Длинноволновая конвекция Марангони от теплового пятна

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Длинноволновая конвекция Марангони от теплового пятна

В. П. Шилов

Институт механики сплошных сред УрО РАН, 614013, Пермь, ул. Королева, 1

Изучена конвекция Марангони в плоском слое жидкости со свободной деформируемой поверхностью, ограниченном снизу твердой стенкой низкой теплопроводности и неоднородным по горизонтали нагревом (тепловое пятно). Получено обобщение уравнений Кноблоха на случай неоднородного нагрева для амплитуд температуры, завихренности и деформации свободной поверхности. Введено понятие квазиравновесия, т.е. устойчивости крупномасштабных течений, позволяющее смоделировать неоднородность теплопотока в виде тепловой ступеньки. Проведен анализ линейной устойчивости для плоского и осесимметричного вариантов теплового пятна. Определены границы устойчивости конвективных режимов на плоскости параметров, характеризующих степень надкритичности внутри пятна и глубину демпфирования снаружи. Для осесимметричного пятна определены области устойчивости возмущений с различными значениями азимутального числа.

В XIX веке итальянский винодел Марангони обнаружил при изготовлении вин течения, вызванные неоднородностью поверхностного натяжения - термокапиллярную или капиллярноконцентрационную конвекцию, названную впоследствии его именем. Желание уменьшить роль капиллярных движений в технологических задачах (получение сверхчистых материалов в космосе, лазерное легирование в металлургии и т.п.), а также чисто академический интерес к новым механизмам неустойчивости и образованию пространственно-временных структур вызвали большое количество работ по этой тематике.

Первое изучение термокапиллярной неустойчивости жидкости в плоском слое при подогреве снизу было проведено Пирсоном [1]. Дальнейшие этапы исследования этого эффекта нашли отражение в книге Г. 3. Гершуни и Е. М. Жуховицкого [2]. Тем не менее, несмотря на два века истории, течения Марангони, наблюдаемые в экспериментах при неоднородном нагреве или же неоднородном внесении ПАВ (поверхностно-активного вещества), остаются малоизученными и до сих пор не получили адекватного объяснения.

Начало экспериментальных исследований этой проблемы было положено в пионерской работе [3]. В ней приводятся результаты исследования движения жидкости от сосредоточенного источника ПАВ, расположенного на свободной поверхности. Во всех опытах использовалась дистиллированная

вода и этиловый спирт, играющий роль поверхностно-активного вещества. Перепад концентраций спирта в поверхностном слое до 10 % вызывал изменение поверхностного натяжения воды ~ 20 дин / см. Опыты показали, что вместо ожидаемого радиально-симметричного течения в кювете возникает многолепестковое движение, число лепестков которого зависит от инте!рального массопото-ка этанола. Сначала, при постоянной подаче спирта, это движение стационарно и устойчиво, имеет резкий максимум радиальной составляющей скорости, по обе стороны от которого образуется по одному вихрю. Увеличение подачи ПАВ приводит к возрастанию интенсивности движения и при определенных значениях массопотока двухвихревое движение перестает быть стационарным: время от времени со стороны, противоположной максимуму радиальной скорости, появляются сначала третий, а потом четвертый вихри. В таком нестационарном режиме двухвихревое и четырехвихревое движения непрерывно сменяют друг друга до тех пор, пока при дальнейшем увеличении подачи спирта не возникает устойчивое стационарное движение с четырьмя вихрями вблизи источника. При еще больших значениях массопотока ПАВ образуется устойчивое шсстивихревое движение, затем восьмивихревое и т.д., причем каждому переходу от движения с 2т вихрями к движению с 2(/я +1) вихрями (т - целое число) соответствует определенное значение потока ПАВ. Интервал массопотока, в котором существует стационарное 2т вихревое движение, быстро уменьшается с

© В. П. Шилов, 2003

увеличением т, так что в опытах удавалось получить стационарное движение не более чем с десятью вихрями. Во всем диапазоне исследованных параметров наблюдаемые течения имели крупномасштабный характер.

В работе [4] исследовалась структура термокапиллярного течения от локализованного источника тепла, расположенного на дне плоского горизонтального слоя жидкости в круглой кювете. В опытах использовалось силиконовое масло, толщина которого варьировалась от 2 до 8 мм. В отличие от работы [3] для тонких слоев (< 3 мм) и при малых перепадах температуры всегда наблюдалось радиально-симметричное течение от центра нагретого пятна к холодным стенкам кюветы. Увеличение разности температур между пятном и периферией приводило к образованию стационарных концентрических валов, занимающих все пространство кюветы. Наконец, при дальнейшем нагреве появлялось множество дефектов над пятном, а вне пятна возникали бегущие волны, накладывающиеся на основное течение. Для больших толщин (> 3 мм) стационарная структура концентрических валов не наблюдалась. Однако при увеличении нагрева источника тепла имел место переход от радиально-симметричного течения к бегущим волнам. По мнению авторов [4], наблюдаемая неустойчивость носит коротковолновой характер и вызвана комбинированным взаимодействием термокапиллярного и гравитационного механизмов конвекции.

Структуры, аналогичные [4], наблюдались также в работе [5], где экспериментально исследовалось термокапиллярное течение от сосредоточенного источника тепла, расположенного на поверхности тонкого (отношение толщины слоя к продольному размеру не превышало 0.1) слоя силиконового масла. Авторы также наблюдали радиально-симметричное течение, распространяющееся к границам кюветы. Оказалось, что уже при сравнительно небольших перепадах температуры течение теряло устойчивость. Вторичная структура представляла концентрические валы, возникающие на границе встречных потоков в основном течении и сбегающиеся к источнику тепла. Дальнейшее повышение температуры источника приводило к образованию радиальных лучеобразных валов, и наблюдаемая неустойчивость носила трехмерный характер.

Сравнительно недавно в [6] экспериментально и теоретически исследовалась конвекция Марангони от круглого плоского источника тепла диаметром 5-7 мм, расположенного в жидкости (декан), заполняющей глубокий бассейн. При больших глубинах погружения источника тепла преобладало термогравитационное течение, характерной чертой которого было наличие теплового факела. Распространение факела от источника тепла к поверхности жидкости искривляло ее свободную поверхность в сторону газовой фазы. При уменьшении глубины погружения источника интенсивность капиллярных эффектов возрастала и приводила к образованию воронки на поверхности раздела. При малой глубине погружения источника (< 1 мм) на поверхности жидкости возникали спиральные волны, вращающиеся вправо или влево. Выбор направления вращения происходил случайно, вероятность образования волны правой или левой закрутки была одинаковой. По мере приближения источника к поверхности жидкости число рукавов спиралей увеличивалось от 1 до 10. Наконец, при выходе источника на поверхность жидкости бегущие волны затухали и на поверхности образовывалась стоячая волновая структура лучеобразной конфигурации, аналогичная [5]. По утверждению авторов, наблюдаемая конвекция имела крупномасштабный характер.

Целью данной работы является получение и решение системы модельных уравнений, отражающей основные особенности описанных выше экспериментов. Во всех этих работах присутствовал неоднородный источник тепла или ПАВ. вблизи границ которого возникала область с неоднородной температурой или концентрацией. Конечно, экспериментальные данные [3 - 6] различаются по характеру наблюдаемого конвективного движения. В частности, работы [4,5] требуют учета трехмерного характера течений, что является достаточно сложной задачей. Поэтому ограничимся при построении теоретической модели использованием асимптотического длинноволнового разложения, позволяющего свести задачу о крупномасштабной конвекции [3, 6] к исследованию системы двумерных уравнений. Этот подход к описанию конвекции конечной амплитуды, предложенный В. С. Сорокиным [7], возможен в области малой надкритичности. Для описания конвекции в плоском горизонтальном слое, где существует непрерывный спектр движений, он дает ответ на главный вопрос о том, какое течение является предпочтительным.

Нелинейные уравнения надкритической термогравитационной конвекции, описывающие медленную крупномасштабную динамику осреднен-ного поля температур, были получены Штильма-ном и Сивашинским [8]. Применительно к конвекции Марангони для недеформируемой поверхности и бесконечных чисел Прандтля эта задача была решена Кноблохом [9]. Конечные числа Прандтля приводят к доминирующему влиянию инерционных эффектов при формировании непотенциального осредненного течения. Такие эффекты были известны ранее для гравитационной конвекции [10]. Для капиллярной конвекции их учет был осуществлен в работе [8]. Обобщение уравнений Кноблоха для двухслойной системы с деформирующейся поверхностью раздела было получено в работе [11]. В ней же приведены безразмерные физические критерии возникновения длинноволновой неустойчивости в двухслойной системе.

Характерной особенностью перечисленных теоретических работ является предположение об однородном нагреве всего слоя жидкости. Учет неоднородности теплопотока рассматривался лишь в [12] для термогравитационной конвекции. Задача о взаимодействии неоднородного нагрева (или равно неоднородного потока ПАВ) с крупномасштабной надкритической конвекцией Маран-гони остается нерешенной и является предметом настоящего исследования. Здесь она решается с использованием асимптотического длинноволнового разложения [12, 13].

В параграфе 2 рассмотрена постановка задачи, проведено обезразмеривание и получена система двумерных модельных уравнений, описывающих медленную крупномасштабную термокапиллярную конвекцию Марангони в плоском слое жидкости при неоднородном нагреве с учетом деформации поверхности. Здесь же приведены физические ограничения на использование этой модели и указана возможность применения к концентрационной конвекции Марангони. В параграфе 3 вводится понятие механического квазиравновесия для крупномаштабной потери устойчивости, на основании чего неоднородность теплопотока моделируется в виде ступенчатой функции. Показано, что все нормальные возмущения изменяются со временем - затухают или нарастают - монотонно. В пункте 3.1 исследована линейная устойчивость квазиравновесия для одномерной неоднородности теплопотока. Построены нейтральные кривые для симметричной и антисимметричной мод с учетом деформации поверхности. В пункте 3.2 исследована устойчивость для осесимметричной неоднородности теплопотока. Построены нейтральные кривые для различных значений азимутального “волнового” числа. Показано, что при определенных значениях параметров наиболее опасной является не осесимметричная, а дипольная мода. Параграф 4 (Заключение) содержит обсуждение полученных результатов.

Рассмотрим конвективное течение Марангони в плоском горизонтальном слое жидкости толщиной Ь со свободной поверхностью, ограниченном снизу твердой стенкой с низкой теплопроводностью. Верхнее полупространство заполнено газом, вязкость и теплопроводность которого малы по сравнению с вязкостью и теплопроводностью жидкости. Поэтому его влиянием на возникающую конвекцию можно пренебречь. Слой подогревается снизу так, что через нее идет стационарный неоднородный поток тепла, поэтому существует течение, индуцированное неоднородным по горизонтали нагревом. Ось г системы координат направлена вертикально вверх, оси х и у лежат в плоскости слоя. Будем исследовать характер и устойчивость возникающей конвекции при следующих условиях: характерные масштабы неоднородности теплопотока велики по сравнению с толщиной слоя и эта неоднородность слабая в том смысле, что локальный теплопоток мало отличается от среднего значения Q. Введем следующие единицы измерений: I - длина, 11/х - время, ^/1 -скорость, - давление, Ь()1к - температура.

Здесь к, х, Л ~ коэффициенты теплопроводности, температуропроводности и динамической вязкости жидкости соответственно. Имея в виду применение в дальнейшем длинноволнового приближения, введем для удобства горизонтальную и и вертикальную и& составляющие скорости, а также дифференцирование по вертикальной координате Э, (обозначено штрихом) и по горизонтальным координатам V = /Эл + ]ду , где /, у — единичные векторы направлений х, у . Система безразмерных уравнений гидродинамики [14], включающих уравнение Навье-Стокса и уравнение теплопроводности, запишется в виде

^-{Э,и + иУи + и>и&}= -V Р + V2« + и",

^-{Э,и> + иУ уу+ и/уу&} = —Р& + V2 и& + у/-С, (2.1)

д&Т + иУк+ыТ&^^Т + Т&,

где G = gI}/vx,Pr = v|x - числа Галилея, Пран-дтля, Г] - коэффициент кинематической вязкости жидкости, Т - температура, отсчитываемая от среднего по слою значения. Что касается граничных условий, то на нижней границе (г = 0) ставятся условия прилипания для скорости и задается теплопоток. На верхней границе, г=\\ + И(х,у), выполняется кинематическое условие, задан теплопоток и требуется непрерывность напряжений

г = 0: и = ю = Т = -\\ + ц{х,у).

г = 1 + И(х, у): д,И + иЧИ = мг,

Т& = УИУТ-\\ + д(х,у), (2.2)

о.пп- (-Са + МаГ^УК,

с: пта =-Мат аУТ,

здесь а - тензор вязких напряжений, Са = оЬ/цх - капиллярное число, Ма=(д/дТ)()12/г1хк -число Марангони, И(х,у) - амплитуда отклонения поверхности от плоской, д(х,у) - неоднородная часть теплопотока, о - коэффициент поверхностного натяжения, я = (-УЛ; - единичный вектор нормали к свободной поверхности,

- единичные

тангенциальные векторы.

Роль поверхностного натяжения и роль силы тяжести при деформации свободной поверхности характеризуются капиллярным числом и числом Галилея. В .рассматриваемой задаче эти параметры достаточно велики (для слоя воды толщиной 1 мм при 20° С и атмосферном давлении С=6.8х104,

Са = 5.1х105). Поэтому деформация поверхности очень мала и не влияет на линейную устойчивость. Считаем в дальнейшем, что тепловой поток через слой всюду близок к критическому, отличаясь от него в меру величины второго порядка малости Ч(Х>У) - медленно меняющейся функции координат, а малый параметр определен как е2 = Ма/Ма* -1, где Ма* - критическое число Марангони (см. ниже). При длинноволновом характере течения производные любых переменных по горизонтали много меньше производных по вертикали. Это означает, что в задаче есть еще один малый параметр, вообще говоря, не связанный с £ , но вычисления удобно вести, считая, что £ ~ |Э//Эл|/|Э/Г/Эг| ~ , К - характерный масштаб горизонтального течения или неоднородности теплопотока д(х>у). Откалибруем для удобства капиллярное число и число Галилея следующим образом: С =е~2(3, Са ^е^Са, <5 ~ Са ~ 1, ниже тильду опустим. Исследуем движение малой интенсивности, для которого скорость и малая первого порядка по £ (корень из надкритичности). В этом случае вертикальная компонента скорости будет малой второго порядка, а оператор эволюции величиной - £4. Перемасштабируем горизонтальные координаты, время и неоднородность теплового потока, введя обозначения х->£х,

у->£у, /—>£4/, ц-±е2ц. Замечательным свойством системы (2.1) после перемасштабирования является то, что единица длины для планарных координат определена характерным масштабом тепловой неоднородности - Я.

Будем искать решение системы (2.1) в виде разложения.по малому параметру £ :

И = е^Ио + £2И2 + •••)> ™ ~ £2 (^о + ^^2 + ■■•)»

Р = е~2Р_2 +Р0+ £2Р2+..., И = £2 (Яи +...),

Т ~ -z + T0+ £2т2 + £4г4 + ...

Метод получения уравнений аналогичен процедуре, описанной в работах [8,11]. Критическое число Марангони определяется во втором порядке теории возмущений и совпадает с полученным в линейном анализе [2] значением для системы с не-деформируемой границей (Ма*=48). Для описания вихревых течений вводится потенциал средней вертикальной завихренности у/, так что

еУ2\\у ~ (Vхи2). Система замкнутых эволюционных уравнений, связывающая среднее поле температур ф(х>у,(), амплитуду H(x,y,t) отклонения поверхности от плоской и потенциал средней вертикальной завихренности y/(x,y>t), получается в

четвертом порядке по параметру £4 с использованием перемасштабирования

(*,y)->J 77

V7( 12 &

гт у/7 1 1

Н -»—Я; и/-»— у; (?-»— а 24 2 2

и имеет вид Э,ф+ V(J)V х(ег^) + У4ф- V2# - V^|V(j>|2 Уф| +

^V(FV*) + ^il+|-j V(V20V*)+

&+ ?k Y ~ VW) + f= (15)

ezVV=-^V(V2<t>)xV<}i-^Vtf хУф, <SV2tf-V4tf =-с&У2ф,

где S =

Так как твердая граница системы слабопрово-дящая, то возмущения вертикального градиента температур малы и в низших порядках теории возмущений температура зависит только от горизонтальных координат {х, у} . Деформация поверхности существенно мала, поэтому поле скорости пропорционально градиенту среднего поля

температур ф(х^у^), т.е. ц~Уф , .

При д(х,_у) = -1, что соотвегствует однородному превышению порога длинноволновой неустойчивости во всем слое жидкости, уравнения

(2.5) переходят в систему, полученную в работе [11]. Два дополнительных слагаемых ~ V(дУф) и

~У2д, входящие в первое уравнение (2.5), характеризуют неоднородность теплопотока. Они качественно похожи на слагаемые - У(ЯУ0) и V2// ,

описывающие влияние амплитуды отклонения поверхности от плоской на динамику осредненного поля температур ф (см. первое уравнение (2.5)). Это и понятно, так как изменить локальное число Марангони можно двумя способами - увеличением теплопотока или изменением толщины слоя жидкости. Деформация поверхности приводит также к новому механизму генерации завихренности ~ VЯ XVф (второе уравнение (2.5)).

Влиянием слоя газа можно пренебречь при выполнении следующих условий [11]:

Т]/А«1, Г~!х, 1к<\\, 2?к«1, (2.6)

где 5?=П5гц/т? - отношение динамических вязкостей в газе и жидкости, к = к^/к, % = Х*1Х -отношение соответственных коэффициентов тепло- и температуропроводности, Ь = [Ь - отношение толщин слоев, занимаемых газом и жидкостью. Первое условие означает, что тензор вязких напряжений в газовой фазе много меньше, чем в жидкости. Второе - что характерное время диффузии температуры в газе много меньше, чем в слое жидкости. Третье условие - что теплоперенос в газовой фазе много меньше, чем в жидкости. Последнее условие дает существование длинноволновой неустойчивости, если слой газа достаточно тонкий (минимальное число Марангони лежит в длинноволновой области). Для двухслойной системы вода-воздух [11] при 20° С и давлении 1 атм т) = 1.8х10-2, ^ = 1.6х102, к = 4.3x10-2. Видно, что условия (2.6) выполняются, если 0.01 «¿<£10.

Полученная система уравнений (2.5) имеет смысл и при рассмотрении концетрационной конвекции Марангони. В этом случае место осреднен-ного поля температур ф(х,у,() займет осреднен-ное поле концентрации, а роль коэффициента температуропроводности % будет играть коэффициент диффузии ПАВ. Отметим, что концентрационная конвекция в тонких слоях [3] всегда имеет крупномасштабный характер, когда диффузией ПАВ из жидкости в газ можно пренебречь.

Как уже отмечалось выше, в слое жидкости существует течение, индуцированное неоднородным по горизонтали нагревом. Однако в определенных ситуациях это движение может не играть основной роли при формировании конвективных структур. Такой случай реализуется, если неоднородность теплопотока вдоль слоя жидкости и связанное с ней конвективное течение малы - имеют малую интенсивность по сравнению с теплопото-ком, проходящим поперек слоя жидкости, и возникшей в результате этого крупномасштабной конвекцией.

Рассмотрим неоднородность теплопотока в виде ступенчатой функции

Разрыв теплопотока приводит к наличию мелкомасштабного движения на границе пятна, которое не поддерживается системой вблизи порога длинноволновой неустойчивости. Следовательно, при

изучении крупномасштабной конвекции такое движение несущественно и можно говорить о механическом квазиравновесии. Именно поэтому Уд = 0, У2д = 0 и решение ф(х,у) = 0, Н(х,у) = 0, у/(х,у) = 0 описывает квазиравновесие для крупномасштабной конвекции, которое может оказаться устойчивым или неустойчивым. Квазиравновесие устойчиво, если все крупномасштабные возмущения затухают. Если же одно или несколько длинноволновых возмущений со временем нарастают, то квазиравновесие неустойчиво относительно этих возмущений. Для суждения об устойчивости квазиравновесия, таким образом, необходимо рассмотреть развитие во времени всевозможных крупномасштабных возмущений. Действительно, выбор (3.1) и введение понятия квазиравновесие позволяют отказаться от поиска основного течения и применить для описания поведения системы теорию возмущений. Вместе с тем понятно, что возникающие при наличии тепловой неоднородности структуры будут качественно описываться двумя параметрами - отклонениями от критического теплового потока внутри пятна ±а2 и снаружи ±Ь2. Знак минус соответствует превышению критического значения теплового потока, а знак плюс - занижению и определен выбором направления оси 2. Формально это означает существование в плоскости параметров (¿>2,а2) четырех различных областей. Мы рассмотрим две из них, а именно первый и четвертый квадранты. Для этих областей характерно, что теплопоток снаружи всегда занижен. В первом квадранте есть превышение внутри пятна, в четвертом теплопоток внутри меньше критического, но занижение разное для областей снаружи и внутри. Именно такая ситуация характерна для экспериментов [3, 6].

Будем рассматривать малые нестационарные возмущения квазиравновесия (линейная теория устойчивости). В системе уравнений (2.5) можно пренебречь квадратичными и кубичными по возмущениям членами, что приводит, с учетом (3.1) и введением индекса / для величин внутри пятна и для величин снаружи пятна, к линейным уравнениям

эл+уЧ-7Ч-*2^=о, тгне-ч&Н&=-сч\\.

После исключения из системы возмущений поверхности получим

(с + да& I У‘ф,- = 0,

Э, (У2фе - 8ф„) + УЧ - (ь2+ь)ч\\ (с-8*2)72ф, = 0.

Граничные условия при |г| = 1, учитывающие непрерывность осредненного поля температур ф(х,у,0» поля скоростей и ~ Уф, и>~ У20, амли-туды отклонения поверхности от плоской Н(х,у^) и поля Лапласовских давлений -V2Н, записываются как

Последнее .условие является дополнительным и получается с использованием формул Грина [15].

Рассмотрим нормальные возмущения ~ е~х‘. Домножая уравнения (3.3) на 0* и интегрируя по пространству с учетом граничных условий (3.4) и использованием формул Грина [15], после несложных, но громоздких вычислений получим

¿У + (д + 8)\\\\У2ф^ ¿У ||У0|2 ¿У + 8\\\\ф\\2с1У (8д-с)^\\Уф^ с1У

!|У0|2с/Г + <5||0|2с/к’

где д(х,у) определено формулой (3.1), а ф = (0,, фе). Из (3.5) следует монотонный характер возмущений. Это выражение удобно переписать в размерном виде:

А = Л“6] |УУ20 2 ¿У + В.-4(д + 8)\\ 2 ¿У

Л“2 &|У0|2 сіУ + 8^ф\\2 (¡У

пятном. При Ь2<с/8 потеря устойчивости связана с областью вне пятна и имеет глобальный характер. Мы остановимся в своем исследовании на локальной моде, т.к. именно такой тип течения характерен для экспериментов [3, 6]. Отметим, что при /? —> 0 декремент всегда положителен и существует равновесие. Малая область нагрева не влияет на длинноволновую потерю устойчивости. Это вызвано и тем, что при выборе (3.1) мы пренебрегаем теплопотоком вдоль слоя жидкости и связанным с ним конвективным движением. Именно это и дает возможность говорить о квазиравновесии.

Роль координаты |г| при выборе ступенчатой

неоднородности теплопотока (3.1) играет в этом случае декартова координата х. Для поиска нейтральных кривых Э, выберем следующую систему функций: симметричная мода 0(-х) = ф(х),

/Г2(<5д-с)ЦУ0|2 <ИУ ІГ2||У0|2 с!У + 8\\\\ф\\2 ¿У

При д<с/8 третье слагаемое в (3.6) отрицательно и при достаточно больших размерах пятна будет определяющим. В этом случае декремент отрицателен и течение неустойчиво. Таким образом, большой масштаб неоднородности ведет к неустойчивости индуцированного течения. Это условие дает границу существования области неустойчивости в первом и четвертом квадрантах плоскости (А2, а2): при Ь2>с/8 и а2>-с/8 реализуется локальная неустойчивость, вызванная

и антисимметричная мода ф(-х) = -ф(х),

\\ 2?| ехр(-6, |х|) + В2 ехр(-621*|), х > 1 (3.8) е [-$! ехр(-6, |дф - В2 ехр(—¿2|*|). х < -1.

Подстановка (3.7) и (3.8) в (3.3) дает систему алгебраических уравнений для определения корней я,,

а|.2=^^2-5±^(5-а2)“ +4(5д2+с),

Кг =^62+5±^(6+62)2-4(562-с).

Знак “+” соответствует корню а1, корню

а2. Нейтральные кривые в плоскости (Ь2, а2) определяются из граничных условий (3.4). На рис. 1 изображены нейтральные кривые для недеформи-руемой верхней границы с = 8 = 0 и для деформируемой свободной поверхности с = 10, 5 = 1. Кривые соответствуют первым уровням неустойчивости для симметричной и антисимметричной мод. Область устойчивости находится под нейтральными кривыми. Вертикальной штрих-пунктирной линией изображена граница Ь2=с/8, отделяющая локальную неустойчивость от глобальной. Видно, что граница устойчивости по параметру

а2, характеризующему превышение над критическим значением теплопотока внутри теплового

пятна, определяется параметром демпфирования вне пятна Ь2, приближаясь к асимптотическим значениям при достаточно больших Ь2. Влияние параметров с, 8 проявляется в сдвиге значения

Ь2=с/8 , соответствующего границе локальной неустойчивости (3.6), определяемой пятном Ь2 >с/8 и глобальной неустойчивости Ь2 <с/8, вызванной областью вне пятна. Деформация свободной поверхности приводит к понижению порога устойчивости для всех уровней симметричной и антисимметричной мод. Во всей области параметров порог устойчивости симметричных мод ниже, чем антисимметричных.

Рис. 1 Первые уровни неустойчивости при одномерной неоднородности теппопотока для симметричной моды (3.7), кривая I при с = 10, <5 = 1; кривая 2 при с = 8 = 0; и для антисимметричной моды (3.8), кривая 3 при с = 10, <5 = 1; кривая 4 при с = 8 = 0. Вертикальная штрих-пунктирная прямая Ь2 =с/8 отделяет область локальной неустойчивости от глобальной. Области устойчивости расположены под нейтральными кривыми

При с = <5 = 0 возможно анапитическое задание нейтральных кривых. В этом случае симметричная мода задается как

¿8т(а) + асо5(6) = 0, (3.10)

а антисимметричная мода

Ь2 аса${а) - {а2Ь + а2 +Ь~ ^¡п(а) = 0. (3.11)

Расчеты показывают, что нейтральные кривые качественно похожи при любых значениях с и 8 , и доминирующим параметром, меняющим картину, является с7<5~0_|. Последнее следует и из

(3.6) при больших, по сравнению с толщиной слоя жидкости, неоднородностях теплопотока.

теплопотока

Для поиска нейтральных кривых Э, =0 выберем собственную систему функций оператора Лапласа в циллиндрической системе координат, определяемую симметрией пятна

Фі = (4Л|(°і&&) + ^тіа2Г) + V" )ехр(іпкр) + К.С.,

Фе = (В\\Кп,(Ь\\Г) + В2^т( V) + V" )еХр(Ю1р) + К.С..

Азимутальное число т определяет количество лепестков [3] или число рукавов спиралей [6] в конвективном течении.

Рис. 2. Первые уровни неустойчивости для мод (3.12) с разными значениями азимутального числа т при с = 8 = 0 . Области устойчивости расположены под нейтральными кривыми

Действие оператора V на (3.12) есть

У&Ф, УЧ (з

Подстановка (3.12) в систему (3.3) с учетом

(3.13) приводит к определению корней я;, Ьг которые совпадают с (3.9). Нейтральные кривые в плоскости (Ь2, а2) определяются из граничных условий (3.4).

На рис. 2, 3 представлены нейтральные кривые для конвективных мод (3.12) при различных значениях параметров с и 8 . Область устойчивости конвективной моды находится под соответствующей ей нейтральной кривой. Вертикальной штрихпунктирной линией изображена граница Ь2 = с/ё , отделяющая локальную неустойчивость от глобальной. Деформация свободной поверхности приводит к понижению порога устойчивости для мод с любыми значениями азимутального числа т > 1. Однако, то, какая мода - осесимметричная т = 0 или дипольная т = 1 - является наиболее опасной определяется параметрами с и 5 . В области с/5> 10 наиболее опасной является осесимметричная мода. При меньших значениях этого параметра существует область в плоскости

(Ь2, а2), где наиболее опасной является дипольная мода с т = 1. На рис.4 показана “смена” симметрии мод при срыве устойчивости в зависимости от параметров, характеризующих деформацию поверхности.

Рис. 3. Первые уровни неустойчивости для мод (3.12) с разными значениями азимутального числа т при с = 10, 5 = 1. Вертикальная штрих-пунктирная прямая Ь2=с/8 отделяет область локальной неустойчивости от глобальной. Области устойчивости расположены под нейтральными кривыми

Как и в одномерном случае, картина нейтральных кривых чувствительна к параметру с/5 -в-1 и граница устойчивости по параметру а2, характеризующему превышение над критическим значением теплопотока внутри теплового пятна, определяется параметром демпфирования вне пятна Ь2, приближаясь к асимптотическим значениям при достаточно больших Ь2 .

При с = 5 = 0 возможно аналитическое задание нейтральных кривых

- Л»! (°) . *.+!(*) 2та2+Ь2

«/„(о) ЬКт(Ь) Ь2а2-Ь2&{& для различных значений азимутального числа

Рис. 4. Кривая 1 - первый уровень

неустойчивости для осесимметричной моды с т = 0 при с = 10, 5 = 1, кривая 2 -первый уровень неустойчивости для осесимметричной моды с т-0 при с = 5 = 0, кривая 3 — первый уровень неустойчивости для дипольной моды с т = 1 при с = 10, 5 = 1, кривая 4 — первый уровень неустойчивости для дипольной моды с т-1 при с = 5 = 0. Вертикальная

штрих-пунктирная прямая Ь2 - с!8 отделяет область локальной

неустойчивости от глобальной. Области устойчивости расположены под нейтральными кривыми

В работе изучена слабонадкритическая конвекция Марангони в слое жидкости со свободной деформируемой верхней границей и неоднородным источником тепла. В длинноволновом приближении при слабой неоднородности теплопотока задача сведена к решению системы двумерных нелинейных уравнений для амплитуд возмущений температуры, завихренности и деформации свободной поверхности. После введения понятия квазиравновесия, т.е. равновесия для больших масштабов, (система не “поддерживает” мелкомасштабные движения), указанная неоднородность была смоделирована в виде тепловой ступеньки. Данное упрощение открывает возможность исследовать достаточно сложную систему и характеризовать возникающие неустойчивости в зависимости от превышения порога устойчивости внутри теплового пятна и демпфирования (занижения) снаружи. Рассмотрены плоский и осесимметричный варианты неоднородности теплопотока, определены границы устойчивости конвективных режимов на плоскости параметров, характеризующих превышение критического теплопотока внутри пятна и

глубину демпфирования вне его, при различных значениях капиллярного числа и числа Галилея. Для осесимметричного пятна определены области устойчивости возмущений с различными значениями азимутального числа. Из результатов линейного анализа задачи для случая ступенчатой неоднородности нагрева можно сделать следующие выводы: тип длинноволновой неустойчивости равновесия (глобальная или локальная мода) определяется степенью занижения по теплопотоку вне локального источника - глобальная неустойчивость сменяется локальной при определенном значении соответствующего параметра Ь2 =с/5 . Это пороговое значение определяет границу кривой нейтральной устойчивости и равно нулю для не-деформируемой границы, возрастая при изменении параметров с, 5, характеризующих деформацию границы. Граница локальной неустойчивости равновесия и вид наиболее опасной неустойчивой моды для случая осесимметричного теплового пятна (осесимметричные или азимутальные моды) определяются безразмерными параметрами

а2+с/5, Ь2-с/8, характеризующими интенсивность теплового источника, его размеры, влияние поверхностного натяжения и силы тяжести. В некоторой части пространства параметров задачи наиболее опасной является не осесимметричная мода (т = 0 ), а дипольная (т = 1). Деформация поверхности приводит к созданию нового пути по рассеянию потока тепла и, как следствие, к смене симметрии мод, срывающих устойчивость. При управляющем параметре с/8< 10 существует область в плоскости (Ь2, а2), где наиболее опасной является дипольная мода. При увеличении значений параметра, а значит, увеличении амплитуды деформации поверхности, на смену дипольной моде приходит осесимметричная мода, которая является наиболее опасной во всей области значений перепадов теплопотока. Порог неустойчивости относительно мод с т > 1 во всей исследованной области параметров всегда выше.

Сравнение с экспериментами работы [3] дает возможность сказать, что полученные теоретические результаты качественно описывают наблюдавшиеся в ней многолепестковые конвективные структуры. Пренебрежение нами горизонтальной составляющей теплопотока, а значит, индуцированным течением, привело к монотонному характеру развития возмущений во времени, что не

дает возможности описания сложных колебательных режимов, имевших место в работе [6].

Автор выражает искреннюю признательность А. Ф. Пшеничникову, К. И. Морозову и А. И. Ми-зеву за полезные замечания и обсуждение результатов работы. Часть результатов, полученных совместно с Б. И. Мызниковой и И. И. Вертгеймом, опубликована в [16]. В настоящей работе автор выражает свою точку зрения на указанную проблему.

Работа выполнена при финансовой поддержке Фонда гражданских исследований и развития для стран СНГ (грант № РЕ-009-0) и Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ-Урал№02-01 -96407).

Список литературы