Спросить
Войти
И. Д. Волков, М. А. Греков
ФУНКЦИИ ГРИНА ДЛЯ ДВУХКОМПОНЕНТНОГО ТЕЛА СО СЛАБО ИСКРИВЛЕННОЙ ГРАНИЦЕЙ РАЗДЕЛА*
Что касается слоистых структур, то в двумерной постановке в явном виде получены решения для одиночной силы [4-6], одиночной краевой дислокации [7, 8] и периодической системы сил [6, 9] и дислокаций [9], действующих в соединенных полуплоскостях из различных материалов. Все эти сингулярные решения построены для случая плоской границы раздела. Вместе с тем на определенном масштабном уровне граница раздела двух сред по разным причинам не является плоской. В ряде случаев рельеф поверхности раздела формируется под воздействием процесса образования покрытий при окислении [10] или плазменном напылении [11, 12]. При некоторых условиях межфазная граница имеет тенденцию становиться неплоской в силу стремления к термодинамически равновесному состоянию, обеспечивающему минимум суммы энергии деформации и поверхностной энергии [13, 14].
Целью данной работы является построение приближенных выражений для функций Грина, отвечающих действию сосредоточенной силы или краевой дислокации, когда граница раздела имеет слабое отклонение от плоской формы.
Функция / (xi) непрерывна и |f(xi)| < l, |//(xi)| < M (M = const), а на Гс имеют место условия идеального сцепления
z = Z = xi + ieg(x i),
u-(Z)= u+(Z), ^-(Z) = (Z), Z e rc
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №05-01-00274).
© И.Д.Волков, М.А.Греков, 2007
q2 У 2 ^2 X2 ‘ Г с
^7?t n I
Qj \\Р(Ь)
vi> A
Рис. 1. Сосредоточенная сила Р (краевая дислокация Ь) около криволинейной межфазной границы.
Здесь u± = lim u(z), а± = lim а(z), u = u1 + iu2, а = апп + Іап, u1, u2 — компоz—Z ±i0 z—Z ±i0
ненты вектора перемещений соответственно вдоль осей x1 и х2; апп, ап — нормальное и касательное усилия на площадке с нормалью n (в (2) вектор n перпендикулярен к Гс в точке Z, а направление вектора t совпадает с положительным направлением касательной к Гс). Орты n, t определяют правую систему координат n, t.
В точке z1 Є 01 действует сосредоточенная сила P = (P1, P2) или имеет место краевая дислокация с вектором Бюргерса b = (b1, b2) (рис. 1).
Напряжения а^- и угол поворота и удовлетворяют следующим условиям на бесконечности:
lim а^- (z) = 0, lim и(z) = 0.
| z | —
| z | —
/\\ г/\\ 0, г £ 02, , ч Г/Ч 0, г £ 02, , ч
ст(х)= ст (г) + ^ Цг)= и (х(4)
где ст1 (г), и1 (г) — усилия и перемещения, возникающие в однородной плоскости с упругими свойствами среды 01 при действии силы или при наличии дислокации в точке г1; ст Г(г), и Г(г) — усилия и перемещения, возникшие в двухкомпонентной плоскости при отсутствии в ней внутренних источников возмущения и наличии скачков усилий Дст Г = стГ+ — стГ- и перемещений Ди Г = иГ+ — иГ- на границе раздела Г Г.
Подставив (4) в (2), находим
Аа c = а1, Au c = u1.
Введем следующие обозначения:
С( ) = / ст(г) Пк = 1, С ( ) = / стС(х) Пк = 1,
| о,, _ Сс(г,а) < ^ис ^
Г/к — —Хк, I г1к — —Хк,
( ст1 (г), П1 = 1,
С1(г,а)= & (6)
VI--* ь
где кк = (3 — ^)/(1 + ) при плоском напряженном состоянии, кк = 3 — 4^ при
плоской деформации; ^ и ^ — соответственно коэффициент Пуассона и модуль сдвига среды 0,к- Дифференцирование в (6) производится в направлении вектора 1, который составляет с осью х угол а, отсчитываемый от оси х против часовой стрелки.
Из (4) и (6), очевидно, следует
С(г, а) = Сс(г, а) + С1(х, а)$к1, г £ к• (7)
Здесь 5к1 = 1 при к =1 и 5к1 = 0 при к = 2.
Согласно [16] для функции СГ(г а) имеет место соотношение
Сс(г, а) = г]кФк(г)Фк(%) — (фк(%)Фк(%) — (г — г)Ф&к(г)^е 2г“, 2 £ Г2. (8)
Здесь Фк(г) — функции, голоморфные вне Гс и Гс; Гс = {г : г = £}. Черта сверху
означает комплексное сопряжение, штрих — производную по аргументу.
Функция ^1(2, а) является функцией Грина для однородной изотропной плоскости с упругими свойствами среды и, согласно [15], определяется по формуле
игл Т7Л2 ^ ^
са) — 1±------— 11А\\ —■— — л. —■—, £ £ 1, (9)
г — Х1 аг аг
Ыг)=1п^—^, к2(г) = (10)
х — х — х\\
При этом при действии сосредоточенной силы
М = *и Н= Р Р = Р1+гР2, (И)
а при наличии краевой дислокации
Л1 = —1, Н = , ,, 6 = 61 +*62- (12)
П(к1 + 1)
Применим к соотношениям (10) оператор с1/с1г = д/дг-\\-е~2гад/дг. Тогда равенство (9) принимает вид
Нщ НХіЄ-2іа-Н Не-2іа{г-г і) г — г\\ ~2 — ~х\\ (г — ~г\\)
Перейдем в (8) к пределу при г ^ £ Є Гс, считая, что а ^ ао, где ао —угол между положительным направлением касательной к Гс в точке £ и осью жі. Тогда равенства (5) при учете очевидного соотношения
= -2іа0 _ і 2*Є(/(жі)
приводят к двум краевым условиям относительно функций Фк, которые запишем в виде следующего одного равенства
т2Ф1(С) + т1&Г/2^2(С) - т2&Г/1^1(С) + т1Ф2(С)
— 2*е^(ж1) Ш2Ф1 (с) — Ш1Ф2+(С)
&ГП2 Ф1Ю - &ГП1 Ф2(С)
&ГП2^1(0 - &ГП1 Ф2(0
= Ш2С1(С, ао), С £ Гг, (15)
— 2*£^(Ж1) Ш2Ф1 (О — Ш1Ф2+(0
где Ф±(С)= Пт Ф(г), С £ Гс V £ £ Гс. Равенство (15) отвечает первому условию в
(2) при значениях тк = ^к, Пк = —кк (к =1, 2) и второму при тк = Пк = 1.
Представим функции Фк (г) в виде разложений по степеням малого параметра е:
к(г) = У2 ^-гФкп(г), к =1,2,
а граничные значения функций Фкп(г) и их производных на Гг и Гг — в виде соответствующих рядов Маклорена в окрестности ж 2 = 0, рассматривая переменную ж1 как параметр
♦Ью = £ фы(С) = ±
,, -П7 М(17)
т=0 т=0
Кроме того, в силу (1), (14) и малости величины е, имеем
С1(С,а0) = ^ (жье)=]Т При учете (16)—(18) и разложения
г! де&
(жь0).
соотношение (15) преобразуется к виду еп -А (ге^(ж1))
X) (—*е£Т , М < 1
то то
п=0 т=0
(V 1)тт2ф1’т )(ж1) + т1П2Ф2" )(ж0) —
(т2П1Ф1гП )(ж1) + ( —1)тт1Ф2" )(ж1^ —
-2(-1ГМх1) (т2Ф(“+1)-(Ж1) -т1Ф^+1)+(х1)) +
— 2( —1)т*е^/(ж1) | ( — *е^/(ж1^^ | X
х | (т2Ф(1™)(х1)-Ш1Ф^)(Х1)) + (тзФ^^Ж!)-т1Ф^}(ж1)) -р / / V у-~^ / /
”■= £ ^7а^р(11’0)&
ж1 £ ( — те, +те).
Приравнивая в (19) коэффициенты при е” (п = 0, 1, ...) нулю, приходим к бесконечной последовательности краевых задач Гильберта:
(т-2Ф1”(ж1)+ тщ2Ф2”(ж1^ — (т2П1Ф1”(ж1) + т^”^)) = Н”(ж1), (20)
Яю(ж1) = т2^(ж1, 0) = т2^1(ж1, 0),
— ( т2П1ф1& (ж1) + ( —1)кт1ф2& (ж1^ —
(( —1)кт2ф1& (ж1)+ т1П2Ф2& (ж0) —
к™. <Ъ(к) I
-2{-1)к 1к(т2Ф(й1 (Х1) - Ш1Ф^+(ж1))
к-‘ V %Цгг- (№1))’*
(к — .?)!
т2ф1т ^) (ж1)—т1(2к—я?+1)ф2!5) (ж1^ +
(к - Л/
т2(2к — 2^’ + 1)ф1т 5)(ж1) — т1ф2т ^(ж1)
ж1 £ (—те, +те), к = п — т, п =1, 2, . ..
+ т2 —^(*ь0),
Заметим, что Пт Нп(ж1) = 0 для всех п, поскольку $(ж1) = 0 при |ж11 > I и
| X1 | —— ^
Пт ^(ж1, е) = 0.
| X1 | —— ^
Введем обозначения
Н”(ж1)
#1”(ж1), тк = Пк = 1,
тк = Мк , ^к =
(к = 1, 2).
Тогда краевое условие (20) может быть записано в виде следующих двух:
(м2Ф1”(ж1) — М1*2Ф2”(ж1)) + (м2К1Ф1”(ж1) — М1Ф2”(ж1^ = Н2”(ж1), (23)
(Ф1”(ж1) + Ф2”(ж1^ — (Ф1”(ж1) + Ф2”(ж1^ = #1”(ж1). (24)
Согласно [15] решение задачи (23), (24), удовлетворяющее условиям (3), имеет вид
{^^1п{г) + ^{г) 1тг>0
I М2 + М1К2 ’ ’
Ф1”(г) = N Ф2”(г) = —Ф1”(г) + I”(z), (25)
+/, 1т2<0,
М1 + М2 К1 ’
Ограничимся далее нулевым и первым приближением.
- 7НХ^~ + Н^г1 —*2\\ 1т2<0, [ц210(г), 1т2 < 0.
. 1 — 21)
Подставив (27) в (25), получим выражения для комплексных потенциалов в нулевом приближении:
{—М2/0(г), 1тг> 0, Г (М2 + 1)/0(г), 1т г> 0,
Ф20(г) = Г (28)
—М1/0(г), 1тг< 0, [(М1 + 1)/0(г), 1тг< 0.
Здесь
,, М— 1 МК1 — к2 М2
М1 = —-------, М2 =-------------, /х=—.
Заметим, что потенциалы (28) отвечают действию сосредоточенной силы (при выполнении равенств (11)) или краевой дислокации (при выполнении равенств (12)) в композите с прямолинейной границей раздела Гг.
#1(ж1) = —|*#(ж1) ( — т2Ф&ю(ж1)+ тщ2Ф20(ж1^ — (т^-^Ф&ю^) — т1Ф20(ж^ —
-2(т2Ф/1о(ж1) - т1Ф&^)(х1)^ -21д,(х1) (т2Ф10(х1) - т1Ф2о(х1)^ +
+ (т2Ф10(х1) - Ш1Ф20(х1)) | + то2-^-^(жь0). (29)
Полагая в равенстве (13) г = а = ао, с учетом (1), (14) получим
_ Шщд{хг) _ 2г(ЯЛх + Н)д&{х 1) г(Н\\г + 2Н)д(х1)
е=о (хх — г\\)2 XI—гТ (хх-г^)2
(ж! - гх)3
(ж! - г{)2
Из (27) и (28) следует
Ф+о (Х1) = М2Я
(XI - гх)2&
, Ф10 (х1 ) = -М1
Я А 1 2Я(*1 - гГ)
Используя выписанные соотношения (27)-(31), можно по формулам (25) найти выражения для потенциалов Ф11 и Ф21, если определена форма искривленного участка границы раздела, т. е. функция f.
В качестве примера рассмотрим локальное искривление границы Гс, форма которого определяется равенством
Х2 = еДж!) = е1 (1 - (х /I)2)9/2 , |Х11 <1 (д = 2, 3,...). (32)
На рис. 2 представлены графики функции f при д = 2 и д = 8 (соответственно кривые 1, 2). Заметим, что при д = 2 точки х1 = ±I являются угловыми точками Гс. Производная д&(х) в этих точках терпит разрыв. При д > 2 граница Гс гладкая.
Рис. 2. Вид функций f, определяющих искривленную форму границы раздела.
Из (26)-(28) и (29)-(31) следует, что для того, чтобы получить выражения для потенциалов Ф11 и Ф21, необходимо найти следующие функции:
_1_ г л = _1_ г <а
Рз(г) = _1_ [ _А_
(£ — а)2 £ — ш ’
где а = г\\/1 или а = /I, ги = г//, Н(Ь) = /(И)/1.
Выражения для интегралов в (33) можно получить в явном виде при любом целом показателе степени д, однако в общем случае при четном д они слишком громоздки. Поэтому приведем здесь функции ^ при д = 2т + 1 (т =1, 2, ...). На основании свойств интеграла типа Коши с учетом (32) находим
( —1)&
(w2 - 1)mX(w) c11
(w — a)2
— a (w — a)2
— Q2m-1(w)
(w2 — 1)mX (w)
(w — a)3
w — a (w — a)2 (w — a)3
— Q2m-2(w)
( —1)m(2m + 1)
w(w2 — 1)m 1X (w) c31
( —l)m(2m + 1) 2
w(w2 — 1)m 1X (w) C41
(w — a)2
w — a (w — a)2
— Q2m-2(w)
В соотношениях (34) ветвь функции X(и;) = л/го2 — 1 определяется равенством л/г = 1, — полином степени к — главная часть в разложении на бесконечности первого слагаемого в квадратных скобках, соответствующего функции ^ (_?’ = 1, 2, 3, 4),
C12 = (a — 1)mX (a), C11 = (2m + 1)a(a — 1)m X (a), C23 = C12, C22 = C11,
C21 = ^(2m+ l)(2ma2 - l)(a2 - l)m~2X(a), c3i = aci2, c42 = c3b c4i = [•
Через функции Fj в явном виде выражаются интегралы /1, /2, и вслед за этим, согласно формулам (25), потенциалы Фц, Ф21. Затем с учетом (6)—(8) и разложений (16) находятся и сами функции Грина (напряжения и перемещения), которые определяются функцией G. Последняя, в силу (7), (8) и (16), в первом приближении равна G = Go + eG1. Функция Go отвечает нулевому приближению, в котором граница раздела совпадает с осью Ж1.
Для изучения характера изменения напряжений на искривленном участке границы раздела и сравнения этих напряжений с напряжениями на прямолинейной границе были проведены соответствующие расчеты в первом и нулевом приближении в предположении, что выполнены условия плоской деформации. Рассмотрена сосредоточенная сила P (P1 = 0, P2 = — Р < 0), действующая в точке Z1 = — i вдоль оси Ж2. Коэффициенты Пуассона взяты равными V1 = V2 = 0,3. В этом случае величина ц равна отношению модулей Юнга сред (^ = E2/E1). В (32) принято q = 2, е = 0,3.
Полученная картина распределения напряжений на криволинейном участке и прилегающих к нему прямолинейных участках межфазной границы, а также на прямолинейной границе, представлена на рис. 3.
В отличие от контактных усилий ann и ant, напряжения att терпят разрыв при переходе через Гс. На рис. 3 приведены графики предельных значений этих напряжений а++ и а— на Гс, где а± = lim att при Z G Гс, вектор t направлен по касательной к Гс в
точке Z. Интересно отметить, что на некоторых участках границы раздела напряжения а++ и а— имеют разные знаки в одной и той же точке.
Как и следовало ожидать, слабое искривление границы раздела приводит к ослаблению контактных усилий в средней части искривленного участка, поскольку он находится дальше от сосредоточенной силы, чем прямолинейный участок, соответствующий
■1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 ххИ -1-5 &1 -°&5 0 05 1 ХХИ
Рис. 3. Распределение напряжений на границе раздела в нулевом (пунктирные линии) и первом (сплошные) при относительной жесткости сред ^ = 3 (а) и ^ = 1/3 (б).
нулевому приближению. Вычисления показывают, что при аналогичном искривлении в противоположную сторону эффект оказывается обратным. Из рисунков видно, что вне искривленного участка границы нулевое и первое приближения сближаются.
Заметим, что угловые точки границы XI = ±1 являются сингулярными точками напряжений, поэтому в первом приближении напряжения неограничены в окрестностях
этих точек. Аналогичное поведение напряжений было выявлено в работе [18] в окрестности угловых точек границы полуограниченной области при действии продольных усилий вдали от искривленного участка.
Для более полного представления о влиянии относительной жесткости композита на напряженное состояние границы раздела построены зависимости напряжений в середине искривленного участка границы (0, е1) от величины ^ (рис. 4). При ^ = 0 граница раздела двух сред Гс превращается просто в границу среды 0,1, а при ^ ^ то упругая среда 01 контактирует с жесткой. Соответствующие предельные значения напряжений приведены в таблице.
Напряжения в середине искривленного участка границы
ч Нулевое приближение Первое приближение
пп nt °tt ®nn О nt °tt
oo 0,495 0 0,212 0,141 0,313 0 0,134 0,075
В заключение хочется отметить, что если форма искривленного участка определяется функцией f = I (1 — (x1/1)2)3/2 Qm(x1), где Qm — полином степени m, то для функций Fj в (33) также имеют место простые выражения, аналогичные (34). Таким образом, в первом приближении функции Грина могут быть выписаны в явном виде для достаточно общей формы локального криволинейного участка гладкой границы раздела двух сред.
I.D. Volkov, M. A. Grekov. Green’s functions for bonded dissimilar materials with a slightly curved interface.
The 2-D model of two-component elastic composite with a slightly curved interface is considered. The concentrated force and/or edge dislocation acts in one of the component. The solution of both problems is represented in a form of series expansion of complex potentials in terms of power of a small parameter on the base of the perturbation technique. The algorithm for deriving the complex potentials of any-order accurate solution in a closed form has been developed for a wide range of local perturbed curves. Some basic formulas are given for the first-order solution when a local deviation of the interface from the straight one is described by power functions. The stress distribution at the curvilinear interface of a certain form is analyzed for the case of concentrated force.
Статья поступила в редакцию 15 марта 2007 г.
