МАШИНОСТРОЕНИЕ И ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, ВОПРОСЫ МЕТРОЛОГИИ
УДК 539.4
А. Х. Валиуллин
ПРЕДЕЛЬНЫЙ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЙ ИЗГИБ БАЛКИ
В рамках диаграммы Прандтля рассмотрено напряженно-деформированное состояние балки прямоугольного сечения при плоском изгибе за пределами упругих деформаций при различных условиях закрепления и нагружения, получено и решено дифференциальное уравнение изогнутой оси, определена потенциальная энергия деформации и дополнительная работа.
Examined the stress-strain state of rectangular beam in simple bending. Adopted Within the diagram Prandtl, outside the elastic deformation under different conditions offixation and loading obtained but decided the bent axis of the differential equation, defined strain energy and the additional work.
Тема расчета конструкций за пределами упругих деформаций глубоко разработана в монографии А.Р.Ржаницына [1], в которой заложены основы методов расчета различных элементов конструкций по предельному состоянию, используемых и в настоящее время. В данной работе рассматриваются некоторые новые случаи нагружения балок прямоугольного сечения, кроме того, определяется потенциальная энергия деформации и дополнительная работа, выражения которых могут быть использованы при создании вариационных методов расчета пластического деформирования.
Когда при увеличении нагрузки изгибающий момент в поперечном сечении балки достигает значения МТ = стТМх (стТ - предел текучести материала, - осевой момент
сопротивления сечения), в наиболее удаленных от нейтральной оси точках сечения материал переходит в пластическое состояние, в соответствии с диаграммой Прандтля (рис. 1) деформация
начинает возрастать при постоянном напряжении. При дальнейшем росте нагрузки пластическая деформация постепенно занимает все большую часть сечения. Эпюра нормальных напряжений разделяет сечение на три зоны: в центральном упругом ядре напряжения линейно изменяются вдоль оси ординат, а в двух крайних пластических зонах остаются постоянными и равными +стТ.
Толщину упругого ядра обозначим аЛ, в
зависимости от величины коэффициента а будем различать три вида изгиба:
Мупр = , М™ = Мт = а№, ^ = ЬЛ2 / 6;
М„р = о^„л, *МПП = ЬЛ2 / 4; это состояние, в
котором напряжения во всех точках сечения равны пределу текучести, называют пластическим шарниром; в отличие от обычного шарнира, в
пластическом шарнире момент не равен нулю, а является постоянной величиной, равной предельному моменту Мпр, который соответствует
полному исчерпанию несущей способности данного сечения.
Рис. 1 - Эпюра напряжений и диаграмма Прандтля
Определим изгибающий момент при упругопластическом изгибе, для чего воспользуемся эпюрой напряжений из рис. 1:
Mу-п = 2
, 4h І ,л ,h
baT( -a)y • 2 (І+a))2 +
+— baTa-a— l = Mпр I І---2 T 2 3 2 пр I 3
[Ее, |у| <аЛ / 2,
г, |у| >аЛ/2.
Согласно гипотезе плоских сечений деформация в точке сечения с ординатой у:
е = у / р,
здесь р - радиус кривизны изогнутой оси балки. Изгибающий момент в сечении:
М = | стуСА = 2 | сттуСА +| Е—уСА =
А аЬ / 2 -аЬ/2 Р
Ь / 2 Е аЬ / 2 Е
+ 2стт | убА + — | у2бА = 2атБп" + — ^пр.
аЛ/2 Р -аЛ/2
Входящие в это выражение Б„л -статический момент верхней (или нижней) пластической зоны, а иу„р - момент инерции
упругого ядра относительно нейтральной оси
“ ’ Ьу I аг,=^ (1 -а ■ )
З" = / Ьубу =
Лупр = Ь(аЬ) = а3Л .
х 12 х
Из уравнения (2) найдем кривизну изогнутой оси:
I упр
МІ 1 - —-1 + а:
пр\\ з
а 3ЕЛХ 3 аЕЛх аЕЛ
Этой формулой можно воспользоваться для определения напряжения в упругом ядре:
ЕУ = 2сттУ р аЛ
ст = ■
а в пластической зоне оно постоянно: ст = оТ.
Считая, что и при пластических
деформациях перемещения являются малыми, запишем приближенное дифференциальное
уравнение изогнутой оси:
* 2 ^ (4)
р с(г2 аЕЛ Разделяя переменные дифференциального уравнения и дважды интегрируя, получим следующие уравнения для угла поворота $ и прогиба м>:
dw 2ст
аЕЬ -г2 + Сг + О.
Постоянные интегрирования находим из граничных условий:
при г = 0 и г = I w = 0.
Подставляя найденные
С = -СТт&
постоянные О = 0 , получим окончательно
уравнения угла поворота и прогиба:
Максимальный прогиб (в середине балки,
г = / / 2):
= -0,25—т—. аЕЬ
Если балка находится в упругом состоянии (когда а = 1),
МІ2 стх 12
w = — тах 8ЕЛ
а если в пластическом (а = 0), то w ^ да , значит, прогиб неограниченно возрастает.
моментами, один из которых равен максимальному упругому МТ = стт^Х, а другой - предельному
Мр = ст^ .
пр т пл
В произвольном сечении г изгибающий
момент:
М(г) = Мт +(МпР - Мт )г /1 =
= Стт 1^х + Стт (Нт - ) /1 = Стт^х (1 + 0,5г /1)
Рис. 3 - Балка с двумя противоположными моментами
Запишем дифференциальное уравнение изогнутой оси:
с1 V = М(г) 3 стТ 1 -а2
~СгГ ~~ОЁГх ~~Ь~Е а3 .
Оно совпадает с уравнением (4), только нужно учесть, что изгибающий момент является линейной функцией г и зависит от коэффициента а, который, в свою очередь, тоже зависит от абсциссы сечения. Найдем эту зависимость. Как было установлено (1),
Му-„ =стт^„л (1 -а2 / 3),
откуда
а = л/3(1 - Му-„ / М„р).
Подставив в эту формулу вместо Му „ выражение М (г) из (7), получим:
а =л/1 - г / /. (8)
Тогда дифференциальное уравнение изогнутой оси приводится к виду:
, - , ■ (9)
Сг2 ЕЛ У / .&
Разделяя переменные и беря от обеих частей неопределенный интеграл, получим: dw = 2оТ/ (1 - г / /)1/
С ~~ ~ЁЛ 1/2
+ С,
Мр - Мт I
I - гт < г < I (здесь гт =—р------------1 = —), - балка
т т 2Мпр 6
испытывает упругопластический изгиб, а в среднем - гт < г < I - гт - упругий изгиб. Так как картина деформации центрально-симметрична, достаточно рассмотреть половину балки.
Постоянные интегрирования находим из граничных условий - в опорных сечениях прогиб равен нулю: при г = 0 V = 0; при г = / V = 0.
Из первого условия
о = - -8CTтI 2
С 8ст тl второго С =——.
В результате уравнение изогнутой оси можно записать так:
+ г -1
Найдем максимальный прогиб, сначала определим его место:
**=0, -Л1 -г
Сг 2IУ I
Как видно, место максимального прогиба находится чуть правее середины балки, ближе к концу с большим моментом. Подставив найденное значение абсциссы в (10), найдем максимальный прогиб:
V =----------Т—.
тах 81 ЕЛ
Заметим, что в случае чистого изгиба (когда
М1 = М2 = МТ)
максимальный
w =---------------—
тах 4 ЕЬ
Видно,
прогиб
упругопластическом изгибе максимальный прогиб приблизительно в 1,6 раза больше, чем при предельном упругом чистом изгибе. Сравним также упругие и упругопластические перемещения в местах приложения внешних сил, например, угол поворота правого концевого сечения:
М(г) = Мр-------^ г = 1,5стт^х - 3ст№ у.
Балку можно разделить на три участка. В
двух концевых участках
Рис. 4 - Балка с одинаково направленными моментами
Для первого участка дифференциальное уравнение изогнутой оси запишется так: й V 2стТ
Сг2 аЕЬ &
Входящий сюда коэффициент
а = ,/3! 1 -1 + 2-у 1 = у6у .
С учетом этого дифференциальное уравнение приведем к виду:
Разделив переменные проинтегрировав, получим: dw
дважды
Сг 4вЕЬ УI
+С1,
На втором участке - при г, < г < - - изгиб
чисто упругий, поэтому дифференциальное уравнение запишем как обычно:
С 2w = М (г) = 1,5стТ^х 3а^х =
—— =--------=--------------------г =
Сг2 ЕЛ„ Еих Ей/
ЕЬ ЕЬ I
В результате интегрирования получим:
= і£і£Г, - г| + С,;
бг ЕЬ У I) ‘
w = 3сттг2 (1 г
---------| + С2г + Ог.
ЕЛ У2 3/,
Постоянные интегрирования найдем из граничных условий: при г = 0 w1 = 0, при г = гТ
w[ = V2 , w1 = V2, при г = / / 2 w2 = 0 .
Из первого условия Ц = 0, из остальных условий:
С = - -20 стт1
О, = 27 ЕЬ
С =53 сттІ 108 ЕЬ
СТтІ2
Таким образом, перемещения в любом сечении можно определить по следующим формулам:
- на первом участке, 0 < г < гТ,
сттІ
стті ((гу2 - 20 ЕЬ ^л/6 У 11 27
Г г Т2 - (г
ЕЬ У 346 УI) 27 УI
- на втором участке, гт < г <
ЕЬ У I) 108ЕЬ’
гСТтІ2
Найдем место и величину максимального прогиба. Угол поворота в начале первого участка
в конце
стт»
-,-г-г--! = “ СттІ < 0.
ЕЬ У Тб л/6 27) 27 ЕЬ
Знак производной прогиба не изменился, значит, на этом участке экстремума нет. В начале второго участка
г =-1_2± < 0, г 27 ЕЬ
а в конце
стт» ( 3 (1 - I
ЕЬ У 2
знак производной изменился, значит, в некотором сечении г промежутка гТ < г < / / 2 прогиб достигает экстремального значения. Приравняв нулю производную прогиба
ЕЛ У /) 108ЕЛ
и решив полученное квадратное уравнение
г2 - /г +---/2 = 0 ,
найдем место максимального прогиба:
— = -- — = 0,206.
Подставив найденное значение г = 0,206/ в формулу для V , найдем максимальный прогиб:
V =-0,05083 .
тах ЕЛ
Отметим, что в случае М1 = М2 = Мт
максимальный прогиб (при
* = (0,5 -1 /л/Ї2)І = 0,211І)
= -0,032ЕЬ
что примерно в 1,6 раза меньше найденного максимального упругопластического прогиба. Как и в предыдущем случае, сравним углы поворота в местах приложения моментов:
стт»
"е 27 ЕЬ 9ур
Результат, как видно, полностью совпадает
Так как задача полностью симметрична, рассмотрим только половину балки. Изогнутая ось балки состоит из трех характерных участков, для каждого участка составим и решим дифференциальное уравнение изогнутой оси.
I участок, 0 < г < гт. Изгибающий момент в произвольном
сечении
М(г) = -1,5сттМХ + 3стт1Л&г/1. Найдем коэффициент а, подставив это выражение в уравнение (4):
\\ - №
Сг2 4вЕЛ У /.
Разделяя переменные и дважды интегрируя, получим уравнения углов поворота и прогибов:
бг 4вЕЬ УI
W1 =-------!
+С1г+01.
II участок, гт < г < I - гт.
На этом участке изгиб чисто упругий, поэтому для получения дифференциального уравнения достаточно разделить изгибающий момент на жесткость балки:
б V 2 бг2
■3СТт-(1 - 2г ЕЬ У I
Как обычно, дважды берем интеграл:
г=І / 2
^ =-Зо^ (г - 2£і | + с =
Сг ЕЬ
wг = —
ег[у-( у | 1+С2;
+ С2 + О2 =
Зст12 ( г
III участок, / - гТ < г < /.
Начало координат берем в середине балки и ось абсцисс направляем влево:
М(г) = 1,50^ - 3^1^;
= , 3! 1 И
дифференциальное уравнение запишется так:
Су 2 4вЕЬ УI
После интегрирования:
Сг Тб ЕЬ УI
V, = —^— I — I + с3г + Ц ;
произвольные постоянные находим из следующих граничных условий: dw
при г. = 0 3 = —^ = 0, V, = 0;
при г1 = гт 31 =32, w1 = w2;
при г2 = / - гТ, г3 = гТ 32 =-33 ^2 = w3.
В результате получаем:
С = й= С3 = 0 ,
С2 = 1 ‘“Ч
сттІ
Последняя константа совпадает с максимальным прогибом:
wmax = —
Для сравнения - максимальный упругий прогиб балки при а = 1 и сттах = стт
Я3 сттІ2
w —-----------—--------,
тах 24Ей ЗЕЬ
в 2,22 раза меньше упругопластического, что
совпадает с результатом, полученным в работе [1] .
Изогнутая ось каждой из рассмотренных
балок показана на соответствующем рисунке.
С этой оговоркой мы и будем пользоваться понятием потенциальной энергии деформации, которая в дальнейшем определяется для всех рассмотренных выше случаев нагружения балки, определяется также дополнительная работа [3]
и& = Ш - и, (12)
где 1/У - работа внешних сил при условии, что они остаются постоянными в процессе деформирования.
Определим потенциальную энергию деформации по формуле
и = |ийУ =|(/|стейА^г . (13)
V / У А )
Потенциальная энергия в элементе длины
/ 1 аЛ / 2 Л / 2 Л
йи = 1— | оеЬйу + 2 |стеЬйу Уг . (14)
У 2 -аЛ / 2 аЛ / 2 )
Здесь е - продольная деформация волокна с ординатой у , согласно гипотезе плоских сечений
У = 20,
р аЕЬ&
напряжение в точке с ординатой у
Ее-аГу, у <стт, Iу >
аЬ 2 .
Подставив эти выражения в (14) и произведя необходимые преобразования, получим:
йи = оТЬЛ (3 - 2а2) . (15)
При чистом упругопластическом изгибе
и = ст^Ет(3 - 2а2) = б^Е(3 - 2а2) . (16)
Если а = 1 и М = Мт ,то и =
обычная формула сопротивления материалов для этого случая дает тот же результат:
МІ2 = 1 (ст^х )21 =
ст2^хІ = ст2 ЬЬІ =
ЕЬ 6Е 6Е
Дополнительная работа находится по формуле (12):
и = W - и = |М9"
= 2|М9"е^ --Е-(3 - 2а2) = 6Е
|М9пра^ - и =
аст2^ 6Е &
В других случаях закрепления и нагружения балок потенциальную энергию можно определить с помощью формулы (15), принимая во внимание переменность коэффициента а по длине балки.
В этом случае, как было показано,
а = л/1 - г /1, подставляя это выражение в (15), получим:
би = 1 + 2- |Сг .
Интегрируя, найдем:
и = | би = ^1^ 1 + 2г /1 Сг = 7^ . (17)
і 6Е 0л/Т-777 9 е
Дополнительная работа находится по формуле (12):
и = W - и = \\М9"вд\\ + |М9пра^ - и =
= 8 стУ 7 ст2^ = 1 стУ
и = 2(Ц + Ц),
где и1 - потенциальная энергия, накопленная на первом участке длиной I / 6, и2 - энергия, накопленная на половине второго участка длиной I / 3. Очевидно,
и = 7 ст. У = _! стУ
На втором участке состояние балки чисто упругое, поэтому, учитывая, что
М (г) = Мр (1 - 2г /1), находим:
и = "ІМІ^г =.1 стУ
В результате
и = 2(-7+±
У 54 54
Е 27 Е
Дополнительная работа находится по формуле (12): и& = W - и = |М9"ЄЄ| + |МЭ^| - и =
Потенциальная энергия определяется по формуле (18), а дополнительная работа - по формуле (19), в которые следует подставить V = 2ЬЛ/.
© А. Х. Валиуллин - канд. техн. наук, доцент, проф. каф. теоретической механики и сопротивления материалов КНИТУ, tmsm@kstu.ru.