Спросить
Войти
УДК 620.169.1
DOI: 10.18384/2310-7251-2020-2-48-56
АНАЛИЗ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПЛОТНОСТИ ЭНТРОПИИ В ПРОЦЕССАХ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ВЯЗКОУПРУГИХ МАТЕРИАЛОВ
Боброва И. А.1, Бугримов А. Л.2, Лаврентьев В. В.3, Чукаловская Е. М.4
Аннотация.
Целью работы является оценка возможности построения энтропийного критерия прочности материалов на примере вязкоупругого материала в условиях ползучести и циклических нагрузок.
Процедура и методы исследования. Исследование энтропийного критерия прочности материалов при помощи математического аппарата.
Результаты исследования. Проведена оценка возможности построения энтропийного критерия прочности материалов на примере вязкоупругого материала в условиях ползучести и циклических нагрузок.
Теоретическая и практическая значимость работы заключается в том, что полученные результаты могут быть применены в теории механики композитов. Ключевые слова: энтропийный критерий длительной прочности, производная дробного порядка, интеграл дробного порядка, упругость, вязкоупругость, вязкая жидкость
ANALYSIS OF THE THERMODYNAMIC CRITERIA LONG-TERM STRENGTH OF MATERIALS
I. Bobrova1, A. Bugrimov2, V. Lavrent&ev3, E. Chukalovskaya4
© CC BY Боброва И. А., Бугримов А. Л., Лаврентьев В. В., Чукаловская Е. М., 2020.
Abstract.
The purpose of the work is to assess the possibility of constructing an entropy criterion for the strength of materials by the example of a viscoelastic material under creep and cyclic loads. Methodology and Approach. Study of the entropy criterion for the strength of materials using a mathematical apparatus.
The results. The possibility of constructing an entropy criterion for the strength of materials is estimated by the example of a viscoelastic material under creep and cyclic loads. It is shown that the increment of entropy density is determined by the nature of the loading process. For this reason, it turns out to be impossible to propose any value of the limiting value of the increment of entropy density as a criterion for the long-term strength of a viscoelastic material. Theoretical and practical relevance: the obtained results can be applied in the theory of mechanics of composites.
Критерии длительной прочности материалов основываются на предположении существования некоторого предельного (критического) состояния А*, по достижении которого материал разрушается:
А < А*.
Причём предельное состояние А* является критерием прочности только в том случае, если оно зависит от характеристик материала, а не от процесса нагруже-ния.
Термодинамические критерии длительной прочности предполагают существование предельного термодинамического состояния, которое достижимо и единственно [1-3]. К таким критериям относится энтропийный критерий длительной прочности. Сущность его заключается в том, что в процессе нагружения материала предельному термодинамическому состоянию соответствует некоторое критическое значение приращения плотности энтропии А, которое обусловливается диссипацией энергии за время до разрушения материала и при температурном режиме 7(0 [1]:
Для большинства материалов временная зависимость прочности имеет вид степенного закона, или формулы Голланда-Тернера [1]:
где В и в - экспериментально определяемые коэффициенты для конкретного материала.
В работе [4] рассмотрена проблема существования энтропийного критерия длительной прочности (1) на основе структурно-механических моделей. В частности, показано, что критическое значение приращения плотности энтропии
Введение
t* = Bö-, 3 <ß< 12,
для среды с делящимся тензором деформации при условии ползучести за время (2) инвариантно лишь при ß = 2, что не имеет физической основы:
AS* =— o2-ß. пг
Результаты анализа
В данной работе проведён анализ критерия (1) на примере вязкоупругого материала, математическая модель которого построена с помощью аппарата дробного интегро-дифференцирования [5].
Рассматривается «обобщённая» сплошная среда, для которой определяющие соотношения, связывающие деформацию и напряжение, имеют вид [6-9]:
e(t) = — (lao)(t), o(t) = C(Dae)(t), 0 < a < 1, (3)
где Ia Da - операторы интегрирования и дифференцирования дробного порядка соответственно, C и a - константы, зависящие от свойств материала и определяемые экспериментально.
Следует заметить, что на основе указанного подхода в работе [6] из решения задачи упругости получены решения задачи вязкоупругости, а при a ^ 1 получено решение классической задачи о профиле скоростей при течении вязкой жидкости по трубе.
Для вязкоупругого материала, определяющие соотношения которого описываются соотношениями (3), закон ползучести (изменение деформации во времени (рис. 1) под действием напряжения о0 = const, мгновенно приложенного в начальный момент времени t = 0), имеет вид:
e(t) = - (I a0)(t) = -— [t ° 0 dT =_^_t a (4)
e(t) с(I G)(t) с r(a)[0(t-T)1-a CГ(1 + a)t . (4)
Рис. 1. Ползучесть образца вязкоупругого материала под действием мгновенно приложенного напряжения С0 = const. Fig. 1. Creep of a sample of viscoelastic material under the action of instantly applied stress C0 = const.
Источник: составлено авторами.
Работа диссипации с учётом закона деформирования (4) равна:
Ш () = 0£ = аЦа-1,
у & С Г(а)
Ш()=С г^". (5)
Предельное значение приращение плотности энтропии вычисляется с учётом диссипации энергии Ш({), стационарности температуры и времени до разрушения (2):
д = г"Мл= Д5. = Г"л=100 Га-,Л= •&о Т ■>« Т С Г(а) Т ■>»
С Г(1 + а)Т 1о С Г(1 + а)Т * С Г(1 + а)Т
Д5* = - , 1 Вао2-ав, 0<а< 1,3<в< 12. (6)
С Г(1 + а) Т м
Полученное предельное значение приращения плотности энтропии (6) инвариантно лишь при условии:
а = Ув. (7)
В противном случае разброс значений Д5* для различных значений параметров а и в продемонстрирован на рис. 2.
Рис. 2. Зависимость AS* от мгновенно приложенного напряжения Go = const при в = 3 и а = 0,3, 0,5, 0,7. Fig. 2. The dependence of AS* on the instantly applied voltage Go = const at в = 3 and а = 0,3, 0,5, 0,7.
Источник: по данным авторов.
Модель вязкоупругой среды (3) включает в себя упругое состояние при а = 0 и вязкое состояние при а = 1 [10]. Однако при таких значениях коэффициент длительной прочности материала ß ^ ^ и ß = 2, соответственно, что противоречит указанному диапазону в соотношении (7).
В случае гармонической нагрузки с частотой ю и амплитудой о0 при t = const:
o(t ) = о osin at (8)
c учётом (3) закон ползучести образца вязкоупругого материала имеет вид:
i \\ 1 1 rt о0sinютdT „ „
e(t) =--—-:-, 0<а< 1, (9)
V ; С Г(а)г o (t-т)1-а
и при этом
de(t) = о0 ю г t cos ют dT )
J o /х _\\1-а
dt C Г (а)0 (t-т)1-а&
Поведение функции (10) при t > T (T - период) в асимптотическом смысле совпадает с поведением функции f(x) (рис. 3):
г! \\ 1 ( ал^
f (x) = —а cos rat--. (11)
Рис. 3. Дробное интегрирование по (10) и (11) при порядке интегрирования а = 0,5. Fig. 3. Fractional integration according to (10) and (11) with the integration
order а = 0,5.
Источник: по данным авторов.
Поэтому функция рассеяния энергии за время £ > 2п/ю имеет вид:
C Г (а)
sin rot cos
rot -ап
+ sinап
t ro sin--cos
tro sin--cos
Работу диссипации за один цикл (на рис. 4 - для значений а и в, соответствующих рис. 2) можно вычислить по (12), рассмотрев разность между двумя последующими циклами:
Д W (ro) = W (2п (п +1)) - W (2пп) =
G0 1 1 Г / \\ . осп
--т-^т—i 2п(п +11(0 sin-4C Г (а) юа [ & 2
■2пп sin--+ cos
ДW (ro) =
, ап , Л
пго sin--Sin2пГО sin
апл 1
Рис. 4. Зависимость AW от частоты ю при р = 3 и а = 0,3, 0,5, 0,7. Fig. 4. The dependence of AW on the frequency of ю at в = 3 and а = 0,3, 0,5, 0,7.
Источник: по данным авторов.
Из определения (1) и соотношения (13) следует, что работа диссипации и предельное значение приращения плотности энтропии, конечно, зависят от свойств материала и - что следует особо подчеркнуть - от характера процесса.
Заключение
Таким образом, процесс деформирования материала сопровождается возрастанием плотности энтропии, которая к моменту разрушения материала достигает предельного значения. Однако скорость роста плотности энтропии и предельное значение приращения плотности энтропии можно трактовать лишь как степень отклонения процесса от равновесного, а не как полноценный критерий длительной прочности материалов.
Статья поступила в редакцию 03.03.2020 г.
REFERENCES
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Боброва Ирина Александровна - аспирант математического факультета Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики»; e-mail: ia.bobrova94@gmail.com;
Бугримов Анатолий Львович - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой физики Российского государственного университета имени А. Н. Косыгина (Технологии. Дизайн. Искусство); e-mail: al.bugrimov@mgou.ru; bugrimov-al@rguk.ru;
Лаврентьев Виктор Владимирович - кандидат физико-математических наук, научный сотрудник лаборатории статистического анализа факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова; e-mail: lavrent@cs.msu.ru;
Чукаловская Евгения Михайловна - старший преподаватель кафедры вычислительной математики и методики преподавания информатики, Московского государственного областного университета; e-mail: em.chukalovskaya@mgou.ru
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Irina A. Bobrova - Postgraduate Student at the Faculty of Mathematics, National Research University Higher School of Economics; e-mail: ia.bobrova94@gmail.com;
Anatoly L. Bugrimov - Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of the Department of Physics, The Kosygin State University of Russia; e-mail: al.bugrimov@mgou.ru; bugrimov-al@rguk.ru;
Viktor V. Lavrentev - PhD in Physical and Mathematical Sciences, Researcher at the Laboratory of Statistical Analysis at the Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics, Lomonosov Moscow State University; e-mail: lavrent@cs.msu.ru;
Eugenia M. Chukalovskaya - Senior Lector at the Department of Computational Mathematics and Methods of Teaching Mathematics, Moscow Region State University; e-mail: em.chukalovskaya@mgou.ru
ПРАВИЛЬНАЯ ССЫЛКА НА СТАТЬЮ
Боброва И. А., Бугримов А. Л., Лаврентьев В. В., Чукаловская Е. М. Анализ предельных значений плотности энтропии в процессах деформирования вязкопругих материалов // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика. 2020. № 2. С. 48-56. DOI: 10.18384/2310-7251-2020-2-48-56
FOR CITATION
Bobrova I. A., Bugrimov A. L., Lavrentev V. V., Chukalovskaya E. M. Analysis of the thermodynamic criteria Long-term strength of materials. In: Bulletin of Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics, 2020, no. 2, pp. 48-56. DOI: 10.18384/2310-7251-2020-2-48-56
