Спросить
Войти
Электронный научный журнал "Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках" http://mathmod.esrae.ru/ URL статьи: mathmod.esrae.ru/15-47 Ссылка для цитирования этой статьи:
Ерофеев В.И., Плехов А.С., Солдатов И.Н. Распространение поверхностной сдвиговой волны вдоль границы раздела упругого полупространства и проводящей вязкой жидкости, взаимодействующей с магнитным полем // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2017. №3. Выполнено при поддержке Российского научного фонда (грант № 15-19-10026)._
УДК 530
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНОЙ СДВИГОВОЙ ВОЛНЫ ВДОЛЬ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА УПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА И ПРОВОДЯЩЕЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕЙ С
МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ
Ерофеев В.И.13, Плехов А.С2 , Солдатов И.Н.3
Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева, Россия, Нижний Новгород, erof.vi@yandex.ru
THE PROPAGATION OF A SURFACE SHEAR WAVE ALONG THE INTERFACE BETWEEN AN ELASTIC HALF-SPACE AND A CONDUCTING VISCOUS FLUID INTERACTING WITH
A MAGNETIC FIELD
Erofeev V.I.1&3, Plekhov A.S2, Soldatov I.N.3
Nyzhny Novgorod, erof.vi@yandex.ru 2R.E. Alekseev Nyzhny Novgorod Technical University, Russia, Nyzhny Novgorod, aplehov@mail.ru 3 Mechanical Engineering Research Institute of the Russian Academy of Sciences,
Russia, Nizhny Novgorod, erfv@inbox.ru
Аннотация. Рассматривается влияние магнитного поля на фазовую скорость, коэффициент затухания и глубину проникновения волнового поля поверхностной сдвиговой волны (ПСВ) на границе раздела упругого изотропного полупространства и проводящей вязкой жидкости. Ключевые слова: поверхностная сдвиговая волна, упругое полупространство, вязкая проводящая жидкость, магнитное поле.
Abstract. The influence of the magnetic field on the phase velocity, the damping factor, and the depth of penetration of the wave field of the surface shear wave (PSW) at the interface between an
elastic isotropic half-space and a conducting viscous liquid are considered.
Примем, что упругое изотропное непроводящее полупространство занимает область z<0. Распространение плоской сдвиговой волны, экспоненциально убывающей от границы раздела, описывается уравнением
Utt = СтА U (1)
где A = д xx + дzz, СТ - скорость сдвиговой волны, U - перемещение вдоль оси у. Направление распространения волны совпадает с осью x.
Однородное постоянное магнитное поле направлено вдоль оси z:
В = В e z. В этом случае волновой процесс в проводящей вязкой жидкости в МГД-приближении описывается уравнениями [1, 2]
аВ^ аВ2
v t = vA v--E--v,
div E + (В,rot v) = 0, (2)
rot E = 0
где Е — вектор напряженности электрического поля, Е = (Е, ех), V - скорость
смещения частиц жидкости вдоль оси у, О - проводимость жидкости, V -коэффициент кинематической вязкости.
С использованием электрического потенциала 6, Е = V 6 первые два уравнения системы (2) запишутся в виде
аВ2 аВ2
v t = vA v--6X--v, (3)
AG + В v x = 0 (4)
На границе раздела сред должны выполняться условия
z=-0 = v
z=+0& dz dv
z=+0
z=+0
(j- модуль сдвига упругой среды, р - плотность жидкости), имеющие физический смысл непрерывности скорости перемещений частиц на границе, непротекания тока через границу и непрерывности сдвиговых напряжений.
Запишем уравнение (3) в векторном виде
— — оВ rot V = -vrot rot rot v +--X
rotV0, e.
- a - оВ
v t = vA v +P
Ve, e ■
оВ2 -v.
(квадратные скобки используются для обозначения векторного произведения) и применим к нему операцию rot
Первый член в фигурных скобках, очевидно, равен нулю, а третий член в тех же скобках, используя второе уравнение системы (8.47), преобразуем к виду
С — — \\
e z, rot v
оВЛ — -e z
Далее еще раз применим операцию rot
A (— — оВ2 оВ2 (— -Л
v t -vA v + -v +- V e z, rot v
v P ) P v)
— e„
Применяя к уравнению (4) последовательно операции grad и rot, получим
""" — — В, A v = 0.
A2в - div
Используя выражение для А V из (6) и проводя простейшие преобразования, приходим к уравнению только для одной неизвестной в
вt - vAe +-в
+- e z, rot V в, ez
J P v _ J
Будем искать решение уравнений (2),(3), (4) в виде плоской неоднородной волны, распространяющейся в положительном направлении оси х: V
V(z)exp (ikx - iwt) u = U (z)exp (ikx - iwt) в = ©(z)exp (ikx - imt)
Подставляя эти выражения в уравнения (7), (8) и (9), получим дифференциальные уравнения для функций V ^ ), и (г ) и ©^).
Ш — 2 к 2 оВ
~Г — к
к4 — 2 IV = 0
Уравнение для © имеет тот же вид, что и для V. Из четырех линейно независимых решений первого уравнения (9) будут удовлетворять условию убывания к нулю при 7 ^
V = £ Vу ехр (—Я]2) ] = 1,2 (10)
где Я У - корни с положительной действительной частью алгебраического
уравнения
Я4 +
Я2 + к&
Аналогичное соображение справедливо для и
и = и ехр (Яz)
Re Я > 0.
Для © справедливо представление в виде суммы двух экспонент, подобное (10)
© = ^6 ] ехр (—Я]2) У = 1,2
Из граничных условий (5) вытекает следующее связующее соотношение
л л л
для амплитудных факторов VУ, и, 6 у.
л л л
¡юи = V 1 + V 2
Я161 + Я262 = 0
Г л л Л
¡Я и = — pv Ях V1 + Я2 V 2 V у
Из первого и третьего соотношений (12) следует
^ (¡лЯ — iюpvЯ у ^ у = 0
Уравнение (4) определяет следующую связь между амплитудными
л л факторами 6 у и V]
(ч 2 л
Я2 — к2 )б ] + ¡кВ V ] = 0,
которое позволяет записать второе соотношение (12) в виде
Я л Я л 2 2 V 1 + 2 _2 2 V 2 = 0 (14)
Я| к Я2 к
Условие совместности однородных уравнений (13) и (14)
я2 (я2 — к2 )(ля — ¡шpvя 1) — я1 (я22 — к2 )х х (¡Я — ¡юpvЯ 2 ) = 0 (15)
является дисперсионным уравнением для сдвиговой поверхностной волны.
Дисперсионное уравнение (15) имеет довольно-таки «непрозрачный» вид, однако его анализ облегчает учет порядка входящих в него величин, позволяющий написать приближенные формулы для действительной кг и мнимой в частей волнового числа к = к г (ш )+ ¡в (ю) в его зависимости от циклической частоты.
Интересен случай, когда влияние магнитного поля больше влияния сил вязкости и сил инерции. Как видно из выражения (11), глубину проникновения
б ОВ2 с,2
волнового поля в жидкость определяют безразмерные комплексы -. и
- типа чисел Гартмана и Рейнольдса. Величина первого комплекса
характеризует отношение пондеромоторной силы к силе вязкости, а второго 2 ов 2с2 с2
силы инерции к силе вязкости. Введем обозначения На2 =-, Re = .
Когда На 2 >> 1 и На 2 > Яе справедливы следующие приближенные выражения для я1 и я 2
С 2 2 Л 1 + -Р Ш
ч 8о 2В4у
+ г.
оВ V 2
Я2 ш Ш^ю32 + г .Р.ш32, 2 \\ 2¡лоВ2 у ¡лоВ2
где Р 8 - плотность упругого тела. В проводящей жидкости при наличии магнитного поля существуют два неоднородных волновых поля, быстро убывающих от границы раздела, а не одно, как в случае непроводящей
жидкости. Как показывают расчеты, основную энергию несет поле с показателем экспоненты X 1 ■ Поле с показателем экспоненты X 2 на низких частотах значительно глубже проникает в жидкость, но плотность энергии этого поля очень невелика.
При обычных порядках параметров, характеризующих твердую среду и жидкий металл р, Р8 «10 кг/м3 , V «10 м2 /с, / «10 Н/м2 , с« 10 См/м в сильном магнитном поле В « 1 Тл для X ^ и X ^ имеем оценку в единицах СИ Х1 « 104(1 + 10-7ю2)+ 110®,
Х2 « 10-5ю^ + /10
- 5ю3/2.
Здесь опущены единицы размерности у числовых величин. Приведенные оценки позволяют записать дисперсионное уравнение (8.60) в следующем приближенном виде
+—ю
Не представляет особой сложности из уравнения (8.62) записать выражение для действительной и мнимой частей волнового числа. Однако эти выражения остаются все еще достаточно длинными. Возможно дальнейшее упрощение их при учете того, что даже в сильных магнитных полях и при высокой проводимости жидкости очень малы безразмерные комплексы vрсВ2 V2р4ю2 , „ _
—- и ———— (второй безразмерный комплекс мал, если циклическая
/ир5 4/р]
частота не превышает 1010 Гц). Разложение в ряд по малым безразмерным комплексам и удерживание первых слагаемых позволяет записать следующие приближенные выражения для действительной части волнового числа и коэффициента затухания
. 312 р 1/2
Выражение для коэффициента затухания имеет тот же вид, что и в отсутствие магнитного поля. Как видно из формул (18), влияние сильного магнитного поля на фазовую и групповую скорости сдвиговой волны превышает влияние вязкости на низких частотах. На рис.1 построена
С - СТ
зависимость безразмерной скорости ПСВ от безразмерного
комплекса на
сВ еТ рую2
при следующих трех значениях числа
Ке = Ст
г = р, равном 0,5. Ps
Рис.2 демонстрирует поведение безразмерного коэффициента затухания Рсх2п
от Re, когда г принимает значения 0,5; 0,35; 0,2.
С Ст -1(Г
\\ Яе=5
Рис.1. Зависимость скорости распространения поверхностной сдвиговой волны от На
Рис.2. Зависимость коэффициента затухания поверхностной сдвиговой волны от Re
В упругом полупространстве убывание амплитуды поверхностной сдвиговой волны при удалении от границы с проводящей жидкостью на низких
частотах
Ю< 103 Гц
характеризуется реальной частью показателя
у1/2 3,2 ^2
экспоненты Re (Л ) «--;—.
При принятых значениях параметров Яе(Л)* 10-1 ю . В то же время отсутствие магнитного поля
Яе ЛЪУ Р (19)
и имеет приближенную оценкуЯ е(Л ) ~ 10-10 ю & 2 .
Таким образом, магнитное поле уменьшает спадание амплитуды волнового поля вглубь упругого тела. При частотах более высоких
—— > 10 Гц , величина показателя Л, характеризующего экспоненциальное
убывание волнового поля вглубь упругой среды при наличии магнитного поля, быстро приближается к значению Л, когда магнитное поле отсутствует.
В заключение отметим следующее. Магнитное поле существенно меняет структуру волнового поля сдвиговой поверхностной волны в жидкости на низких частотах и практически не влияет на коэффициент затухания СПВ. Волновое поле глубже проникает в упругое тело под влиянием магнитного поля, что представляется нежелательным с точки зрения ультразвуковой дефектоскопии поверхностей невысоких частот.
Работа выполнялась при финансовой поддержке Российского научного фонда (грант № 15-19-10026).
