Спросить
Войти
УДК 577.3
Е.К. Галанов
Док. тех. наук, ПГУПС г.С.-Петербург, РФ
ОПТИЧЕСКИЕ ФОНОНЫ, ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ ТЕРАГЕРЦОВОГО ДИАПАЗОНА
И СОЛИТОНЫ В НЕЙРОННЫХ СТРУКТУРАХ
Аннотация
Исследованы оптические фононы веерных колебаний полярных «головок» липидов, образующиеся в мембране сомы нейрона. Гамильтониан кристаллической мембраны решётки составлен с учётом диполь - дипольного взаимодействия полярных «головок», а также деформационного взаимодействия и взаимодействия диполей молекул с наведённым электрическим полем мембраны. Рассмотрено возникновение критической плотности оптических фононов веерного типа в аксоном холмике нейрона, которое индуцирует фазовый переход молекул мембраны: жидкий кристалл - гель. Фазовый переход: гош- - транс- переход молекул мембраны, Обуславливает перераспределение плотности оптических фононов в фононных ветвях и индуцирует электромагнитное излучение терагерцового диапазона.
Возникновение критической плотности оптических фононов и индуцированный фазовый переход мембраны определяют рождение и распространение по мембране аксона солитона, движение которого является спусковым механимом образования нейронного спайка.
Нейронные сети, солитоны, оптические фононы, терагерцовое электромагнитное излучение.
E.K.Galanov
Doc.tec.science PSUMC S.-Petersburg. Russua E-mail: galanov-evgenijj @rambler.ru
Abstract
Optical phonons of fan oscillations of polar "heads" are investigated. lipids formed in the membrane of the neuron soma. Hamiltonian crystalline lattice membranes is made taking into account dipole - dipole interaction of polar "heads" , as well as strain interaction and the interaction of dipoles of molecules with induced electric field of the membrane. Occurrence considered critical density of fan-shaped optical phonons in an axon knoll a neuron that induces a phase transition of membrane molecules: liquid ^stal- gel . Phase transition: gauche - - trans - transition of membrane molecules, causes the redistribution of the density of optical phonons in phonon branches and induces electromagnetic radiation of the terahertz range.
Occurrence of critical density of optical phonons and induced membrane phase transitions determine birth and distribution by the axon membrane of the soliton, the movement of which is the trigger mechanism neural spike formation.
Neuronic networks, solitons, optical phonons, terahertz electromagnetic radiation.
Введение. Амфифильные свойства липидных молекул определяют их способность образовывать мембраны биологических структур: мицелл, везикул,... В водной среде бислойные мембраны, состоящие из липидных молекул, гидрофильными полярными «головками» липидов обращены к воде, а гидрофобные «хвосты» ( образованные жирнокислотными цепями) замыкаются внутри бислоя.
Большая группа липидов - фосфолипидов может находится в разных конфармационных состояниях,
что придаёт новые свойства как самим молекулам, так и структурам (в частности, мембранам), образованным этими молекулами. Транс- и гош- изомеры фосфолипидов имеют разную структуру гидрофобных хвостов, что по своей природе обусловлено различием гибридизации электронных орбиталей углеродных связей (рис.1).
Рисунок 1 - Конформация углеродных цепей липидов в мембране. 1 - Полная транс- конформация.
Энергия транс- ^ гош- перехода фосфолипидов составляет ДЕ ~ 2кДж/моль (2кДж/моль = 0.004 эВ/молекула = 40см-1 /молекула) [ 1 ]. Величина этой энергии типична для разности энергий органических молекул разной конформации ДЕ ~ 1-10 кДж/моль = 0,002 -0,02 эВ/молекула = 20--200см-1/ молекула [1,2].
Перестройку электронных орбиталей гидрофобных « хвостов» при транс- ^ гош- переходе можно связывать с изменением обобщённого электронного параметра молекул - моментом количества движения - J (векторной суммой электронных орбитальных и спиновых моментов молекулы ). В случае молекул фосфолипидов транс- конформации J(1) соответствует более низкоэнергетическое состояние в сравнении с гош- конформацией J(2).
При образовании мембранного бислоя молекулами фосфолипидов (случай высоких концентраций фосфолипидов в воде) трансляционная симметрия мембранной структуры определяет возможность построения кристаллической структуры либо из молекул первого J(1) , либо второго J(2) типа и вероятность фазового перехода между ними.
В отличии от эффекта Яна - Теллера в молекулах и кристаллах, структурный переход изомеров фосфолипидов J(1) и J(2) не связан с наличием и снятием (под действием вибронного взаимодействия) электронного вырождения. Структуры изомеров фосфолипидов не имеют элементов точечной симметрии, при этом, отличаясь пространственной конфигурацией, изомеры J(1) и J(2) имеют энергии основного электронного состояния близкими по величине.
При температуре термостата Т=200-400ОК молекулы фосфолипидов находятся в основном электронном состоянии . Электронные энергетические уровни фосфолипидов транс- и гош- конформаций разделены интервалом ДЕ ~ 2кДж/моль = 40см-1 /молекула. Первые возбуждённые электронные уровни фосфолипидов (конформаций транс- и гош- ) отстоят от уровней основного электронного уровня на величину ДЕ > 5эВ = 50000см-1 ( типичное для органических молекул [3,4] ), поэтому при дальнейшем рассмотрении будем пренебрегать влиянием возбуждённых электронных состояний.
Основные электронные состояния молекул транс- и гош- конформаций ф(Л,0) и ф^2,0) считаем метастабильными (т.е. вероятность спонтанного и вынужденного переходов между этими состояниями
Ри(т) = 1а1,2(т)12 под действием электромагнитного излучения, а также вероятность переходов в результате релаксации поступательного, вращательного и колебательного движений) мала и следовательно время жизни в любом из состояний ф(Л,0) и ф(Т2,0) значительное т > 10-3 -10-4 сек (метастабильность может характеризоваться и существенно большими временными интервалами, например, т > 1сек, что в основном определяется разностью моментов количества движения электронных состояний ДJ = J(1) - J(2) > 2 ).
Энергетические уровни и волновые функции изолированной молекулы фосфолипида определяются из уравнения Шредингера
[ + Т(г) + V(r,R) ] ^ (гД) = Е, ^ (r,R) (1)
где г и R - совокупность координат электронов и ядер молекулы; Т(г) и Т^) - операторы кинетической энергии электронов и ядер, соответсвенно; V(r,R) - оператор потенциальной энергии взаимодействия между всеми частицами; - волновые функции молекул.
В силу метастабильности основных электронных состояний ф(Л;гД) и ф^2;гД) будем рассматривать гамильтониан и уравнение Шредингера (для каждой из конформаций) в адиабатическом приближении
Н(Л) = НМ(Л) + Tяд(Rl)
H(J2) = Шл^2) + Тяд^) (2)
где в гамильтониане Нэл(Л) и НэлУ2) независимыми переменными являются только координаты электронов ( движение электронов в поле неподвижных ядер).
Уравнение Шредингера для электронных состояний фосфолипидов
ЩЛ;гД0 ф,(Л;гД0 = ^(ЛДО фI(Л;г,Rl)
H(J2;г,R2) фI(J2;г,R2) = в1С12Д2) фI(J2;г,R2) (3)
где Rl и R2 являются не переменными, а параметрами; е^ЛДО и е^2Д2) - энергии молекул с покоящимися ядрами конфигурации (ЛД1) и У2Д2); фI(Л;г,Rl) и фI(J2;г,R2) - собственные электронные функции.
Волновые функции ^(гД^ и ^(гД2) уравнения (1) представляются в виде разложения
¥(гД0 = II Ф^ЛД) ф(Л;г,Rl)
У(гД2) = II Ф^2Д) ф(J2;г,R2) (4)
Собственные функции Ф^Л) и ФI(J2) находятся из ядерного уравнения Шредингера
[Тк + в(ЛД0] Ф1(Л) = II ЩЛ) Ф1(11) (5)
[TR + 602^)] ФI(J2) = II Ei(J2) ФI(J2) где 6(Л,Rl) и е(Т2Д2) определяют потенциальное поле, в котором движутся ядра; Ф1(Л), Ф2(Л),... Фы(Л) и Фl(J2), Ф2СГ2),... ФN(J2) - ортонормированные функции. Уравнение (5) запишем в нормальных координатах
[Т(Л^) + ] Фi(J1;Ql) = ЩЛ^1) Фi(J1;Ql)
[T(J2;Q2) + V(J2;Q2) ] Ф^^) = EI(J2;Q2) ФI(J2;Q2) (6)
Операторы кинетческой энергии Т(Л^) и Т^2^2) уравнений (6) представляют собой малые возмущения в сравнении операторами энергии возбуждённых электронных состояний.
Собственные значения энергии фосфолипидов в адиабатическом приближении выражаются как сумма энергий электронов, соответствующей равновесной (метастабильной) конфигурации, и колебательной энергии ядер.
Для основного электронного состояния имеем
Е(Л;0) = Еэл(Л;0) + II ЕКол^)
Е02;О) = ЕэлУ2;0) + II EKол(QI& ) (7)
где !=1,2,3,..^
Динамика изолированной молекулы определяется набором нормальных колебаний N = (3п-6), где п-число атомов, входящих в состав молекулы (для фосфолипидов п=40-60). Энергии колебательных квантов валентных и деформационных колебаний фосфолипидов имеют значения 3500-4000см-1[ 5].
К особому виду деформационных колебаний относятся колебания фрагментов молекулы вокруг
одиночных связей ( торсионные, крутильные, веерные,.). Энергии квантов этих колебаний равны 20-400см-1 [ 5,6,7 ].
Из набора N колебаний фосфолипидов, задаваемых координатами Q1, рассмотрим колебание, определяемое вращательным движением полярной «головки» фосфолипида относительно оси молекулы (веерное колебание) и характеризуемое обобщённой координатой а [ 9 ]. При таком колебательном движении меняется ориентация электрического диполя полярной «головки» относительно оси молекулы (длинной углеродной цепи), а в случае мембраны изменяется проекция дипольного момента «головки» на нормаль к плоскости мембраны.
[ Т(Л,а) + V(J1,а) ] Фр(Л,а) = Ер(Л,а) Фр(Л,а)
[ Т(Т2,а) + V(J2,а) ] Фр(!2,а) = Ер(!2,а) Фp(J2,а) (8)
где р=1,2,3,... -номер колебательного уровня веерного осциллятора, Фр((Л,а) и Фр(Т2,а) -ортонормированные собственные колебательные функции осцилляторов.
В работах [ 8,9 ] исследованы веерные колебания полярных «головок» фосфолипидов для случаев ангармонических потециалов V(J1,a) и V(J2,а) разной формы.
Собственные волновые функции молекул, находящихся в основном электронном состоянии, имеют вид (учитываются только колебания веерного типа полярных головок)
¥(Л,0,а,р) = !р ф(Л,0) Фр(Л,а)
¥С!2,0,а,р) = !р ф(J2,0) Фр&(Т2.а) (9)
где р и р& - квантовые уровни осцилляторов веерного типа (полярных «головок») фосфолипидов.
Концентрация изомеров Л и J2 ( ¥(Л,0) и ¥(Т2,0) ) и плотность состояний ¥(Л,0,а,р) и ¥(Т2,0,а,р) изолированных молекул фосфолипидов определяется квантовой статистикой
W(Jl,0,a,p) = 2 ехр( кТ ) 1 -Ер2,0,а,у) W(J2;0,a,p) = ехр( кТ )
Ер ехр£
~Ер1;0,сс,р) кТ
где Е(Л,0,а,р) и E(J2,0,а,p& ) - энергии стационарных состояний ¥(Л,0,а,р) и ¥(Т2,0,а,р&). Энергетическое расстояние между колебательными уровнями р=0 и р=1 веерных осцилляторов принято равным [ 7, 8 ] ДЕ(Л,0) = Е(Л,0,а,р=1) - Е(Л,0,а,р=0) = 100см"1 ; ДЕ(12,0,) = E(J2,0,а,p=1) - Е(12,0,а,р=0)
= 100см-1 .
Вследствие асимметрии потенциальной энергии веерных осцилляторов [8,9 ] при изменении заселённости колебательных уровней изменяются проекция дипольных моментов полярных «головок» молекул на ось молекулы.
Оператор Гамильтона кристаллической решётки мембраны, образованной N молекулами липидов, имеет вид [ 8 ]
Н(Л,а) = !п [ ЩЛ,а) + AWn,n±l(Л,а) ]
Н&(12,а) = !п [ Hn(J2,а) + AWn,n±l(J2,а) ] (11)
где Hn(Л,а) и Hn(J2,а) - гамильтониан изолированной п- молекулы , AWn,n±l(Л,a) и AWn,n±l(J2,а) - гамильтониан диполь-дипольного взаимодействия п- молекулы с соседними молекулами (п ± 1) . Взаимодействием с дальними молекулами пренебрегаем.
Оператор диполь-дипольного взаимодействия имеет вид
f-P;i Рт) (Гпт)2 Гп)(рпгт)
AW (рп,рт)= (.гпт)2 (12)
где pn и pm - операторы дипольных моментов «головок» молекул липидов, m =n ± 1 ; rn,m - радиус вектор.
В случае мембраны, образующей сферу (модельная мембрана тела нейрона ), волновую функцию молекул, соответствующую оператору Гамильтона (11), можно представить (в нулевом приближении ) в виде
¥k(J1,0,a,p) = N-1/2 In^(J1,0,a,p; (0 + n0o; P + nPo) ) exp(ikn) (13)
¥k(J2,0,a,p) = N"1/2!n ¥(J2,0,a,p& ; (0 + n0o ; в + nPo) ) exp(ikn) где 0 и в - углы, определяющие положение молекулы на сфере; k = ( 2п rn/N 0o + 2п n2/N2Po ) -волновой вектор кристаллической решётки мембраны ; N = N1 N2 ; ¥(J1,0,a,p ; (0 + n0o ; P + nPo) ) и ¥(J2,0,a,p& ; (0 + n0o ; P + nPo) ) - волновые функции изолированных молекул.
При малых перекрываниях волновых функций соседних молекул получим выражение для собственных значений гамильтониана
Ek(J1,0,a,p) = E(J1,0,a,p) + 2J1kcos(k(0,P) ) Ek(J2,0,a,p) = E(J2,0,a,p) + 2J2kcos(k(0,P) ) (14)
J1k=S ^k(J1,0,a,p)AWn, n±1(J1,a)^k* (J1,0,a,p) d0 dP J2k = S ^k(J2,0,a,p&) • AWn, n±1(J2,a) • ¥k* (J2,0,a,p) d0dP где E(J1,0,a,p) и E(J2,0,a,p& ) - собственные значения гамильтониана (2) изолированных молекул фосфолипидов.
Разрешённые моды колебательных ветвей ( р и р& ) определяются симметрией мембраны. Симметрия сферической мембраны относится к трёхмерной группе вращений О ; базисными функциями представлений этой группы являются полиномы степени l [ 10 ]
P = Ia,b Cab(x + l y)a (x - l y)b Z(l -a -b) где разность (a-b) может принимать значения от —l до +l .
В сферических координатах R, 0, P полиномы степени l записываются в виде произведений
¥Um(R, 0, P) = Rl Ym(0,P )
m = -l,...+ l (15)
Ym(0,P) = 1/2nPml
В случае тонких мембран (Ro » d ; Ro - радиус и d - толщина мембраны) имеем l = 0; Rl - представляет собой нормированную константу - радиус мембраны. Из всех сферических функций разрешены лишь функции (моды) с l = 0, m = 0. Ограничение l =0 и m = 0 означает, что из всех стационарных состояний ¥k,z,m возможны лишь состояния с волновым вектором равным k = 0. ¥k=0(J,0,a,p).
В реальных мембранах тела нейрона это ограничение снимается, так как: 1) мембрана сомы нейрона не является идеальной сферой; 2) трансляционная симметрия мембраны (образованной из молекул липидов) тела нейрона нарушается белковыми структурами, служащими каналами проводимости для ионов K+, Na+, Cl-,...; 3) рассмотренные оптические фононы взаимодействуют с другими фононами мембраны.
В приближении можно считать, что волновые векторы k могут меняться в узком диапазоне k « 0 -2п/100 (домены кристаллической решётки).
В случае цилиндрической мембраны (модельная мембраны аксона) элементами симметрии являются: ось вращения N1 - порядка (Z -ось) и трансляция вдоль оси Z ( N2 ^œ).
Волновую функцию кристаллической решётки мембраны аксона можно представить (в нулевом приближении) в виде
¥k(J1,0,a,p) = N"1/2!n^(J1,0,a, p; (Zo-n; 0o n) )• exp(i kn) (16)
¥k(J2,0,a,p&) = N"1/2!n ¥(J2,0,a,p&; (Zo-n; 0o n) ) exp(i kn) где N = N1N2 ; координаты Zo-n и 0o n - определяют положение молекул в цилиндре (мембране аксона) ; k =(2п n/N10o + 2п n/N2Zo ) - волновые векторы кристаллической решётки мембраны; Zo и 0о -расстояние между соседними молекулами решётки.
Собственные значения гамильтониана кристаллической решётки определяются выражением (14). Параметры кристаллической решётки и дипольный момент полярной «головки» фосфолипидов приняты как в работе [ 8 ]. Величина энергии диполь - дипольного взаимодействия полярных «головок» фосфолипидов для фазы Л взята равной 50% величины энергии этого взаимодействия в случае J2 фазы.
Е|эВ)
-5.0И ______—
-*/2р П/О!
Рисунок 2 - Зонная структура оптических фононных ветвей р& У2) и р (Л) мембраны, образованной молекулами липидов. Энергия колебательных ветвей отсчитывается от основного электронного уровня,
величина которого принята равной -5эВ = -50000см-1.
На рис.2 представлена схема энергетических зон, образованных колебательными уровнями веерных осцилляторов полярных «головок».
Значения колебательных энергий отсчитываются от основного электронного уровня молекулы, величина которого принята равной -5эВ = - 50000см-1(типичная для органических молекул типа липидов [ 3,4 ]).
Волновые функции мембраны аксона имеют вид
(Л,0,а,р) = №1/2 !п ¥(Л,0,а,р; ^п) кп) (17)
У2,0,а,р&) = №1/2 !п ¥(12,0,^&; (^п) кп)
где к = 2л-п/№2о
При температуре То = 315оС плотность заселённости энергетических уровней р = 0,1, 2,... осцилляторов веерного типа для к = 0 составляет №=1=^=0^0,633, ^=2=^=0-0,4016,... №=6=№=0^0,067[9 ].
Асимметричность веерного колебания полярной «головки» фосфолипидов определяет величину изменения радиальной составляющей дипольного момента полярной «головки» ( а также изменение напряжённости электрического поля мембраны [ 9 ] ) при изменении заселённости колебательных ветвей (изменении плотности оптических фононов ).
Плотность оптических фононов мембраны тела нейрона зависит не только от температуры окружающей среды, но также от мощности накачки этих фононов ( разной длины волны X =2п/к ), осуществляемое посредством мембраны дендритов и синапсов [ 11 ]. Только в мембране тела нейрона эти оптические фононы имеют большие длины волн X = 2п/к = 5-20мкм»а, где а - расстояние между соседними молекулами фосфолипидов в мембране.
С ростом плотности оптических фононов (веерного типа полярных «головок» фосфолипидов) мембраны тела нейрона происходит деполяризация мембраны, которая в аксоном холмике может достигать критического уровня.
Н(Т,а) = !п [ ЩТ,а) + ДWn,n±l(J,а) +D(J,a) ] (18)
гле НпУ,а) - гамильтониан изолированной молекулы; Д^,п±1^,а) - оператор диполь-дипольного взаимодействия соседних молекул; Dn,n±l(J,a) - оператор деформационного взаимодействия. В операторе Dn,n±l(J,a), как и вслучае оператора Д^,п±1^, а) , взаимодействием между дальними молекулами пренебрегаем.
Наличие энергии деформационного взаимодействия при переходе молекулы (находящейся в мембране) из электронного состояния J2 в Л (и, обратно) уменьшает вероятность локальных переходов, т.е. к =2п/а-2п/10а.
Деполяризация мембраны тела нейрона, обусловленная ростом плотности оптических фононов веерного типа ( с к ~ 0) полярных «головок» фосфолипидов, делает необходимым учитывать влияние этого поля (радиального электрического поля Еэл.к=0) [ 9 ]
Н(1,а) = !п [ Нп(Т,а) + AWn,n±l(J,а) + Dn,n±l(J,а) + !п Еэл .к=0- dn,м ] (19)
где Еэл.к=0 - электрическое поле мембраны ( домена мембраны), создаваемое оптическими фононами веерного типа ( к ~ 0 ) полярных «головок» фосфолипидов; dn,м - оператор дипольного момента молекулы.
Переход мембраны тела нейрона из состояния ¥к~0( J2,0,a,p&) в состояние ¥к~0(Л,0,а,р), осуществляемый при достижении критической плотности оптических фононов, можно рассматривать как фазовый переход мембраны, индуцированный критическим электрическим полем. Этот фазовый переход является спусковым механизмом зарождения нейронного спайка.
Переход из состояния ¥к~0У2,0,а,р&) в состояние ¥к~0(Л,0,а,р) вызывает перераспределение плотности фононов веерного типа в разных ветвях р и р& с различными волновыми векторами, что определяет вероятность переходов с возбуждённых колебательных уровней на нижние уровни с соблюдением условий АЕ = Ер=+1 - Ер= и Ак ~ 0; энергии квантов электромагнитного излучения соответствуют диапазону АЕ = 50-120см-1 ( X = 200-80мкм).
Скорость движения переднего фронта спайка по аксону нейрона определяется скоростью движения ( по мембране ) волны критической плотности оптических фононов (V = dE/dk, к ~ 0) и скоростью движенияфазовой границы (границы двух фазовых состояний кристаллической решётки мембраны ¥к~0(Г2,0,а,р) ^^к~0(Л,0,а,р).
Плотность оптических фононов веерного типа в мембране тела нейрона и мембране аксона определяется накачкой этих фононов (оптических фононов разных ветвей р& =1,2,3,.) и потерями. Потери обусловлены взаимодействием фононов мембраны с прилегающим водным раствором [ 11 ] и излучением электромагнитных волн кг = АЕ= Ер=+1 - Ер=1 = 50-120см-1.
Движение критической объёмной плотности оптических фононов веерного типа по мембране аксона является динамическим процессом. Этот процесс вызывает фазовый переход мембраны Е1¥к~0У2,0,а,р1& ) ^ ^к~0(Л,0,а,р) . Одновременное движение критической плотности оптических фононов и границы двух фаз J2 и Л можно рассматривать как движение солитона. Движение солитона по аксону осуществляется с малыми потерями.
При распространении волны критической плотности фононов веерного типа, начиная с аксонного холмика, величина этой плотности в мембране аксона увеличивается за счёт уменьшения удельного объёма мембраны ( V/L - объём мембраны на единицу длины аксона ) вследствие уменьшения диаметра мембраны аксона. Это увеличение объёмной плотности фононов позволяет перемещаться переднему фронту волны с высокой скоростью и на большие расстояния до терминалей аксона и пресинаптических окончаний, в которых плотность фононов достигает максимальной величины.
Список использованной литературы:
© Галанов Е.К., 2020
УДК 57.011
Б.С. Доброборский
канд. техн. наук, доцент, ООО «СПбГАСУ-Дорсервис» г. Санкт-Петербург, РФ Е.Е. Медрес канд. экон. наук, доцент СПбГАСУ г. Санкт-Петербург, РФ
О ГОМЕОСТАЗЕ С ПОЗИЦИИ ТЕРМОДИНАМИКИ БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Аннотация
Проведены теоретические исследования гомеостаза и его роли в функционировании живых организмов как неравновесных термодинамических систем. Установлено, что гомеостаз представляет собой комплекс процессов, направленных на обеспечение оптимального неравновесного термодинамическому состоянию живого организма в зависимости от условий его функционирования.
