Исследование упругой анизотропии открытопористых материалов

Исследование упругой анизотропии открытопористых материалов

Д.А. Черноус, С.В. Шилько

Институт механики металлополимерных систем им. В.А. Белого НАНБ, Гомель, 246050, Беларусь

Для прогнозирования эффективных упругих характеристик трансверсально-изотропных открытопористых материалов реализован подход, заключающийся в выделении стержневого структурного элемента в виде эллипсоида вращения. Полученные расчетные зависимости упругих модулей от параметра анизотропии при различном содержании твердой фазы сопоставляются с известными экспериментальными данными и результатами использования альтернативных моделей.

Study of elastic anisotropy of open-porous materials

D.A. Chemous and S.V. Shilko V.A. Belyi Metal-Polymer Research Institute NANB, Gomel, 246050, Belarus

To predict effective elastic characteristics of transversal isotropic open-porous materials we have developed an approach where a rodshaped structural element is considered as an ellipsoid of revolution. The obtained calculation dependences of elastic moduli on the anisotropy parameter at varying solid phase content are compared to known experimental findings and results obtained with alternative models.

Как правило, природные и искусственные поромате-риалы имеют определенную степень анизотропии структуры и физико-механических свойств. В частности, сильная анизотропия древесины обусловлена клетками с оболочками в виде эллипсоидов (рис. 1, а) и каналами, ориентированными в направлении роста (рис. 1, б) [1]. Функциональность органов опорно-двигательной

и зубочелюстной систем (кости, суставы, периодонтальная связка), оптимально приспособленных к восприятию нагрузок, также обусловлена специфическим расположением структурных ячеек (рис. 1, в). Таким образом, анизотропия пористых биотканей обусловлена их естественной адаптацией к внешнему воздействию [2].

Распространенной технологией получения пористых металлов и полимеров является вспенивание рас© Черноус Д.А., Шилько С.В., 2006

плава материала-основы. Установлено, что получаемые при этом структурные ячейки вытянуты вдоль направления вспенивания (рис. 2).

Так, газовые включения закрытопористых материалов по своей конфигурации близки к эллипсоидам вращения, у которых большая ось эллипсоида соответствует направлению вспенивания (рис. 2, а).

Аналогично при формировании открытопористых материалов длина ребер ячеек вдоль направления вспенивания превосходит длину ребер иной ориентации (рис. 2, б). Для характеризации структуры вводится параметр анизотропии А, равный отношению длин ребер, ориентированных относительно вспенивания в продольном и поперечном направлениях. Если технология получения пористого материала позволяет обеспечить равномерное вспенивание по всем направлениям, то А = 1. В общем случае А > 1. Открытопористый материал в направлении вспенивания характеризуется наименьшими значениями податливости, пределов прочности при растяжении и сжатии. Это может быть использовано при создании пористых имплантатов, обладающих высокой проницаемостью на мезоскопическом уровне и соответственно хорошей вживляемостью при достаточной жесткости в направлении действия нагрузок.

Перечисленные материалы можно считать трансвер-сально-изотропными с плоскостью изотропии, перпендикулярной направлению вспенивания.

Для описания механического поведения пористых материалов с объемной долей твердой фазы в пределах 0^30 % может использоваться стержневое приближение [4] с выделением структурного элемента (ячейки периодичности), содержащего один узел с соединенными в нем стержнями. На основе стержневого приближения и метода выделения структурного элемента ранее авторами была предложена математическая модель деформирования изотропных открытопористых материалов

Предложенные к настоящему времени модели деформирования анизотропных пороматериалов имеют существенные недостатки:

Для учета анизотропии структуры реальных открытопористых материалов в настоящей статье предлагается модифицировать метод выделения структурного элемента [5, 6]. Предполагается, что полученная математическая модель позволит устранить перечисленные недостатки известных расчетных подходов.

Одностержневой элемент. Для анализа деформирования анизотропного открытопористого материала используем метод выделения структурного элемента, изложенный в работе [5]. В качестве такого элемента рассмотрим эллипсоид вращения с полуосями а и Ь (рис. 3). Отношение большей полуоси Ь к меньшей а является параметром анизотропии А. В центре структурного элемента расположен недеформируемый сферический узел радиуса г, в котором соединяются N хаотически ориентированных стержней с площадью поперечного сечения Материал стержней (твердую фазу) будем считать изотропным линейно-упругим с модулем Юнга Еf и коэффициентом Пуассона VКомпоненту тензора макроскопического напряжения а у, действующего в структурном элементе, будем определять как

Рис. 2. Мезоструктура закрытопористых (а) и открытопористых пен [3] в сечении, перпендикулярном (б) и параллельном (в) направлению вспенивания

Рис. 3. Одностержневой структурный элемент для анализа изотропного (а) и анизотропного (б) пористого материала

частную производную от объемной плотности энергии деформирования ю по соответствующей компоненте тензора макроскопической деформации г у:

ау =^—. (1)

Здесь п у = г у при i = j, п у = 2г у = у у при i ф]. Для нахождения величины ю усредним энергию деформирования одного стержня Ж, умножим ее на количество стержней N и разделим на объем структурного элемента V:

ш = ^«. (2)

В последнем равенстве усреднение производится по углам ф и 0 (рис. 3, а), которые определяют ориентацию стержня в пространстве.

Энергию деформирования стержня можно выразить через продольную Е1 и поперечную Еп компоненты силы, действующей на конец стержня (рис. 3): и ип

Ж =/ +/ Fndu п. (3)

Здесь и1, ип — продольное и поперечное перемещения конца стержня соответственно. В дальнейшем будем рассматривать открытопористые материалы с малой (менее 0.3) объемной долей твердой фазы Уf, когда ребра ячеек являются достаточно тонкими и можно пренебречь их поперечной жесткостью по сравнению с продольной. В правой части равенства (3) можно оставить только первое слагаемое. Так как материал стержня рассматривается как линейно-упругий, продольная сила Е1 связана с текущим продольным перемещением и 1 следующим образом:

Е1 = £ и 1’

где Ь — длина «свободной» части стержня (вне узла). Тогда для энергии Ж можно записать

Используя формулы (1)-(4), для компонент макроскопического напряжения получим

Ef NS 2fWf2 U düx . 0A0A

aj = -2^J J ^ - sin 0 d0 ^ •

Смещение U определяется компонентами тензора макроскопической деформации и ориентацией стержня в пространстве

Ui = Lof (еy, ф, а), (6)

f (е y, ф, а) = е zz cos а2 +

+ sin а2 (е cos ф2 + е уу sin ф2) +

+—у ху sin а sin 2ф +

+ 2 sin 2а(у xz cos ф + Y у, sin ф).

Здесь L0 = L + r — расстояние от центра структурного элемента до конца стержня; f (е y, ф, а) — функция компонент тензора деформации и углов ф, а, вводимая для сокращения дальнейших записей; угол а для изотропного материала совпадает с углом 0. При переходе от структурного элемента изотропного материала к элементу анизотропного материала меняется ориентация стержней. Если принять, что среднее поперечное сечение na2 остается неизменным, то углы а и 0 связаны следующим образом: tgа = A_1tg0. Расстояние L0 зависит от угла а:

т/l + tgq2

L0 = aA(7)

д/l + A2tga2

После преобразований для компонент a j получим следующие зависимости:

Dyj 1 + A 2tg a 2

d0dф, (8)

D = Ад/1 + tg a 2 - — д/1 + A 2tga2

Для сокращения дальнейших выкладок пренебрежем объемом недеформируемого узла (г = 0); множитель Ша/У определяется содержанием твердой фазы

sin 0 d0 •

Здесь (ь} — усредненная по направлению длина стержня; введена функция

Используя приведенные выше соотношения, рассмотрим растяжение моделируемого материала вдоль

направления вспенивания (azz Ф 0). При этом получим следующее выражение для продольного модуля Юнга

/П2 Л-1

J l (a) sin 0 d0

Ä = Ef Vf

X 11(а)(cos2

a-vpz sin a)cos a sin 0 d0, (11)

а = arctg( A_1tg0). (12)

В соотношении (11) использован коэффициент Пуассона vpz моделируемого материала, который определяется из условия равенства нулю поперечного напряжения арр = 0. Это условие можно записать в виде П 2

Таким образом, система уравнений (10)-(13) позволяет при заданном объемном содержании Vf, модуле Юнга Ef и параметре анизотропии A определить продольный модуль Юнга Ez и коэффициент Пуассона Vpz.

Четырехстержневой элемент. В работе [6] было показано, что структурный элемент, изображенный на рис. 3, может быть использован для прогнозирования механического поведения открытопористых материалов, объемная доля Vf которых изменяется в диапазоне от 0.06 до 0.3. Для материалов с Vf < 0.06 более точные оценки эффективных упругих характеристик обеспечивает четырехстержневой структурный элемент (рис. 4, а).

При описании деформирования данного элемента рассматривается нагружение вдоль вертикального стержня. Если моделируемый материал является изотропным, то длины стержней a одинаковы, а угол ß = = arcsin (1/3) ~ 20° [6]. Переход к анизотропному материалу, как и ранее (рис. 3), осуществим путем «вытяжки» структурного элемента вдоль направления действия

Рис. 4. Четырехстержневой структурный элемент для анализа изотропного (а) и анизотропного (б) пористого материала

нагрузки при постоянной площади среднего поперечного сечения na2. При этом длина вертикального стержня b = Aa соответствует большей полуоси эллипсоида вращения. Угол между наклонными стержнями и плоскостью xy увеличится tgY = AtgP. Увеличится

„ r , І 1 + tg2Y также длина наклонных стержней L = aAJ-------------- —г—.

Ь + A 2tg2 Y

Структурный элемент, полученный в результате вытяжки, представлен на рис. 4, б. Нагружение вдоль вертикального стержня соответствует растяжению (сжатию) по направлению вспенивания. Выполняя те же преобразования, что и при описании изотропного материала [6], для модуля Юнга Ez получим

E = °zz = F b + L sin y =

E z = = 2 ! =

є zz na u1 + u 2

= 3Ef R( A + x sin y)

n[3A + x(sin2 Y + 2yf3k3%2R &cos2 y)] Здесь введены обозначения

L = J 1 + tg2 Y X а 11 + A2tg2 y ’

S = 4nAVf а2 = 3( A + 3p)&

Коэффициент к в выражении (14) равен отношению длины участка наклонного стержня, на которую распространяется процесс изгиба, к полной длине стержня L. Значение коэффициента к выбирается так, чтобы обеспечить неразрывность оценки модуля Юнга изотропного (А = 1) материала при переходе от четырехстержневого элемента (рис. 4) к одностержневому (рис. 3) при V = Кґпер = 0.06. В результате вычислений было установлено, что коэффициент к ~ 0.5.

Если определять поперечную деформацию структурного элемента как отношение горизонтального смещения конца наклонного стержня и 2р (рис. 4, б) к расстоянию от этой точки до оси симметрии LcosY, то для эффективного коэффициента Пуассона получим

b + L sin y

єzz U& + и2 L cos Y

sin y(A + % sin y)(2л/з%2k3 - R) 2л/3х3 k3 cos2 y + R(3 A + % sin2 y)

Соотношения (14) и (16) позволяют при заданной объемной доле твердой фазы Уf и параметре анизотропии А найти эффективный продольный модуль Юнга и коэффициент Пуассона Vpz открытопористого материала в диапазоне У^ до 6 °%. Можно отметить (рис. 5), что результаты использования выражения (16) для коэффициента Пуассона vpz при деформировании вдоль направления вспенивания достаточно хорошо согласуются

Рис. 5. Зависимость коэффициента Пуассона Vpz (а) и продольного модуля Юнга Ег (б) пористого материала от параметра анизотропии. Пунктирные кривые — использование методики [7, 8]; сплошные — соотношения (14) и (17). Цифры у кривых соответствуют объемной доле твердой фазы в %

с зависимостями, полученными на основе расчетной методики, представленной в работах [7, 8]. Если в выражении (16) пренебречь процессами растяжения-сжатия стержней и учитывать только процесс изгиба, то для коэффициента Пуассона можно получить

v = sin Y(A + x sin Y)

Vpz 2 ‘ (1/)

Оценка коэффициента Пуассона (17) практически совпадает с результатами работы [7, 8]. Однако соотношение (16), учитывающее продольную податливость ребер, позволяет более точно прогнозировать свойства исследуемого материала. С ростом параметра Vf коэффициент Пуассона уменьшается при любом A. С увеличением параметра A коэффициент vpz увеличивается. Увеличение доли твердой фазы приводит к сглаживанию зависимости vpz от A.

Зависимость продольного модуля Юнга Ez от параметра анизотропии (рис. 5, б) при A < 2 практически линейна. При дальнейшем увеличении параметра анизотропии зависимость Ez от A сглаживается. Полученные на основании выражения (14) зависимости продольного модуля Юнга от параметра A (рис. 5, б) не

соответствуют результатам использования 14-гранной ячейки [7] даже при малых У^.

Следует признать, что модель 14-гранной ячейки, описанная в работе [7], обеспечивает приемлемые оценки коэффициента Пуассона открытопористого полимера, но не позволяет точно прогнозировать модуль Юнга материала. Для подтверждения данного вывода сопоставим результаты использования модели 14-гранной ячейки с известными экспериментальными данными о модуле Юнга изотропного пенополиуретана (рис. 6).

Рис. 6. Зависимость модуля Юнга изотропного открытопористого материала от объемной доли твердой фазы. Пунктирная кривая — использование модели 14-гранной ячейки [7]; сплошная кривая — соотношение (14) при A = х = 1, у = ß = arcsin (1/3). Кружками отмечены экспериментальные данные для жесткого пенополиуретана из [4]

Рис. 7. Зависимость коэффициента Пуассона Vpz (а) и продольного модуля Юнга Ez (б) пористого материала от параметра анизотропии А при объемной доле Уf = У^ер = 6 %. Кривые 1 — использование четырехстержневого элемента (рис. 4); кривые 2 — одностержневой элемент (рис. 3); кривые 3 — методика работ [9, 10]

Можно заметить, что соотношение (14) позволяет точнее прогнозировать жесткость материала.

Сопоставление расчетных зависимостей, полученных с использованием двух типов элементов (одно- и четырехстержневого) при объемной доле (рис. 7),

свидетельствует о том, что изложенная методика с достаточной точностью обеспечивает неразрывность оценок упругих характеристик исследуемых материалов в широком диапазоне параметра анизотропии. На рис. 7 представлены результаты использования гипотезы об однородности объемной деформации по X п-схеме [9, 10]. Данная схема более подробно описывает механическое поведение исследуемых материалов. Она позволяет учитывать полидисперсность структуры пористого материала, переориентацию стержней в процессе деформирования и узловые параметры. Однако использование достаточно сложной математической модели, изложенной в работах [9, 10], приводит к расчетным зависимостям для упругих характеристик исследуемого материала, которые практически совпадают с результатами решения системы уравнений (10)-(13). Заметные расхождения наблюдаются только при А > 2.

Трудоемкость непосредственного определения (измерения) параметра анизотропии пористого материала приводит к тому, что в настоящее время отсутствует достаточный объем экспериментальных данных о влиянии параметра А на упругие характеристики поропластов. В связи с этим, в рамках данной работы не проводится экспериментальная апробация математической модели (10)-(13).

В результате моделирования деформирования анизотропных открытопористых материалов установлено, что для прогнозирования их упругих характеристик может быть использован модифицированный структурный элемент. Модификация ранее предложенных стержневых элементов заключается в их «вытягивании» вдоль заданного направления с одновременным изменением ориентации стержней. По сравнению с известной моделью 14-гранной ячейки разработанная методика позволяет более точно прогнозировать жесткость исследуемых материалов и учитывать реальную деформатив-ность ребер (процесс растяжения-сжатия). Для пористых материалов с объемной долей твердой фазы в диапазоне от 6 до 30 % разработанная методика обеспечивает оценки упругих характеристик, близкие к результатам использования гипотезы об однородности объемной деформации по X и-схеме. Используемый математический аппарат представляется авторам более простым, а преобразования — менее трудоемкими.

Работа выполнена при поддержке БРФФИ (проект Т05МС-035).

Литература

структуры пенопластов типа пенополиуретанов // Механика полимеров. - 1970. - № 5. - С. 859-865.

Пуассона пенопластов // Механика полимеров. - 1973. - № 1. -С. 45-49.