Спросить
Войти
БИОМЕХАНИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ПРЫЖКА НА ЛЫЖАХ С ТРАМПЛИНА
А.Р. Подгаец, Р.Н. Рудаков
Россия, 614600, Пермь, Комсомольский проспект 29а, Пермский государственный технический университет, кафедра теоретической механики
Аннотация: Рассмотрены основные фазы прыжка на лыжах с трамплина (разгон, отталкивание, полёт и приземление) и связанные с ними задачи биомеханики. Приведен обзор экспериментальных и теоретических работ, посвященных исследованию различных аспектов прыжка на лыжах с трамплина. Подробно рассмотрены различные методы определения аэродинамических коэффициентов лобового сопротивления и подъёмной силы в фазе полета. Обсуждаются задачи математического моделирования прыжка с трамплина.
коэффициенты, оптимальная траектория
Введение
Прыжки с трамплина - один из наиболее технически сложных видов спорта. Достижения в нём связаны, в основном, с практической деятельностью тренеров и спортсменов, а строгое математическое моделирование прыжка, учитывающее индивидуальность спортсмена, находится пока на пути становления. Работы, посвящённые прыжкам с трамплина, можно разделить на две группы: экспериментальные работы по анализу различных фаз прыжка и теоретические исследования прыжка на лыжах. Среди экспериментальных работ следует выделить работу Е.А. Грозина [1] и его опытное определение коэффициентов аэродинамического сопротивления, а среди теоретических - работы Л.П. Ремизова [2-3], который исследовал оптимальные значения угла атаки лыжника. К более поздним исследованиям относятся работы авторов [4-6], в которых теоретический анализ опирается на результаты обработки видеозаписей прыжков ведущих спортсменов мира и делается попытка теоретического определения аэродинамических коэффициентов. В этих работах впервые идёт речь о безопасности приземления, вводится показатель безударности приземления.
Весь прыжок можно условно разделить на 4 фазы: разгон, отталкивание, полёт и приземление. Основной является фаза полёта, однако успешность прыжка готовят предыдущие фазы; не менее важно и успешное приземление. Экспериментальные и теоретические исследования посвящены рассмотрению отдельных фаз прыжка, хотя наиболее обоснованные теоретические результаты могут быть достигнуты лишь на основе комплексного решения проблемы.
На рис. 1 изображён трамплин в разрезе. Трамплины создаются на определённую максимальную дальность прыжка, которая вычисляется как длина нити, натянутой между кромкой стола отрыва и точкой приземления на склоне горы (точкой приземления считается та точка, где касается земли место лыж, к которому крепятся
ботинки). Например, в Перми есть детские трамплины, рассчитанные на максимальную дальность 10, 15, 20 и 29 метров и два трамплина для соревнований - с дальностью 48.5 и 70 метров. Для вычисления геометрических размеров трамплинов (их называют профильными характеристиками) существуют специальные уравнения и нормы, призванные предотвратить травмы лыжников из-за чрезмерной дальности прыжка.
Трамплин состоит из склона разгона и так называемого стола отрыва, с которого лыжники уходят в свободный полёт. Стол отрыва имеет небольшой отрицательный угол к горизонтали в, обычно составляющий от 6° до 12°. Здесь собственно трамплин заканчивается и то, что дальше, строго говоря, уже является горой приземления. Склон приземления состоит из трёх участков: участка высотой Н и длиной N, участка приземления и закругляющегося вверх участка торможения. Участок приземления -это плоскость с углом к горизонту от -25° до -40°. Высота стола отрыва над склоном горы приземления обозначается буквой Т и обычно составляет 2-4% от максимальной дальности (см. рис. 1).
В этой фазе формируется скорость лыжника, которая обеспечивает дальность прыжка. Существует, по-видимому, оптимальная скорость, так как при очень больших скоростях вылета лыжнику трудно принять обтекаемую позу в следующей фазе прыжка.
Разгон лыжника при спуске с горы подробно рассмотрен в книге В.А. Петрова и Ю.А. Гагина [8]. На рис. 2 показаны силы, действующие на лыжника при спуске: сила тяжести Р = mg, нормальная реакция лыжника N, сила трения ГТР = /Я, сила лобового сопротивления Я = 0.5рс$2 и подъёмная сила Q = 0.5рс$2, где т -масса лыжника, g - ускорение свободного падения, р - плотность воздуха, £ -площадь миделя, V - скорость спуска, сх и су - аэродинамические коэффициенты
лобового сопротивления и подъёмной силы. В [8] приводятся значения некоторых параметров при низкой стойке, характерной при прыжках с трамплина: £ =0.34 ^ 0.5 м2, сх =0.55 ^ 0.65, су =0.3 ^ 0.4. Коэффициент трения /=0.05.
Лыжник рассматривается как материальная точка. На основе второго закона Ньютона составляются уравнения движения
т— = Р Бта-¥ТР - Я, (1)
Из (2) находится нормальная реакция, которая зависит от скорости. Уравнение (1) даёт зависимость скорости от пройденного расстояния х :
I - ^ х
V = а\\ 1 - е а 2 , (3)
K = mg (sin a- f cos а), a = Подъёмная сила в (3) не учтена.
В начале фазы спортсмен сообщает телу скорость Vпр, которая имеет две
составляющие: v1, параллельную столу отрыва и увеличивающую начальную скорость вылета V0, и V2, перпендикулярную столу отрыва и оказывающую влияние на угол вылета (см. рис. 3).
Так, при скоростях v0 = 25 м/с, v1 = 0 и v2 = 1 м/с угол, на который изменяется
угол вылета, равен приблизительно 2°. Это влияет на траекторию и дальность прыжка.
Наиболее важная начальная фаза - формирование обтекаемой позы. Этому посвящены экспериментальные исследования. Ф. Ваверка (Чехия, Палацкий университет) и Б. Йост (Словения, Университет Любляны) со своими сотрудниками с 1992 года проводят видеосъёмки разгона, отрыва и полёта лыжников на
международных турнирах. Все их статьи, например, [12, 18] посвящены
статистическому обобщению достигнутых спортсменами результатов. Работы М. Вирмавирты и П.В. Коми посвящены видеосъёмке и кинематическому анализу фазы отрыва [16], решению обратной задачи динамики отрыва, то есть нахождению сил, действующих на лыжника во время предполётного прыжка, по известным кинематическим параметрам движения [9] и экспериментальному измерению этих сил с помощью специального тренажёра [15]. В их работе [13] выделяются основные следствия отталкивания, исходя из динамики процесса и многочисленного экспериментального материала, и определяется их влияние на качество прыжка. Во-первых, во время отталкивания лыжник может прыгнуть вверх, вперёд или и вверх, и вперёд под некоторым углом к столу отрыва. Само по себе увеличение высоты полёта (ведь скорость отталкивания у ведущих спортсменов достигает 2.5-3 м/с) влияет на дальность всего прыжка; отталкивание вперёд прибавляет скорость отталкивания к скорости, набранной на склоне. Во-вторых, как видно на рис. 1, угол в отрицателен; однако лыжник в полёте имеет положительный угол между лыжами и горизонталью и сам лежит почти параллельно лыжам. То есть лыжник должен одним прыжком повернуть своё тело на 10-30°. Это задание само по себе требует хорошей координации движений; кроме того, оно должно быть выполнено за минимальное время, так как во время поворота лыжник находится в аэродинамически невыгодной позе, то есть позе с большим лобовым сопротивлением, и теряет скорость, набранную на склоне разгона. Таким образом, отталкивание можно выполнить под разным углом к столу отрыва (что влияет на начальную скорость и высоту полёта), а принятие полётной позы - за большее или меньшее время (что влияет на начальную скорость полёта).
Задачу обратной динамики решали также сотрудники Б. Йоста - И. Коля и В. Стройник [17]. Японский учёный Т. Сасаки и его коллеги занимаются видеосъёмкой отталкивания [14], классифицируют способы отталкивания по кинематическому признаку и выбирают из них наилучший [11]. Авторы находят лучшее из трёх направление отталкивания, при котором достигается удачное соотношение потери скорости и высоты выпрыгивания. В статье Н.А. Масальгина и др. [10] методом наименьших квадратов установлена экспериментальная зависимость между силой мышц спортсмена и дальностью прыжка.
В работах [2-7] траектория полёта лыжника рассматривается в неподвижной системе координат 0ху2 с началом координат в точке отрыва (см. рис. 4).
В основной фазе полёта движение лыжника поступательно, поэтому по теореме
о движении центра масс механической системы оно может быть описано как движение материальной точки под воздействием силы тяжести Р, лобового сопротивления Я. и подъёмной силы И . Силы Я и И зависят от скорости лыжника относительно воздуха w, которая равна разности скорости лыжника относительно земли V и скорости ветра и в той области, в которой лыжник находится в данный момент времени:
w = V - и. (4)
В рамках гидравлического приближения подъёмная сила и сила лобового
сопротивления имеют вид:
И = 2схР£м/\\ И = 2су Р£м/2. (5)
Сила лобового сопротивления Я направлена противоположно скорости w :
Я = -к^м w, (6)
Рис. 4. Схематическое изображение полёта лыжника (пояснения в тексте).
к = 1 сх р8. (7)
Направление подъёмной силы О может быть найдено с помощью орта е оси Ог , направленной из плоскости рис. 1 на читателя:
О = I™ (е X ), (8)
I = \\су р8. (9)
Второй закон Ньютона связывает массу экипированного лыжника т и его ускорение а с приложенными к лыжнику силами:
та = Р - к^ w +(е х w). (10)
Разделив (33) на т и спроектировав на оси координат, мы приходим к системе дифференциальных уравнений второго порядка:
Ы(х-их ) + / м>(у-иу )
х = Я------------------------,
.. - МУ-иу ) + / ^(Х-их )
У =-------------------------->
где я - ускорение свободного падения, - модуль скорости лыжника
относительно воздуха:
™ = л!(х-их )2 + (У-иу )2 > (12)
их и иу - проекции скорости ветра на оси координат (без учёта влияния лыжника на
скорость движения воздуха).
Аналогичные уравнения, но без учёта ветра, рассматриваются в работах Л.П. Ремизова [2, 3]. Аэродинамические коэффициенты для техник прыжка 60-х и 70-х годов взяты из книги Е.А. Грозина [1] и аппроксимированы квадратичными функциями. Решается задача оптимального управления по нахождению траектории
полёта максимальной дальности. В работе делается вывод о том, что угол атаки
лыжника должен увеличиваться в полёте. Похожим способом воспользовались Н.А. Багин и др. [19], в работе которых выведена аналитическая формула для быстрой оценки дальности прыжка, учитывающая массу спортсмена и скорость вылета.
В работах [4, 5] уравнения (11) решаются численно, что даёт возможность учесть также влияние постоянного ветра и его порывов, колебания лыж и безопасность приземления. Результаты решения задачи оптимизации приведены на рис. 5 и 6. Рис. 5 показывает, что чем тяжелее спортсмен, тем выше он должен поднимать носки лыж. На рис. 6 изображены линии равной дальности в координатах масса лыжника - длина лыж.
Этот рисунок построен для оптимальных траекторий полёта, поэтому указанные дальности полёта максимальны для каждого лыжника. Рис. 6 показывает, что для достижения большей дальности полёта масса лыжника со снаряжением важнее, чем длина лыж: изменение массы лыжника на 1 % равносильно изменению длины лыж на 2 %.
Потеря дальности у расчётной оптимальной траектории в случае внезапного порыва ветра наводит авторов на мысль об исследовании устойчивости математически оптимальных рекомендаций для спортсменов. Поэтому в следующей работе [6] делается попытка исследовать устойчивые оптимальные траектории.
Приземлению и торможению посвящено наименьшее количество работ. Нами была найдена лишь экспериментальная статья [ 19] итальянских учёных, исследовавших кинематику движения и силу давления на склон приземления во время приземления и торможения спортсменов. В нашей работе [20] исследовалось влияние на скорость приземления такого фактора как аэродинамическое качество системы лыжник-лыжи в полёте (аэродинамическое качество равно отношению подъёмной силы к силе лобового
сопротивления: К = —). Исследование показало, что существует некоторое
оптимальное значение аэродинамического качества, при котором нормальная к поверхности составляющая скорости приземления минимальна.
Рис. 5. Оптимальные углы лыж к горизонтали для различных масс полностью экипированного лыжника
и различных длин лыж.
Рис. 6. Изолинии максимальной полётной дальности в координатах масса - длина системы лыжниклыжи.
Самый естественный путь определения аэродинамических коэффициентов системы лыжник-лыжи - обдув в аэродинамической трубе. Обдуваться могут лыжники, манекены в рост человека, экипированные реальным спортивным снаряжением и уменьшенные модельные фигурки. Е.А. Грозин [1] обдувал в аэродинамической трубе фигурки лыжников, уменьшенные в 10 раз. В работе О.М. Боженинова [21] опубликованы результаты обдува манекена спортсмена в современной полётной позе и определена оптимальная поза спортсмена при пользовании V-стилем: угол атаки лыж - 30°;
угол наклона туловища и ног одинаков и составляет 39-42°; угол развода носков лыж - 20-25°;
расстояние между лыжами в районе пяток - 300-400 мм [21].
Аэродинамические коэффициенты системы лыжник-лыжи могут быть получены и теоретически. В статье [20] рассматривается обтекание потоком воздуха со скоростью v плоской пластины конечной толщины d, длины l (длина лыж) и ширины b (рис.7).
За основу вывода формул коэффициентов подъёмной силы и силы лобового
сопротивления принят известный в механике метод определения силы давления движущейся струи жидкости на неподвижную преграду.
В результате были получены аналитические выражения для подъёмной силы
Q = bpv2 sin a cosa(l sin a - d cosa), (13)
для силы лобового сопротивления
R = bpv2(lsin3 a + dcos3 a) (14)
и для аэродинамического качества
Q sinacosa(l sina- d cosa)
K = — =-----------^--------3-------. (15)
R l sin a + d cos a
Аэродинамическое качество модельной системы лыжник-лыжи представлено на
рис.8.
Рис.8. Аэродинамическое качество модельной системы лыжник-лыжи при разных её толщинах.
В работах [4-6] задача нахождения аэродинамических коэффициентов решалась численно как задача аэродинамики, то есть задача обтекания твёрдого тела потоком вязкой несжимаемой жидкости. Задача об обтекании решалась методом конечных элементов. В результате были получены аэродинамические коэффициенты, качественно похожие на получаемые экспериментально.
Основная задача при математическом моделировании прыжка с трамплина -учёт индивидуальных особенностей прыгуна на лыжах. На первом месте стоит задача определения зависимости аэродинамических коэффициентов лобового сопротивления и подъёмной силы от параметров системы лыжник-лыжи. В решении этой задачи пока предпочтительнее экспериментальные методы [1, 21]. Современная вычислительная техника позволяет при расчёте аэродинамических коэффициентов учитывать лишь некоторые особенности системы лыжник-лыжи: такие как размеры, угол атаки [4, 5, 6,
Необходимой составляющей успешности прыжка является устойчивость полёта прыгуна на лыжах. До сих пор рассматривалась простейшая модель прыжка -движение материальной точки. Требуется рассмотрение движения свободного твёрдого тела или по крайней мере модель плоскопараллельного движения и исследование устойчивости этого движения.
В работах [4, 5, 6, 20] рассматривался вопрос о безопасности приземления, в [19] экспериментально исследованы нагрузки, которые испытывает прыгун в фазе приземления. Стоит задача рассмотрения сложной биомеханической модели лыжника и теоретический анализ усилий, которые испытывают суставы и мышцы нижних конечностей прыгуна при приземлении.
Рис. 9. Зависимость аэродинамических коэффициентов подъёмной силы и силы лобового сопротивления от угла атаки. Сплошная линия - аэродинамические коэффициенты, полученные из решения задачи обтекания модели лыжник-лыжи потоком воздуха, штриховая линия - найденные экспериментально в аэродинамической трубе для фигурок прыгунов в полётных стилях 1960-х годов [1].
Как перспективная рассматривается задача учёта проницаемости костюма лыжника и её влияние на дальность и устойчивость полёта.
В известных работах не проанализированы перегрузки, испытываемые лыжником в фазе разгона при движении по криволинейному профилю горы разгона. Решение этой задачи связано с проблемой оптимизации профиля горы разгона.
И, наконец, теоретически неисследованной остаётся фаза отталкивания и формирования обтекаемой и устойчивой позы лыжника. Известные экспериментальные данные по исследованию этой фазы [9-18] являются базой для теоретического анализа вопроса.
физической культуры, 3: 73-75, 1973.
Biomechanics, 1(1-2): 89-97, 1998.
BIOMECHANICAL PROBLEMS OF A SKI JUMP
А. R. Podgayets, R. N. Rudakov (Perm, Russia)
Ski-jumping is one of the most technically complicated kinds of sports. The achievements of ski-jumpers are commonly caused by practical activity of trainers and sportsmen; the mathematical modeling of a ski jump with regard to the individuality of sportsmen is only at the stage of development. The works on ski-jumping are either experimental or theoretical. The book of E.A. Grozin [1] and his measurement of aerodynamical coefficients is the most outstanding experimental research till today and works of L.P. Remizov [2-3] about optimal attack angles of the ski-jumpers are the most famous of theoretical papers. Recent investigations [4-6] combine these approaches and hold theoretical analysis on the basis of videorecording of ski jumps of the best world sportsmen; the authors also try to find aerodynamic coefficients theoretically. The safety of the flight is taken into account for the first time in these works. Ref. 21.
Получено 17 мая 2000
