Спросить
Войти
УДК 624.042
А.В. Чеканин, С.И. Старостенко
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УСТОЙЧИВОСТИ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ВРАЩЕНИЯ ПРИ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ НАГРУЖЕНИИ И КРУЧЕНИИ
Публикуются результаты разработки математической модели устойчивости осесимметричных оболочечных конструкций при совместном действии осесимметричного нагружения и кручения. Для расчета используется дискретно-континуальный подход. Дискретным элементом является оболочка вращения. Для анализа используется метод перемещений. Матрицы реакций оболочечных элементов вычисляются с помощью ортогональной прогонки Годунова [1].
THIN-SLAB STRUCTURE ROTATION STABILITY MATHEMATICAL MODEL AT AXISYMMETRIC WEIGHTING AND TORSION
The article presents the results of the development of the thin-slab structure rotation stability mathematical model at axisymmetric weighting and torsion. A discrete-continuous approach is used for calculation. A discrete element in this model is a shell of rotation. The method of displacements is used for the analysis. The rigidity matrix in constructed by Godunov’s orthogonal-sweep procedure [1].
Рассматриваются только оболочки, для которых справедлива гипотеза Кирхгофа-Лява. В основу анализа положен вариант теории тонких оболочек в форме Новожилова [7]. Предполагается, что оболочки могут быть нагружены осесимметричными нагрузками и сдвигающими усилиями S. Будем использовать обозначения, принятые в [3].
A.V. Chekanin, S.I. Starostenko
E12 - V&-^ + u^ + 0102; K11 -01; K22 -62 + Ф©1 ;
K12 - 0^ - ф02 + k2V; K21 - 0&2 + k1 (u* - фv),
где K12 K21; ф ф2,1 .
Физические соотношения имеют вид
N -[C]s- D,
Т22 М11 М.
Е22 К11 К
$ Н ]Т Е, 2Кп ]
в = [ [0) о 0]Т
- к2М, = Т 21 21 - к1М 12; J
С1 с (0) 12 с1(111) с(1) 12
с(0) 21 С(0) 22 с(1) 21 с(1) 22
с (1) 11 с (1) 12 с (2) 11 с (2) 12
с (1) 21 с(1) 22 с (2) 21 с(2) 22
В(0) в(1)
в(1) в(2)
с(к) = I;
Н 1 - ^1^ 2
В(к ) = | 02кё2; в1(! ) = |
*к^(1 О 2); С1!) = С21) = I М2Е1 2кё2;
ЧР1 -М2Р2 )Т^(1 О °)(5)
Н Н1 М1М 2
Интегрирование в соотношениях (5) осуществляется по всему пакету оболочек. В качестве координатной поверхности можно выбрать либо срединную поверхность произвольного слоя, либо любую другую поверхность. Предположим, что в координатной поверхности действуют поверхностные нагрузки
г * * * * *пТ /&у&\\
Ч = [?1?2 Ч да1да2] . (6)
Тогда уравнения равновесия имеют следующий вид:
Т1 + ФТ -Т22) + $• + к1(011 + М•) + Ч* = 0;
$& + 2ф($ + к1М) + ^ + к2 (022 + М О + Ч2 = 0;
М п +ф(М11 - М 22 ) + М* - - $^2 - 011 + т1 = 0; (7)
М& + 2фМ + М2‘2 - 022 - Т220 2 - $01 + да* = 0;
Статические граничные условия на контуре записываются в следующем виде:
Ти = Т11; $ + 2к2М = Т12; 0П + М •= 0*; М„ = М*. (8)
Уравнения равновесия (7) и статические граничные условия (8) соответствуют геометрически нелинейным уравнениям равновесия и статическим граничным условиям в проекциях на оси, связанные с недеформируемой координатной поверхностью оболочки вращения.
Будем рассматривать не любые отклоненные состояния, а только достаточно близкие к основному. В этом случае дополнительные перемещения, деформации и усилия в оболочках можно считать малыми. В связи с этим нелинейными составляющими в соотношениях, описывающих поведение оболочки в отклоненном состоянии, можно пренебречь и ограничиться линейными слагаемыми. В результате получаем геометрические соотношения для отклоненного состояния:
Ц +01001 = 0; Ц +0202 = 0; Ц +0002 +0201 = 0; Ц = 0(/ = 4,5,6,7,8),
и = —Е, + и& + к ^; и2 = —Е^ + V* + фи + к,^;
^ = — Еі2 + V — ф + и; и4 = — Кц + ; -^5 = — К22 + ^2 + Ф®\\;
= —К12 + — ф^?2 + k2V =— К21 + 02 + кі (и — ф)
= К , 0 V& —— К 4- Н& 4- 1г \\и — /Ли I
Ц7 = -01 - ^ + ки; Ц = -02 - ^ + к^У.
Здесь Ц(7 = 1,...,8) являются линейными слагаемыми, не связанными с основным
Физические соотношения для дополнительного состояния имеют вид
- N + [с]8-в = 0 (11)
совместно с соотношениями (2)-(3).
Для отклоненного состояния кроме уравнений (7) должны быть справедливыми добавочные уравнения
М7 = 0(7 = 1,2,3); М4 -ТА-0Т-$0-02$ = 0;
М5 - Т20202 -00$ - $О01 -00^ 0, (12)
Мі = Ти +ф (Ти — Т22) + 5 • + кі(0п + М •);
М2 = 5 & + 2ф (5 + кіМ) + Т*2 + к2 (022 + М 0;
М 3 = бп +ф011 + 022 — к1^1 — к2Т; (13)
М 4 = М& +ф (Ми — М 22) + М •— 0П;
М5 = М& + 2фМ + М22 — 022.
Здесь Мі(і = 1,..,5) являются линейными слагаемыми, не связанными с основным
Статические граничные условия на контуре записываются в следующем виде:
Т11 = 0; 5 + 2к2М = 0; 011 + М &= 0; М11 = 0. (14)
Система 19 линейных однородных дифференциально-алгебраических уравнений (9), (11), (12) с 19 неизвестными
ф = \\ЫМ> 01 Е11 Е22 К11 К22 Т11 Т22 М11 М22 бпГ&;
Т = [V 02 Е12 К12 5М022І
с однородными статическими граничными условиями (14) описывает поведение оболочки при малых ее отклонениях от основного состояния.
N1__ N1 =
Ф(а1, а) = Ф 0(а1) + ^Ф«(а1)со8(п1а) + ^Ф п (а^пЦа);
Г1 Г1 (16)
N1 _ N1 =
¥ (а1, а) = ^0(а1) + «(а1)Б1п(и1а) + «(а1)сов(и1а).
«1=1 П1=1
В результате геометрические соотношения (9) запишутся в виде
А о + ®i ®i о = 0; Li,n + 0J 0i,n = 0; L\\,n + 0! 0i,n = 0;
L2 о +0^02о = 0; L 2,n +02 02, n = 0; L2,n +02 02, n;
L3 о +0°020 +02010 = 0; L3,n + 0° 02,n +0° 0i, n = 0; (i7)
L3,n +00 02,n +02 0i,n = 0;
L-о = 0; I,-,n = 0; Lin = 0; (i = 4,5,6,7,8).
Здесь
и,п = -Е11>И + < + V,,; _12,„ = ■-£22>„ + тп + фи + к2ып;
Ьъ,п = -Е12,п + V -ФУп - Пип; _Ц4,п = -К11,п +01,п;
Ц5,п = -К22,п + п02,п + ф01,п_; Ьб,п = -К12,п - п01,п - ф02,п + к2У&п;
Ь7,п = -01,п - Ч + к1ип; 1«,п = —02,п + ^п + к2^п ,
где п = п / ^2.
Выражения для Ьг,п получаются из выражений для Ьг,п заменой значения п на - п, а выражения для Ц 0 получаются из выражений для Ьг,п заменой значения п на 0. Физические соотношения (11) записываются в форме
— Ы0 + [С ]во = 0; — Ып + [С ] п = 0; — Ып + [С ]вп = 0. (19)
Уравнения равновесия (12) принимают следующий вид:
Мг0 = 0; Мг,п = 0; Мг,п = 0; (г = 1,2,3)
М4,0 — Т1101,0 — 00Т11,0 — ^ О02,0 — 02 ^0 = 0;
M4,n -T00i,n-007iin -S002,n-02Sn = 0 (n = i,...,Ni);
О sJT i 2 2 2 о -00 S0 - S00i,0 - - 0 0T = 2 22,0
Здесь
M i,n = Tin + Ф(Т\\\\,п - T22,n)+nsn + ki(Qii,n + M );
M2,n = S&n + 2^Sn + kiMn ) - nT22,n + k2 (Q22,n + M&n );
M3,n = Qii,n +Ф6и,п + nQ22,n - kiTii,n - k2T22,n ; (2i)
M4,n = M^n +Ф(М„,п - M22,n ) + &nMn - Qii,n ;
M5,n = M’n + 2ФМп - &nM22,n - Q22,n.
Выражения для M,,n получаются из выражений для M,,n заменой значения n на
- n, а выражения для Mi0 получаются из выражений для Min заменой значения n на 0.
Из соотношений (i7)-(2i) видно, что N i должно быть равным N i и что эти соотношения
распадаются на (1 + N1) не связанных между собой групп, объединенных одинаковыми индексами п.
Численное исследование устойчивости оболочек вращения и оболочечных конструкций, составленных из оболочек вращения, при совместном действии осесимметричных нагрузок и кручения имеет две особенности:
- нельзя выделить симметричные и антисимметричные относительно нулевого меридиана формы потери устойчивости; поэтому расчет критических нагрузок сводится к решению задачи о собственных значениях для системы обыкновенных дифференциальных уравнений шестнадцатого порядка;
- все корни характеристического уравнения являются кратными, поскольку одному критическому значению соответствуют две собственные формы, одинаковые, но сдвинутые по окружности на п/2п, где п - число окружных волн; поэтому характеристический определитель является знакоопределенным, что делает невозможным поиск его корней традиционными методами.
Для решения полученной системы используется метод ортогональной прогонки с промежуточным ортонормированием [1]. Этот метод дает возможность получить решение с любой степенью точности. Это значит, что можно получить практически точное численное значение матрицы и вектора реакций для каждой оболочки, входящей в конструкцию. После определения критической нагрузки можно получить практически точное численное значение формы потери устойчивости.
Разработанные алгоритмы численного исследования устойчивости оболочечных конструкций при совместном действии осесимметричного нагружения и кручения реализованы в виде программы CR110, входящей в состав системы автоматизации конструирования и прочностных расчетов тонкостенных осесимметричных конструкций КИПР-ПЩ [4].
Приведем пример исследования с помощью программы CR110 устойчивости оболочечной конструкции. Рассматривается сфероцилиндрический (цилиндр+2 полусферы) бак (рис. 1) со следующими характеристиками:
При кручении цилиндрической оболочки и граничных условиях, близких к условиям Навье, критическое значение сдвигающего усилия вычисляется по формуле [2]
приложенным в узле 2.
Кинематические граничные условия при потере устойчивости отсутствуют. Критическое значение параметра К сдвигающего усилия, вычисленное для цилиндрического участка бака по формуле (22), равно К* = 0.74 (число окружных волн
Я = 1193.511; Ь = 200011; И = 1611; Е = 20000 ёап/11 2; |д = 0.3.
Предположим, что конструкция нагружена погонным сдвигающим усилием
*0 = К5*0ёё = К* X 1196.0994 ёап/11 ,
п=9). Критическое значение параметра К* сдвигающего усилия, вычисленное для бака по разработанному алгоритму, равно К* = 0.65665 (число окружных волн и*=7).
Погрешность расчета по формуле (22) составляет 13.6%.
Рис. 1 Рис. 2
При нагружении цилиндрической оболочки внешним давлением и граничных условиях, близких к условиям Навье, критическое значение внешнего давления определяется по формуле Папковича [2]
*“ = Т (ЯГ (24)
Пусть далее конструкция нагружена равномерным внешним давлением
* = К^ = К* X 0.22791256 ёап/11 2, (25)
приложенным к срединным поверхностям оболочек.
Критическое значение параметра КЯ внешнего давления, вычисленное для бака по разработанному алгоритму (программе CR110) при отсутствии кинематических граничных условий при потере устойчивости, равно К* = 0.89968 (число окружных волн и*=5). Это
решение во всех знаках совпадает с решением, полученным по программе CR090 (устойчивость осесимметричных конструкций при осесимметричном нагружении) системы КИПР-IBM. Отметим, что программа для этой задачи CR090 позволяет получить эталонное решение [6, 7]. Форма потери устойчивости в сечении бака, расположенном под углом а = 18° (360°/4п ) к нулевому меридиану, изображена на рис. 2. Если проводить упрощенную оценку устойчивости бака по формуле (24), учитывая лишь цилиндрическую часть бака, то погрешность такого расчета составляет порядка 10%. Критическое значение параметра КЯ внешнего давления, вычисленное для цилиндрического участка бака по формуле (25), равно К* = 1 (число окружных волн и*=6). Критическое значение параметра
КЯ внешнего давления, вычисленное для цилиндрического участка бака по разработанному алгоритму при граничных условиях Навье, равно К* = 1.10765 (число окружных волн
п=6). Погрешность формулы (24) составляет 10,8%.
Пусть далее конструкция нагружена равномерным внешним давлением
* = К8л<£ = К*,* х 0.22791256 ёап/11 2 (26)
и погонным сдвигающим усилием
приложенным в узле 2. Кинематические граничные условия при потере устойчивости отсутствуют. Критическое значение параметра К*,* К* *, вычисленное для бака по
разработанному алгоритму, равно К* * = 0.45959 (число окружных волн п = 6).
При совместном действии внешнего давления и кручения имеем [2]
Из этого уравнения находим К* = 0.45938, что очень хорошо согласуется с более точным решением по разработанному алгоритму К* = 0.45959.
Представим внешнюю нагрузку, действующую на конструкцию, в виде
*0 = к* дкк*к;= к*,к*к; х 1196.0994 ёап/п ;
где к* - критическое значение параметра нагружения при действии только сдвигающего усилия; к9 - критическое значение параметра нагружения при действии только внешнего
давления; к*,9 - параметр нагружения при совместном действии сдвигающего усилия и внешнего давления; кк9 и кк9 - числовые коэффициенты варьирования нагрузки (изменяются в пределах от 0 до 1).
В этом случае при кк*=кк(=1 и раздельном приложении сдвигающего усилия и внешнего давления критическое значение параметра нагрузки к* равняется единице. Для построения кривой взаимодействия внешнего давления и сдвигающего усилия (рис. 3), с помощью программы CR110 были получены значения параметра к*9 при различных значениях коэффициентов кк* и кк9.
тонкостенных осесимметричных конструкций. КГРЯ-ШМ-РС/АТ 2.0: Обоснование
достоверности. Ч. 1. Линейные задачи / В.И.
Мяченков, А.В. Чеканин, Г.Н. Ольшанская. М.:
МГТУ «Станкин», 1995. 80 с.
КГРЯ-ЮМ-РС/АТ 2.0: Обоснование
достоверности. Ч. 2. Итерационные процессы /
В.И. Мяченков, А.В. Чеканин, Г.Н. Ольшанская.
М.: МГТУ «Станкин», 1998. 80 с.
Рис. 3
кручении / А.В. Павлов, А.В. Чеканин // Производство. Технология. Экология. «ПРОТЭК-2002»: тр. Междунар. науч.-практ. конф.: в 2 т. М.: МГТУ «Станкин», 2002. Т. 2. C. 408412.
Чеканин Александр Васильевич доктор технических наук, профессор кафедры «Сопротивление материалов»
Московского государственного технологического университета «Станкин»
Старостенко Сергей Игоревич аспирант кафедры «Сопротивление материалов»
Московского государственного технологического университета «Станкин»
Статья поступила в редакцию 15.11.06, принята к опубликованию 26.12.06
