Спросить
Войти
Электронный научный журнал "Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках" http://mathmod.esrae.ru/ URL статьи: mathmod.esrae.ru/27-102 Ссылка для цитирования этой статьи:
Быкова Т.В., Могилевич Л.И. Моделирование волнового процесса в оболочке с дробной физической нелинейностью // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2019. №4
Выполнено при поддержке гранта РФФИ № 19-01-00014а._
УДК 539.3
МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВОГО ПРОЦЕССА В ОБОЛОЧКЕ С ДРОБНОЙ
ФИЗИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
Быкова Т.В.1, Могилевич Л.И.2
Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.,
tbykova69@gmail. com Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.,
mogilevich@mfo.sgu.ru
Аннотация. Изучение поведения деформационных волн в упругих оболочках является важной частью современной волновой динамики. В то же время влияние на волновой процесс в упругих структурах с дробной физической нелинейностью в литературе не изучалось. В данной работе мы исследуем влияние дробной физической нелинейности в упругих оболочках на распространение продольных волн деформации. Найдены точные решения нелинейных уравнений динамики.
MODELING A WAVE PROCESS IN A SHELL WITH FRACTIONAL
PHYSICAL NONLINEARITY
Bykоvа T.V. 1, Mogilevich L. I.2
Yuri Gagarin State Technical University of Saratov, mo gilevich@info .sgu.ru
Abstract. The study of the behavior of deformation waves in elastic shells is an important part of modern wave dynamics. At the same time, the influence on the wave process in elastic structures with fractional physical nonlinearity has not been studied in the literature. In this paper, we study the effect of fractional physical nonlinearity in elastic shells on the propagation of longitudinal strain waves. Exact solutions of nonlinear equations of dynamics are found.
Деформационная теория пластичности А. А. Илюшина [1,2] связывает компоненты тензора напряжений <x, <r с компонентами тензора деформаций sx, s и интенсивностью деформаций su [3,4].
— „И2п и
Е ( /Л — 1/2пЛ
(А1 + 4)- А2£х£®Г> А 3
(2Ао -1)"
(1 -Ао )2
Здесь Е - модуль Юнга; т - константа материала, определяемая из опытов на растяжение или сжатие; ао - коэффициент Пуассона материала оболочки.
Рассматривается осесимметричный случай цилиндрической геометрически линейной оболочки с радиусом серединной поверхности R, плотностью ро толщиной h0 и упругими перемещениями - продольным и и прогибом W, направленным к центру кривизны.
-2—г, Бв=---т (2)
дх дх2 е R R2
Асимптотический анализ [5] показал, что интенсивность деформации
можно рассматривать на серединной поверхности (г=0)
,1/2 п( С
г V ^2 Л
+ А2
Подставляя (2),(3) в соотношение (1) получим напряжения в виде:
--Ао —
дх о Я
[1 +
+ ■
т ( 2 ^1/2п
^л/3 У
+ А2
дUW К4п
ди д V --2 —Г
V V дх дх у
--Л Я&
+ ■
г 2 ^1/2п
+ А2
дUW У4п
Здесь Е, т - упругие постоянные; Ао - коэффициент Пуассона.
Усилия в серединной поверхности согласно (4) определяются формулами:
ди WЛ
--Ао —
V дх Я у
т 1 + —
г 2 ^/2п
+ А2
д^ 1 дх Я |
ЕЪо ( ди Жл
т 1 + —
г 2 ^/2п
чТэ у
&ди^ 2
V дх у
+М1
+ М2
диж ]/4п
А момент определяется в виде
Мх = ЕЪо
( ^>2
т 1 + —
кдх2 +Мо R2 у
^ 2 \\1/2п
дЦ_ V дх у
+М1
( Ж ^2 V R у
+ М2
диж К4п
Здесь h0 - толщина оболочки.
Асимптотический анализ [5] показал, что в (6) первый член значительно больше остальных и их можно отбросить, потому что Мх само значительно меньше усилий Nх, Nв.
Следовательно, из формулы (6) получим
Мх =--РЧ1
х 12(1 -Мо2)
( д 2Ж _
дх2 +Мо "2
Вводя скорость звука со =
в оболочке радиуса серединной
Ро(1 -МоХ
поверхности R с использованием (5), (7), получим уравнения динамики оболочки
д_ дх
&ди Ж&
--Мо —
дх R у
т 1 + —
Чл/3у
+М1
V ил у
+ М2
диж У4п
сЦ - Ъо д
+ ■
_д_ дх
дЖ дх
--мо —
дх о R
т ( 2 ^/2п
^л/3 у
д Ж дх:
+ Мо
+М1
V ил у
+ М2
диЖ К4п
> +
+ — R
( ди Ж}
Мо--о дх R
т 1 + —
г 2 ^/2п
^л/3 у
V дх у
+М1
+ М2
диЖ У4п
д 2Ж дt2
Введем малый параметр задачи £ << 1 и соотношения, характеризующие задачу. Полагаем
= £ = о(1); и = М., Ж = Ъои3, х* = х, ^ = Соt.
^ V ^ R 1, о з> ^ 1
Г о\\2
= о (1).
Здесь длина волны I является характерной длиной.
Подставляя (9) в систему уравнений (8) и оставляя члены двух порядков малости будем иметь
ди1 дх *
* Аои3 \\ил у
г о \\
удх* У
+ Аи3 +А2
ди1 дх
дг (1о)
Ао^гг - и3
т 1 + —
г 2 ^/2п
чТэ у
Гл.. Л2
ди1 \\дх у
+ А1и3 + А2
Г 1) \\
Применим метод двухмасштабных разложений. Представим решение системы (Ю) в виде разложения
и1 = и1о + 61/2пи11 + ..., и3 = и3о + 61/2пи31 + ... (11)
Введем независимые переменные в виде
д = х - (1 - Ао) г , т = 6 г (12)
В переменных (11), (12) будем иметь уравнения для двучленных разложений.
Для первого члена разложения получим систему уравнений
Ао - и3о ) = о
дд\\ дд
и3о = О
Из которой следует
и3о = Ао
Функция и10 остается произвольной.
В следующем приближении будем иметь систему с учетом (13)
г 2 ^1/2п
чл/3 у
(1 -Ао2)(
А + А2Ао +
+ А1А0 ) Хп |1 + —
ди1о I д и
и31 = 1/2п /2
(1 -Ао2 )
Умножим обе части второго уравнения (14) на Ао и продифференцируем по %. Оно примет вид
еМ7.п 12
(1 "А )
Левые части первого уравнения (14) и уравнения (15) совпали. Вычтем, почленно, из уравнения (15) первое уравнение системы (14) и получим разрешающее уравнение
у ~ -ч 1/2п
&2 \\ т
^л/3 у
(1 -Ао2)(
А + А2А0 +
+ А1А0) 14 п I1+2П
■\\1/2п 2
(1 "Ао2)
Полагая
р, п = г = с2т
получим уравнение, обобщающее уравнение Шамеля [4]
др + 6р1/2п д(+д( = о
дп д%
т 2п +1
^л/3 у
(А1 + А2Ао + А1А0) 2 Ао
<-» 1
т 2п +1
г 2 ^/2п
С2 = С1
^л/3 у
(1 "а2)Х (
Уравнение (17) имеет точное решение в виде солитона
&1 2 8 2Л
- + 2п + - п V 3 3 у
^ " 4пк [п - 16п 2к2 г ]}
При этом
п=1/4 соответствует кубической нелинейности,
п=1/2 соответствует квадратической (гидродинамической) нелинейности,
п=3/4 соответствует нелинейности 5/3,
п=1 соответствует нелинейности Шамеля (3/2),
п=5/4 соответствует нелинейности 7/5,
п=3/2 соответствует нелинейности 4/3,
п=7/4 соответствует нелинейности 9/7,
п=2 соответствует нелинейности 5/4.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 19-01-00014а.
