Пространственно-временные связи Самоорганизую- щихся систем (собственное пространство и собствен- ное время)

ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ СВЯЗИ САМООРГАНИЗУЮЩИХСЯ СИСТЕМ (СОБСТВЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО И СОБСТВЕННОЕ ВРЕМЯ)

М.Р. КОРОТКИНА, профессор кафедры физики МГУЛа, д.ф.-м. н.,

А.Б. БУРЛАКОВ, ст. н. с. биологического факультета МГУ, к. б. н.,

Г.М. УМАРОВ, аспирант биологического факультета МГУ

В настоящее время большое внимание уделяется проблеме пространственно-временной организации биологических систем [1]. При этом подходе используется обычное трехмерное пространство и время. В этом случае пространство и время между собой не связаны.

Проведенная обработка экспериментальных данных, полученных при дистантном воздействии друг на друга эмбрионов на разной стадии их развития показала, что эволюция систем происходит в ее собственном времени и собственном пространстве, которые между собой связаны и имеют направление эволюции «стрела времени» [2] (собственное время биосистем), организующая её пространственную конфигурацию, схематично представлена на рис. 1.

В такой постановке «время» материализовано через пространственную конфигурацию системы. Вдоль стрелы времени масштабы между «пространственными витками» изменяются. Пространственная конфигурация системы (схематично представленная на рис. 1 в виде сужающейся и расширяющейся спирали) - собственное пространство системы, которая расширяется и сужается в определенные моменты времени.

В процессе эволюции система проходит ряд состояний, которые группируются в пару - детерминированное и хаотическое состояния, порожденное неустойчивым равновесным состоянием (детерминированный хаос). Ход эволюции системы схематически представлен на рис. 2 и рис. 3.

Рис.1

[д]—* [х;

ттО) -----------► уО). ,

Д і+2 А 1+2

Ді—►Х,

Ді+і-------►х

І+1

„(2) -------► у (2).

Д і+2 Л 1+2

Рис. 3

>Б2 —► Х2--------------► Б4-----► Х4--------► Бй-------► Х8------►

Рис. 4

Эти состояния отличаются тем, что в случае рис.2 система из хаотического г&-го состояния переходит в (і + 1)-е — детерминированное состояние. В случае рис. 3 система из хаотического (і + 1)-го - состояния переходит в два (і + 2)-х детерминированных состояния. В общем случае из (г + 1)-го - хаотического состояния возможен переход в большее число (к-состояний) (і + 2)-х - детерминированных состояний.

В биосистемах одним из возможных видов хаотичного состояния являются биосо-литоны [3]. Возможны другие многочисленные формы хаотических состояний.

Детерминированными состояниями для эмбрионов в процессе эволюции являются состояния с двумя бластомерами, четырьмя бластомерами и т.д. (рис. 9). Переход из состояния с двумя бластомерами к состоянию с четырьмя бластомерами осуществляется через состояние детерминированного хаоса (описывает деление

клеток). Таким образом, нормальный ход эволюции эмбриона можно представлен схематически на рис. 4, где Б2п- число бластомеров:

При дистантном воздействии имеет место эффект наложения двух нормальных эволюционных путей развития эмбриона с разными начальными стадиями (рис.5). В этом случае для обоих эмбрионов нарушается нормальный ход развития (рис.4). Все нарушения нормального хода эволюции происходят в хаотических состояниях (2~ состояние торможения развития).

Гипотеза. Два эмбриона при дистантном воздействии изменяются синхронно: прямой сигнал они испускают в детерминированном состоянии, отклик системы формируется в хаотических состояниях.

Схематически путь развития эмбриона можно представить в виде стрелы эволюции системы - переход из состояния п в состояние (п + 1) и т.д. Состояние п есть детерминированное состояние (состояние равновесия). Для перехода из состояния равновесия п в состояние равновесие п + 1 состояние равновесия п должно стать неустойчивым (перейти в состояние детерминированного хаоса рис.6).

На рис. 6 схематически представлена стрела эволюции для процесса, изображенного на рис.2. Для нормального процесса, представленного на рис.З, стрела эволюции имеет более сложный характер и схематически представлена на рис.7. В этом случае на некотором уровне развития, например п, имеется несколько равновесных состояний («к» возможных состояний равновесия уровня и). При дистантном воздействии ход эволюции, представленный на рис.7, заменяем на новый эволюционный путь, представленный на рис.8. Обычный путь эволюции

предполагает переход п —»(п + 1), а при дистантном воздействии имеет место новый переход (п - 1) —> (п+ 1). Что происходит при этом в п-состоянии? Если предположить, что «-состояние имеет возможные «к, - равновесные состояния, а (п + 1) - состояние имеет (п + 1)к2 - равновесных состояния и некоторые их них «синхронны», например, пт ~ (п + 1)т2, тогда эмбрионы при эволюции проходят состояния (п - 1) —» Ппп ~ (п + 1)то —» (п + 1). Если нормальный путь эволюции эмбриона представленный на рис.6 и рис.7 является устойчивым, то «ненормальный» путь развития эмбриона при дистантном воздействии (рис.8) является неустойчивым и может существовать в очень малые интервалы времени.

■>ь2

Рис. 5

П+к

-П+1

• п :п-1

• П~Ыт

• п-1

Рис. 8

Рис. 10

Предложенную схему эволюции эмбриона используем для объяснения экспериментов по дистантному воздействию и его математическую обработку [4]. В качестве возможной иллюстрации процесса используем решения логистического уравнения, полученные на ЭВМ. Логистическое уравнение дает закон перехода системы из состояния п в состояние (п + 1):

Хп+1 = аХп(1-Ха),

где Хп - численность популяции в момент времени = пт (г - масштаб времени); параметр «а» определяет связь системы с внешним миром(открытая система) и называется параметром управления. Зависимость Хп от «а» представлена на рис. 10. При а = ак - е, где е > 0 (малая величина) имеет место спонтанное разветвленное решение (детерминированный хаос).

При переходе через а*, т.е. при а -ак*+£, где е > 0 (малая величина), появляется несколько ветвей, каждая из которых подобна ветви из интервала 0 < а < а\\ . В точках а** наблюдается фрактальность «пространства и время». Роль « собственного пространства» играют значения У„, которые группируются по определенному закону. Точки бифуркации аК, ак+1 стремятся к ак*. Роль собственного время играют значения параметров ак, которые имеют размерность частот и являются собственными частотами системы. При этих частотах (точки бифуркации решения) в системе формируются биоритмы определенной частоты. Например, при а = а\\ возникают ритмы периода 2 и т.д. Масштабные параметры группировки были получены Фейгенбаумом с использованием формул:

<5= Ыш (ап+1 - ап)/(ап+2 - ап+1): а = 1лт (- (1п/йп+\\).

В первом интервале 0 < а < а\\* эти величины имеют значения:

д = 4,66920160910299097......

а = 2,502978750958928485.....

Эволюция популяции идет по схеме:

(аД У1)====^(а2*,12)=====*.......

...=======НКа„\\Ул)======* (2)

где Ук - собственное пространство системы в момент а = ак . Значения а.\\ , а2*.определяют интервалы (ап , ап+1 ) собственного времени системы с масштабом дп. Собственное пространство системы определяется последовательностью Уп = У (ап) с масштабами ап.

С использованием решения логистического уравнения (1), представленного на рис.9, можно качественно объяснить начальные этапы развития эмбриона от образования 2-х бластомеров до образования 16-ти бластомеров и т.д.:

бифуркации решения а і—>. ..а^—> а\\ соответствуют перестройкам в клеточных мембранах.

Из 2-х бластомеров возникает 4 бластомера. Каждый бластомер делится на 2 бластомера. Схема развития эмбриона представлена на рис.9.

Деление бластомеров.

а. два бластомера

>—< 1—> V

Процесс деления таким образом идет условно до образования 16 бластомеров. Этот этап развития качественно описывает решение логистического уравнения (рис.9) в интервале частот 0 < а < щ*. В этом интервале в точках бифуркации при частотах а* имеет место удвоение решения (вилка), что соответствует решению Уп = X(п; а) периода

При увеличении бластомеров от 16 до 64 деление бластомеров идет за счет увеличения слоев. Рождение второго слоя схематически представим в виде (а).

В этом случае между двумя бластомерами возникает третий(2 -> 3).Новый ряд связан с телесным углом 0Ка £2 (увеличение бластомеров по параллелям).

Решения логистического уравнения качественно описывают такой процесс деления в

интервале частот а\\ < а < аг ( три ветви решения).

б) следующий этап размножения связан с возникновением третьего слоя (4 —» 5) (этот слой связан с телесными углами икс £2

(увеличение бластомеров по параллелям) и с углами (р\\ с Ф{ увеличение бластомеров по меридианам)) и схематически представлен случаем (б)

Решение логистического уравнения качественно описывает такой процесс деления в интервале частот аг* < а < аз*(пять ветвей решения).

Следующие слои образуются различными сочетаниями схем разложения (а) и (б).

Стрела пространство-время или пространственная организация в ее частотном интервале найдена экспериментально астрофизиками при изучении динамики галактик и биологами при изучении дистантных взаимодействий биосистем. Для биологических систем в качестве иллюстрации биоритмов имеем рис. 11.

На рис. 11 представлен эксперимент позволяющий проследить динамику развития определенного участка клетки, содержащего несколько фрагментов. Временной цикл, который раскручивается по спирали на

состояниях 1 —> 2.....5 —> 6 и нового витка

на состояниях (1) 1 —> 2....5^6 (6) и т.д.

можно увидеть на рис. 11. Переход от одного состояния к другому внутри одного цикла определяют времена (т^ т2.. .т6).

При этом хорошо просматривается различный характер дистантного воздействия разных фрагментов.

Состояние (1) характеризуются тем, что фрагменты определенным образом ориентированы относительно диагонали (ДД).

Состояние (2) характеризуется тем, что фрагменты определенным образом ориентированы относительно линии(1Х).

Состояние (3) характеризуется тем, что фрагменты полностью заполняют все пространство с фрактальной структурой.

Состояние (4) характеризуется тем, что фрагменты определенным образом ориентированы относительно диагонали (ММ), которая повернута относительно диагонали

ОЦП) на ± . Можно допустить параллельную симметрию расположения фрагментов относительно направления (ММ): направление ориентации (М\\М\\) симметрично относительно направления (ММ) направлению ориентации (М2М2). Аналогично, в состоянии (1) фрагменты симметрично расположены относительно направления (ДД): направление ориентации (Д\\Д\\) симметрично относительно направления (ДД) направлению УШУ

Состояние (5) характеризуется тем, что фрагменты определенным образом ориентированы относительно линии

(ЯЯ).Можно допустить коническую симметрию относительно (ИЕ)\\ направление ориен-тации(/?1/?1) симметрично направлению №/?2)- Аналогично, в состоянии (2) наблюдается коническая симметрия относительно линии (ЬЬ):

Направление ориентации (Ь\\Ь\\) симметрично направлению ориентации^/^).

Состояние (6) характеризуется лучевой симметрией по направлениям (<2161), .....,(<2464). В этом состоянии все фрагменты имеют форму шаров определенного размера.

Поворот диагонали (ДД) в состоянии (1) на 5л/2 в состоянии (4) - диагональ (ММ) доказывает,что имеет место внутри цикла (1) —> (6) спиральная форма ориентации пространственно-временного или частотнопространственного хода эволюции системы.

Внутри цикла (1) (6) состояния

можно объединить в пары: (1) и (4); (2) и (5); (3) и (6). Фрактальную структуру состояния (3) можно изучать, используя лучи

Схема ориентации пространства:

Рис. 12

Изменение углов ориентации:

Рис. 13

Полный переход 1 ———> Г , т.е. 2x2л: (два оборота).

Самый сложный переход 1 —5жП > 4 (один оборот 2к + л/2, рис. 12)

Ориентация собственного пространства определяется углами изображенными на рис. 13 . Собственные времена т\\г...

[ 0:(т^зя/4

Частотно-пространственная

(О :(0)Ь3л/4)],......

где со = 1/т.

Экспериментальные данные, представленные на рис. 11 (стр. 84), получены на кафедре эмбриологии сотрудниками Бурлаковой О.В. и Никерясовой Е.Н. под руководством зав. кафедрой Голиченкова В.А.

Астрофизики [5] установили экспериментальным путем, что космическое пространство и космическое время неоднородны. Эту неоднородность можно интерпретировать как пульсирующую пространственно-временную организацию нашей галактики, которую они экспериментально наблюдают. Можно усилить это утверждение приняв, что космическое пространство и космическое время связаны между собой и организуются в виде стрелы пространство-время (рис.1), которую они интерпретируют, как неоднородность пространства и время.

По всей вероятности полученный результат можно считать первой попыткой поиска путей к установлению фундаментальных законов природы. Первый из этих законов - пространственно-временная или частотно-пространственная связь любой эволюционирующей системы (на примере биологических объектов и астрофизических исследований космического пространства и космического время).

Эволюция эмбриона намного сложнее, чем рассмотренная схема логистического уравнения (1). Однако, согласно экспериПространственно-временная стрела эволюции системы:

ментальным данным (рис. 11) движение гранул в отростках меланофора носит циклический характер с различными временными масштабами (т1 - Тб), представленными в виде стрелок. Каждое из состояний (1) - (6) характеризуется своей кластерной структурой (пространственная организации системы, связанная с временами х\\ - ть).

Построенные сечения Пуанкаре (хп+\\^сп) с использованием экспериментальных данных позволили обнаружить кластерную структуру БФК, БФВ и БФБ в виде замкнутых геометрических фигур, где приняты обозначения: БФК - биофотон кластеры, БФВ - биофотон воды, БФБ - биофотон биологического объекта.

Литература