НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ, СВЯЗАННЫЕ С ТРЕЛЁВКОЙ ХЛЫСТОВ

УДК 629.11

DOI: 10.15393/j2.art.2019.4422 Статья

Некоторые вопросы, связанные с трелёвкой хлыстов

Альберт А. Камусин1& Вячеслав А. Борисов1, Дмитрий В. Акинин1, Наталья И. Казначеева1

* Автор, с которым следует вести переписку; E-Mail: vborisov@bmstu.ru (В. Б.); Tel.: +7(910)4201702

Получена: 5 февраля 2019 /Принята: 30 марта 2019 / Опубликована: 3 апреля 2019

Аннотация: Статья посвящена исследованиям в области трелёвки колёсным транспортом хлыстов, взаимодействия транспортов с поверхностями перемещения и определений колебаний, возникающих при таком взаимодействии. В статье приведена математическая модель, анализ которой показывает взаимодействие сил, действующих на хлыст при его перемещении, а также представляет дифференциальное уравнение кривой изгиба хлыста при статической поперечной нагрузке, также определены частоты собственных колебаний хлыстов при помощи энергетического метода.

DOI: 10.15393/j2.art.2019.4422 Article

Some problems of tree-length skidding

Albert Kamusin1, * Vyacheslav Borisov1, Dmitry Akinin1, Natalia Kaznacheyeva1

* Author to whom correspondence should be addressed; E-Mail: vborisov@bmstu.ru (V. B.); Tel.: +7(910)4201702

Received: 5 February 2019 /Accepted: 30 March 2019 /Published: 3 April 2019

Abstract: The article focuses on the problems of tree-length skidding, namely, on the vibrations arising due to the interaction between a tree-length skidder and movement surfaces. A mathematical model demonstrates the interaction between forces applied to the moving tree length. A differential equation characterizes a bending-moment curve of the tree length under dead transverse load. Natural vibration frequencies of the tree length are determined by using an energy method.

Перемещение лесозаготовительным транспортом такого специфического груза, как хлысты, ставит перед исследователями ряд вопросов, связанных с взаимодействием хлыстов с лесотранспортными машинами. В работах проф. Б. Г. Гастева и В. И. Мельникова, кандидатов технических наук Г. М. Васильева, Е. И. Лаха, 3. С. Дофина и других исследователей изучено влияние жёсткости пакетов хлыстов на характер колебаний подвижного состава, плавность хода лесовозных поездов, на величину динамических нагрузок на подвижной состав и почвогрунт [10].

Но до настоящего времени вопрос о характере колебаний полупогруженных (полуподвешенных) хлыстов, перевозимых колёсными тягачами, и влияние колебаний хлыстов на процесс взаимодействия их с поверхностями перемещения мало изучен. Лишь С. А. Жилин [4] считает, что колебания хлыстов могут влиять на сопротивление их движению.

Определим свободные поперечные колебания хлыстов при действии продольных сил. Перемещаемые в полупогруженном (полуподвешенном) положении хлысты подвергаются действию растягивающих сил Т X cosy и F (рисунок 1), где T — усилие в тяговом тросе лебёдки и F — сила сопротивления движению волочащейся части хлыстов сил Т X cosy = F. Хлысты рассматриваем как балку, собственный вес которой является её единственной нагрузкой.

Дифференциальное уравнение кривой изгиба хлыста при статической поперечной нагрузке будет иметь вид:

DL—rr = —М + f * у + F * х * tga ах3

Рисунок 1. Схема сил, действующих на хлыст при его перемещении (к выводу

уравнений свободных колебаний)

Дифференцируя дважды уравнение (1), получаем дифференциальное уравнение стержня, нагруженного неравномерно распределённой нагрузкой q (х) и подверженного действию растягивающих сил Г:

d2 (nid2y\\ г л , и а2У

Выражение (2) может быть использовано для получения уравнения поперечных колебаний. Применяем принцип Даламбера [7] и представляем, что колеблющийся стержень нагружен силами инерции вида

где у — вес единицы объёма материала стержня (хлыстов); А — площадь поперечного сечения.

Подставляя выражение (3) вместо q (х) в уравнение (2), получаем общее уравнение колебаний стержня:

^ -Г^*^ = 0 (4)

йх2 ( 1 йхз) йх3 д д12 & У &

где А и I — некоторые функции х.

Частное решение уравнения (4) по методу Фурье может быть принято:

у = Х(х) * Т(г), (5)

т. е. предполагается, что перемещение у можно представить в виде произведения двух

функций, одна из которых зависит только от аргумента х, а другая — только от аргумента t.

Тогда вместо определения функции двух переменных у (х, ¿) необходимо определение двух

функций X (х) и Т (¿), каждая из которых зависит только от одного переменного. Подставив выражение (5) в уравнение (4), получим:

д4Х д2Х д2Т

аРВ1- + РШ2 = ™ + ш- (6)

Для тождественного выполнения равенства принимаем каждую из его частей постоянной и равной -р2 и получаем:

д4Х д2Х 2

б?*1 + Р Ъг = -Р ; (7)

http://rt.petrsu.ru

Уравнение (7) выражает форму колебаний, а уравнение (8) указывает на колебательный характер движения с частотой р. Общее решение уравнения (8) может быть представлено в следующем виде: Т (t) = а X sin (pt + а). Замкнутая форма решения уравнения (7) может быть получена лишь в отдельных частных случаях, когда переменные для хлыстов величины EI и m будут определены специальными зависимостями.

Для балок (пакетов хлыстов) постоянного сечения решение уравнения (7) может быть выражено через круговые и гиперболические функции или функции акад. А. Н. Крылова [6]. Для балок переменного сечения основную частоту колебаний чаще всего определяют приближенными методами Рэлея — Ритца, Бубнова — Галеркина, последовательных приближений и др. [2], [8], [9].

Для определения частоты колебаний хлыстов воспользуемся энергетическим методом, предложенным 3. Б. Канторовичем [5]. Упомянутый метод основан па известном принципе, что в действительном движении функция L, равная разности между потенциальной V и кинетической Т энергией системы, в каждый момент движения должна быть минимальной. Энергетический метод был применён 3. С. Цофиным [11] при определении колебаний хлыстов, полностью погруженных на лесовозные поезда, и подробно описан им.

Рассмотрим на примере использование указанного метода. Определим первую (основную) частоту колебаний соснового хлыста весом 2400 кг, длиной 24 м, с диаметром вершины 20 см, комля 60 см. Объём хлыста 3,27 м3. Вершина хлыста приподнята на 1 м от поверхности волока.

Хлыст рассматриваем как балку переменного сечения, свободно опёртую на двух концах и нагруженную собственным весом (неравномерно распределённой нагрузкой). Поскольку разность высоты опор концов хлыста невелика и проекция длины хлыста на горизонталь близка к длине хлыста (разница 0,83 %), при расчёте принимаем, что хлыст опирается на концах на одной высоте. Расчёт вначале ведём без учёта воздействия продольных сил.

Стержень переменного сечения (хлыст) заменим ступенчатой балкой, состоящей из четырёх равных по длине цилиндрических отрезков. Объём (вес) отрезков принимаем равным объёму (весу) соответствующих усечённых конусов. На рисунке 2 указаны все необходимые для расчётов величины.

Рисунок 2. Схема к расчёту частоты колебаний хлыста энергетическим методом Расчёт проводится в следующем порядке: 2.1. Определение инерциальных сил

В качестве исходной кривой изгиба выбираем синусоиду у = 2 эт ™-, удовлетворяющую

условиям на краях. Определяем ординаты кривой под нагрузками и вычисляем силы инерции масс при колебаниях хлыста с частотой р0 = 1 с-1 Результаты вычислений представим в таблице 1.

Таблица 1. Результаты вычислений ординаты кривой под нагрузками и силы инерции масс

Груз, Н Масса, кг y, м трпу, Н

Материалы, необходимые для вычисления значения коэффициента влияния поворота сечения, представлены в таблице 2.

Таблица 2. Материалы для вычисления значения коэффициента влияния поворота сечения

m У У2 ту2

На рисунке 2 изображена балка, нагруженная силами тр^у. Разделим балку на интервалы с соблюдением следующих условий: а) интервалы не должны охватывать смежные участки балки с разными диаметрами; б) силы должны находиться не внутри интервала, а на одном из его концов. Вычисляем моменты М01, значения которых приведены в таблице 3.

Таблица 3. Материалы к вычислениям моментов М01

х, м М01 , Н * м

Используя данные таблицы 3, составим таблицу 4.

Таблица 4. Материалы к вычислениям

Длина интервала, м Значения в средних точках интервала

интервал Ах М01, Н * м М012, Н2*м2 25 л г = (1Г)4 е * М02 * Ах

Отсюда ^ = х М012 х Ах = 315976764,0833 Н2м2.

Для древесины сосны принимаем Е = 105 Н/м2 [10]. На основании этого вычисляем:

а11 = = 18297 * 10-5 см4, 11 ^о &

где Бо = Е1о.

Первая (основная) частота колебаний хлыста (круговая) определится как

Pl = = 5,05 Vсек. | аг1

Частота колебаний

v = Ell = 0,805 V сек.

http://rt.petrsu.ru

Согласно исследованиям И. В. Ананьева [1], для стержней с шарнирно закреплёнными концами, каким может быть представлен полупогруженный хлыст, частота колебаний при наличии продольной силы определяется по формуле

Рп = Р*). (9)

где р — частота колебаний без учёта продольной силы; ] — коэффициент, учитывающий влияние продольной силы:

] = 11 + Т2*Т. (9&)

где Р — продольная сила; Ркр — Эйлерова критическая сила стержня с шарнирно закреплёнными концами (первая критическая сила); к = 1 для основной частоты. Для стержня с постоянной по всей длине жёсткостью ЕЬ

п2ЕЬ Р =ГкР 12 &

Поскольку хлыст является стержнем переменного сечения, уравнение (10) для определения Ркр неприменимо. Критическая сила для хлыста может быть определена лишь для каждого частного случая.

Стержень (хлыст) переменного сечения заменяется двумя стержнями постоянного сечения, равными в сумме по длине, весу и объёму стержню переменного сечения (рисунок 3). Диаметры полученных стержней равны 30 и 50 см. Жёсткость второго стержня больше жёсткости первого в 7,7 раза.

Соответственно, получаем два уравнения:

ЕЬу& — Ру{ = 0; (10)

Обозначая-= к2, получим:

у& - 7,7к2*у& = 0; (10&)

у{&-к2*у{ = 0. (11&)

Общие интегралы уравнений (10&) и (11&) имеют вид:

У1 = с1* екх^77 + С2* е-кх^; у2 = съ* екх + С4* е-кх.

http://rt.petrsu.ru

Рисунок 3. Схема к расчёту Эйлеровой силы для стержня (хлыста) переменного сечения Из условия, что при х = 0 прогиб у1= 0, получаем:

откуда

С2 = -Ci.

Далее имеем следующие условия: I

После соответствующих подстановок получаем Уц = у2 в следующем виде:

С1(е14к1 — е-14к1) = С3* е°.5к1 + С4* е-0.5к1. Дифференцируя уравнения дляу1 иу2, запишем условие у1 = у2 в виде:

при X = ^ уравнение примет вид:

C3*ekl + C4*e-kl = 0.

http://rt.petrsu.ru

Откуда

c3 = -C4*e-2kl.

Заменяя С3 в ранее полученных уравнениях (у1 = у2 и у{ = у2) , получим их в виде следующего уравнения:

£ (е1,4к1 — е-1,4к1) = £ (е-0,5к1 — е-1,5к1)

_ С1(е14к1 - е-14к1)

—= (е-0,5к1 + е-1,5к1) .

Тогда второе уравнение запишется в виде:

Упрощая полученное выражение и произведя логарифмирование, получим: к1 = 0,75. Выражая к = °у-, критическую силу для рассматриваемого стержня имеем в виде:

^ = "72- (12)

Согласно уравнению (12), для рассматриваемого хлыста РКр = 29419,95 Н. При удельном сопротивлении движению хлыста Шдв = 1961,33 Н/т и нагрузке от хлыста на поверхность перемещения Qn = 23535,96 Н сила сопротивления движению хлыста (продольная сила) будет: Р = 4707,19 Н.

Коэффициент влияния продольной силы на частоту колебаний ] определим по формуле И. В. Ананьева [1]:

здесь к = 1.

Первая (основная) частота колебаний хлыста (круговая) будет равна:

Рп = Р * ] = 5,45сек

Частота колебаний

v = Еп = 0.87с"1.

http://rt.petrsu.ru

Таким образом, частота колебаний хлыстов при их перемещении возрастает и в рассмотренном частном случае увеличилась на 8 %, что указывает на взаимосвязь частоты колебаний хлыстов и сопротивления их движению.

Но колебания хлыстов происходят под действием возмущающих сил, возникающих, главным образом, под влиянием неровностей дороги. Воздействие этих неровностей на возмущающую силу можно определить методом грубой квадратичной можерации проф. Моисеева.

Допуская некоторые упрощения, рассмотрим процесс взаимодействия хлыста и неровной поверхности перемещения (движения) хлыста по неровной поверхности.

При движении по неровной поверхности происходит некоторое вертикальное перемещение волочащейся части хлыста, в результате чего возникает дополнительное давление на поверхность, которое зависит от скорости движения и профиля неровностей.

Обозначим через I длину неровности и через п её переменную глубину. Будем рассматривать поверхность перемещения как сплошное упругое основание и обозначим через к1 сосредоточенное вертикальное давление, которое может вызвать прогиб поверхности, равный единице. Если Qn — передаваемая поверхности часть веса хлыста, то её статический прогиб

Если рассматривать поверхность как упругую пружину, то период свободных колебаний опёртого на неё хлыста будет:

т = 2л: Е (14)

Рассмотрим вынужденные колебания хлыста, вызываемые неровностью. Обозначим через у динамический прогиб поверхности под хлыстом при колебаниях (у измеряется от положения статического равновесия, когда хлыст находится под действием веса Qn и реакции поверхности). Тогда вертикальное перемещение хлыста при прохождении неровности с переменной глубиной п равно: у + п, а вертикальная сила инерции хлыста равна:

й2(У + г!)

--*-ТП-. (15)

д аЬ2

Реакция поверхности равна к1у, тогда уравнение движения хлыста в вертикальном направлении принимает вид:

+ к =0,

д М2 &

откуда

Qn ¿2у Qn

+ к1У = (16)

http://rt.petrsu.ru

Если известны форма неровности и скорость перемещения хлыста, то глубина п и, соответственно, правая часть уравнения (16) могут быть выражены в функции времени. Таким образом, мы получим уравнение вынужденных колебаний хлыста, вызванных неровностью.

Рассмотрим случай, когда форма неровности задана уравнением:

X/ 2пх\\

„ = _(i -C0S} (17)

где X — глубина неровности посредине её длины.

Принимая начало отсчёта времени от момента, когда опорная точка хлыста проходит начало неровности, и обозначая скорость перемещения хлыста через v, то x = v*t, и из уравнения (17) найдём:

X/ 2nvt\\

, =х(1 — - —). (18)

Подставив уравнение (17) в (16), получим:

Qn d2y Qn X 4n2v2 2nvt (19)

— — + клу =--* — *—-—cos—-—.

g dt2 xy g 2 I2 I

Разделив уравнение (19) на — и используя выражение получим уравнение в виде:

у + р2у =---—cos——. (20)

Принимаем правую часть уравнения (20) за приведённую возмущающую силу q =

и используем приводимое Я. Г. Пановко [8] решение уравнения вынужденных колебаний, вызываемых возмущающей силой:

у = — I q* sinp(t1-t)dt. (21)

Подставляем в уравнение (21) правую часть уравнения (20) и находим, что дополнительный прогиб в месте контакта хлыста с поверхностью, происходящий от динамического влияния неровности, будет:

______ fLl 2nvt

у =--——I cos—-— sin p(t± — t)dt. (22)

Jo lИнтегрируя уравнение (22) и обозначая через т время, необходимое для прохождения хлыста через неровность, и через т = ^ = — период свободных колебаний хлыста,

получим:

Л i 2nt1

Из уравнений (22) и (23) видно, что дополнительный прогиб поверхности, вызванный

и от скорости перемещения хлыстов; в зависимости от прочности полотна трелёвочных волоков дополнительные динамические нагрузки могут приводить не только к дополнительному прогибу и уплотнению поверхности, но и к разрушению полотна грунтовых и снежных волоков.

При динамическом воздействии хлыстов на волок следует ожидать изменения удельного сопротивления движению хлыстов, величина которого будет зависеть от многих факторов (качество волоков, температура воздуха, параметры хлыстов, скорость перемещения хлыстов и др.). Влияние этих факторов на удельное сопротивление движению хлыстов наиболее целесообразно определить путём экспериментов.

Список литературы

неровностью, пропорционален её глубине X и зависит также от отношения —, а следовательно,

(22) и (23).

http://rt.petrsu.ru

H. И. Казначеева // Проблемы и перспективы технических наук : сборник статей Международной научно-практической конференции. — 2015. — С. 28—34.

References

I. V. Ananiev. — Moskva : Leningrad : Gostekhizdat, 1946.

http://rt.petrsu.ru

© Камусин А. А., Борисов В. А., Акинин Д. В., Казначеева Н. И., 2019