ВОЛНЫ В ДВУХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ УПРУГИХ СООСНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ, СОДЕРЖАЩИХ ВЯЗКУЮ ЖИДКОСТЬ МЕЖДУ НИМИ И ОКРУЖЕННЫЕ УПРУГОЙ СРЕДОЙ

Электронный научный журнал "Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках" http://mathmod.esrae.ru/ URL статьи: mathmod.esrae.ru/12-41 Ссылка для цитирования этой статьи:

Евдокимова Е.В., Могилевич Л.И. Волны в двух геометрически нелинейных упругих соосных цилиндрических оболочках, содержащих вязкую жидкость между ними и окруженные упругой средой // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2017. №2

Выполнено при поддержке гранта РФФИ № 16-01-00175-а._

УДК 532.516:539.3

ВОЛНЫ В ДВУХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ УПРУГИХ СООСНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ, СОДЕРЖАЩИХ ВЯЗКУЮ ЖИДКОСТЬ МЕЖДУ НИМИ И ОКРУЖЕННЫЕ

УПРУГОЙ СРЕДОЙ

Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.,

Россия, Саратов, eev2106@mail.ru

Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.,

Россия, Саратов, mogilevich@sgu.ru

WAVES IN TWO GEOMETRICALLY NONLINEAR ELASTIC COAXIAL CYLINDRICAL SHELLS, CONTAINING VISCOUS LIQUID BETWEEN THEM AND SURROUNDED BY AN ELASTIC MEDIUM

Evdokimova E.V. , Mogilevich L.I. 1Yuri Gagarin state technical university of Saratov, Russia, Saratov, eev2106@mai.ru 2Yuri Gagarin state technical university of Saratov, Russia, Saratov,

mogilevich@sgu.ru

Аннотация. В современной волновой динамике одним из важных направлений является изучение поведения волн деформаций в упругих оболочках. Известны математические модели волновых движений в бесконечно длинных геометрически нелинейных оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость, на базе связанных задач гидроупругости, описываемых уравнениями динамики оболочек и вязкой несжимаемой жидкости, в виде обобщенных уравнений Кортевега де Вриза (КдВ). Также методом возмущений по малому параметру задачи получены математические модели волнового процесса в бесконечно длинных геометрически нелинейных соосных цилиндрических упругих оболочках. Данные модели отличаются от известных учетом наличия несжимаемой вязкой жидкости между оболочками. Они построены на основе связанных задач гидроупругости, которые описываются уравнениями динамики оболочек и несжимаемой вязкой жидкости с соответствующими краевыми условиями, в виде системы обобщенных уравнений КдВ. В представленной статье проведено исследование модели волновых явлений в двух геометрически нелинейных упругих соосных цилиндрических

оболочках Кирхгофа-Лява, содержащих вязкую несжимаемую жидкость между ними, окруженных упругой средой, действующих в нормальном, так и в продольном направлении.

Annotation. The investigation of deformation waves behavior in elastic shells is one of the important trends in the contemporary wave dynamics. There exist mathematical models of wave motions in infinitely long geometncally non-linear shells, containing viscous incompressible liquid based on the related hydroelasticity problems, which are derived by the she&! dynamics and viscous incompressible liquid equations in the form of ceneralized Korteweg - de Vnes (KdV) equations. In addition, mathematical models or the wave process in infinitely long geometncally non-linear coaxial cylindrical elastic shells are obtained by the perturbation method. These models differ from the known ones by the consideration of incompressible liquid between the shells, based on the lelated hydroelasticity problems. These problems are described by shell dynamics and viscous incompressible liquid equations with corresponding edge conditions in the form of generalized KdV equation svstem. The paper presents the investigation of wave occurrences in two geometrically non-linear elastic coaxial cylindrical shells of Kirchhoff-Love type, containing viscous incompressible liquid between them, and surrounded by an elastic Medium, acting in both normal and longitudinal directions.

В современной волновой динамике одним из важных направлений является изучение поведения волн деформаций в упругих оболочках. Для абсолютно жесткой трубы с круговым сечением ламинарное движение вязкой несжимаемой жидкости под действием гармонического по времени перепада давления исследовано в [1]. Для трубы - упругой цилиндрической оболочки -проведено аналогичное исследование в [2-5].

Известны математические модели волновых движений в бесконечно длинных геометрически нелинейных оболочка [6], содержащих вязкую несжимаемую жидкость, на базе связанных задач гидроупругости, описываемых уравнениями динамики оболочек и вязкой несжимаемой жидкости, в виде обобщенных уравнений Кортевега де Вриза (КдВ). Выявлены эффекты влияния вязкой несжимаемой жидкости на поведение волны деформации в оболочке в зависимости от коэффициента Пуассона материала оболочки. В частности, при наличии жидкости в оболочке из неорганических материалов (различные трубопроводы в технологических сооружениях) выявлен экспоненциальный рост амплитуды волны. В случае органического материала (кровеносные сосуды) наличие жидкости приводит к быстрому затуханию волны.

Методом возмущений по малому параметру задачи получены математические модели волнового процесса в бесконечно длинных геометрически нелинейных соосных цилиндрических упругих оболочках [7], отличающиеся от известных учетом наличия несжимаемой жидкости между оболочками, на основе связанных задач гидроупругости, которые описываются уравнениями динамики оболочек и несжимаемой вязкой жидкости с соответствующими краевыми условиями, в виде системы обобщенных

уравнений КдВ. Выявлены эффекты влияния несжимаемой вязкой жидкости между оболочками на поведение волны деформаций в соосных оболочках. Наличие волны деформаций во внешней оболочке приводит к возникновению волны деформаций во внутренней оболочке, которой не было в начальный момент времени, и происходит «перекачка энергии» (через слой жидкости) от внешней оболочки к внутренней, которая сопровождается немонотонным падением амплитуды волны во внешней оболочке и, как следствие, немонотонным снижением скорости её распространения. При этом во внутренней оболочке происходит немонотонное увеличение амплитуды. Вследствие колебаний амплитуд и скоростей с течение времени их скорости и амплитуды выравниваются.

Рассмотрим две соосные бесконечно длинные упругие оболочки на рис. 1, между которыми находится вязкая несжимаемая жидкость. Введем следующие

обозначения: 5

ширина щели, занимаемой жидкостью, R1 = R(1)

¡г(2) = О (2) + ¡0_

внешний радиус

внутренний радиус внешней оболочки; О2 = О

внутренней оболочки; О3 = О(2) —2— внутренний радиус внутренней оболочки,

О(1), О(2) - радиусы срединных поверхностей внешней и внутренней оболочек; ¡0(1), ¡0(2) - их толщина, р -плотность жидкости, р - давление в жидкости;

укинематический коэффициент вязкости. Все механические перемещения внутренней оболочки обозначены индексом (2) сверху, а внешней - индексы (1).

Рис.1

Записывая уравнения движения элемента цилиндрической оболочки в перемещениях для модели Киргофа-Лява, считаем материал упругим с линейной зависимостью интенсивности напряжения < от интенсивности

деформацией е{ [9]

< = Ее,

где Е - модуль Юнга.

Уравнение движения несжимаемой вязкой жидкости и уравнение неразрывности в цилиндрической системе координат {г,в, х)в случае осесимметричного течения [8] записывается в виде

дКх дг

г , 17" г г

+ К

дкг 1 др (д2кг 1 дкг д2к кЛ

■ +--— = V

+ ■ + ■

дг2 г дг дх2 г2

дх р дг

дКх : 1 др___(д2Кх ,1 дКх : д2¥х ^

• +--— = V

дх р дх

г дг дх 2

дКг Кг дКх п —- + — +—- = 0 дг г дх

На границе оболочек и жидкости на рис. 1 при г=гУг выполняются условия прилипания жидкости [8]

К = дЖ

дг дг

Здесь и(г)- продольное упругое перемещение оболочки по оси х; Ж(г)- прогиб оболочки, положительный к центру кривизны; г - время; р- давление; р - плотность, V- кинематический коэффициент вязкости жидкости; Ух, Уг - проекция на оси цилиндрической системы координат вектора скорости; х, г - цилиндрические координаты.

Уравнения динамики оболочки записываются в виде [10]

о h(г) с 2

Иоо "0 с0

и(г) +1 ихг)2 +1 )2 + -х 2 х 2 х 24

(г)2 (г)2 Жхх - V0

- р "(г)и(г)И0 "0 и гг

к(г)2 и(г) - V ^ -0 и(гГ

р "(г)с2 И 00" 0 с 0

^ 12 R ^)2

(2 - г) = -д()

р0 "0г) с №х) + ихгжх))

Г (г) Л

и (г ) + 1 и О)2 + 1 Ж О)2 + Ж (г)2 -ц Е. их + 2их + 2 Жх + 24 Жхх М0

( 1 2 1 2 "

»и?+2 »и? + 2 »и? + ^

О "(г)с2 И0"0 с0

--уу & (2 - I) + р0„0 Г, гг

+ к^0"0 с° Ж( г)

Ж( г) (2 - г) + р0"0г)Жг((г) = (-1)г-1 Ч

Здесь "0г)- толщина оболочек, ¿и0- коэффициент Пуассона, р0- плотность, и(г),Ж( г)- продольное перемещение и прогиб, положительный к центру кривизны, х- продольная координата, г- время, ч\\, чп - напряжение со стороны жидкости, которая находится между оболочками. Нижние индексы у перемещений обозначают соответствующие частные производные,

Р Ь(1) с2 1 12

?О&)2 р Ь(!)с2

Я р0Ь0 с0 и(1) _ к и(I)3

Р Ь (1) с 2 г^ 0 Ь0 с0

м 12 я (1)2

- реакции окружающей среды в

нормальном и продольном направлениях.

дп = [Ргг «»(_П(0,пг)+ Рп ),Г)]

Чх = [р п (0,пг)+ Рх cos(

[_И(Г), Г

О дК^ о Г дКх дК Ргг =_р + 2ру—, Р„ = рт/ дг

дг дх

Рхх =_Р + 2ру

В подходе Эйлера имеем:

, _ (Г) _. Я; _ ж(0 , _ (0 т. Я _ ж(0 дж(0

^(_п(г), пг) = ._.—, ^(_п и), /) = —¡—--М М дх

^(_п, пг) =

, cos(_n, Г) = _

Г дЖ(Г) ^

Г Гдж(;) ^2^2

V V - У у

V V У У

= (? _ ж(0)

Г Гдж(;) ^ 1+

V V У У

Здесь п - нормаль к срединной поверхности ¡-й оболочки, пг, Г- орты базиса (г,в, х) цилиндрической системы координат, центр которой расположен на геометрической оси. Если снести напряжения на невозмущенную поверхность оболочки, то можно считать _ п = пг и пг) = 1, Г) = 0.

упругими оболочками.

Принимая длину волны I за характерный размер и обозначая амплитуду продольного перемещения ит и прогиба wm. Переходим к безразмерным переменным:

Ж(Г) = wmuf, и(Г) = ити«, t* = ^t, х* = х, с0 =

т 3 & т 1 ? и

Р0 (1 _^02 )

Здесь с0- скорость звука в оболочке.

Полагаем

и- = * = о(1), ^ = 0(е12), = 0(а), = 0(е).

I I К & Я(;) Я

Введем полухарактеристические (бегущие) координаты и растянутое время:

£ = х* _ ^*, Т = *, (8)

где с - неизвестная безразмерная скорость волны. Тогда, разделив обе части 11 Е"(г) 1 го уравнения (4) на 0

— - р0 "0г) с02 получим:

/ 1 - . /

и и (г) + 1 I и•

и14 - и0 .. г,(г) и3 + <

,2 + Ч

» и (г)2 + Чти(гУ

и34 + 10 ,2 ,и3«

- (2 - Оу

и1 к 4

Цт- 12 и з чЛ"> J и1

т (с2и4 - 2я-4 + 52и« ) = - ""х

р "(г) с 2 И0"0 с0

Разделив обе части 2-го уравнения (4) на 0

(г) 1 -и

_ = 0 "(г) с 2

Получим:

/ \\12/2

ЧтЯ и (г)

- и0и1(4) +

т „ (г)

и Я (г) и3 и0 2 / и14 и0

Ч, Я( )

+ С и (ее 2би о + и

и (г) + и ^ и (г) - 1 ^ и (г )2 - Ч

- и«2 -1

)+к

т и (г)(2 г) = (г) ( 1) Чп

«и3 (2 - г) = Я р "(г)С2

И0"0 с0

Разложим упругие перемещения по степеням 8 = :

и 1 — и ю 5—11 ... , и 3 — и 30 ~+ 5— 31 ...

Подставим их в уравнения, разделим обе части уравнения на 5 — ит/ и,

оставляя члены5 и 5 , получим:

u\\04 и0

т- (г)

+ 51 u\\(\\44 - и

Чт/ и (г) + 1 и^и (г)2 и"Т" _ и 1Пв

- (2 - г)5

я (г)2

к377 и10 - к 4 Я «2 Г10

с и1044 ьс и 1144 2си104^ 2 Ч(0

итр0 "0г) С02

- ,, и (г) (г) +5 - ,, и (г) | Чт/ и (г) - 1 .. \\ +

Н0и\\04^ _ (г) и30 Н0ии4^ (г) и31 0 ^0 u\\04 &

+ (2 - г)5к\\

и30 + 5

С и - Я^ & /

и / 3044

(-1) г-\\ Ч п

итр0 "0г) С02

Приравниваем к нулю коэффициенты при 5 , получим систему уравнений

( ) \\044

( ) 2 ( ) (г) и304 С и1044 0 :

и и (¡) | ^т^ и (г) = 0 И0и10^ Я(¡) и30% _ 0

Из этой системы следует

Wml (¡) =

и30£ = и0и

(¡) 0и10% :

■ _ с = 0

Следовательно, и10 - произвольная функция, а безразмерная скорость волны с = -у/1 _ и2, так как с2 = 1 _ и02, Приравниваем коэффициенты при е в

правых и левых частях уравнений и учитываем предыдущие результаты, тогда получаем:

и2„ (¡) _ ■■ ^т^ И0 и11% И0 _(;) и31

итЯ1г)

+1 ит 2 ¡е

(г)2 10%

+ 2^/1 _и2 и^ _ (2 _ ¡)

I е Я(г) е

еитР0 Ь0 С0

(¡Ь2 ах ,

■ ип% +

и31 ~ >"0 , и10%

■0 (1 _ и2 >%% + (2 _ Ок и

= Я (г)1

(_1) ап .

еитР0 Ь0!) С02 &

Умножаем обе части второго уравнения на и0 и продифференцируем на

%, получаем систему

„2и(Г) _ ,, —т!—и(Г)

И-0 и11% ^0 _ „(г) и31

+ 2^/1 _и2 м«т_ (2 _ г)

Я(Г) (Г) ит2 3

к ~ и1г _ кл —т—и

еитР0 Ь0г) С0

(¡Ь2 ^

■и (г) >"0 и11%

Я(г) I

■WmLuC¡)

(г)" 31%

--■ (1 _и )и10%%%% (2 ¡)к1 ио ,2 "10%%

еитР0Ь0 с0

(¡)„2 ■

_1 да„

¡е (16)

Вычтем из первого уравнения второе и разделив обе части этого уравнения на 2^1

и10%т +

■0 , получим систему уравнений

(г) (г) + 1 Г Я(Г) Л2 и02Л^_й

г10%" 10%%

- и (¡) +

и10%%%% ^

еитР0 Ь0г) С0

и,Г, + к,.

■0к1 ,2 и10%% к3 ,2 "10 1 &"4 _(Г)2 "10

Я(,)" е

г_1 дЧп

В случае, когда жидкость отсутствует, правая часть уравнений становится равна нулю и получаются независимые уравнения КдВ. Надо определить правую часть, для чего необходимо решить уравнение гидродинамики для случая кольцевого и кругового сечения трубы.

несжимаемой жидкости

Введем безразмерные переменные и параметры:

Т7- С0 ТГ С0 ГЪ С * V* С0 V * х

V — уг, V — чт — уг, г — Я2 + дг , г — — г, х — -т д 2 / /

т / г 5 х

Р — ■

р\\с0/ч

д3 Чт д

Чт д Яг

— Ящ , ^ — — Ящ512 , — —--- — Щ5

я2 д я2 / д я /

vЩJ — щ5 V2

Во введенных безразмерных переменных получим уравнения гидродинамики:

&дЛ \\дс0 д

дс0 д

■ + дуг 5

+ Я

( дуг

г ^ * х ^ *

дг дх

■ + V.,

+ дР — дг *

д2 д2V

Я2(1 + щ.) дг Я2(1 + Щ • )2 /2 дх

г- + V

г * х *

дг дх

дР д 2vx

ду д2 д2V

дг Я2 (1 + щ ,) дх

и граничные условия

/Чт дг *

Я2(1 + щ.) дг * /2 дх*

при г * — 1 - Яи^ и г * —-Яи32) Пологая теперь д/ / — 0, д/ Я2 — 0 (нулевое приближение под /

гидродинамическая теория смазки), а также получим уравнения гидродинамики:

дс0 д

"ГУ

— 0 - ползущие течения,

дР _ дР д \\ ^ ^ — 0, —г — —х, —т +--X — 0

дх * дг *2 & дг * дх

и граничные условия: vr ——vx — 0 при г * — 1 -Яи^ и г * —-Яи3(2). Раскладывая

давление и компоненты скорости по степеням малого параметра Я

Р — Р0 +ЯР1 + ..., ^ — V00 + Яv( +..., vx — V00 +ЯГ1 + ... Для первых членов разложения получим те же уравнения

дР0 п дР0 д2 vx0 OV° дvx0 п — 0,—г- —-х-,—г- + —X — 0

дх дг * дг дх

Vг — и граничные условия

С точностью до у, X получим:

ди (1)

V0 = _—V0 = 0 при г = 1 дt

ди (2)

V 0 =--3-, v° = 0 при г * = 0,

cos(_n, пг) « 1, cos(_n, Г) « 0

ах = р

(2) , №ти3 г2 =_

№ти3 5

№ С„ дv

РУС0^т

^Р _ р0 + 2р^№тС0 дVг

= ¥г ег

¡5 дг

-Р0 _ Р0

Из уравнений движения жидкости получаем с учетом граничных условий

г _ г * дР0

Vx0 =■

Подставляя в уравнение непрерывности, получаем:

дv° г _ г * 52 Р0

Тогда учитывая условия при

получаем:

Vг =_дt *

Г _ *3 _ *2 Л д 2 р 0

Удовлетворяя условиям при г * = 1, найдем

д2 Рс дх *

г ди32

дР 0 =12/Г ди3

дг аt

Р0 = 12/ / ди32

дг аt

При этом имеем:

(г *2 _ г * Ц

ди3(2)

(2г& _ 1)б|Гд&")

б/Г^и^

Учитывая, что введены переменные % = х* _ ^* и т = е*, с = ^ 1 _ ■ , найдем

* 1 г =1

Р0 =Щ I

ди302) ди^ - с—— + ес—— -е

ди3(0) ди32)

и °) - и (0) и30 и30

Ро И0 1

О» /.»о Ио Со Р^О^щ

к, 12 ^Г/

и °) - и(2) 30 и30

РоИ0г)С02 д4 5&о{)К

>4, >4

и учитывая, что wmlu(2(¡ = /0итЯ(г) и%, найдем

(г) с 2 оИо Со

^з0Oи0v12 ^ кЯ

О» /^о Ио Со

(2)и(2) _ и R(!)и(!)

(и3о) и<32>

чХг) =(-1)г. (33)

Система уравнений становится такой с учетом найденной правой частью

и (1) + ит

и (1) и (1) +1Г Я!2 /Ч/1-/2

и104и1044 I II

- и (1 + и104444

и (2) + и104т +

+ 6/о

Ро Ио Ясое1

ит Л Д -/о

и (1) - и (2) 1 = "104 и104

Я(1Г е

и104и1044 + е I I

РоИо Ясое\\$,

^ и (2) +

и104444

и1о4 и1о4 ]

]-2(1 - 4/2) Р -^и- = 0 РоИ0 Ясое

Здесь с принятой точностью И°Я - О(е), %2 = щ << 1 обозначено Я(1) - Я(2) = Я при этом положено И01 - И02) - И0

Можно также ввести обозначения и^ = с3ф(1), и124 = с3ф(2), п = с14, t = с2т,

с 2 = 6/о2

р1 Г я4

Ро Иое

Я) / ^Г/

с, 1е 2 12

с3 =■

с1 ит

-/о2 Я2е

ф* + 6ф<ф +ФП + ([ф^ + ф(1) -ф(2) = 0

фф2 + бф(2)ф,(2) +ФП +ф^2> _ф« = 0

Система уравнений (36) при отсутствии жидкости распадается на два независимых уравнений, для ф(1)

ф(1) + 6ф<ф + фП + аф + = 0 (37)

с точным решением

^ = а сь-2 \\1

— + 2а4 + ах

ф(1) = 2к 2СЬ ~2 |к

+ а к

где к =

и для ф

ф(2) + бф<2фф2> +фП = 0

с точным решением ф(2) = 2к 2СЬ ~2 4к 2к ]}, где к - произвольное или

ф(2) = а сь-2

П—- к

где — - произвольная величина

Очевидно, что скорость солитона ф(1) больше, чем скорость солитона ф(2)при одинаковых амплитудах. При наличии жидкости необходимо численное исследование системы уравнений (36) при начальном условии

(п,0) = —

п, ф(2)(п,0) = 0 или

ф(1)(п,0) = 0, ф(2)(п,0) = 2к2СЬ_2кп .

Работа выполнена при поддержке РФФИ грант №16-01-00175-а.

Литература