Методология обобщения гидравлического сопротивления труб и плоских стенок

Литература

КОЧАКОВ ВАЛЕРИЙ ДАНИЛОВИЧ. См. с. 192.

НОВИКОВ НИКОЛАЙ ДМИТРИЕВИЧ - старший научный сотрудник межвузовской лаборатории высоких технологий, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (nick.d.nov@mail.ru).

NOVIKOV NIKOLAY DMITRIEVICH - senior scientific worker of Interuniversity Laboratory High Technologies, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.

ВАСИЛЬЕВ АЛЕКСЕЙ ИВАНОВИЧ. См. с. 192.

СМИРНОВ АЛЕКСАНДР ВЯЧЕСЛАВОВИЧ - аспирант кафедры теплофизики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (fizteh21@yandex.ru).

SMIRNOV ALEXANDER VYACHESLAVOVICH - post-graduate student of Thermal Physics Department, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.

УДК 532.51.013.12

Г.П. СКРЕБКОВ, НА. ФЕДОРОВ

МЕТОДОЛОГИЯ ОБОБЩЕНИЯ ГИДРАВЛИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ТРУБ И ПЛОСКИХ СТЕНОК

Предложена новая структура числа Рейнольдса, которая более правильно, чем традиционная структура, характеризует соотношение с-ил инерции и вязкости и позволяет обобщать попарно гидравлическое сопротивление труб и плоских стенок при ламинарном и турбулентном режимах движения.

G.P. SKREBKOV, N.A. FEDOROV THE METHODOLOGY OF GENERALIZATION OF HYDRAULIC RESISTANCE OF PIPES AND FLAT WALLS Key words: generalization, hydraulic resistance, motion mode, Reynolds number, pipe, flat wall.

In the article a new structure of Reynolds number is offered. Unlike the traditional structure this new structure more accurately characterizes the inertia and viscous forces ratio and allows to generalize pairwise the value of critical numbers, corresponding to the change of motion regimes, and hydraulic resistance ofpipes and plane walls in laminar and turbulent motion regimes.

Гидравлическое сопротивление напорных и безнапорных каналов различного сечения определяется, как правило, экспериментально. Огромное разнообразие форм и размеров каналов, шероховатости их поверхности, диапазона скоростей, в которых они эксплуатируются, физических свойств жидкостей, а также трудоемкость и дороговизна лабораторных экспериментов вызывают необходимость обобщения результатов исследований величины их сопротивления, что только и создает возможность разработки расчетных зависимостей, пригодных для целых классов каналов.

Изначально задачи обобщения определялись потребностями ирригации, водоснабжения и водоотведения, где применялись каналы относительно простых форм сечения, а требования к точности их расчетов не были слишком

строгими. Этим условиям вполне отвечали расчетные схемы, основанные на одномерной идеализации потока и связанных с ней понятиях средней скорости потока и гидравлического радиуса сечения.

Развитие ядерного реакторостроения, ракетной техники и производительных теплообменников вызвало появление каналов весьма сложных форм сечения, для обобщения гидравлического сопротивления которых потребовалось использовать много безразмерных параметров. В этом случае задача получения обобщающих расчетных зависимостей сильно усложняется, а сами расчетные зависимости приходится корректировать по результатам опытов и ограничивать их применение диапазоном экспериментов [4]. Правильный выбор безразмерных переменных и параметров позволяет существенно упростить получение расчетных зависимостей и расширить диапазон их применения, придать им универсальность.

Напомним, что обработка экспериментальных результатов величины гидравлического сопротивления гладких труб и каналов выполняется в виде

Х = / (Ке), (1)

где X - коэффициент гидравлического трения; Яе - число Рейнольдса, вычисляемое по формуле:

Яе = ий/V , (2)

где и - средняя скорость потока; й - диаметр трубы или гидравлически эквивалентная ему величина; V - коэффициент кинематической вязкой жидкости.

Расчетная зависимость (1) носит конкретный характер, определяемый формой поперечного сечения потока, что указывает на недостаток универсализма структуры числа Рейнольдса, записанного в форме (2).

Число Рейнольдса является одним из фундаментальных понятий в гидродинамике и физике. Его величина ограничивает области существования

ламинарного и турбулентного режимов движения, служит критерием подобия потоков и параметром, определяющим гидравлическое сопротивление гладких труб и каналов.

Осборн Рейнольдс получил комплекс (2) в 1883 г., когда теория подобия физических процессов еще только зарождалась. С позиций современных знаний о потоках структура (2) не является безупречной.

Число Рейнольдса имеет физический смысл меры отношения сил инерции и вязкости действующих в потоке [1]. Его структура содержит физические величины, определяющие указанные силы.

Сила инерции Ки и сила вязкости могут быть представлены через физические величины и параметры потока:

Ки = та « р13 — « р12 и2,

где I и и - характерные размер и скорость потока;

йи 2и ц= йп ~ Ц I &

Деление сил инерции Ки на силу вязкости приводит к результату:

К „ — = 1и (3)

К ц/р V,

что по структуре аналогично (2).

Соотношение сил инерции и вязкости определяет основные, наиболее глубокие свойства потока, включая режим движения и гидравлическое сопротивление [1]. Следовательно, структура (3) должна содержать такие характерные размер и скорость потока, при которых число Яе наиболее точно отражает соотношение действующих сил. Это требование является принципиально важным.

О. Рейнольдс принял за характерный размер I диаметр трубы й, а за характерную скорость и среднюю скорость потока и, т.е. выбрал те параметры, которые наиболее просто определяются в эксперименте. Такое решение оказалось удачным, получило всеобщее распространение и его целесообразность не оспаривалась.

Однако вполне понятно, что число Рейнольдса в форме (2) содержит элементы произвола в оценке отношения сил инерции и трения. Средняя скорость потока и и диаметр трубы й не являются определяющими параметрами потока. Они лишь пропорциональны им, что далеко не одно и то же.

Определяющие размер и скорость потока должны быть увязанными со структурой потока и силами, действующими в нем. Диаметр трубы и средняя скорость не вполне соответствуют указанным требованиям.

Для потока в трубе определяющим поперечным размером является не диаметр трубы, а расстояние от стенки до точки максимальной скорости, т.е. радиус трубы. Именно в пределах радиуса происходит формирование профиля скорости от нулевой на стенке до максимальной на оси трубы; изменение градиента скорости и напряжения внутреннего трения от максимальной величины на стенке до нуля на оси трубы. Поэтому ось трубы - особая точка, а расстояние от стенки до нее является определяющим геометрическим размером потока.

Отношение местных сил инерции и вязкости непрерывно изменяется по радиусу трубы. Силы инерции малы у стенки, где скорость мала, и возрастают к оси трубы. Силы вязкости, наоборот, велики у стенки, где градиент продольной скорости максимален, и малы в центре потока.

Первые нарушения ламинарного режима движения естественно ожидать там, где инерционные силы максимальны, а силы вязкости минимальны, т.е. у оси трубы или у поверхности плоского потока. Измерения профиля скоростей в переходном режиме течения подтверждают это предположение как для круглых [2. С. 568], так и для плоских потоков [5].

Таким образом, число Рейнольдса, более точно выражающее соотношение сил инерции и вязкости в потоке, должно иметь вид

Яем = и010/V , (4)

где и0 - максимальная местная скорость в сечении потока; 10 - расстояние по нормали от стенки до точки, где скорость максимальна.

Для отличия от структуры (2) назовем его максимальным числом Рейнольдса в сечении и обозначим Яем.

Известно, что величины критических чисел Яе, соответствующих началу потери устойчивости ламинарного течения и завершению перехода в турбулентный режим течения, для потоков разной формы существенно отличаются

друг от друга, хотя и характеризуют один и тот же физический процесс. Это естественно, ибо формулы (2) и (4) отличаются друг от друга мерой учета соотношения сил инерции и вязкости. Если же соотношение этих сил в потоках разной формы оценивать более точно, то критические числа Рейнольдса должны стать одинаковыми. Покажем на примере круглого и плоского потока возможность такого обобщения.

Выберем из литературных данных наиболее достоверные величины критических чисел Рейнольдса. Предварительно определимся с принципами их отбора, так как, по данным разных исследователей, эти величины варьируются, иногда значительно.

Фиксация нижнего критического числа Рейнольдса Яен наиболее объективно выполняется по резкому уменьшению отношения скорости на динамической оси к средней скорости потока и0/и . Другой способ фиксации сводится к контролю за характером изменения коэффициента гидравлического трения с ростом числа Яе. Началу смены режимов соответствует переход с опускающейся ветви кривой (1) на возрастающую.

Граница верхнего критического числа фиксируется менее точно, чем нижнего. Во-первых, использовать способ контроля за изменением и0/ и здесь нельзя, так как после первоначального обвала это отношение далее меняется монотонно. Во-вторых, переход кривой X = / (Яе) с поднимающейся ветви к опускающейся осуществляется через небольшой горизонтальный участок, затрудняющий точное определение границы завершения переходного режима.

По экспериментальному графику X = /(Яе), полученному Стантоном и Паннелом [7] для гладких труб в опытах с водой, воздухом и маслом:

Яен = 2000, а Яев = 3200.

На известном графике Никурадзе [2. С. 587] первые отклонения опытных точек от закона сопротивления Пуазейля имеют место примерно при Яен = 2300, а завершению переходного режима соответствует Яе в = 3500 - 4000.

На основании этих двух работ для круглых труб принято:

а) для нижней границы:

Яен = 2000 - 2200;

б) для верхней границы:

Яев =3400 -3800.

В плоском потоке определяющим размером является глубина потока И, равная гидравлическому радиус Я. Поэтому для плоского потока число Рейнольдса должно содержать в своей структуре И или Я и записываться в виде, отличном от (2). Соответственно число Рейнольдса записывают с индексом, указывающим, по какому геометрическому параметру оно вычислено.

По опытам в широких напорных прямоугольных трубах [5], где построение кривой X = /(ЯеЯ) сопровождалось контролем за изменением отношения и0/ и, получено:

Яе / = 700 и Яе Я в = 1000 -1100.

Патель и Хеад [6], проводившие опыты в прямоугольном канале с соотношением сторон 48:1 при полувысоте канала И = 6,35 мм, зафиксировали переход

от ламинарного режима к турбулентному в интервале 650 < Яе к < 1000. Авторы контролировали величину отношения и0/и и характер кривой сопротивления X = /(Яе). Для ламинарного режима ими получено экспериментальное подтверждение теоретического закона сопротивления плоского потока, что свидетельствует о хорошем качестве эксперимента.

Результаты работ [3-6] позволяют принять следующие границы переходного режима в плоском потоке:

а) для нижней границы:

Яе / = 650 - 700;

б) для верхней границы:

ЯеяВ =1000 -1050 .

Чтобы выразить опытное положение установленных границ через максимальное число Рейнольдса в сечении Яем, нужно определить отношение и0/ и, соответствующее этим границам. Для условия нижнего критического режима естественно принять эту величину равной теоретической при ламинарном движении, т.е. и0/ и = 2,0 для круглого потока и и0/ и = 1,5 для плоского потока [2].

При верхнем критическом режиме это отношение определяется экспериментально. Для круглого потока и0 /и = 1,27 , а для плоского потока и0 /и = 1,18.

Значение критического числа Рейнольдса для нижней и верхней границ перехода ламинарного течения в турбулентное, выраженное через обычное и максимальное в сечении потока число Рейнольдса, представим в виде таблицы.

Критические числа Рейнольдса для плоского и круглого потоков

Форма потока Нижнее критическое Верхнее критическое

Яе л н «о/и ЯеМ Яе / «0Іи ЯеМ

Круглая 500-550 2,0 1000-1100 850-950 1,27 1100-1200

Плоская 650-700 1,5 970-1050 1000-1050 1,18 1180-1240

Из таблицы следует, что величина критических максимальных в сечении чисел Рейнольдса практически одинакова для круглых и плоских потоков, т.е. не зависит от формы потока. При традиционной же оценке влияние формы потока на величину критических чисел принимается как неоспоримый экспериментальный факт.

Итак, правильный выбор структуры числа Рейнольдса позволил обобщить условия, при которых начинается и завершается в круглых и плоских потоках перестройка ламинарного течения в турбулентное. Полученный результат имеет более широкое значение, так как дает основание обобщить и величину гидравлического сопротивления единой расчетной зависимостью как для круглых, так и для плоских стенок, что принципиально важно.

Рассмотрим сначала сопротивление круглых труб и плоских стенок при ламинарном режиме движения. Известно, что коэффициент гидравлического трения для круглой трубы равен Xтр = 64/Яетр, а для плоской стенки

X пл = 6/Яепл [2], где коэффициенты гидравлического трения круглой трубы и плоской стенки традиционно определены через напряжение трения на стенке по условию:

Хтр = 8т0 /Р^тр и Хпл = 2т0 /Р^2 пл. (5)

Введем понятие обобщенного, т.е. единого для круглой трубы и плоского потока, коэффициента гидравлического трения:

Х0 = 2т0/ Р им. (6)

Учтем, что для трубы:

итр = им/2 и 4 = 2l0, Яетр = Яем

для плоской стенки:

ипл = 2им/3 и И = ^, Яепл = 2Яем/3 .

Разделим выражение для Х0 на Xтр :

X0/XТр = </4им = 1/16 .

Откуда следует:

^ =X т^/16 = 64/16 Яе тр = 4/Яем. (7)

Аналогично, делением X0 на Xпл, получаем:

X0 = ^пл/9 = V3 Яепл или X0 = 4/Яем . (8)

Итак, гидравлическое сопротивление плоской стенки и круглой трубы можно обобщить формулой (8), если сопротивление стенки и трубы выразить через максимальное в сечении число Рейнольдса Яем. Такой же результат может быть получен и из анализа уравнений, описывающих вязкое течение в трубе и плоской щели [2].

Рассмотрим теперь случай турбулентного движения, при котором для описания гидравлического сопротивления существуют лишь полуэмпириче-ские зависимости, а теоретических решений нет.

Рассмотрим подход, при котором используется величина Яем , и обобщим известные зависимости для сопротивления:

а) круглой трубы (формула Конакова)

б) плоской стенки [3]

Связь между максимальной и0 и средней и скоростями выразим через показатель степени п в степенном профиле скоростей [2]:

а) для круглой трубы:

и /„ (2 + п)(1 + п)

и0/ и= 2 ;

б) для плоского потока:

и0/и = 1 + п .

Показатель степени возьмем равным п = 1/7 = 0,143.

С учетом принятого определения Reм имеем связи: для круглой трубы ReM = 1,64Reтр; для плоской стенки Reм = 1,143Renn . Заменяя в (9) и (10)

Re тр и Rera через Re м и учитывая, что всегда Хст = 4Х пл, получаем из (9):

= 1,Slg(Rej1,64)-1,5 = 1,8№м -1,12. (11)

Аналогично из (10) следует:

Выражения (11) и (12) практически равноценны, что и требовалось показать.

Итак, гидравлическое сопротивление трубы и плоской стенки может быть представлено общей для них зависимостью, но разной по виду для ламинарного и турбулентного видов движения. Необходимое для этого условие сводится к правильному выбору структуры определяющего числа Рейнольдса.

Предложенный способ обобщения может быть применен для обобщения сопротивления и других форм каналов, но эта тема требует отдельного рассмотрения.

Литература

СКРЕБКОВ ГЕННАДИЙ ПЕТРОВИЧ - кандидат технических наук, доцент кафедры теплотехники и гидравлики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (underwood@llst.ru).

SKREBKOV GENNADIY PETROVICH - candidate of technical sciences, assistant professor of Heat Engineering and Hydraulics Department, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.

ФЕДОРОВ НИКОЛАЙ АНФИМОВИЧ - ассистент кафедры теплотехники и гидравлики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (niknadin@yandex.ru).

FEDOROV NIKOLAY ANFIMOVICH - assistant of Heat Engineering and Hydraulics Department, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.