Спросить
Войти
УДК 624.074.4
ИЛЬИН ВЛАДИМИР ПЕТРОВИЧ, докт. техн. наук, профессор, член-корр. РААСН,
СОКОЛОВ ВЛАДИМИР ГРИГОРЬЕВИЧ, канд. техн. наук, доцент,
докторант,
ber771@yandex. ru
Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строител ьный университет,
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ МОРСКИХ ДВУХСЛОЙНЫХ ГЛУБОКОВОДНЫХ ГАЗОПРОВОДОВ
Рассматриваются параметрические колебания морских двухслойных глубоководных газопроводов под действием внешнего нестационарного давления. Получена система разделяющихся уравнений Матье, решение которой позволило построить границы областей динамической неустойчивости газопроводов.
ILJIN, VLADIMIR PETROVICH, Dr. of tech. sc., prof.,
SOKOLOV, VLADIMIR GRIGORJEVICH, Cand. of tech. sc., assoc. prof, ber771@yandex. ru
St. Petersburg State University of Architecture and Building,
PARAMETRICAL VIBRATIN AND DINAMIC STABILITY OF THE SEA DOUBLE-LYER DEEP-WATER GAS-PIPELINES
The present article considers parametrical vibrations and dynamic stability of the sea doublelayer deep-water gas-pipelines. The system of the Mathieu differential equations is obtained and the boundaries of dynamic instability regions of the gas-pipelines are drawn.
Проектирование и строительство морских глубоководных газопроводов, укладываемых по дну Балтийского («Северный поток») и Черного («Южный поток») морей, выдвигают новые задачи динамического расчета трубопроводов. В частности, задачу оценки параметрических колебаний и динамической устойчивости трубопроводов большого диаметра как двухслойных цилиндрических оболочек, подвергаемых воздействию большого внешнего гидростатического давления и пульсирующего внутреннего рабочего давления. В данной статье для такой оболочки получена система разделяющихся дифференциальных уравнений Матье, решение которых позволило построить области динамической неустойчивости двухслойных подводных газопроводов, лежащих на упругом основании морского дна.
© В.П. Ильин, В.Г. Соколов, 2011
Рассматривается участок морского глубоководного газопровода длиной L в виде двухслойной цилиндрической оболочки, состоящей из стальной трубы толщиной h2 и железобетонного защитного слоя толщиной h1 (рис. 1). Оболочка лежит на морском дне с коэффициентом постели грунта k и подвержена действию постоянного внешнего гидростатического давления q = const, определяемого глубиной прокладки, и внутреннего пульсирующего рабочего давления p(t) = p0(1 + цcos yt), вызванного нестационарным режимом работы компрессорной станции. При совместном действии стационарного внешнего давления q и нестационарного внутреннего давления p(t) при условии, что разность этих давлений q0 = q - p(t) > 0, газопровод подвергается действию суммарного внешнего нестационарного давления
q(t) = qo(1 + Ц cos jt), (1)
где у - частота возбуждения, определяемая технологией работы компрессорных станций; ц < 0,5 - коэффициент возбуждения [1].
Рис. 1. К определению положений исходной поверхности двухслойного газопровода
При эксплуатации морских глубоководных газопроводов, подвергаемых воздействию нестационарного внешнего давления (1), при определенных условиях могут возникнуть параметрические колебания участков газопровода. Опасность этих колебаний заключается в том, что при некоторых соотношениях между собственными частотами колебаний оболочки газопровода и частотами возбуждения у возникает неограниченное возрастание амплитуды параметрических колебаний, наступает явление параметрического резонанса, которое может привести к разрушению конструкции. Этот резонанс значительно опаснее обычного резонанса при совпадении собственных частот с частотами возмущения при вынужденных колебаниях. При параметрическом резонансе опасные зоны динамической неустойчивости занимают целые области соотношений параметров конструкции. Поэтому основной задачей динамического расчета конструкции, у которой возникают параметрические колебания, является определение границ областей динамической неустойчивости.
В связи с тем, что конструкция подводного газопровода неоднородна, т. е. состоит из двух слоев разных материалов, возникает задача определения положения исходной поверхности двухслойной цилиндрической оболочки газопровода, которая является аналогом срединной поверхности однородной оболочки. Для решения этой задачи, а также для определения параметров жесткости двухслойной оболочки используем соотношения теории неоднородных изотропных оболочек [2]. В соответствии с этой теорией полагаем, что оба слоя оболочки при деформировании работают совместно без скольжения. Ввиду малого различия между коэффициентами Пуассона материалов слоев расчет проводится по единому коэффициенту Пуассона v1 = V2 = V . В результате за исходную поверхность оболочки, относительно которой сформулированы гипотезы Кирхгофа - Лява (рис. 1), принимается поверхность, определяемая выражением:
К 20 “О
Е1 | гёг + Е2 | гйг = О . (2)
- ( К + 2о)
Интегрируя, находим положение исходной поверхности, т. е. расстояние 20 от исходной поверхности до поверхности контакта слоев:
г = (ЕА2 - Е2 к2)
Используя теорию неоднородных оболочек [2], получим приведенные характеристики двухслойной оболочки: приведенные модули упругости на растяжение (сжатие) Е0 и на изгиб Еу
Е = (1 "V2)В е = 12 ^-у 2) (4)
Е = И ’ Е= И2 ’ (4)
где В = (Е1И1 + Е2И2) И = И + И и = Е1 [(И1 ~ 20 ) + 20 ] + Е2 [(И2 + 20 ) ~ 20 ]
Приведенная плотность материалов рпр и коэффициент неоднородности п
р = У|И1 + ^2 И2 п= ^ (5)
пр gh ’ Е0 ,
где g - ускорение свободного падения; уь у2 - удельные веса слоев.
В работе [3] на основании геометрически нелинейной полубезмомент-ной теории оболочек [4] получено дифференциальное уравнение движения в перемещениях однородной оболочки, нагруженной стационарным внешним давлением q
д3и д3 ^ Я2° ^ Я3° Е>2Р^ д3*, д\\, Я4^,
д^3 & & ^Я031 2 д02 I ЕИ д03 Е 1д^д*2 д0д*2 д02Я*&
Rq д3-Э2 Я2р
д и д V д w
= 0, (6)
где и, V, ^ - составляющие перемещения точки срединной поверхности однородной оболочки, отнесенные к ее радиусу Я срединной поверхности; 02-угол поворота касательной к средней линии поперечного сечения оболочки; Е, р - модуль упругости и плотность материала однородной оболочки соответственно; | = —, 0 - продольная координата и полярный угол; =■ к
ь Яд/12(1 - V2)
относительная толщина оболочки.
Основываясь на выводе уравнения (6), изложенного в работе [3], получим с использованием приведенных параметров неоднородной оболочки (3) - (5) уравнение движения участка морского глубоководного газопровода, подвергнутого действию нестационарного внешнего давления (1) при радиусе исходной поверхности Я0, зависящем от расстояния 20, определенного по (3), в соответствии с рис. 1. Использованы также основные допущения полубезмо-ментной теории оболочек, в соответствии с которыми соотношения упругости двухслойной оболочки примут вид
м 1 =^>Х2, М2 =£>Х2, ?!=(1 ^2)Вб1, 82 = -^1, (7)
где М1 и М2 - изгибающие моменты в продольном и кольцевом направлениях; Т1 - продольное усилие; 81 и 82 - относительные деформации в продольном и кольцевом направлениях; х2 - изменение кривизны в кольцевом направлении.
В результате имеем уравнение движения двухслойной цилиндрической оболочки
ди + пИ2 ^1(а +д!^2) + ЯШ -дУ д^з п V д03 ( 2 д02 ) Е0И Е0И д02 Е0И д02д*2
- Яор^ (_д3и_ - - __д^_) = о. (8)
Е0 д^д*2 д0д*2 д02д*2
Учитывая, что подводный газопровод уложен на морском дне, при выводе уравнения (8) использована обоснованная в работе [5] модель упругого основания Фусса - Винклера с коэффициентом постели к грунта морского дна. Учтено также влияние присоединенной массы жидкости ц- на единицу
длины газопровода в соответствии с теоретическими и экспериментальными исследованиями [6], согласно которым
ц- = к- Ць, Ць =Рж , (9)
где кь- - коэффициент, зависящий от формы колебаний (при первой форме - = 1, кЬ1 = 1), рж - плотность жидкости, окружающей газопровод.
Разрешающая система уравнений, состоящая из уравнений движения (8) и соотношений полубезмоментной теории оболочек [4]
дv дv ди ъ д™
— + ™ = 0, — + — = 0, -Э9 =-V, (10)
д0 д£, д0 2 д0
содержит четыре неизвестные функции координат и времени: u, v, w и S2. Решая систему методом разделения переменных (Фурье), представим нормальную составляющую перемещений точки исходной поверхности w в виде
w(t,^,0) = 9(t)sinX0£,cosm0, (11)
удовлетворяющем условиям периодичности по окружной координате 0 и тангенцальным условиям на концах участка газопровода длиной L в местах установки колец жесткости:
v|5=0,t=L,« = °. ®2| = О& (12)
Из (11) и (10) получим выражения для компонент перемещения и угла S2, удовлетворяющие поставленным условиям:
и =---От Ф) cos X0£, cos m0, v =--9(t) sin X0£, sin m0 ,
m2 — 1
S2 =---------9(t)sinX0^sinm0 , (13)
где X0 =-----, m, n - волновые числа в окружном и продольном направлениях.
Подставим (1), (11) и (13) в (8) и введем безразмерный параметр
X =—¡^. В результате получим дифференциальное уравнение движения
двухслойной оболочки относительно функции времени 9(t) :
[X4 +nm4(m2 -1)2 -m4(m2 -1)#* -m4(m2 -1)#0цcosyt + k*X2nmA]ty(t) +
+[рп.р R0 h(X„hv + m2 + m4) + ^¡jm4]9//(t) = 0, (14)
где #0 = k* = GR0k; рп,р = ^Рпр; v^kj = Gvkj; G =3:77.
Для приведения уравнения (14) к каноническому виду дифференциального уравнения Матье поделим все его члены на коэффициент при ф/ (t). В результате получим:
РпрR0h(X„К + m + m ) + j П
+k*X„m4 - m4(m2 -1)#0^cos yt]9(t) = 0 .
Вынесем за скобки первые три слагаемых при 9(t)
Л4 + цт4(т2 - 1)(т2 -1 - + k\\2т4
Ф (t) +----------* о , /л 2,----------2------^-------*---4------[1 РпрR0 n^v + m + m) + Ц^т
„///А______________________________________П_
>Пр R0
т4(т2 -1)#*
Л4 + пт4 (т2 - 1)(т2 -1 - —) + k *Л „т4
ц cos yt]9(t) = 0. (15)
Полученное соотношение представляет собой разделяющуюся систему дифференциальных уравнений Матье при т, п = 1, 2, ...
XП + пт4(т2 - 1)(т2 -1 - —) + к*Х2т4 2 П
®тп * п 7 /Л 2 7 . 2 . 4\\ . * 4 (17)
Рпр ^0 + т + т ) + Ц#т
есть квадрат частоты свободных изгибных колебаний двухслойной цилиндрической оболочки, лежащей на упругом основании с шарнирным опиранием на концах, загруженной внешним давлением д* (см. аналогичное выражение для однородной оболочки в [3]).
Коэффициент возбуждения Ьтп определяется по (15) выражением
тп X4 +пт4(т2 - 1)(т2 -1 - д* / п) + к\\2пт4 ’
где т, п - волновые числа.
Решение дифференциального уравнения Матье (16), полученное различными авторами в разное время (например, [1, 7]), позволяет построить области динамической неустойчивости (диаграммы Айнса - Стретта) конструкций, находящихся в условиях, способствующих возникновению параметрических колебаний. В таких условиях находится магистральный газопровод при подводной прокладке, подвергаемый воздействию внешнего пульсирующего давления (1).
Оценка динамической устойчивости морских глубоководных газопроводов заключается, во-первых, в построении областей динамической неустойчивости на плоскости параметров атп, у и внешнего давления д0, где атп -частота свободных колебаний участка газопровода по заданной форме колебаний (т = 1, 2, ..., п = 1, 2, ...) и при заданном уровне внешнего давления д0, а у - частота возбуждения, определяемая режимом работы компрессорных станций. Во-вторых, осуществляется непосредственная оценка динамической устойчивости заданного участка газопровода при известных значениях ютп, у и д0 путем наложения точки, соответствующей этим значениям на плоскости этих параметров, содержащей области динамической неустойчивости. Если заданная точка не попадет в область неустойчивости, динамическая устойчивость данного участка газопровода обеспечена. В противном случае устойчивость не обеспечена, т. е. имеется опасность возникновения параметрического резонанса.
Области динамической неустойчивости определяются соотношениями
®тп = 2 3, 3 = 1, 2, 3,...
Основная, наиболее широкая, главная область динамической неустойчивости осуществляется при3 = 1, т. е. при ю тп = у /2. Второстепенные области неустойчивости при 3 > 1 имеют значительно меньшую ширину и обычно перекрываются главной областью. Решение уравнения Матье (16) для главной области, полученное в [7], представляет собой неравенство
Основанная на этом решении методика построения главных областей динамической неустойчивости для участков подводных газопроводов заключается в определении верхней и нижней границ этих областей. В соответствии с неравенством (19) верхняя и нижняя границы определяются:
У2 = 4ю2тп (1 -^Г1, (20)
у2 = 4ю2тп (1 + ^2п)-1. (21)
В качестве главной области неустойчивости по формулам (20), (21) строится модифицированная диаграмма Айнса - Стретта для газопровода с заданными геометрическими размерами, механическими характеристиками и при различных реальных значениях внешнего давления д0. При этом отдается предпочтение наименьшей частоте свободных колебаний газопровода по форме т = 2, п = 1. В результате получаем область неустойчивости в координатах «у - д0», ограниченную верхней и нижней границами.
В качестве иллюстрации предложенной методики построения главных областей динамической неустойчивости рассмотрен участок морского двухслойного глубоководного газопровода длиной Ь = 10 м с радиусом контакта слоев Я = 510 мм, толщиной стальной трубы Н2 = 20 мм, с разными вариантами толщины железобетонного защитного слоя (1-й вариант к\\ = 60 мм, 2-й вариант Н\\ = 70 мм, 3-й вариант Н\\ = 80 мм). Коэффициент постели грунта морского дна принят к = 50 Н/см3. Главные области динамической неустойчивости для выбранных трех вариантов толщины защитного железобетонного слоя изображены на рис. 2 при изменении внешнего давления д0 от 0 до 20 МПа.
Из рис. 2 следует, что с ростом величины внешнего давления области динамической неустойчивости расширяются. При этом на положения областей неустойчивости и на их размеры существенное влияние оказывает толщина к\\ защитного железобетонного слоя. При меньшей толщине (к\\ = 60 мм) области неустойчивости имеют большую ширину и располагаются в зоне меньших значений частот возбуждения у. При увеличении толщины к\\ увеличивается жесткость двухслойной оболочки, ширина области неустойчивости уменьшается, и располагается она в зоне больших значений частот возбуждения у.
У, Гц
Рис. 2. Главные области динамической неустойчивости морских глубоководных газопроводов с разной толщиной железобетонного защитного слоя Н\\.
Оценка динамической устойчивости проводится по известным заданным значениям внешнего давления д0 и частоты возбуждения у . Точка с координатами д, у накладывается на графики рис. 2. Если эта точка попадает в область неустойчивости, то динамическая устойчивость данного участка газопровода не обеспечена.
Выводы
В данной статье решена актуальная задача оценки динамической устойчивости морских глубоководных газопроводов, получивших большое распространение в системе транспортирования газа. На основе геометрически нелинейной теории неоднородных цилиндрических оболочек получена система разделяющихся уравнений Матье, решение которых позволило построить области динамической неустойчивости в виде модифицированных диаграмм Айнса - Стретта для участков морских двухслойных глубоководных газопроводов, укладываемых на морском дне с известным коэффициентом постели грунта. Полученное решение позволяет оценить динамическую устойчивость двухслойных подводных газопроводов, подвергаемых при эксплуатации воздействию нестационарного внешнего давления.
Библиографический список
