Конститутивная модель упруговязкопласти-ческого деформирования ГЦК-монокристалла. К идентификации законов упрочнения

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 539.3

Конститутивная модель упруговязкопластического деформирования ГЦК-монокристалла. К идентификации законов упрочнения

П. С. Волегов, Д. С. Грибов, А. И. Швейкин

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, 614990, Пермь, Комсомольский пр-кт, 29

Рассматриваются вопросы, связанные с построением математических моделей неупругих деформаций кристаллических тел, основанных на физических теориях пластичности. Приводится пример модели монокристалла, пригодной для описания интенсивных пластических деформаций ГЦК-металлов, например, в технологических процессах обработки давлением.

Эта модель впоследствии может быть использована при построении двухуровневой математической модели поликристаллического образца. Основным механизмом деформирования является скольжение краевых дислокаций по системам скольжения. Записан закон упрочнения монокристалла, описаны причины его упрочнения. Поставлена и решена задача идентификации параметров используемого закона.

При интенсивном деформировании кристаллических тел наблюдаются существенные изменения в структурах микро- и мезоуровня. На микроуровне деформация — это изменение структуры решетки, сопровождающееся деформацией самой решетки (упругая составляющая), и положения в ней различных групп атомов (необратимые деформации). Интенсивные пластические деформации кардинально изменяют характеристики нижних уровней, это приводит к существенной перестройке дефектной структуры, формированию новых типов дислокационных субструктур. Соответственно, по-разному идет процесс деформирования, существенно меняются и макроскопические характеристики деформируемого образца.

При построении определяющих соотношений (ОС) обычно используется совокупность подходов [1]. Существует несколько подходов: макро-феноменологический, учитывающий макросвойства образца, имитационный, представляющий материал как систему простейших механических механизмов, термодинамический, физический. Приведенные подходы в явном виде не учитывают внутренней структуры, что является недопустимым при решении современных задач, в частности, задачи разработки технологий создания функциональных материалов. В настоящей статье рассматривается подход, явным образом, через введение внутренних переменных, учитывающий внутреннюю структуру материала.

Подход с введением внутренних переменных кратко заключается в следующем: выбирается набор внутренних переменных, характеризующих поведение материала, записываются соотношения, описывающие эволюцию этих переменных. ОС при таком подходе также зависит от набора внутренних переменных. Внутреннюю структуру учитывает также физический подход — подход, обеспечивающий учет микроструктуры материала: атомы, дислокации и т.д. Ввиду огромного числа частиц микроструктуры используется их континуальное описание.

Большее внимание в данной статье будет уделено эффекту упрочнения. Упрочнение — это изменение (как правило, увеличение) критических напряжений, необходимых для деформирования тела пластическим образом, в физическом смысле опи© Волегов П. С., Грибов Д. С., Швейкин А. И., 2012

сывает способность зерен к деформированию. Повышение напряжений при пластическом деформировании некоторого образца и есть упрочнение. Один из простейших способов описания упрочнения — это задание матрицы модулей упрочнения.

При моделировании материалов обычно используется гипотеза механики сплошных сред (МСС) о сплошности, которая позволяет в зависимости от уровня описать материал как непрерывно заполненный некоторой материей [2]. Данный подход значительно упрощает описание деформирования исследуемого тела. Переход к сплошности уводит от действительного строения материалов (из атомов и частиц более низкого уровня), но на самом деле такой подход значительно упрощает описание тел, так как вместо счетного числа атомов и взаимодействий между ними можно ввести интегральные характеристики, как, например, напряжение, температуру, деформации и т.д. При этом необходимо обозначить понятие представительного объема — объема, для которого справедливы статистические законы описания. Представительный объем материала — это минимальный объем материала, в котором находится достаточное количество носителей для статистического описания, т.е. добавление частей тела к нему не должно приводить к изменению характеристик среды.

При моделировании для записи большинства соотношений необходимо знать материальные параметры, которые будут напрямую или опосредованно входить в соотношения. Для решения данной проблемы целесообразно использовать процедуры идентификации и верификации. Идентификация означает установление значений этих величин. Верификация состоит в проверке качества найденных величин, изменении программы нагружения модели и сравнении с экспериментальными данными.

Целью работы является анализ законов упрочнения монокристалла, а также идентификация и верификация величин, входящих в законы упрочнения.

Объектом исследования является монокристалл с ГЦК - решеткой. В качестве механизма неупругого деформирования рассматривается только скольжение краевых дислокаций.

Используемая в настоящей статье модель является по сути одноуровневой, ввиду принимаемой гипотезы об однородности напряженно-деформированного состояния в границах отдельного монокристалла — зерна в поликристалличе-ском образце - для исследования процесса деформирования монокристаллического тела достаточно рассматривать уровень решетки кристаллита - мезоуровень (в рамках многоуровневых моделей), не касаясь представительного объема материала. Конститутивная модель монокристалла является нижним уровнем модели макроуровня [3, 4].

Модель неупругого деформирования монокристалла можно представить в виде следующей системы соотношений:

ог = о - ю • о + о • ю = п :гїе = п: (гї - ),

У(0 = У 0

H(т ) -тС&)), і = 1,...,К,

т С&) = / (у( 1), У(1)), і, І = 1,-, К,

соотношения для определения спина ю,

по которому из уравнения о • о = ю определяется тензор ориентации о,

V V = V V,

где о — тензор напряжений Коши; я — тензор четвертого ранга упругих свойств кристаллита; d, de, d&и - тензор деформации скорости, его упругая и неупругая составляющие на мезоуровне;

накопленный сдвиг и критическое наУ(0, т<°

пряжение сдвига по і-й системе скольжения; т(^?) — симметричная часть ориентационного тензора і-й системы скольжения; т^, = 1/ 2(Ь(&)п(&) + п(&)Ь(&));

Ь(&), п(&) — единичные векторы в направлении вектора Бюргерса и нормали к плоскости скольжения; у0, п — константы материала: характерная скорость сдвигов при равенстве касательных напряжений на системе скольжения (СС) критическим и константа скоростной чувствительности материала; т— действующее в і-й системе скольжения касательное напряжение; т(,) = Ь(&)п(&): о; Н(•) —

функция Хэвисайда; К — число систем скольжения для рассматриваемого типа решетки, о — тензор текущей ориентации кристаллографической системы координат кристаллита относительно фиксированной лабораторной системы координат.

В качестве определяющего соотношения (уравнения состояния) на мезоуровне выступает закон Гука в скоростной форме (11), при этом учитывается геометрическая нелинейность: квазитвердое движение [5] связывается с поворотом решетки (кристаллографической системы координат); в ко-ротационной производной тензора напряжений Коши ог фигурирует тензор спина ш , характеризующий скорость вращения кристаллической решетки. Различные модели поворота решетки подробно рассмотрены в работе [6], оригинальная модель поворота решетки с учетом несовместности скольжения дислокаций приводится в статьях [5, 6].

В конститутивной модели мезоуровня используются соотношения (1!) — уравнение состояния, (13) — (14) — эволюционные уравнения, в качестве замыкающих выступают уравнения (12), (15) [4].

Реальные металлические решетки не являются идеальными, в них присутствуют множественные дефекты разных размерностей.

Краевую дислокацию можно представить как внедрение экстраплоскости в кристаллическую решетку. Следует обратить внимание на образование дислокаций при пластических деформациях; существует много источников генерации дислокаций: источники Франка — Рида (закрепление частей дислокаций на включениях или барьерах и испускание петли этим сегментом), границы кристаллов, различные барьеры и т.д.

тСк) = уБ

у, К = 1,24,

где у1

ния I ,

накопленный сдвиг по системе скольжеУ

= | у(& ^т

Рис. 1. Изображение плоскости наиплотнейшей упаковки в ГЦК-кристалле

Образование новых дислокаций влияет на способность к скольжению старых дислокаций, таким образом, история эволюции дислокационной структуры очень важна при моделировании пластических деформаций.

При пластическом деформировании проявляется способность материалов к упрочнению (или, реже, разупрочнению). Упрочнение на уровне кристаллита — это осложнение скольжения дислокаций, которое происходит в результате эволюции структуры решетки, появления различных барьеров скольжения. Корректное физическое описание упрочнения позволяет не только получать достоверное описание эволюционирующей дефектной структуры, но и (через нее) описывать поведение материала на макроуровне.

Для описания упрочнения, возникающего при движении дислокаций, целесообразным представляется учитывать скорость сдвигов по системам скольжения (СС):

Данный закон учитывает различный вклад в упрочнение при скольжении по системам скольжения: коэффициенты а а, i = k называются модулями активного упрочнения (ас), а а а, /& Ф k — латентного (1а).

Закон (2) учитывает историю деформирования за счет внесения сдвига по системе и общей суммы сдвигов, разграничивая тем самым единичное скольжение и множественное. При скольжении по одной системе скольжения отношение сдвига по одной СС к сумме сдвигов по всем СС будет равно единице, при множественном сдвиге их отношение будет уменьшаться, вырождая таким образом вклад каждой отдельной СС в упрочнение.

Идентификация — это установление значений материальных параметров, входящих в различные материальные функции и соотношения. Процедура опирается на экспериментальные данные, именно из эксперимента берется необходимая информация о ходе моделируемого процесса. Обычно идентификация проводится с помощью рассмотрения некоторой оценивающей функции, нахождения её экстремума. В данной работе в качестве оценивающей функции было использовано максимальное значение квадрата разности в семи точках, снятых с эксперимента на растяжение монокристалла технически чистой меди. С помощью метода численного нахождения локального экстремума (метод Нэлдера — Мида) отыскивался локальный экстремум данной функции. Данная мера была выбрана как наиболее простая, в дальнейшем целесообразнее представляется использовать интегральные меры (или увеличивать количество точек сопоставления экспериментального и модельного графиков).

Верификация — это проверка корректности проведенной ранее идентификации, сравнение результатов эксперимента при других условиях с результатами работы модели при подобранных на этапе идентификации материальных параметрах. Проверка заключается в сравнении результатов работы модели с экспериментальными данными по некоторой норме и вынесении решения относительно принятия или отвержения идентифицированных величин, немалую роль при верификации играет критерий оценивания. Следует также отметить, что при верификации важно, чтобы, с одной стороны, схема эксперимента отличалась от той, на которой проводилась процедура идентификау > 1, у(0 > 0, ) (0) = (2)

V >=!

ции, с другой стороны, чтобы набор действующих механизмов в обоих случаях совпадал.

Была поставлена задача идентификации параметров закона упрочнения (2). Использовался набор из семи экспериментальных точек, функцией для оптимизации служил квадрат разности данных эксперимента и результатов работы модели. Степенной параметр не идентифицировался и был положен равным 1.00002. В результате ее решения были получены следующие значения: активный модуль упрочнения ас=3.2*10-9, латентный модуль упрочнения 1а=3.9* 10-9.

Рис.2. Зависимость интенсивности напряжений от интенсивности деформаций. Идентификация коэффициентов упрочнения

Интенсивность накопленных деформаций, %

Рис.3. Зависимость интенсивности напряжений от интенсивности деформаций идентифицированных параметров. КСК отклонена на 45 градусов к осям OХ1 и OX2 относительно ЛСК с идентифицированными параметрами закона упрочнения (2)

Далее необходимо провести процедуру верификации найденных величин, а также идентифицировать степенной параметр закона.

Была рассмотрена конститутивная модель ГЦК-монокристалла, рассмотрен закон упрочнения монокристалла. Описаны процедуры идентификации и верификации, проведена идентификация параметров закона упрочнения монокристалла меди. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты №12-08-01052-а, №12-01-31094 мол_а, №12-08-33082 мол_а_вед), гранта Президента РФ МК-3989.2012.1, ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009 - 2013 годы" (мероприятие 1.2.2, Соглашение 14.B37.21.0382).

Список литературы

приложения: Saarbucken: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2011. 147 c.

Constitutive model of F crystals elastoviscoplastic deformation. To identify the hardening law

P. S. Volegov, D. S. Gribov, A. I. Shveykin

Perm National Research Polytechnic University, Komsomolsky pr., 29, 614990 Perm

The issues related to the construction of mathematical models for non-elastic deformations of crystalline solids based on the physical theory of plasticity. Reads a model of a single crystal suitable for describing the severe plastic deformation of fcc metals, for example, in forming processes. This model can then be used to construct a two-level mathematical model of the polycrystalline sample. The main mechanism of deformation is the boundary dislocations slip on slip systems. The hardening law for a monocrystal is written down, the reasons of monocrystals hardening are described. The identification problem of parameters that used in law is put and solved.