Спросить
Войти
Электронный научный журнал "Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках" http://mathmod.esrae.ru/ URL статьи: mathmod.esrae.ru/15-52 Ссылка для цитирования этой статьи:
Зеленая А.С., Изгиб упругой трехслойной прямоугольной пластины со сжимаемым заполнителем // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2017. №3_
УДК 539.3
ИЗГИБ УПРУГОЙ ТРЕХСЛОЙНОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ СО СЖИМАЕМЫМ ЗАПОЛНИТЕЛЕМ
Зеленая А.С.
Белорусский государственный университет транспорта, Беларусь, Гомель,
lady-nastia@mail.ru
BENDING OF ELASTIC THREE-LAYER RECTANGULAR PLATE WITH COMPRESSIBLE FILLER
Zelenaya A.S.
Belarusian State University of Transport, Belarus, Gomel, lady-nastia@mail.ru
Аннотация. Исследован изгиб несимметричных по толщине упругих трехслойных пластин со сжимаемым заполнителем. Кинематические гипотезы основаны на гипотезе ломаной линии: для внешних слоев принимаются гипотезы Кирхгофа, в жестком сжимаемом заполнителе деформированная нормаль остается прямолинейной. Равномерно распределенная нагрузка приложена к внешней поверхности первого несущего слоя. Получена система уравнений равновесия и ее аналитическое решение в перемещениях. Проведен численный анализ решения.
Abstract. The bending of the elastic three-layered plates with the compressible filler is asymmetric in thickness. Kinematic hypotheses are based on the hypothesis of a broken line: Kirchhoffs hypotheses are accepted for the outer layers, in the rigid compressible filler the deformed normal remains rectilinear. A uniformly distributed load is applied to the outer surface of the first carrier layer. A system of equilibrium equations and its analytical solution in displacements are obtained. Numerical analysis of solutions is carried out.
В условиях деформации изгиба трехслойные конструкции, которые состоят из двух несущих слоев и сжимаемого заполнителя, оказываются наиболее рациональными, то есть близкими к оптимальным с точки зрения
обеспечения минимума весовых показателей при заданных ограничениях на прочность и жесткость.
В монографии [1] исследовано статическое и динамическое деформирование трехслойных конструкций, связанных с упругим основанием. Статьи [2-4] посвящены исследованию трехслойных прямоугольных и трехслойных круговых пластин. Работы [5-6] посвящены изучению статического и динамического деформирования многослойных конструкций. Изгиб и колебания трехслойного стержня рассмотрены в работах [7-11]. В статье [12] исследованы радиальные колебания трехслойной цилиндрической оболочки со сжимаемым заполнителем. В работе [13] рассматривается осесимметричная задача о гидроупругих колебаниях стенок канала с пульсирующим слоем вязкой несжимаемой жидкости. Статья [14] посвящена исследованию гидродинамической реакции тонкого слоя вязкой несжимаемой жидкости, сдавливаемого непроницаемыми стенками. В статьях [15-16] исследована задача гидроупругости применительно к трехслойным элементам конструкций. В монографии [17] исследованы математические вопросы гидроупругости трехслойных элементов конструкций.
Постановка задачи. Рассмотрим трехслойную пластину со сжимаемым заполнителем, которая представлена на рис. 1. Систему координат х, у, г свяжем со срединной плоскостью заполнителя. Принимаем, что для изотропных несущих слоев справедливы гипотезы Кирхгофа. В жестком заполнителе применим точные соотношения теории упругости с линейной аппроксимацией перемещений его точек от поперечной координаты г. Учитываем, что на границах контакта перемещения непрерывны. Материалы несущих слоев несжимаемы в поперечном и продольном направлении, в заполнителе учитывается обжатие. Деформации малые.
На внешнюю поверхность первого несущего слоя действует произвольная распределённая нагрузка, проекции которой на координатные оси: q(х,у),рх(х,у), ру(х,у). За искомые функции принимаем продольные
перемещения их (х, у), ыку (х, у) и прогибы wk (х, у) срединных поверхностей
несущих слоев ^ = 1,2), после этого находим деформации в слоях.
С помощью введенных гипотез продольные перемещения и(k)(х, у, 2) и прогибы w(k)(х,у,2) в слоях выражаются через искомые функции и1х(х,у), и1 у (х, у), и2 х (х, у), и2 у (х, у), w1( х, у), w2( х, у) следующими соотношениями (k = 1,2,3):
• в несущих слоях (с < г < с + h1)
их(1) = и1х
г - с-иу(1) = и1 у
w(2) = W2 (-с - к < г <-с ), иу^ = и2у v 2
wl,x , w(1) = Wl;
г - с —1 2 у
^у , их{2) = и2х
г + с + — 2
г + с + — 2
в заполнителе (-с < г < с)
л гл г V 1 1-К
—и, + — w1
Л с +
с /V 2 1у 4 иу /V с ,, сУч2 4 У V суч
с у ч
- и2 у - — W2, у
&1 + г4
w1 +
&1 - гЛ
ч с у 2ч с у
где г - расстояние от рассматриваемого волокна до срединной линии заполнителя.
Компоненты тензора деформаций следуют из соотношения Коши [18, с. 22], напряжения - из закона Гука. Внутренние силы и моменты, отнесенные к единице длины, вводятся соотношениями:
^ = КМг, М« = , Ы*> dг, муу> = К>гdг,
<) ^хУ-й-, 0_у!к) = R>d-, МП& = К>аг, ЫхЗ&й-,
муз = /О$3>2ёг, Qx2(3) = К(ёг, Qy.
(3) _ Г„(3)
где а^, - компоненты тензора напряжений; интегралы берутся по
толщине ^го слоя.
Для связи тензоров напряжений и деформаций в слоях рассматриваемой пластины используем соотношение закона Гука в девиаторно-шаровой форме:
s(k) = а(к) = 3^ (/, ] = у, 7, к = 1,2,3), (3)
где - Gk сдвиговой модуль упругости материалов, э(к) - компоненты девиатора
тензора деформаций, Кк - объемный модуль упругости материалов, е(к) шаровая часть тензора деформаций.
Компоненты тензора напряжений записываются в виде: при к=1, 2:
= К+вк + к;8<у>, аук? = КХ? + К;в®, < = 2G к в„.
Для третьего слоя
о£> = К3+4? + + К::Еу,>, о® = 20 3, о® = 2G:^, (4)
где К+ = К„+1 Gk, К- = К-А Gk.
Используя вариационный принцип Лагранжа, получим уравнения равновесия рассматриваемой трехслойной пластины
ЪА = ЪЖ, (5)
где ЪА, ЪЖ - вариации работы внешней и внутренней сил. Вариация работы внешней поверхностной нагрузки
ЪА = Я (Рх (Ъи1х - ^ ,х ) + Ру (Ъи1 у - ^ 5W1,у ) + Х ё У . (6)
Вариация работы внутренних сил упругости
Ё I+ <>88(к> + 2оХУ)88<У»)<!*
к=1 кк
+21 + <£>£> + а>0>) а х а у. (7)
Подставив (5), (6) в (7) была получена система шести дифференциальных уравнений равновесия пластины в усилиях. Из нее, с помощью соотношений (1), (3) и (4), внутренние усилия и моменты (2) выражаем через функции и1х,
и2х, и1 у, и2у, w1 , . В результате получим систему дифференциальных
уравнений, описывающих перемещения в упругой трехслойной пластине со сжимаемым заполнителем:
а1и1х : а1и2х : а4и1х ,хх -а5и2х,хх -°19и1х,уу ~а18и2х,уу -°21и1у ,ху ~а23и2у ,ху +
+а2^х + а3^х -2а24^1,хуу + а25^2,хуу -2абЩхх +а7^ххх = Рх , х + а1и2х - а5и1х,хх -а9и2х ,хх -а18и1х ,уу -а20и2х,уу -а23и1у ,ху ~а22и2: :аl0W1,х -а17,х -а24^хуу +2а25^хуу -а6^ххх +2а7^ххх = 0 ,
а1и1 у а1и2у а4и1у ,уу а5и2у,уу а19и1у ,хх а18и2у ,хх °21и1х,ху °23и2х ,ху + + а2у +aзW2,у -2а24W1 хху +a25W2 хху -2а№ууу +а7 W2,ууу = Ру ,
а1и1у + а1и2у а5и1 у,уу а9и2у,уу а18и1у ,хх а20и2у ,хх а23и1х ,ху а22и2х,ху -а10W1,у - а17^у -а24W1,хху +2а25^хху -абW1,ууу +2а7^ууу = 0 ,
-а2и1х ,х -а2и1 у ,у +а10и2х ,х +а10и2у ,у +2аби1х ,ххх +аби2х ,ххх +2аби1 у ,ууу + + аби2 у, ууу +2а24и1х, хуу +а24и2 х ,хуу +2а24и1у ,хху + а24и2у ,хху + а11^,хх +
-а16^уууу + а26wl,ххуу -а28^ххуу +а8W1 - а8^ = Ч +
Рх ,хк1 , ру ,ук1
■ +
а3и1у , у а3и1х , х +а17и2 у , у +а17и2 х , х а7и1у , ууу а7и1х ,ххх 2а7и2 у , ууу& 2а7и2х,ххх -2а27и2у ,хху -а25и1у,хху -2а25и2х ,хуу -а25и1х,хуу -а12хх
а12W1,уу +а14^хх +а14W2,уу -а16W1,xxxx -al6W1,yyyy +al3W2,xxxx + + а13^уууу -а28W1,ххуу + а27W2,xxyy -a8W1 + ^2 = 0,
где а1 (i = 1,...,28) - коэффициенты, выражающиеся через объемный Кк и сдвиговой Gk модули упругости материалов, и геометрические параметры
слоев пластины:
а^ — ; ао
, 2с у
+ ■
а4 = К1 к1 +
К+.
а9 = К2 к2 +
К+с .
К3+ск1 . а = К3+ск2 .
+ •
К3 к 53с (л к а11 --1 + —^
Г и \\
К-(К + н2), а3с г , к,
+ ■
^ к2Л 1 + —
к2+к3 + К+ск2
а14 = &
К3 к2 53с
К+к3 + К+ск1 .
; а19 = к1 + -3 с ; а20 = к2 + | с ;
G3 c K3c G3 ch3 K3 ch3 G3 ch2 K3ch1
a23 = ^ + z~; a24 = z + 7 ; a25 = z + 7 ;
a = K-h3 , K3-ch,1 G, h IG3 ch,1 ;
a16 =--1------,
_ -5 _ ^y -л _
K2 h K3 ch1 G2 hz 1G3 ch1 G3 ch3h1 ^ K3 ch3h2
a27 = 7 + I + I + I ; a28 =& &
Краевая задача (8) об изгибе пластины замыкается добавлением граничных условий.
Решение краевой задачи в перемещениях. Решение будем искать методом Бубнова-Галеркина. Для этого искомые перемещения представляем в виде разложения в двойные тригонометрические ряды, которые автоматически удовлетворяют граничным условиям
ппх . пту ^ ппх . пту
u3x = X U3xmn COS-sin^, u2x = X U1 xmn COS-sin
a b n m=n a b
n,m=0 a b n,m=0
^ TT . nnx nmy rT . nnx nmy
U3y = X U3ymn Sin-& U1y = X U1 ymn Sin-^OS
m,n=0 a b m,n=0 a
^ TTr . nnx . nmy ® . nnx . nmy W3 = X W3mn Sin-^ = X W1mn Sin-^"T"& (9)
n,m=0 a 0 n,m=0 a 0
ГДе U3xmn , U1 xmn , U3ymn , U1 ymn , W3mn , W1mn - искомые амплитУДы перемещений
прямоугольной трехслойной пластины со сжимаемым заполнителем.
Положим продольную нагрузку px = 0, py = 0. Поперечную нагрузку q
представим в виде разложения в двойной тригонометрический ряд:
^ . nnx . nmy 4 "Л , ч . nnx . nmy , , q =X qmn Sin-sin ——, qmn = —JJ q(x,y)sin-srn—— dxdy. (30)
n,m=0 a o ab 0 0 a b
После подстановки перемещений (9) и нагрузки (30) в систему уравнений равновесия (8) и необходимых преобразований получим систему линейных алгебраических уравнений для определения искомых амплитуд перемещений
U3xmn , U1 xmn , U3ymn , U1 ymn , ^lmn , ^1mn :
где коэффициенты bt выражаются через величины at и зависят от параметров m и n.
Таким образом, получено решение краевой задачи об изгибе прямоугольной упругой трехслойной пластины со сжимаемым заполнителем.
Численный параметрический анализ. Принимается, что пакет трехслойной пластины составлен из материалов Д16Т-фторопласт-Д16Т, толщины слоев к =0,04 м, /г, = 0,02 м, /73=0,2м. Механические характеристики материалов взяты в монографии [18, с. 64, 75]. Нагрузка равномерно распределена по всей поверхности пластины интенсивностью ¿7 = -2МПа, размеры пластины а = 1м, Ь = 1м. При суммировании рядов (9) принималось 50 членов ряда.
и1], м
Рис.2.
Рис.2 иллюстрируют изменение прогибов и продольных перемещений в слоях пластины вдоль оси х (а = 1 м, Ь = 1 м, у = 0,5Ь) с относительными толщинами несущих слоев - /1 = 0,04 м, / = 0,02 м при различных толщинах заполнителя. Кривые соответствуют следующим значениям 1 - / = 0,04 м, 2 -/ = 0,07 м, 3 - / = 0,1 м.
Очевидно, что увеличение толщины заполнителя приводит к уменьшению прогибов первого несущего слоя, что подтверждает рис.2.
\\\\>\\, м
\\\\\\ \\\\ \\ 3 /7
\\ X \\ \\ 2 \\ 1
\\\\ \\\\ \\ / /7 // / / / 7
ч \\ \\ 4 3 ./ / /
\\ \\ 2
Рис.3.
На рис.3 показано изменение прогиба первого слоя вдоль оси х при
различных значениях у. Относительные толщины слоев - /?, =0,01, И0 =0,04,
/73=0,2м. Размеры пластины а = 1м, Ь = 1м. Кривые соответствуют
Ъ Ъ ЪЪ
следующим сечениям: 7 - у = — , 2 - У = у = — .Из графика видно, что
максимальное значение прогиба достигается в сечении у = 0,5Ь .
V \\\\ л ч 1 // // У /&
\\ 4 ч\\ ^ \\\\ \\ 2 / f // // *
\\\\ \\Х ч.. — &х. 3 / У / // ^ у ■Кл. /
Рис.4.
На рис.4 показано изменение прогибов первого слоя w1 вдоль оси x (a =
h2 = 0,04, h = 0,2м.
При увеличении длины пластины b с 1 м до 2м максимальный прогиб увеличивается на 61%, при увеличении длины пластины b с 2 м до 4 м - на 29%, при увеличении длины пластины с 4 м до 6 м величина прогиба увеличивается на 11,2%. Отличие максимальных прогибов на кривой 5 (b = 10 м) от кривой 4 (b = 6 м) составляет менее 1%.
Дальнейшее увеличение размера b не приводит к количественному изменению прогибов в центре пластины, изгиб пластины близок к цилиндрическому.
Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2005. № 1. С. 16-22.
