakov@yandex.ru 2Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.,
Россия, Саратов, alvova@mail.ru 3Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.,
Россия, Саратов, seranova.anna@gmail.com 4Поволжский институт управления имени П.А. Столыпина - филиал Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации, Россия, Саратов, Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.,
Россия, Саратов,
Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского, Россия, Саратов, kondratovdv@yandex.ru
RESULTS OF NUMERICAL SIMULATION OF THE ALGORITHM FOR
THE OPTIMAL EVALUATION OF ANGLE ANGLE SPEED OF A TURNBOARD STAND BY THE SENSORS OF DIFFERENT PHYSICAL
Ermakov R.V.1, L&vov A.A.2, Seranova A.A.3, Kondratov D.V.4 1Yuri Gagarin State Technical University of Saratov, Russia,
Saratov, roma-ermakov@yandex.ru 2Yuri Gagarin State Technical University of Saratov, Russia,
Saratov, alvova@mail.ru 3Yuri Gagarin State Technical University of Saratov, Russia, Saratov, seranova.anna@gmail.com
Аннотация. В статье приведены результаты численного моделирования точности измерения и воспроизведения угловой скорости прецизионным поворотным стендом, по совокупности входящих в его состав датчиков. Проведено сравнение оценки угловой скорости поворотной платформы стенда тремя различными методами. Результаты моделирования динамики поворотного стенда демонстрируют значительное отличие погрешности определения угловой скорости платформы стенда по измерениям различных датчиков, входящих в его состав.
Abstract. The article presents the results of numerical modeling of the accuracy of measuring and reproducing angular velocity with precision rotary stand, based on the totality of the sensors included in it. A comparison of the estimates of the angular velocity of the turntable of the stand with three different methods is performed. The results of modeling the dynamics of the rotary bench demonstrate a significant difference between the errors in determining the angular velocity of the platform of the stand by measuring various sensors included in its composition.
Введение
Прецизионные поворотные стенды для воспроизведения угловых скоростей создаются, как правило, с использованием датчика плоского угла [19]. Главный недостаток подобных стендов состоит в невозможности точного воспроизведения низких угловых скоростей [1,2,10-25]. В качестве альтернативного варианта ряд авторов предлагает использовать в качестве датчика, осуществляющего контроль скорости поворота платформы стенда, инерциальных датчиков. Подобные стенды рассмотрены в работах [1,2,11-25]. В работах [1,2,10-29] рассматриваются некоторые вопросы построения погрешностей датчиков первичной информации. В перечисленных работах, однако, уделяется недостаточно внимания вопросам оценки погрешности определения угловой скорости поворотной платформы стенда.
В данной работе приводятся результаты численного моделирования алгоритма оптимального оценивания угловой скорости поворотного стенда по показаниям датчиков различной физической природы, приведённого в [30].
Обобщённая схема стенда [30] представлена на рис. 1.
Рис 1 - Обобщённая схема стенда
Стенд состоит из датчиков: угла (2), угловой скорости (4), тангенциального (6) и центростремительного (7) ускорений, которые жёстко связаны со вспомогательной платформой (5), соединённой с главной платформой (1), к которой крепится испытуемый прибор (10), с помощью жёсткого вала (3), который вращается при помощи электродвигателя (8), управляемого блоком управления (9). Информация об угловой скорости, её производной и интеграле, поступающая с соответствующих датчиков, преобразуется блоком управления в сигналы управления электродвигателем.
В работах [1,2,11-25] практически не рассматриваются вопросы оценки неопределённости определения угловой скорости платформы поворотного стенда. Например, оценка, приведённая в [14] имеет качественный характер, в остальных работах исследуется неопределённость показаний единственного датчика, по сигналам которого производится управление поворотной платформой. В [3,4,6,9] проведён достаточно подробный анализ неопределённости воспроизведения и измерения плоского угла. Однако, как было показано в [30-34], невозможно достоверное определения малых угловых скоростей по показаниям датчика угла.
В связи с вышесказанным в [30] была предложена методика оптимальной оценки угловой скорости поворотной платформы стенда, приведённого на рис. 1. Для нахождения асимптотически эффективной оценки угловой скорости в [30,33,344,355,366] были построены модели погрешностей датчиков и исследованы их свойства.
В [30] продемонстрировано несоответствие законов распределения погрешностей датчиков нормальному закону, что ограничивает применимость метода наименьших квадратов (МНК) для определения оценки угловой скорости платформы стенда. В работах [30-32] предлагается находить оптимальную оценку угловой скорости поворотной платформы стенда методом максимального правдоподобия (ММП) [37]. Приведём далее вкратце суть предлагаемого в упомянутых выше работах метода.
Пусть ук - измерения датчиков. Тогда
Ук = мк£к Рк = мк8к Рк )+ к + 4° ), (1)
где ш - угловая скорость, g(ю) - передаточная функция датчика, М -масштабные коэффициенты датчиков, £ - аддитивная составляющая погрешности датчиков, включающая в себя систематическую и случайную £
составляющие, k=L..m - порядковый номер датчика. Представим оценку угловой скорости по данным с к-го датчика как:
Рк = /к(Ук, ^ ^--О;
где функции /к (Ук , zl, z2, zз,•••) определяются ^фаж^ж^^ приведёнными в
Для определения общей оценки угловой скорости Рмь по ММП, согласно методике, приведённой в [26], вначале определяются ММП-оценки угловой скорости каждого датчика.
В [30, 34, 35, 36] приводятся выражения распределений погрешностей измерений датчиков, входящих в состав поворотного стенда. Обозначим хк = 8к (р) и представим (1) в виде:
= Ум - мкхк; (2)
Будем полагать погрешности - независимыми. Полученные в [30] системы нормальных уравнений для каждого из входящих в состав стенда датчиков, приведены ниже.
Оценка максимального правдоподобия угловой скорости по показаниям датчика угловых скоростей.
Для датчика угловых скоростей (ДУС) с учетом того, что х = с, в [30] приводится следующее выражение для совместной плотности вероятностей выборки из N измерений угловой скорости:
^ = П м
г =1 4Л
Уг - МсС + Л
Уг - М ®с-Л Да
С 1 лN N
Уг - М ®с + Л
Уг - М ®с-Л
^ тах
В дальнейшем удобнее использовать логарифм этой функции правдоподобия [37]:
Ь(с) = ) = 1п
( 1 V N Г
Уг - МС + Л
Уг -Мсс + Л
&-¡2а,
Уг -МС-Л
Уг - М С- Л -Да ,
Видно, что (2) зависит от двух параметров со и а. Оценка параметра с вдальнейшем используется для получения общей оценки, а оценка параметра а определяет вес, с которым полученная оценка с входит в общую оценку угловой скорости.
Окончательно, в [30] приводится следующая система нормальных уравнений для определения оценки угловой скорости по показаниям датчика угловой скорости и её дисперсии:
& Г (Уг -Мсс- Л) ехр у г ® !
ЛЦа>,а) _ ^
(Уг -МС + Л)
Уг - М®с + Л
Уг - М ®с-Л
(Уг -Мс-Л)л/2
(Уг - Мс + Л )л/2
Там же предлагается решать систему с помощью численных методов, основанных на квазиньютоновстких методиках [38].
Оценка максимального правдоподобия угловой скорости по показаниям датчиков тангенциального и центростремительного ускорений
Для датчиков центростремительного и тангенциального ускорений в [30] приводятся выражения для определения оценок угловой скорости по показаниям датчиков центростремительной и тангенциальной составляющих
линейного ускорения
сИ(а>) _
(Уг -Ыкёк )" ё)
\\2Л Г - ехр
(Уг -Ыкёк ) + ё)
У1 - Ык§к (юк)+ё
У1 - Ык§к (юк)- ё
^к (юк)
(Уг -Ыю- ё)Л¡2
(Уг -Ыаю + ё)Л/2
Оценка максимального правдоподобия угловой скорости по показаниям датчика угла
Для датчика угла в [30] приведена следующая система нормальных уравнений:
N Я , .
^ =ПТр,- • Nx к а }
г=1 ;=1
Ь(а) = ) = 1п
V г=1 ;=1
I! Е Р; ■ Nx \\и} а; } = £1п Е Р; & Nx \\и} а }
Р, (Уг -а)ехР
(у, - а)2
Рг еХР1
■ (у (у -а)к^ ¡Л.^ (а,)1 р{у, -а)Т(у, а ~~
йЬ(а,а) йа
Ы * ае1(а,,)
На практике, как правило, масштабные коэффициенты Ми. известны неточно и могут изменяться в процессе работы стенда. Методика их оценки также приводится в [30].
Методика определения оценки угловой скорости платформы поворотного стенда по совокупности измерений всех входящих в его состав датчиков включает два этапа, в ходе первого из которых производится калибровка стенда, после чего, в ходе второго этапа, стенд может использоваться для воспроизведения и измерения угловой скорости. Далее кратко приведём суть изложенной в [30] методики.
На этапе калибровки:
м / \\ /м
мк к-Й)/Я^, =
в качестве оценок постоянных составляющих берутся значения,
определённые в момент, когда платформа стенда была неподвижна.
На этом калибровка стенда заканчивается. На втором этапе, во время работы стенда:
<МЬ = Е р<к Е Рк. (10)
к=1 / к=1
На рис. 2 приведены результаты численного моделирования погрешностей оценки угловой скорости стенда для каждого и использованных типов датчиков как функции угловой скорости. Параметры датчиков, использованные при моделировании, были взяты из [14, 33].
угловая скорость, рад/с
Рис. 2 - Зависимость погрешностей отдельных датчиков от угловой
скорости стенда
На рис. 2 введены следующие обозначения: 1) неопределённость оценки угловой скорости по показаниям датчика угла, период усреднения составляет 1с; 2) неопределённость оценки угловой скорости по показаниям датчика угла, период усреднения составляет 0,1с; 3) неопределённосит оценки угловой скорости по показаниям датчика угла, период усреднения составляет 0,01с;
Заметно значительное превосходство по точности оценки угловой скорости по информации с ДУС. Также следует отметить, что точность определения скорости вращения по информации с датчика угла в значительной степени зависит от времени усреднения. Для прецизионных стендов необходимые точности достижимы когда период усреднения составляет единицы секунд. Современные датчики, испытания которых проводятся с использованием поворотных стендов, обеспечивают полосы пропускания на уровне десятков-сотен герц [39-47], поэтому поворотные стенды для испытаний подобных приборов невозможно построить на основе одного только датчика угла.
Результаты численного моделирования погрешностей общей оценки угловой скорости поворотной платформы стенда представлены на рис 3. На рисунке цифрами обозначены: 1) метод оценки угловой скорости по информации одного датчика с переключением используемого датчика в зависимости от режима работы стенда, предложенный в [14]; 2) метод оценки угловой скорости как среднего арифметического данных всех датчиков; 3) приведенная в [30] методика оценки угловой скорости стенда.
® 0.001
\\ ^ \\ N \\
ч \\ \\ . \\
Л \\ ^ \\ N N X ; * 1 1 1 ч X ч
N»4 ч X ч чХ N 1 «гч Тр-О* 1/ ^ ч ч ч Ч-.
N»4 ¡1
—»—Метод переключения Среднее ММП Перекл. - ММП (шкала справа) N.
Угловая скорость, рад/с
Рис. 3 - Сравнение погрешности оценки угловой скорости различными
методами
Из рис. 3 видно, что среднее арифметическое 2) информации всех датчиков имеет наименьшую точность, т.к. точностные характеристики разнотипных
датчиков существенно отличаются при различных значениях угловой скорости. Методы переключения и предложенная в [30] методика на основе ММП демонстрируют близкие результаты в диапазоне низких угловых скоростей, где эффективно работает ДУС, и значительно разнятся в диапазоне высоких угловых скоростей, в котором основной вклад вносят датчики угла и линейных ускорений. В диапазоне низких угловых скоростей превосходство предложенного метода 3) над методом переключения 1) составляет 25-30% (пунктирная кривая на рис. 3 показывает разницу между погрешностями двух методов, значения отсчитываются по дополнительной оси у), а в диапазоне высоких угловых скоростей - более порядка.
Заключение
В статье приведены результаты численного моделирования точности измерения и воспроизведения угловой скорости прецизионным поворотным стендом, по совокупности входящих в его состав датчиков. Проведено сравнение оценки угловой скорости поворотной платформы стенда тремя различными методами. Результаты моделирования динамики поворотного стенда демонстрируют значительное отличие погрешности определения угловой скорости платформы стенда по измерениям различных датчиков, входящих в его состав.
Методика, основанная на методе максимального правдоподобия, позволяет снизить погрешность оценки угловой скорости платформы стенда по сравнению с другими известными методами. Величина снижения погрешности в зависимости от режима работы стенда может составить от 20% до 10 раз.
Результаты, представленные в данной статье, получены при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ, проект 9.2108.2017/4.6.
B.В. Термоинвариантные безобогревные измерители угловой скорости и линейного ускорения // XXI Санкт-Петербургская международная конференция по интегрированным навигационным системам Сборник материалов. 2014. С. 203-219.
C. 244-248