МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОУПРУГОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЕЖДУ ВИБРИРУЮЩИМ ШТАМПОМ И ТРЕХСЛОЙНОЙ БАЛКОЙ, УСТАНОВЛЕННОЙ НА ОСНОВАНИЕ ВИНКЛЕРА

Электронный научный журнал "Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках" http://mathmod.esrae.ru/ URL статьи: mathmod.esrae.ru/20-76 Ссылка для цитирования этой статьи:

Попов В.С., Попова Е.В., Черненко А.В. Математическое моделирование гидроупругого взаимодействия между вибрирующим штампом и трехслойной балкой, установленной на основание Винклера // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2018. №4

Выполнено при поддержке гранта РФФИ № 18-01-00127-а_

УДК 532.517.2:539.3

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОУПРУГОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЕЖДУ ВИБРИРУЮЩИМ ШТАМПОМ И ТРЕХСЛОЙНОЙ БАЛКОЙ, УСТАНОВЛЕННОЙ НА ОСНОВАНИЕ

ВИНКЛЕРА

Попов В.С.1, Попова Е.В.2, Черненко А.В.3 Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.,

Россия, Саратов, vic_p@bk.ru 2Саратовский национальный исследовательский государственный университет

имени Н.Г. Чернышевского, Россия, Саратов, elizaveta.popova.97@bk.ru Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.,

Россия, Саратов, 3chav@mail.ru

MATHEMATICAL MODELING OF HYDROELASTIC INTERACTION BETWEEN VIBRATING STAMP AND THREE-LAYERED BEAM RESTING

ON WINKLER FOUNDATION

Popov V.S.1, Popova E.V. 2, Chernenko A.V.3 1Yuri Gagarin State Technical University of Saratov, Russia, Saratov, vic_p@bk.ru 2Saratov State University, Russia, Saratov, elizaveta.popova.97@bk.ru 3Yuri Gagarin State Technical University of Saratov, Russia, Saratov, 3chav@mail.ru

Аннотация. В работе предложена математическая модель колебаний трехслойной балки, установленной на основании Винклера, и взаимодействующей с вибрирующим штампом через тонкий слой вязкой несжимаемой жидкости. Рассмотрена трехслойная балка с несжимаемым легким заполнителем, для описания кинематики которой использована гипотеза ломаной нормали. Получено уравнение вынужденных гидроупругих колебаний трехслойной балки, установленной на основание Винклера, под воздействием, через слой вязкой жидкости, вибрирующего штампа. На основе решения плоской задачи гидроупругости найдены законы изменения прогиба трехслойной балки и давления в слое жидкости. Построены частотозависимые функции распределения амплитуд прогиба балки и давления жидкости вдоль канала. Показано, что данные функции позволяют определять резонансные частоты колебаний и исследовать напряженно-деформированное состояние трехслойной балки, а также гидродинамические

параметры слоя вязкой жидкости.

Abstract. The mathematical model of vibrations of a three-layered beam resting on Winkler foundation and interacting with a vibrating stamp through viscous incompressible liquid layer was carried out. The three-layered beam consists of two outer layers and incompressible lightweight filler between them. The three-layered beam kinematics is considered by means hypothesis of broken normal. The hydroelastic forced vibrations equation of three-layered beam resting on Winkler foundation and interacting with a vibrating stamp through viscous incompressible liquid layer was obtained. On the basis of plane hydroelasticity problem solution the laws of beam deflection and pressure in liquid layer are found. Frequency-dependent distribution functions of beam deflection amplitudes and fluid pressure along the channel are constructed. It is shown that these functions allow to define the resonant oscillation frequencies and to investigate the stressstrain state of three-layered beam, as well as, the hydrodynamic parameters of viscous liquid layer.

В настоящее время многослойные материалы и конструкции из них широко используются в аэрокосмической промышленности, машино- и приборостроении, строительстве и других отраслях. Поэтому задачи математического моделирования статического и динамического поведения трехслойных упругих балок и пластин являются важными как для практического использования, так и для теоретических целей. Например, в работах [1,2] проведен обзор различных подходов к анализу поведения многослойных элементов конструкций. В частности, в [1] рассматриваются различные теории для многослойных балок и пластин, а в [2] рассматривается подход к изучению трехслойных упругих элементов с несжимаемым заполнителем, основанный на гипотезе ломаной нормали, а также статические и динамические задачи трехслойных элементов конструкций со сжимаемым заполнителем при различных нагрузках.

Во многих практических случаях многослойные элементы конструкции опираются на упругий фундамент. Одно из первых исследований изгиба однородной балки на упругом основании было проведено в [3]. В работе рассмотрена модель основания Винклера. В [4] упругий фундамент изучается на основе одно - или двухслойной модели, свойства которой описываются двумя и более упругими характеристиками. В [5] рассмотрены современные аналитические и численные исследования взаимодействия однородных балок и пластин с упругим основанием.

В [6-9] рассмотрены задачи статики и динамики трехслойных балок и пластин, опирающихся на упругий фундамент под действием локальных и распределенных нагрузок различной природы. В частности, работа [6] посвящена изучению термосилового изгиба упругопластической трехслойной балки на основании Винклера. В [7] исследуются осесимметричные колебания упругой круговой трехслойной пластины с легким заполнителем, опирающейся

на упругое основание под действием локальных нагрузок. Для упругого основания используется модель Винклера. В [8] изучены осесимметричные поперечные колебания круглой трехслойной пластины, опирающейся на основание Винклера при термическом воздействии. В [9] исследована статическая и динамическая устойчивость несимметричной сэндвич-балки с вязкоупругой сердцевиной, опирающейся на основание Пастернака под пульсирующей осевой нагрузкой и подвергающимся одномерному температурному градиенту.

С другой стороны, существует много практических приложений для задач взаимодействия однородных балок и пластин с жидкостью. Например, одно из первых исследований гидроупругости было проведено в [10], где рассмотрены осесимметричные свободные колебания круговой пластины, взаимодействующей с водой. Модель гидроупругого поведения трубопровода, заполненного транспортируемой жидкостью, на основе задачи взаимодействия балки с идеальной жидкостью рассмотрена в [11]. В [12] рассмотрена задача гидроупругости оболочки гильзы цилиндра двигателя внутреннего сгорания на базе изучения вынужденных гидроупругих колебаний цилиндрической оболочки, окруженной слоем вязкой жидкости. Влияние кавитационного износа на оболочку-гильзу двигателя внутреннего сгорания с водяным охлаждением выполнено в [13]. В [14] исследовано динамическое поведение кольцевого канала, образованного двумя упругими цилиндрическими оболочками, взаимодействующими со слоем идеальной жидкости между ними. Задачи гидроупругости для кольцевых каналов заполненных вязкой несжимаемой жидкостью рассмотрены в [15-19]. Исследованию динамики взаимодействия цилиндрической оболочки с вязкой жидкостью внутри нее посвящены работы [20-23]. В частности, в [20] рассмотрен случай движения пульсирующего ламинарного потока по геометрически регулярной оболочке, а в [21,22] аналогичная задача для оболочки, имеющей внешние шпангоуты. В [23] исследована задача гидроупругости кольцевого канала, стенка которого образована оболочкой с односторонними шпангоутами, в условиях вибрации основания канала. Гидроупругие колебания круговой пластины, погруженной в идеальную несжимаемую жидкость, находящейся в жестком цилиндре, исследованы в [24]. В [25] рассмотрена устойчивость и динамическая задача гидроупругости пластины, входящей в состав границы, разделяющей области, заполненные вязкой несжимаемой жидкостью. В [26] проведено исследование колебаний бесконечной балки, покоящейся на слое вязкой жидкости. В [27] рассмотрены вынужденные колебания упруго закрепленной стенки канала, взаимодействующей со слоем вязкой жидкости. В [28] изучены изгибные колебания консольной балки, окруженной вязкой несжимаемой жидкостью. Аналогичная задача для балки, находящейся в потоке вязкой несжимаемой жидкости, рассмотрена в [29]. В [30-38] разработаны модели для исследования гидроупругих колебаний стенок каналов, заполненных жидкостью, с параллельными стенками. В частности, в работах [30,31] исследована

устойчивость и динамика пластин-стенок канала при взаимодействии с идеальной жидкостью, а в работах [32-38] исследованы задачи гидроупругости каналов с параллельными стенками, взаимодействующими с вязкой жидкостью. Задачи взаимодействия упруго закрепленной стенки с вязкой жидкостью в клиновидном канале исследованы в [39-41]. Задачи гидроупругости каналов, стенки которых подкреплены внешними ребрами жесткости, рассмотрены в [42,43].

В [44-47] рассмотрены гидроупругие колебания прямоугольных пластин, опирающихся на упругое основание Пастернака, и взаимодействующих с идеальной жидкостью. В работах [48-53] рассмотрены колебания прямоугольных пластин, опирающихся на основания Винклера, и взаимодействующих со слоем вязкой несжимаемой жидкости в плоской постановке. Аналогичные задачи для пластин, установленных на основание Пастернака, исследованы в [54-56]. Гидроупругие колебания круглых пластин, установленных на основание Винклера, в осесимметричной постановке рассмотрены в [57,58]. Вместе с тем, математическое моделирование динамического взаимодействия трехслойной пластины с жидкостью, также, представляет как теоретический, так и практический интерес. Например, в [59] исследованы свободные гидроупругие колебания композитных пластин, взаимодействующих с идеальной жидкостью. В работах [60-65] изучены колебания многослойных пластин, взаимодействующих с вязкой жидкостью. Однако, нет исследований динамического взаимодействия слоя вязкой жидкости и трехслойной балки, опирающейся на упругое основание. В настоящей работе проводится исследование гидроупругих колебаний трехслойной балки, установленной на основании Винклера, и взаимодействующей, через слой вязкой жидкости, с вибрирующим штампом.

Рассмотрим плоский узкий канал, заполненный вязкой несжимаемой жидкостью (см. рис. 1). Стенки канала параллельны друг другу, а длина канала 21. Верхняя стенка канала представляет собой жесткий вибрирующий штамп. Нижняя стенка канала представляет собой трехслойную балку, опирающуюся на основание Винклера. Трехслойная балка состоит из несущих слоев 1, 2 и несжимаемого легкого заполнителя 3. Толщины наружных пластин ^ и h2, а толщина заполнителя 2с. Для описания кинематики трехслойной балки принимаем гипотезу ломаной нормали согласно [2], т. е. полагаем, что при деформации для несущих слоев справедливы гипотезы Кирхгофа, а нормаль в заполнителе остается прямолинейной и не меняет своей длины, но поворачивается на угол ф. Следуя [2], будем считать, что на торцах балки находятся жесткие диафрагмы, препятствующие относительному смещению слоев, но не препятствующие деформации из своей плоскости.

Введем декартову систему координат 0x2. Ее центр расположен в центре заполнителя балки в невозмущенном состоянии. Колебания трехслойной балки вызваны воздействием вибрирующего штампа через слой жидкости, при этом

деформации балки считаются малыми. Трехслойная балка шарнирно оперта по краям. Толщина слоя жидкости h0 << I. Торцевое истечение жидкости будем полагать свободным в такую же жидкость, находящуюся в достаточно больших торцевых полостях, т.е. считать, что давление жидкости на правом и левом торце канала постоянно р0 и совпадет с давление жидкости в торцевых полостях. Колебания штампа происходят вдоль оси Oz, их амплитуда zm. Будем рассматривать далее плоскую задачу гидроупругости для стационарных гармонических колебаний, так как за счет вязкости слоя жидкости в канале происходит быстрое затухание переходных процессов [66]. Также следуя [67], при исследовании изгибных колебаний трехслойной балки даламберовы силы инерции в ней в продольном направлении будем исключать из рассмотрения.

Рис. 1. Трехслойная балка, установленная на основание Винклера, и взаимодействующая с вибрирующим штампом через вязкую жидкость между ними.

Закон колебаний штампа представим в виде: z (at) = zmf (at), f (at) = sin at,

где zm -амплитуда колебаний штампа; ю - частота колебаний.

Согласно [2] уравнения динамики трехслойной балки, опирающейся на основание Винклера, получены в виде:

д 2 и д д3 w

а1 —- + а6 —- - а7 —- = дгх,

дх дх дх

д2 и д2т д3 w п

а6 ТГ + а2 тг - аз ^т = (2)

дх дх дх

д 3и д ът д4 w д2 w

дх3 дх3 дх дt

где используются следующие обозначения:

a1 = K+h1 + K 2+ h2 + 2 K 3+ с,

К+К + К + h2 + 3 К3+ с

аз = с

К+ К с + -К1

+ К +

а 4 = К1+ К1 с 2 + с К +— V 3

с + — К2 2 2 у

+ 2 К 3+ с 2 3 3

+ К 2+ К2

+ 2 К3+ с3,

а6 = с(К1+ К - К2+ К2),

а7 = К1+ К1 с + — К V 2

- К2+ К2

с + — К

К, + - а,,

Р1 К +Р2 К2 + 2Р3 с.

Здесь7 = 1, 2, 3 - номера слоев, Gj - модуль сдвига j-го слоя, К, - модуль объемной упругости j-го слоя, р, - плотность j-го слоя материала, и -продольные перемещения срединной поверхности трехслойной балки, w -прогиб срединной поверхности трехслойной балки, ф - угол поворота нормали в заполнителе трехслойной балки, к - коэффициент постели упругого основания Винклера, qzz - нормальное напряжение со стороны вязкой жидкости, qzx - касательное напряжение со стороны вязкой жидкости.

Уравнения (2) дополняются граничными условиями

и = ф = w

Принимая во внимание, что движение слоя вязкой жидкости в узком канале согласно [68] является ползучим, уравнения ее динамики представим в виде:

= у -2Т + —2х

к дх д2 у

р дх ди„ ди

—^ + —. дх дх

где их, иг - проекции скорости жидкости на координатные оси, р - плотность жидкости, V - кинематический коэффициент вязкости жидкости,р - давление.

Граничные условия уравнений (4) состоят из условий прилипания жидкости к стенкам канала и условий для давления на торцах:

их = °, иг = — при z = П° + с + П1, (5)

ди дw ,

их =— иу =— при z = w + с + п.,

х дt , z д1 р = р ° при х = ±1. (6)

Введем в рассмотрение малые параметры

Л = « 1, ф = « 1,

и безразмерные переменные

. z - с - п1 г х

С =-,-, € = т, т = Ш, (7)

^ = WmW(€,т), и = и^и(€,т), ( = (Ф(€,т),

Р = Р° +PVZm2^P(€,Z,т), иг = Zm®Uz (£,С,т), их = ^и^Хт).

Принимая во внимание малые параметры и безразмерные переменные (7) уравнения (4) в безразмерных переменных, в нулевом приближении по у и X примут вид:

дР д 2и

д€ д^2 дР

ди € ди,

—€ + —^ = 0, д€ д^

а граничные условия (7), (6) запишутся как:

и € = 0, и г = при £ = 1, (9)

ие - 0, ис= при 0

Р - 0 при £ - ±1. (10)

Таким образом, согласно второго уравнения системы (8), давление не зависит от координаты С- Принимая это во внимание и решая уравнения (8) с граничными условиями (9), (10) получаем:

и(-=^дР, (11)

и = ^ дЖ + д2Р 3£2 - 2£3

С дт д£2 12 &

P - 6(£2 -1) ^ -12 ^ ^ ^ + б(£ + 1) ^^^ | ¡Т (12)

<Т 2ш -1 дт 2ш -1 дт

Нормальное и касательное напряжения со стороны слоя вязкой жидкости, действующие на трехслойную балку, в переменных (7) имеют вид:

^ =-Р0 -Р^ЩтР при С-0, (13)

РУ 2 — ди е

Чх -Ру--^ при С-0. (14)

Из (13), (14) следует, что чгг >> ч2х, т. е. касательным напряжением можно пренебречь по сравнению с нормальным. С учетом этого, уравнения динамики трехслойной балки (2) принимают вид:

д2 и д 2р д3 ш Л

—2 + а6 —т - ау —^ - 0, дх дх дх

д и д р д ш .

а6 ТГ + а2 ТТ - а3 ТТ - 0& (15)

дх дх дх

д3и дЗр д4ш д2ш ру 2ш а у^ту + а - а4ТТ - - Р 0 + У-Г" Р

дх3 дх3 дх4 д12 h0 у2

Рассматривая первое и второе уравнения (15), получаем, что:

д2 и . д3 ш д 2р . д3 ш

—^ - Ь1—г, —V - Ь2—г, (16)

дх2 дх3 дх2 дх3

а2 а7 а3 а^ а1 а 7 а 6

где, \\ =^-Ь2 =

а а - а2 2 а а - а2 а1 а 2 - а6 а1 а2 - а6

Подставляя (16) и (12) в третье уравнение (15) получаем уравнение изгибных колебаний трехслойной балки, опирающейся на основание Винклера и взаимодействующей с вибрирующим штампом через слой вязкой жидкости:

+ к + т

= - Р°

ру ^т (

п й— w €. дW W 1. дW

^т -I дт

Zm -I дт

где В = а4 - а7 Ь1 - а3 Ь2

Граничные условия для уравнения (17) имеют вид

д2^ л ±о

w = —- = 0 при х = ±1.

Исходя из граничных условий (18) решение уравнения (17) представляется в виде:

W = Wm V (+ як (т))сов

Здесь верхний индекс 0 означает решение, соответствующее статическому давлению р°.

Подставляя (7), (19) в (17) и раскладывая давление р° и (€ - 1) в ряды по тригонометрическим функция продольной координаты получим

* Г(2к - 1)П4 Л

+ к

(Як0 + Як п€ +

+тWmV

й 2 2к - 1

П€ + ^т V

(2к - 1)п

р( йЯк 2к -1 12 ——;—— С08-п€ =

П°йт

р° V -С08-П€ к=1 (2к - 1)п 2

- zm V 12

к=1 И°^2 (2к - 1)п

(2к - 1)п

й— 2к -1

-С0Б-П€ .

Из (20), получаем систему линейных алгебраических уравнений для

определения Як

<х>

^ * ((2к -1)П 4

+ к

-= р0 V -008-П

и систему обыкновенных дифференциальных уравнений для определения

^ * ((2к - 1)П4 Л

(2к - 1)п

руо ¿Як 2к -1 г

^ V 121-2"У "0

"0У2 (2к - 1)п

(2к - 1)п

^ 2к -1 -00Б-.

Проводя решение этих систем уравнений для режима установившихся гармонических колебаний, получено следующее выражение для прогиба трехслойной балки под действием вибрирующего штампа через слой вязкой жидкости

™ = - Р0

V (-1)к+1008((2к - 1)ях/(21)) ¿1 1 + (к/ V *)(21/ (2к - 1)п)4

(2к - 1)п

zmА( х, о) sin(т + (( х, о)),

здесь введены обозначения:

А( х, о) = л1 С 2 + В 2

((х, о) = arctg

„ ^к^к ^ 2к 1 С = > -—-- 008-ПХ ,

k=l(Dk - т0о2)2 + (К»2 21

.2к=1(Dk - т0о2)2 + (К»2 21

_ D к _

К1 _ 12

ру 4(-1)

h0^2 (2к -1)п

+ к.

(2к -1)п

К1 _ 12

(2к -1)п

Принимая во внимание (7) и подставляя (19) в (12), получено выражение для давления в слое жидкости между вибрирующим штампом и трехслойной балкой:

р _ р0 + 2т П(.X, со) sm(С + рр (х, со)), здесь введены обозначения:

П(х,с) _Л S 2 + Q

Q _! кс

(К1®у

г £ Л V S у

(Dk - тос2)2 + (К»

ЦКС2фк - тоС2) ___2к -1

к_1(Dk - тоС2)2 + (К»

Выражения для прогиба трехслойной балки (21) и давления жидкости (22) содержат функции Л(х,ш) и П(х,ш). Функция Л(х,ш) представляет собой частотозависимую функцию распределения амплитуд прогиба трехслойной балки вдоль канала. Функция П(х,ш) является частотозависимой функцией распределения амплитуд давления вдоль канала. При фиксированном значении продольной координаты, данные функции трансформируются в соответствующие амплитудные частотные характеристики для прогиба и давления в рассматриваемом сечении канала. Таким образом, исследование этих функций дает возможность изучать гидроупругие изгибные колебания трехслойной стенки канала, как балки опирающейся на основание Винклера, а также изменения пульсации давления вязкой несжимаемой жидкости, вызванное колебаниями стенок канала.

Для иллюстрации данной возможности приведем результаты расчета амплитудной частотной характеристики прогиба балки в центре канала (х = 0). Для этого рассмотрим канал со следующими параметрами: I = 0,1м;

/ = 0,002м; р3 = 2150кг / м3;

/2 = 0,003м;

с = 0,005м; 1840кг / м3;

р1 = 2700кг / м3; 2,5-10-4 м2/ с;

р2 = 2700кг / м3;

К1 = 8-1010 Па;

К 2 = 8-10

К 3 = 4,7-109 Па;

G1 = 2,67-1010 Па

G2 = 2,67-10

G3 = 9107 Па.

При расчетах рассмотрен случай балки без учета влияния упругого основания (к = 0), а также использованы три вида упругих оснований с различными коэффициентами постели: к = 25-106 Па (глинистые грунты

пластичные), к = 810 Па (известняк), к = 2-10 Па (песчаник). Результаты расчетов Л(0,ю) при удержании в решении одного члена ряда представлены на рис. 2, при удержании в решении двух членов ряда представлены на рис. 3, а при удержании в решении четырех членов ряда представлены на рис. 4.

Л(0,ю)

ю, рад/с

Рис. 2 Амплитудная частотная характеристика прогиба трехслойной балки при удержании в решении одного члена ряда (синяя линия - к = 0; черная линия -к = 25-106 Па; красная линия - к = 8-108 Па; зеленая линия - к = 2109 Па)

ш, рад/с

Рис. 3 Амплитудная частотная характеристика прогиба трехслойной балки при удержании в решении двух членов ряда (синяя линия - к = 0; черная линия -к = 25-106 Па; красная линия - к = 8-108 Па; зеленая линия - к = 2109 Па)

Таким образом, разработана математическая модель гидроупругого взаимодействия вибрирующего штампа с трехслойной балкой, установленной на основании Винклера. Данная модель была использована для исследования изгибных колебаний трехслойной балки для случая, когда балка является стенкой канала, опирающегося на упругое основание. Выполненные расчеты показали существенное влияние учета упругого основания на резонансные частоты колебаний. Из расчетов следует, что увеличение количества удерживаемых в решении членов ряда приводит к появлению дополнительных резонансных частот, расположенных выше предыдущих. При этом амплитуда колебаний на данных частотах снижается, поэтому для практических расчетов достаточно удержания конечного числа членов ряда. Расчеты также показали, что увеличение жесткости основания ведет к увеличению значений резонансных частот. Причем на высоких частотах, влияние жесткости основания снижается.

ш, рад/с

Рис. 4 Амплитудная частотная характеристика прогиба трехслойной балки при удержании в решении четырех членов ряда (синяя линия - к = 0; черная линия -к = 25-106 Па; красная линия - к = 8-108 Па; зеленая линия - к = 2109 Па)

Полученные в работе результаты могут быть использованы для математического моделирования гидроупругих колебаний трехслойных элементов, применяемых в приборостроении, аэрокосмической промышленности, машиностроении, гражданском строительстве и др.

Выполнено при поддержке гранта РФФИ № 18-01-00127-а.

Литература

физической природы" Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет). 2016. С. 90-93.

на вибрирующем основании // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2018. № 3. С. 28-36.