Отражательный клистрон как пример автоколебательной системы с запаздыванием

Методические заметки

Изв. вузов «ПНД», т. 18, № 6, 2010 УДК 621.385.623.5:517.929

ОТРАЖАТЕЛЬНЫЙ КЛИСТРОН КАК ПРИМЕР АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

В.Н. Титов, Д.В. Волков, А.В. Яковлев, Н.М. Рыскин

Развита нестационарная теория отражательного клистрона на основе дифференциального уравнения с запаздыванием. Представлен анализ условий самовозбуждения, стационарных режимов генерации и условий их устойчивости. Демонстрируется применение теории для расчета выходных характеристик миниатюрного отражательного клистрона субмиллиметрового диапазона. Проводится сопоставление теории с результатами численного моделирования с помощью метода «частиц в ячейке».

Введение

Важную роль в нелинейной динамике играют распределенные системы с запаздывающей обратной связью (ЗОС), которые широко распространены в самых разных областях физики, таких как радиофизика и электроника [1,2], нелинейная оптика [3,4], физика атмосферы [5], а также в моделях биологии [6], медицины [7], экономики, экологии и социальных наук [8]. Хорошо известно, что для систем с запаздыванием характерны различные сложные, нестационарные режимы генерации, в том числе хаотические [1,2].

К системам с ЗОС относятся многие приборы вакуумной электроники сверхвысокочастотного (СВЧ) диапазона, например, генераторы на основе ламп бегущей волны [9-11] и клистронов [12-16]. Естественным математическим аппаратом для построения нестационарной теории подобных систем представляются дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. В частности, в серии работ [12-16] построена нестационарная теория клистронов-генераторов с ЗОС, подробно исследована (в том числе экспериментально) картина динамических режимов в этих приборах.

В настоящей работе подробно описана методика построения нестационарной теории на основе уравнений с запаздыванием и демонстрируются возможности теории для расчета основных характеристик конкретного прибора на примере отражательного клистрона (ОК). ОК является, пожалуй, простейшим примером генератора

клистронного типа и широко применяется для генерирования СВЧ-колебаний малой мощности [17-21]. В то же время он является характерным примером системы с запаздыванием, которое возникает, очевидно, вследствие конечного времени движения электронов в пространстве резонатор-отражатель. На возможность построения теории ОК на основе уравнения с запаздыванием указывалось ранее [22,23], однако в основном анализировались процессы самовозбуждения генератора.

В данной работе представлен вывод уравнения с запаздыванием, описывающего динамику ОК (раздел 1). Далее последовательно рассматриваются условия самовозбуждения, стационарные режимы генерации и условия их устойчивости (разделы 2-4). В разделе 5 проводится расчет выходных характеристик для миниатюрного ОК субмиллиметрового диапазона. Проекты создания подобных приборов появились в последнее время в связи с развитием технологий вакуумной микроэлектроники [24-29]. Также в разделе 5 проведено сопоставление с результатами численного моделирования на основе традиционного для СВЧ-электроники метода крупных частиц, что позволило оценить пределы применимости упрощенной теоретической модели и дать достаточно реалистичные оценки важных с практической точки зрения параметров, таких как выходная мощность, КПД, время установления колебаний и т.д.

На рис. 1 приведена схема распределения постоянного потенциала в ОК. Электронный поток ускоряется в пространстве катод-резонатор постоянным ускоряющим напряжением УО, после чего проходит сквозь емкостной зазор объемного резонатора. Высокочастотное поле резонатора осуществляет модуляцию потока по скорости. Далее электроны попадают в тормозящее поле, которое создается отражателем с отрицательным потенциалом Уг. Во время возвратного движения в тормозящем поле происходит группировка пучка. Сгруппированный пучок отдает энергию высокочастотному полю резонатора, поддерживая в нем колебания.

Нестационарную модель отражательного клистрона построим аналогично моделям генераторов на основе пролетных клистронов с запаздывающей обратной связью, развитым в работах [12-15]. Используем нестационарную теорию возбуждения резонатора током медленно меняющейся амплитуды, разработанную Л.А. Вайн-штейном [17]. Считается, что плотность тока можно представить в виде j (г,г) = И,е (г, г) ехр (гш0г)], где ^ - медленно меняющаяся по сравнению с экспонентой комплексная амплитуда. Поле представим в виде разложения по собственным типам колебаний «холодного» резонатора

,гте Ь

Е (х,г)=Яе^ С (г) Ез (х) ег

где Сз (г) - безразмерные комплексные амплитуды, ю - собственные частоты. Если несущая частота юо близка только

Рис. 1. Схема отражательного клистрона

к одной из собственных частот, достаточно учитывать только один тип собственных колебаний резонатора. Амплитуда С* подчиняется нестационарному уравнению возбуждения [17,21]

ЛС* . ч )п . ю*С* 1 [. ^ „г

+г (юо - ^ С* + Ж = - т ] ^^ (1)

Здесь и N - нагруженная добротность и норма рабочего типа колебаний, соответственно.

Далее будем считать задачу одномерной, а несущую частоту ю0 без ограничения общности выберем равной частоте ю*. Тогда уравнение (1) принимает вид

Предполагается, что функция Е* (х), описывающая распределение поля в зазоре, удовлетворяет следующему условию нормировки:

\\Es (x)\\ dx = Vo, (3)

где V0 - ускоряющее напряжение пучка. Норму Ns можно выразить через волновое

(характеристическое) сопротивление резонатора Z0

Ns = —V •

Если зазор резонатора достаточно узкий, его можно заменить эквивалентным бесконечно тонким зазором, напряжение на котором представляется в виде

V (t) = Re [MVoCs (t) eimot] = MVol (t) cos (mot + ф (t)),

f Re [Es (x) exp (im0x/v0)] dx где M = —-—--коэффициент эффективности модуляции,

/ \\Es (x)\\dx

(Ь) = \\С3 (Ь)\\, Ф (Ь) = Лщ [С3 (Ь)], у0 = у/2вУ0/ш - скорость пучка. Тогда уравнение (2) упрощается

С + юС =_ юо^оМ (х (4)

йЬ + 20* = 2Уо 1ю (Х,Ь) & (4)

Для прямоугольного распределения поля в зазоре, что соответствует случаю резонатора с сетками, Е* (х) = Уо/Л, где Л - ширина зазора. При этом коэффициент эффективности модуляции М определяется известным соотношением [17-21]

М = в1п(<ф,/2) , (5)

Фо/2 & ^ 7

где угол пролета электрона в зазоре Фо определяется формулой

Фо =-. (6)

Будем полагать, что движение электронов одномерное. Тогда, решая уравнения движения электрона, получим известное выражение [17-21]

где ¿0 и t1 - времена влета электрона в зазор в прямом и обратном направлениях, соответственно; X = М^0о/2 - параметр группировки; 00 - невозмущенный угол пролета в пространстве резонатор-отражатель

У0 (1 + Уг/Уо) &

Данные соотношения получены в приближении малости скоростной модуляции. Пользуясь соотношением (7), можно вычислить первую гармонику сгруппированного тока

J е-4«0*1 й (юtо) = -2И0Л (X) е4(ф-0о-фо).

Здесь ,]1 - функция Бесселя первого рода 1-го порядка, 10 - постоянный ток пучка. При проведении интегрирования в уравнении (9) пренебрегаем медленным изменением X и ф за один период несущей частоты.

Подставив выражение для сгруппированного тока (9) в (4), получим

(С3 + «С =_ юо^оМ1о /М00 (Ь 2^ г Уо V 2

С А t00 + фо «о

Нужно отметить, что левая часть уравнения (10) записана для момента времени ^ в то время как правая - для момента времени t — (0о + фо)/«о, то есть динамика системы описывается уравнением с запаздыванием. Время запаздывания равно усредненному времени пролета для отдельных электронов и в приближении малой скоростной модуляции совпадает со временем пролета для невозмущенного электрона, около которого формируется сгусток.

Если ввести безразмерные переменные

Р (t) =

М0оС (t)

уравнение (10) примет вид (штрих у безразмерного времени для краткости опускаем)

£ + Р = — 2гае-&(0о+фо)Л (Р (t — т)|)

Здесь т - безразмерное время запаздывания

= 00 + фо т = 20 &

а - параметр возбуждения

ZoM 2iQÖQqs 2Vo

Таким образом, для описания динамики отражательного клистрона получено дифференциальное уравнение с запаздыванием (13). Отметим, что оно, вообще говоря, демонстрирует богатую картину динамических режимов, включая хаотические [30], так же как и другие аналогичные модели клистронных генераторов [12-15]. В то же время развитая модель допускает далеко идущий теоретический анализ: позволяет найти условия самовозбуждения, рассчитать основные свойства режимов стационарной генерации и определить условия их устойчивости.

Проведем анализ условий самовозбуждения. Линеаризуя уравнение (13), получим

^ + F = —гаe-i(eo+Фo) F (t — т)

Отыскивая решение (15) в виде Р ~ exp(гюt), приходим к характеристическому уравнению

г« + 1 = ae-i(ео +ф0 +Ют+ 2). (16)

Нетрудно убедиться в том, что оно имеет бесконечно много комплексных корней, следовательно, существует бесконечное число собственных мод. Это обусловлено тем, что системы с запаздыванием относятся к классу распределенных систем, имеющих бесконечное число степеней свободы. Действительно, состояние системы (13) задается значениями функции Р (^ на непрерывном интервале длительностью т, а не конечным набором значений переменных.

Перепишем (16) в виде двух вещественных уравнений

ю = ctg (ют + e0 + Ф0) •

Это уравнение удобно решать графически (рис. 2). Будем нумеровать его корни так, как показано на рисунке. Причем, поскольку а - положительный параметр, из первого уравнения (17) следует, что необходимо учитывать только корни, для которых sin (ют+90+Фо) < 0, то есть

Рис. 2. К &решению уравнения "для собственных корни с четными номерами, n = 2к, по-частот (18) казанные на рис. 2 темными кружками.

Отметим, что если т ^ 1, то есть резонатор высокодобротный, корни можно приближенно записать в следующем виде:

Ю2кт ~ 2пк - ^ - Фо - 0о-Напротив, при т ^ 1 имеем

ю2кт ~ 2пк - ф0 - 60.

Из уравнений (17) можно также выразить стартовое значение параметра а, при котором происходит возбуждение колебаний,

= \\/1 + ю2к (бо,т),

где ю2к - соответствующий корень уравнения (18). Порог возбуждения будет

Рис. 3. Пороговое значение параметра а (а) и частота генерации (б) в зависимости от невозмущенного угла пролета 60 + фо

минимален (а*г = 1) в случае, когда генерация происходит точно на собственной частоте резонатора (ю2к = 0). При этом

И, наоборот, когда 60 = 2пк ± п - ф0, порог самовозбуждения максимален. При этом юо и одна из частот ю± 2 почти равноудалены от собственной частоты резонатора.

Используя соотношения (18), (19), можно построить зависимость частоты генерации ю от 6о и границу самовозбуждения на плоскости параметров а и 6о. Соответствующие зависимости приведены на рис. 3. Граница самовозбуждения представляет собой набор периодически расположенных зон генерации, положение центров которых определяется соотношением (20). Подобная картина типична для систем, описываемых дифференциальными уравнениями с запаздыванием [12-15,30].

Обратимся к режимам стационарной одночастотной генерации. В этом случае решение следует искать в виде

^ = exp [г (юЬ + ф)] ,

где амплитуда и фаза ф постоянны. Подставляя (21) в уравнение (13) и разделяя вещественную и мнимую части, получим

^о = -2a.il (¿о) 8Ш (ют + 6о + фо), ю^0 = -2а11 (¿0) ес^ (ют + 60 + ф0)

Поделив одно из этих уравнений на другое, приходим к соотношению (18). Это означает, что частота стационарной генерации равна одной из собственных частот ю2к и не изменяется с ростом амплитуды колебаний (в рамках сделанных приближений).

Из уравнений (22) нетрудно также найти следующее выражение для амплитуды Ро:

Это трансцендентное уравнение, которое не может быть решено аналитически. Аналогичное уравнение описывает стационарные решения в других автогенераторах клистронного типа [12-15,30]. Удобно решать уравнение (23) графически (рис. 4).

Видно, что с ростом а число корней увеличивается. Следовательно, появляются все новые и новые стационарные состояния, то есть даже для колебаний на основной собственной моде будет характерна мультистабильность. Физически появление новых стационарных режимов в клистроне обусловлено многократной перегруппировкой электронов в пространстве дрейфа, что является основным нелинейным эффектом в приборах О-типа. Будем обозначать эти решения как Бп и Рп, причем Бп соответствуют корням (23), расположенным на возрастающих участках функции Бесселя, а Рп - на падающих (см. рис. 4). В принятых обозначениях £0 соответствует тривиальному решению с нулевой амплитудой. Высшие стационарные состояния возникают жестко, что нетрудно понять, анализируя рис. 4. Порог их появления можно найти аналитически. Соответствующие значения амплитуды Ро находятся как корни уравнения

.1 (Ро) Ро

= .1 (Ро)

где .1 = (31 (Ро)/(Ро . Отсюда, например, для и Р1 находим, что Ро Тогда из уравнения (23) получим

V«2 + 1

а = -:-- го.

В центре зоны генерации, где ю = 0, это уравнение дает а 15.5 а^. Таким образом, высшие стационарные состояния возбуждаются при значениях параметра а (то есть фактически - тока пучка), значительно превышающих порог самовозбуждения генератора. При этом существенную роль будут играть эффекты пространственного заряда, которые в данной модели не учитываются. Известно,

что в клистронных генераторах силы пространственного заряда могут существенно влиять на динамику генератора, в частности, могут приводить к срыву генерации [15]. Поэтому возможность возбуждения высших стационарных состояний на практике вызывает сомнения. В дальнейшем ограничимся рассмотрением только основного стациоРис. 4. Пример графического решения уравне- нарного состояния Ро. ния (23)

Подсчитаем выходную мощность генератора. Для этого перепишем уравнение возбуждения (1) в виде закона сохранения энергии. Умножив (1) на комплексно сопряженную амплитуду С* и сложив с комплексно сопряженным уравнением, получим [17]

§ + £ =

аЬ Я*

где Ш = ^*|С*| /2 - энергия колебаний в резонаторе, Ре - электронная мощность взаимодействия

Ре = Лю (г,Ь)С*Е* (г) ау.

Напомним, что мощность считается отрицательной, когда электронный поток отдает энергию полю. В режиме стационарной генерации, когда (Ш/dЬ = 0, получаем

_Р = юШ = юо^* |С*|2 =

е Я* 2Т* ZоM 2е2я*& 1 ;

где ¿о удовлетворяет соотношению (23). Формула (24) определяет мощность, которую электронный поток отдает полю. Мощность, отдаваемая в нагрузку, равна

Р-х=-р-{1 - £ )• (25)

где £*0 - добротность ненагруженного резонатора. Максимальная мощность, отдаваемая в нагрузку, достигается при £*0 2£* [20], что соответствует условию согласования источника и нагрузки, известному из теории электрических цепей [31]. Тогда

Р V 2р 2

Р = - — = ко ¿о (26)

Рвых = 2= ^оМ262Я* • (26)

Полезно также получить соотношения для мощности насыщения Рнас, которая достигается при больших токах пучка. В случае, когда а ^ а*г, корень уравнения (23), обозначенный на рис. 4 как Ро, всегда расположен вблизи нуля функции Бесселя, ¿о 3.83. Тогда уравнение (26) принимает вид

Рнас 14.67-^—. (27)

нас ZоM2Q20Qs К !

В центре зоны генерации 6о = 2пк - п/2 - фо, и из уравнения (27) следует, что

Р(к) ^ 14-67__^ (28)

Рнас (2пк - п/2 - фо)2 & ZоM£ ^ (28)

Таким образом, мощность насыщения с ростом номера зоны к убывает пропорционально (2пк - п/2 - ф0)_2.

Для электронного КПД, очевидно, имеем выражение

Ре = 2ЗД2 = Ро IоZоM 2б2Я* або

где Ро = 1оУо - мощность постоянного тока пучка. С учетом соотношения (23) это уравнение дает

П = ЗР1- <29)

Максимальное значение Ро31 (Ро) 1.248 достигается при Ро 2.405. В центре зоны генерации, при 9о = 2пк — п/2 — фо и аst = 1, КПД насыщения выражается следующим образом:

П = —;-;-. (30)

Очевидно, что эта величина уменьшается с ростом номера зоны генерации к. Отметим, что из (23) можно найти значение параметра а, при котором достигается максимальный КПД,

а 2.405

- ^ -:-г ^ 2.316,

аst 2.1 (2.405) &

то есть ток пучка должен превышать стартовое значение в 2.316 раза.

Приведенные в разделах 2 и 3 результаты полностью согласуются с результатами элементарной теории ОК, которая широко представлена в литературе [17-21]. Однако теория, основанная на уравнении с запаздыванием, позволяет продвинуться дальше и выяснить условия устойчивости стационарных режимов. Зададим малое возмущение решения (21)

Р = (Ро + / (г)) ехр [г («г + ф)] , (31)

подставим в уравнение (13) и линеаризуем с учетом соотношений (22). Получим

/ + (1 + гю) / = —¿ае-^(е0+ф0+Ют) [. (Ро) (/ (г — т) + /* (г — т)) +

+ .-^и (г — т) — /* (г — т)) Ро

Решение этого уравнения будем искать в виде пары сателлитов, симметрично отстоящих от основной частоты,

/ = /+е(а* + /-е-ш, где □ - частота модуляции. Подставив в (32) и разделив члены при е±%аь, получим

[1 + г (Ю + □)] /+ = — гае-*(е0+ф0+(ю+а)т) [1 + г (ю — □)] /- = — гае-*(е°+ф0+(ю-а)т)

.1 (Ро) (/+ + /-) + ^^ (/+ — /-)

.1 (Ро) (/- + /+) + (/- — /+)

Отсюда находим характеристическое уравнение

йш (бо + фо + ют)

-г°г1 .1 (¿о) + .к® ) Со8 (бо + фо + ют)

а2 е 2гОт

С учетом соотношений (17) это уравнение несколько упрощается

—гОт

+ю2

—гОт

.1 (¿о)

е-г°г1 .1 (¿о) +

.1 №)Л ¿0 Л

а2е-2гОт ( .1 (¿о) .1 (^о)У

Здесь а*г - порог самовозбуждения. Из уравнения (34) можно найти частоту автомодуляции О и пороговое значение параметра а.

Ограничимся далее анализом в центре зоны генерации, где основная частота юо = 0, а*г = 1 и анализ устойчивости существенно упрощается. Уравнение (34) принимает вид

Очевидно, что это уравнение распадается на два

Можно показать, что первое из этих уравнений отвечает за эволюцию амплитудных возмущений, второе - фазовых. Действительно, рассмотрим сигнал с комплексной амплитудой А = Ао ехр (гфо). Наложим малые возмущения амплитуды а и фазы ф. Поскольку

А = (Ао + а) ег(ф0+ф) (Ао + а + гфАо) егф0,

из сравнения этого выражения с (31) нетрудно понять, что вещественная часть величины / (Ь) описывает возмущения амплитуды, а мнимая - фазы. Из уравнения (33) видно, что при /+ = /—, когда величина / (Ь) чисто вещественна, члены с ,11 (¿0)/^) обращаются в нуль. Наоборот, при /+ = -/* величина / (Ь) чисто мнимая и в нуль обращаются члены, содержащие ,][ (¿о).

Обратимся к анализу амплитудных возмущений. Прежде всего заметим, что с учетом соотношения (23) уравнение (35) можно переписать в виде

Отсюда видно, что если J[ (Fo) > 0, имеется корень вида iQ = X, где инкремент неустойчивости X - вещественное положительное число. Таким образом, состояния равновесия Sn всегда неустойчивы, причем возмущение нарастает экспоненциально.

Перейдем к анализу состояний равновесия Pn, для которых ,J[ (Fo) < 0. Разделим в уравнении (37) вещественную и мнимую части

J1 (F0) F0 /г-, ч /точ

Q =" Jw sin(QT) • (39)

Поделив одно из этих соотношений на другое, получим уравнение

Q = - tg (Qt) , (40)

в центре зоны генерации совпадающее с уравнением (18). Таким образом, частоты автомодуляции удовлетворяют тому же уравнению, что и собственные частоты генератора. Однако, поскольку J[ (F0) < 0, в отличие от раздела 2, теперь необходимо выбирать корни, для которых cos Qt < 0. Если занумеровать их по мере удаления от нуля, как это показано на рис. 2, это будут корни rnn с нечетными номерами n = 2k + 1. Минимальный порог автомодуляции, очевидно, имеют моды с номерами n = ±1, частоты которых наиболее близки к собственной частоте резонатора и по абсолютной величине лежат в пределах п/2 < Qt < п. Из соотношений (38), (39) также получим

Fo J (Fo) | Ji (Fo)

= V1 + Q2, (41)

откуда с учетом (23) можно найти значение параметра а, при котором возникает автомодуляция

= ^ТТо2

=2 (Ро)|. (42)

Уравнение (42) показывает, что для неустойчивости необходимо, чтобы величина (Ро) принимала достаточно большое по модулю отрицательное значение, то есть чтобы амплитудная характеристика усилителя имела падающий участок с достаточно большой крутизной. Такой механизм автомодуляции, следуя [11], будем называть амплитудным. Физическая причина появления падающего участка заключается в кинематической разгруппировке сгустков, которая происходит, когда амплитуда колебаний достаточно велика. Аналогичными причинами вызвана автомодуляция в двухрезонаторном пролетном клистроне с запаздыванием [12-15], в лампе обратной волны [32], в ЛБВ-генераторе с запаздыванием при наличии узкополосного фильтра в цепи обратной связи [10].

Что касается фазовых возмущений, то уравнение (36) с учетом (23) принимает

Это уравнение имеет очевидное решение О = 0, что отражает нейтральную устойчивость решения относительно фазовых возмущений, являющуюся очевидным следствием инвариантности уравнения (13) относительно сдвига фазы на произвольную величину. Это общее свойство систем, описываемых в терминах медленно меняющихся комплексных амплитуд. Решений с положительной вещественной частью у уравнения (43) быть не может.

Результаты приведенного выше анализа аналогичны полученным в работах [12-15,30] для других генераторов клистронного типа. Как показывает численное моделирование, проведенное в этих работах, при превышении порога автомодуляции в окрестности потерявшего устойчивость стационарного состояния в фазовом пространстве образуется предельный цикл. Выходной сигнал начинает периодически осциллировать около стационарного значения. С ростом параметра а наблюдается последовательность бифуркаций удвоения периода автомодуляции и переход к хаосу.

Сделаем оценки порога автомодуляции для субмиллиметрового ОК, описанного в работе [29]. Для этого клистрона нагруженная добротность резонатора Я* = 227.6, рабочие номера зон п = 5 ^ 8. Из этого следует, что безразмерное время запаздывания т ~ 0.06 + 0.1. Для т = 0.1 из уравнения (40) находим О 16.32. Подставив это значение в уравнение (41), найдем, что ¿о 3.61 (анализируется устойчивость основного стационарного состояния Ро). Теперь из соотношения (42) находим порог автомодуляции

а*т 19.55.

Поскольку стартовое значение этого параметра в центре зоны равно единице, получаем, что стартовый ток должен быть превышен почти в 20 раз. Это значительно больше, чем ток, при котором достигается максимальный КПД. Следует ожидать, что при таких токах существенным будет влияние пространственного заряда, которое приведет к подавлению автомодуляции. В целом при практически интересных значениях параметров отражательных клистронов наблюдение автомодуляционных колебаний представляется проблематичным.

В последнее время в связи с развитием технологий вакуумной микроэлектроники [24] появились интересные проекты создания сверхминиатюрных ОК коротковолновой части миллиметрового и субмиллиметрового диапазонов [25-29]. Предполагается, что в качестве источника электронов в таких приборах будет использован многоострийный автоэмиссионный катод. Отметим, что на их работу существенное влияние могут оказывать нестационарные процессы [28,29]. Применим развитую теорию для расчета основных характеристик ОК, основные параметры которого приведены в таблице. Все они взяты из работы [29], за исключением волнового сопротивления резонатора, которое было рассчитано с учетом геометрии резонатора.

Таблица

Основные параметры отражательного клистрона

Ускоряющее напряжение У0 1000 В

Нагруженная добротность Qs 227.6

Волновое сопротивление Z0 77.8 Ом

Расстояние резонатор - отражатель Б 157 мкм

Ширина зазора 22 мкм

Ток пучка 10 10-50 мА

Собственная частота резонатора 300 ГГц

Рис. 5. Геометрия резонатора отражательного клистрона: а = 70 мкм, Ь = 260 мкм, й = 157 мкм, Н = 22 мкм (по данным работы [29])

Если представить резонатор в виде эквивалентного контура, то волновое сопротивление равно Z0 = л/L/C, причем эквивалентная емкость и индуктивность определяются соотношениями [20]

C = пера2 L = цod ^í b h & 2п \\a

где ео и ц0 - диэлектрическая и магнитная постоянные, соответственно; размеры a, b, h и d указаны на рис. 5. Подставив в эти формулы соответствующие значения, получим C и 6.81 х х10"15 Ф, L и 4.13 х 10"11 Гн. Отсюда можно найти собственную частоту fo = lj (2kVlC^) и 300 ГГц и характеристическое сопротивление Zo и 77.8 Ом.

Хотя модели в виде уравнений с запаздыванием качественно верно описывают основные режимы колебаний клистронных генераторов, наблюдаемые в эксперименте, представляет интерес сопоставление с результатами численного моделирования на основе традиционных для СВЧ электроники методов крупных частиц. В данной работе для численного моделирования динамики электронного потока используется метод «частиц в ячейке», получивший широкое распространение в современной электронике СВЧ и физике плазмы [21,33,34]. Данный метод представляется исключительно удобным для моделирования отражательного клистрона, так как позволяет избежать трудностей при описании возвратного движения электронов. Особенностью данного подхода является то, что электронный поток представляется в виде набора макрочастиц с постоянными массой и зарядом. Координаты частиц при этом могут принимать любые значения в пределах системы, тогда как токи, плотности зарядов и электромагнитные поля определены лишь в узлах дискретной пространственной сетки.

Одномерные уравнения движения частицы в нерелятивистском случае запишем в виде

= -П (E (Xm) + Епз (Xm)) ,

где хт, ут - координата и скорость т-й частицы, п = е/т - удельный заряд электрона, Е (хт) и Епз (хт) - высокочастотное поле резонатора и поле пространственного заряда в точке с координатой хт, соответственно. Для численного интегрирования уравнений (44) использовалась известная схема с перешагиванием второго порядка точности, подробно описанная в [33].

Поле пространственного заряда вычисляется следующим образом. Для цилиндрического пучка радиуса гь, движущегося вдоль оси цилиндрической трубы дрейv

фа, хорошо известно приближенное соотношение для поля пространственного заряда [35], основанное на аппроксимации поля заряженного диска экспоненциально спадающей функцией,

Епз (х) = -— р (У) (х — х&) Ах&.

Здесь р - плотность заряда, к± = а/гь -постоянная, которая характеризует скорость спадания сил пространственного заряда. Параметр а ~ 1 ^ 2 в зависимости от соотношения между радиусами пучка и трубки дрейфа [35]. Таким образом, хотя движение частиц одномерное, численная модель учитывает ограниченность пучка в поперечном направлении. Подобные модели принято называть по-луторамерными.

Программа численного моделирования осуществляет расчет движения электронов в пространстве резонатор-отражатель и их самосогласованного взаимодействия с полем резонатора. На рис. 6, а, б приведен пример результатов расчета: показаны так называемый фазовый портрет пучка (то есть зависимость скоростей частиц от координаты) и зависимость сгруппированного тока от координаты в некоторый фиксированный момент времени в установившемся режиме. Также показана зависимость выходной мощности от времени в процессе установления колебаний (рис. 6, в).

Начнем с изучения режимов самовозбуждения генератора, которые обсуждались в разделе 2. Разрешив уравнение (18) относительно 6о с учетом определения величины т, получим

агс^е (ю) + 2пк ео = , , „»^ \\--Фо1 + ю/(2д,)

Из уравнения (8) выразим Уг

у = У0( ^ — 1

Рис. 6. Примеры фазового портрета пучка (а) и распределения тока (б) вдоль координаты в фиксированный момент времени в установившемся режиме. Зависимость выходной мощности от времени в процессе установления колебаний (в). Вертикальными штриховыми линиями показано положение сеток резонатора. Ток пучка 15 мА, напряжение на отражателе 850 В

а из уравнения (14) с учетом (19) - стартовый ток пучка

Соотношения (46) и (47) позволяют построить зависимость частоты генерации от Уг, а соотношения (47) и (48) - границы самовозбуждения на плоскости параметров /о, Уг. Соответствующие графики приведены на рис. 7. Фактически, это кривые рис. 3, перестроенные в координатах /о, Уг.

Результаты численного моделирования без учета пространственного заряда (светлые кружки) хорошо согласуются с теоретическими расчетами (рис. 7, а). При учете сил пространственного заряда граница самовозбуждения незначительно смещается в область меньших токов. Этот эффект вызван изменением статического распределения потенциала в пространстве резонатор - отражатель (более подробное обсуждение данного вопроса можно найти в [19, 36]). Что касается значений частоты генерации, рассчитанных вдоль границы самовозбуждения, то они полностью совпадают с теоретическими значениями, как с учетом, так и без учета пространственного заряда (рис. 7, б).

Перейдем к анализу нелинейных характеристик генератора. Построим теоретические зависимости выходной мощности от тока пучка, для чего следует воспользоваться соотношениями (26) и (23). При этом необходимо из соотношения (23) выразить ток через амплитуду стационарной генерации Ро. На рис. 8 приведены зависимости Рвых (/о) для центров зон генерации с номерами 5 и 8. Как видно из рисунка, стартовое значение тока пучка уменьшается с ростом номера зоны. С ростом тока значение выходной мощности растет, приближаясь к мощности насыщения Рнас.

Зависимости, полученные в результате численного моделирования без учета пространственного заряда, вначале хорошо согласуются с теоретическими, а затем начинают несколько отклоняться вниз. Это обусловлено тем, что теоретическая модель основана, по сути, на формулах возбуждения резонатора заданным током и не учитывает самосогласованный характер взаимодействия электронов с полем резонатора, а также влияние нелинейности скоростной модуляции в зазоре. При учете пространственного заряда насыщение выходной мощности происходит при гораздо более низком токе, после чего она начинает медленно уменьшаться с ростом /о.

Рис. 7. Зависимости стартового тока 10 (а) и частоты генерации / (б) от напряжения на отражателе Уг. Сплошные линии - результаты теоретического расчета, светлые кружки - результаты численного моделирования без учета пространственного заряда, темные кружки - с учетом пространственного заряда

Здесь сказывается влияние динамических эффектов пространственного заряда, то есть разгруппировывающее действие сил кулоновского отталкивания. Максимальная выходная мощность достигается при отношении тока пучка к стартовому 1о/13г ~ 3.

На рис. 9 приведены зависимости выходной мощности генератора Рвых от напряжения на отражателе У при токе пучка 30 мА. Сплошной линией показана теоретическая зависимость. Для построения ее численно решалось уравнение (23) относительно амплитуды ^0 при различных значениях частоты генерации. Затем полученное значение подставлялось в выражение (26) с учетом (46). Это давало зависимость выходной мощности от угла пролета 6о, а с учетом соотношения (47) -зависимость выходной мощности от Уг.

Также на рис. 9 приведены результаты численного расчета без учета и с учетом пространственного заряда (светлые и темные кружки, соответственно). Так же как и на рис. 8, результаты расчета без учета пространственного заряда хорошо согласуются с теоретическими в области небольших мощностей, однако в сильно нелинейных режимах теория дает завышенные значения. Учет пространственного заряда приводит к заметному уменьшению максимальной мощности.

Рис. 8. Зависимость выходной мощности от тока пучка для зон с номерами 5 (а) и 8 (б). Сплошная жирная линия - результаты теоретического расчета, светлые кружки - результат численного моделирования без учета пространственного заряда, темные кружки - с учетом пространственного заряда

Рис. 9. Зависимость выходной мощности от напряжения на отражателе при токе пучка 30 мА. Сплошная линия - результаты теоретического расчета, светлые кружки - результаты численного моделирования без учета пространственного заряда, темные кружки - с учетом пространственного заряда

Рис. 10. Зависимость выходной мощности от времени в процессе установления колебаний напряжения на отражателе при токе пучка 40 мА и напряжении на отражателе 450 В

Можно отметить, что при учете пространственного заряда зоны генерации расширяются, что согласуется с результатами, приведенными на рис. 7, а. Более того, можно заметить, что 7 и 8-я зоны фактически сомкнулись друг с другом. На рис. 10 показана зависимость выходной мощности от времени в этой области, на которой хорошо виден длительный осциллирующий переходный процесс, связанный с эффектом конкуренции мод (ср. рис. 6, в). Такое поведение типично для систем с запаздыванием и, в частности, для генераторов клистронного типа, для которых с ростом параметра возбуждения зоны генерации расширяются и начинают перекрываться [13-16]. В области перекрытия имеет место бистабильность, то есть возможна генерация как одной, так и другой моды, в зависимости от начальных условий. При еще больших значениях тока пучка можно наблюдать аналогичное перекрытие других зон.

Заключение

Основная задача настоящей работы - продемонстрировать применение аппарата дифференциальных уравнений с запаздыванием для построения нестационарной теории генераторов СВЧ-диапазона. На основе развитой теоретической модели проведены расчеты основных выходных характеристик отражательных клистронов субмиллиметрового диапазона, а также проведено их сопоставление с результатами численного моделирования генератора с помощью метода «частиц в ячейке». Теоретическая модель достаточно хорошо согласуется с результатами численного моделирования без учета влияния сил пространственного заряда: при относительно небольших токах пучка численные результаты полностью совпадают с теоретическими; при значениях тока, превышающих стартовые в 2-3 раза, влияние нелинейных эффектов, не учитываемых в теоретической модели (нелинейность скоростной модуляции, самосогласованное взаимодействие в зазоре резонатора), приводит к снижению выходной мощности, хотя хорошее качественное согласование с теоретической моделью сохраняется.

Численное моделирование показало, что силы пространственного заряда оказывают существенное влияние на динамику генератора. Во-первых, пространственный заряд изменяет распределение статического потенциала тормозящего поля, что приводит к небольшому снижению стартовых токов. Кроме того, при больших значениях тока пучка динамические эффекты пространственного заряда ухудшают группировку, ограничивают рост выходной мощности и препятствуют возникновению автомодуляции. Следует все же заметить, что численное моделирование позволяет наблюдать автомодуляцию, если перейти к зонам с более высокими номерами, которые характеризуются более низкими стартовыми токами. Однако поскольку мощность падает с ростом номера зоны, эти режимы большого практического интереса не представляют. Нестационарные эффекты при определенных условиях проявляются также в виде конкуренции мод, приводящей к усложнению переходных процессов. Тем не менее возникновение автомодуляции и появление сложных колебательных режимов для рабочих режимов отражательных клистронов в целом нехарактерны.

Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ (№ 08-02-00621) и АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы» (№ 2.1.1/1738). Работа Н.М. Рыскина также поддержана фондом некоммерческих программ «Династия».

Библиографический список

Саратовский государственный Поступила в редакцию 4.06.2010

университет им. Н.Г. Чернышевского После доработки 2.08.2010

REFLEX KLYSTRON AS AN EXAMPLE OF A SELF-OSCILLATING DELAYED FEEDBACK SYSTEM

V.N. Titov, D.V. Volkov, A.V. Yakovlev, N.M. Ryskin

Nonstationary theory of the reflex klystron oscillator based on differential equation with delay is developed. Analysis of self-excitation conditions, steady-state oscillation regimes and their stability is presented. Application of the developed theory for calculating of output characteristics of micromachined submillimetre-band reflex klystron is presented as well. Theoretical results are compared with the results of numerical simulation based on the particle-in-cell method.

Титов Владимир Николаевич - родился в поселке Степное Саратовской области в 1974 году. Окончил с отличием физический факультет СГУ (1997). Защитил диссертацию на соискание степени кандидата физико-математических наук по специальности «Радиофизика» (2001). В 2002-2003 годах прошел стажировку в Сеульском национальном университете (Ю. Корея). Доцент кафедры электроники, колебаний и волн СГУ Область научных интересов включает численное моделирование нестационарных процессов в приборах СВЧ-электроники, исследование нелинейной динамики в распределенных системах различной природы. Автор более 30 статей по данной тематике.

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского Е-таП:ТйоуУ^@тСэ^и.ги

Волков Дмитрий Викторович родился в 1987 году. С 2002 по 2004 год обучался в Лицее №1 города Балаково. В 2004 году поступил в Саратовский государственный университет на факультет нелинейных процессов, который окончил в 2009 году. Принимал участие в студенческих научных конференциях. Область научных интересов - исследование нестационарных процессов в распределенных системах СВЧ-электроники с запаздывающей обратной связью.

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского Е-та11:уо1коу-^у@та11.ги

Яковлев Антон Валерьевич - родился в Чимкенте, Казахстан (1986). Окончил с отличием факультет нелинейных процессов СГУ (2009). Аспирант кафедры нелинейной физики СГУ. Область научных интересов - теоретический анализ и численное моделирование нестационарных процессов в приборах СВЧ-электроники. Автор ряда публикаций по данной тематике.

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского Е-таП:Уакоу1еуАУ@уаМех.ги

Рыскин Никита Михайлович - родился в 1966 году в Саратове. Окончил физический факультет Саратовского госуниверситета (1991). Защитил кандидатскую (1996) и докторскую (2005) диссертации. С 1997 года работает на факультете нелинейных процессов СГУ, в настоящее время - профессор кафедры нелинейной физики. Область научных интересов - нелинейная динамика распределенных систем, нелинейные волны и солитоны, ваккумная сверхвысокочастотная электроника и микроэлектроника. Имеет более 100 научных публикаций по указанным выше направлениям, в том числе учебные пособия «Нелинейные волны» (в соавторстве с Д.И. Трубецковым; М.: Физматлит, 2000) и «Нелинейные колебания» (в соавторстве с А.П. Кузнецовым и С.П. Кузнецовым; М.: Физматлит, 2002, 2005).

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского E-mail: RyskinNM@info.sgu.ru