Спросить
Войти
УДК 621.372
А.С. Ершов, А. А. Терентьев, В.Б. Байбурин ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ С НЕЛИНЕЙНЫМИ ГРАНИЦАМИ В МОДЕЛЯХ МАГНЕТРОННЫХ ПРИБОРОВ
Получено решение цилиндрического двумерного уравнения Пуассона методом Зейделя. В отличие от традиционно применяемых в компьютерных моделях магнетронных приборов методов определения полей, обусловленных пространственным зарядом, предложенный метод позволяет учитывать цилиндрические границы электродов, в частности разрезную структуру цилиндрического анода, конструктивные неоднородности катода и т.д. Разработанная методика предназначена для применения в компьютерных моделях М-типа цилиндрической конструкции.
Уравнение Пуассона, поля пространственного заряда, магнетронные приборы, компьютерные модели, численные методы, метод Зейделя, разрезная структура
A.S. Yershov, A.A. Terentyev, V.B. Baiburin NUMERICAL SOLUTION OF POISSON EQUATION FOR AREAS WITH NONLINEAR BOUNDARIES IN MODELS OF M-TYPE DEVICES
A solution of a cylindrical two-dimensional Poisson equation is obtained using Seidel method. Unlike traditionally used in computer models of magnetron devices methods for determining the space-charge fields, the proposed method allows to consider cylindrical boundaries of electrodes, in particular, the split structure of the anode, structural heterogeneity of cathode and etc. The developed technique is intended for application in computer models of M-type cylindrical constructions.
Poisson equation, space-charge fields, M-type devices, computer models, numerical methods, Seidel method, split structure
Компьютерное моделирование сложных электровакуумных устройств, например, магнетронных СВЧ приборов, позволяет на стадии их проектирования исследовать протекающие в них физические процессы и проводить оптимизацию их конструктивных параметров. Естественно, с увеличением производительности вычислительных средств постоянно предпринимаются попытки учесть в моделях все большее число конструктивных параметров и физических эффектов, ранее находившихся за пределами математического описания.
В частности, насущной проблемой разработки строгих численных моделей магнетронных приборов является учет реальной конструкции прибора, например, разрезной структуры анодного блока, наличие неоднородностей катода и т.д. Математические модели, использующие приближение «гладких» электродов [1, 2], не позволяют учитывать в моделях многие существенные свойства прибора.
Наиболее трудоемкой задачей является решение уравнения Пуассона и определение полей пространственного заряда с учетом сложной (разрезной) границы электродов. Конфигурация пространственного заряда, заданная в магнетронных моделях набором «крупных частиц», меняется на каждом временном шаге численного интегрирования основных уравнений модели. Это обстоятельство требует использования быстродействующих методов. Метод Хокни [3], традиционно принятый в компьютерном моделировании магнетронных приборов, и метод решения уравнения Пуассона, применим только для «гладких» границ пространства взаимодействия.
В [4] рассмотрены альтернативные численные методы решения уравнения Пуассона, в частности метод последовательных приближений (метод Зейделя), метод представления численного решения уравнения Пуассона с использованием обратной матрицы, которую можно вычислить один раз независимо от правой части и др.
Показано, что для компьютерных моделей магнетронов, в которых конфигурация электронного облака постепенно меняется, в целом образует однотипную структуру в виде электронной втулки и электронных спиц, наиболее целесообразно использовать метод Зейделя. Этот метод позволяет решать уравнение Пуассона с учетом произвольных границ рабочего пространства с приемлемым для современной вычислительной техники быстродействием.
Однако результаты и методика решения, развитые в [4], получены для уравнения Пуассона в ортогональных координатах и линейных (плоских) граничных поверхностей. Такое решение может быть использовано в приборах линейной (плоской) конструкции -планотроне, дематроне. Однако подавляющее большинство приборов М-типа имеют цилиндрическую конструкцию, и строгие численные модели магнетронных приборов основаны на уравнениях в цилиндрических координатах, что делает затруднительным непосредственное использование в них, полученных в [4] результатов.
В работе изложена методика численного решения уравнения Пуассона в цилиндрических координатах с учетом сложных границ рабочего пространства, а также результаты включения полученных методов и решений в компьютерную модель магнетрона.
Двумерное уравнение Пуассона в цилиндрических координатах имеет вид
г— Э/Эг (гЭФ/Эг)+г—2 Э2Ф/Эр2 =— р/е0 , (1)
с нулевыми граничными условиями на границе поверхностей электродов и условием замкнутости пространства по азимуту, где р = dQ|hгdгdр- плотность заряда; Q - заряд в рабочем пространстве; h - высота прибора по оси г.
Для решения данного уравнения перейдем к нормализованным координатам: х = р, у = 1п(г/гс), где гс - радиус катода или любой «характерный» радиус.
Уравнение (1) в нормализованных координатах приобретает вид
Э2 Ф/дх2 + Э2 Ф/Эу2 =—р&/е0, (2)
где р& = dQ|hdydх = р г2 - нормализованная плотность.
Представим уравнение (2) в конечно-разностной форме:
(ф,+1,1 — 2Ф,, 1 + Ф,—и )/Лг2 + (фи+1 — 2Ф,, 1 + Ф1-х)/ду2 = — 9,, 1 /е^Ау . (3)
где ц,1 - заряд в узле пространственной сетки; Дх, Ду - шаг сетки, ,=1..и, 1=1.. т; п, т - размерность сетки.
Суть метода Зейделя применительно к решению уравнения (3) заключается в следующем. Задается начальное значение Ф(О1, причем на каждом временном шаге
моделирования в качестве начального значения выбирается значение потенциала Ф,,1 , полученного на предыдущем шаге. Далее находятся следующие приближения Ф(^ в соответствии с итерационной формулой
Ф* 1 = (Лу2(Ф(+—1 + Ф(——») + Лх2(Ф(111) + ф!?) + ЛхЛу9,1/е0к)12(Лх2 + Лу2) . (4)
Итерационная процедура повторяется до тех пор, пока отличие Ф(1 от Ф(10 станет меньше заданной погрешности.
Анализ быстродействия и сходимости метода, точности расчета и сравнение с другими альтернативными методами проводились на примере конфигураций электронного облака и границ рабочего пространства, показанных на рис. 1. Причем конфигурация на рис. 1 а использовалась для сравнения метода Зейделя с методом «обратной матрицы», конфигурация на рис. 1 б - для сравнения с методом Хокни, а конфигурация на рис. 1 в - с аналитическим решением.
Рис. 1. Структура области и конфигурация электронного облака: а - с учетом разрезной структуры анодного блока; б - без учета разрезной структуры анодного блока; в - в виде электронной втулки
Рис. 2. Конфигурация электронного облака магнетрона мм-диапазона с учетом разрезной структуры анодного блока на все виды полей
Расчеты показали, что при числе узлов пространственной сетки порядка n-m = 512-16 и выше, все методы обеспечивают достаточную точность (отличие друг от друга и от аналитического решения не превышает 5%). По быстродействию на первом месте находится метод Хокни (3 с, при количестве узлов 8000), на втором - метод Зейделя (6 с), на третьем -метод «обратных матриц» (25 с). Учитывая, что метод Зейделя по быстродействию от метода Хокни отличается не более чем в 2 раза, но в отличие от него позволяет учитывать сложные граничные условия реальных магнетронных приборов, его следует считать наиболее перспективным.
На рис. 2 приведена конфигурация электронного облака магнетрона мм-диапазона с учетом влияния разрезной структуры анодного блока на все виды полей электростатического, ВЧ полей и полей пространственного заряда.
Такие приборы работают при анодных напряжениях, близких к критическим, а облако пространственного заряда занимает почти все пространство взаимодействия. Для корректного моделирования подобных приборов крайне важно учитывать влияние «краевых эффектов» на поля пространственного заряда, так как граница электронной втулки близка к границе разрезной структуры.
Описанный выше подход к решению уравнения Пуассона может быть полезен и при моделировании магнетронных усилителей с пространством дрейфа, магнетронов с неоднородным катодом, а также в трехмерных моделях [5, 6], в которых граничные условия граничные условия на электродах (по оси Z) носят принципиально неоднородный характер.
Ершов Алексей Сергеевич -аспирант кафедры «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» Саратовского государственного технического университета
Терентьев Александр Александрович -доктор технических наук, профессор кафедры «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» Саратовского государственного технического университета
Байбурин Вил Бариевич -доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» Саратовского государственного технического университета
Статья поступила в редакцию 01.11.10, принята к опубликованию 15.11.10
