Спросить
Войти
УДК 539,3
СТАТИЧЕСКИЙ ИЗГИБ И КОЛЕБАНИЯ МНОГОСЛОЙНОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНКИ ИЗ ОРТОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА ПРИ СВОБОДНОМ ОПИРАНИИ КРАЁВ
П. Ф. Недорезов, А. В. Аристамбекова
Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского (национальный исследовательский университет), механико-математический факультет, 410012, Саратов, ул. Астраханская, 83.
E-mails: p1934n@yandex.ru, aristambekovaav@mail.ru
Рассматривается задача изгиба и колебания многослойной прямоугольной пластинки, состоящей из N ортотропных слоёв произвольной толщины. Края пластинки предполагаются свободно опёртыми. Обсуждается возможность получения аналитического решения. Предложена и реализована методика численного решения. Результаты расчётов представлены в виде таблиц.
Предполагается, что главные направления анизотропии в каждой точке слоёв параллельны рёбрам пластинки. Пластинка изгибается поперечной нагрузкой интенсивности q(x,y,t) = q0(x, y) exp(iwt), распределённой по плоскости z = H; плоскость z = 0 от нагрузки свободна. Края x = 0, x = a и y = 0, y = b считаются свободно опёртыми. Деформации пластинки малы и подчиняются закону Гука [1].
Для упрощения выкладок в дальнейшем принимается, что
, . mix nny
q(x, y) = p0 sin-sin —-—, p0 = const.
Система уравнений для определения проекций вектора смещения u(k),
v(k), w(k) и напряжений ^Xk), ст^, . ..,тХУ) k-того слоя состоит из уравнений движения сплошной среды и уравнений обобщённого закона Гука.
Считая колебательный процесс установившимся, все характеристики напряжённо-деформированного состояния (НДС) k-того слоя пластинки (bk— ^ ^ z ^ bk; bo = 0, bk = bk-1 + hk; k = 1,2,...,N) будем искать в виде f (k)(x,y,z,t) = f(k)(x, y, z) exp(iwt). Тогда для амплитудных значений смещений и напряжений после отделения временной переменной t получим
£l~(k) Я~() ,Q~(k)
дтх дтху dTxz 2~(k) П /1\\
“á- + + ~Б— + Pk w2u(k) = 0, (1)
ox dy dz
Пётр Феодосьевич Недорезов (д. т.н., проф.), профессор, каф. математической теории упругости и биомеханики. Асель Валерьевна Аристамбекова, аспирант, каф. математической теории упругости и биомеханики.
Ц{х, у, і)
а<к> = А&? ^ + Л<? ^ + А™а”’
_________ т(к> = у (2)
х у ^ г, 1 ^ 2 ^ 3, 4 ^ 5 ^ 6, и(к> ^ !(к> ^ г(к>,
к = 1, 2, ...,Ж.
Здесь А(к) — упругие постоянные, рк — плотность материала.
Решение уравнений (1), (2) должно быть подчинено условиям на боковых гранях
при х = 0, х = а : й(к) = г(к) = 0, стХк) = 0,
при у = 0, у = Ь : й(к) = г(к) = 0, Стук) = 0;
на верхней и нижней плоскостях:
при г = 0 : а
при г = Н : а_(1> = — д0 йіп
тп х пп у -------- віп
т(1> = 0 т(1> = 0& Х1 & уі
а Ь ’ &хг ^
на поверхностях контакта смежных слоёв (к = 1, 2,..., N — 1) при г = Ьк:
(к> = и (к+&> а (к> = а (к+&>
а1к>
т1к+1>,
_ (к>
_ (к+&>
(к> = г (к+1> т(к>
:(к+1>
Для понижения размерности трехмерной краевой задачи (1)-(5) представим функции и (к), V(к), г (к), <т(к), <г^к), ..., ГУ в виде
и(к> = ни(к> ) сов тп{ віп ппп,
!(к> = НУ(к> (^) віп тп{ сов ппп, г (к> = Н^(к> (^) віп тп{ віп ппп, а(к> = £(к> (^) віп тп{ віп ппп (х ^ у ^ г), ту(к> = тУк> (^) віп тп{ сов ппп, тХк> = тХк> (^) сов тп{ віп ппп,
&Т;су> = ТІк (^) сов тп{ сов ппп,
где £ = х/а, п = у/Ь, £ = г/Н — безразмерные переменные, а и(к), V(к) и Щ(к) — безразмерные амплитуды составляющих вектора смещения.
Тогда граничные условия (3) будут выполнены автоматически, а из (1) и (2) для новых неизвестных функций после некоторых преобразований получим уравнения
+ ^п (ш4к) — псТ^) + ркН2ш2и(к) = 0,
— йп (шТ<к) — пс4к)) + ркН2ш^(к) = 0, (7)
— ^п (шТ^ + псТ^) + ркН2ш2Щ(к) = 0;
$,к) = —йп (шА^и(к) + пСа2^(к)) + а23 ^Щ-к)
£(к) = —йп ГшА1к)и(к) + псАЗ V(к)) + А3к) (к)
V -т—2^^-т-33 ¿£ (8)
Т? = 4? ( ^ + ^ппсЩ(к)),
т£к) = 4*5 ( ^ + йшпЩ(к)),
Т(к) = Ак?йп(пси(к) + шV(к)).
Граничные условия для этих уравнений следуют из (4) и (5).
а) Решение в перемещениях. Подставляя из (8) в (7) выражения функций £(к), 4к), ..., Т^, получаем систему уравнений для и(к), V(к) и Щ(к):
А(к) Ц2ик) 455 ¿£2
+ (42 + А?) Л,2п2шп<^(к)(£) — (43 + А5к5)) Л-шп-^
А44 ¿¿£2“ = (А12 + 4б ) ^2п2ШПСи(к)(£) +
Л,2п2 (А2к2)п2С2 + А^ш2^ — ркН2ш2 V(к)(£) — — (4? + 4?) ^ппсЦ“Ц““, (9)
(k) d2W(k)
A(k) і A(k) A13 + A55
dU(k) m—;--------+
A(k) і A(k) A23 + A44
A4k) n2 c2 + A(k)-2
dV(k) nc—-— dç
W (k)(ç),
где h = H/a, k = 1,2,..., N.
Для нахождения общего решения системы уравнений (9) наиболее рациональным, по нашему мнению, является подход, методика которого приводится, например, в [2, стр. 153-158]. Согласно этой методике одна из искомых функций, например W(k)(ç), принимается за основную. Тогда последовательным дифференцированием третьего уравнения (9) вычисляются производные функции W(%) до шестого порядка включительно, причём из результатов дифференцирования исключаются функции U(k)(ç), V(k)(ç) и их производные. В результате таких операций для функции W(k)(ç) получается дифференциальное уравнение шестого порядка
d6W(k) ,d4W(k) _d2W(k) ,k). .
+ d^^- + f-r^T- + g W(k) (ç ) = 0
с известными коэффициентами Ц, / и $, а функции и(к)(£) и V(к)(£) представляются линейными комбинациями вида
.,(k)/ л d5W(k) „ d3W(k) dW(k)
U (ç) = “i — + A —+Y1
T,(k^ d5W(k) „ d3W(k) dW(k)
V(k) (ç ) = a + в2 + 72(11)
Решая уравнение (10), получаем выражение Щ(к)(£), в котором будет содержаться шесть произвольных постоянных. В силу (11) эти же постоянные будут линейно входить в формулы для и(к)(£) и V(к)(£). Тогда число неизвестных постоянных в выражениях и(к), V(к) и Щ(к) для каждого слоя равно шести, и они определяются из уравнений, которые следуют из (4) и (5).
б) Решение в смешанной форме. Решение рассматриваемой задачи можно получить и в смешанной форме, если в качестве основных неизвестных в ктом слое принять и(к), V(к), Щ(к), б1к), и Т
(k) yz •
Тогда для этих функций из (7) и (8) получается система уравнений
dU (k) = —hmnW (‘) + ^
dç dW(k)
dV(k) dç
= —hncnW(k) +
hn f A^mU(k) + A23)ncV(k)) + S(k)
mT(k) + ncTyk)
— pk H VW(k),
аТ(С)
аТ х г
= <! й2п2
А(С) -А11
(А(к)ї2
т2 + А(6&6) п2 с2
+ Ь,2п2тпт А12 + а6&6) —
А(С) А(Л)
А13 А23
— Р/С Я2^2
и (С)+
V(С) — Ьтп-^ Мк), А(С)
/ л(с) л(с) \\
= 42тгссл2( —12 + А66) - -131-2^) и(С) +
& А33 &
+ <! Л,2п2
А(С) -А22(А^2
п2с2 + А^т2
- рсЯV IV(С) - ^псп-^^к)
где к = 1,2,..., N, Ьк-1 ^ г ^ Ьк.
В результате применения к уравнениям (12) методики [2] для функции Щ(к)(£) снова получается дифференциальное уравнение вида (10), и его общее решение по-прежнему будет содержать шесть произвольных постоянных. Остальные неизвестные функции будут выражены через производные от Щ(к)(£): Т^ и — через нулевую, вторую и четвёртую производные, а и(к), V(к) и ^к) — через первую, третью и пятую.
Из-за сложности зависимости корней А1, Л2, ..., Аб характеристического уравнения для уравнения (10) от значений упругих постоянных А(к:), параметров нагрузки ш, п и ш и толщин слоёв Лк выполнить анализ влияния этих параметров на распределение напряжений и смещений по толщине пластинки можно только после выполнения численных расчётов. Ниже приводится вариант методики получения численного решения для системы (12), так как для систем такого вида условия контакта слоёв записываются в наиболее простой форме.
Высокая точность метода Годунова проверена разными авторами при решении большого количества тестовых задач.
Чтобы привести совокупность систем (12) к виду (13), введём в рассмотрение вектор-функцию У(^) = (уо(0, ш(0, . . . , Уб(0) , положив при Ьс_1 ^ ^ ^ (к = 1, 2,..., N):
Уо(0 = Ц, (£), ш(0 = V (О, У2(0 = " (£),
У3 (£) = £Ік) (£), У4 (£) = (£), У5 (£) = Т^ (£).
Тогда после перехода в (12) к безразмерным переменным и с учётом (13)
ненулевые компоненты матрицы Б = (¿ч)5— -о при Ьк 1 ^ ^ Ьк (к =
, N) определятся по следующим формулам:
¿02 = —¿34 = — Лтп, гі12 = — гі35 = — Лпсп, гі04 = 1/А&
¿15 = 1/а44) , ¿23 = 1/а33) , ¿32 = —РК ^2Я2,
¿20 = —¿43 = ^тпА1С3)/А3;3)
¿21 = —¿53 = Лпсп А 23 /А 33,
¿40 = Л2 п2 ¿51 = Л2 п2
—11 — (АІ302/—:
+ п2с2А((к)
п2с2( а2С2) — (—23 )2/—3Я + т2Абкб)
— Рк ^2Я2,
— рс ш2Я2,
¿41 = ¿50 = Л2тпсп2
-к) + —к) _ -к)-к)/ —(к) —12 + А66 А13 —23 /а33
Граничные условия следуют из (4), которые после подстановки выражений (6) с учётом (14) записываются в виде
Я1У (0) = 0, Я2 У (1)= £2,
где Н = (Лг^^-0)^=0 и Я2 = (^¿+3Д=0^=0 — прямоугольные матрицы, у которых отличны от нуля компоненты Л03 = Л14 = Л25 = Л33 = Л44 = Л55 = 1,
а £2 = (-90, о, 0).
При решении краевой задачи (13), (15) методом дискретной ортогона-лизации параметр М (М+1 — число отрезков, на которое делится интервал 0 ^ ^ 1) следует выбирать так, чтобы точки контакта слоёв £ = Ьк (к =
= 1, 2,..., N — 1) принадлежали множеству точек ортогонализации £ = ]/М (] =0,1,..., М). Тогда условия контакта слоёв (5) будут выполнены автоматически.
После решения задачи (13), (15) максимальные амплитуды напряжений
(к) (к) (к)
, тХу в соответствующих точках вычисляются по формулам
£Хк) = — Лтп
А(1? — (А^т? У0(£) —
— Лпсп
— (к) _ — (к)—(к)/ —(к) А12 — А13 А23 /А33
У1(£) + АЙ)/А3з)У3(С),
—12 — —М/А3У Ыс)—
— Лпсп
—22) — (—23)) /А33) у1(с)+—23)/А33)у3(с)
^ ЛпАб? [псУ0(£) + шУ1(£)] .
Отметим, что все приведённые формулы и уравнения остаются в силе и при ш = 0. В этом случае они определяют НДС многослойной пластинки при статическом изгибе.
и определения резонансных частот при установившихся колебаниях (ш=0) квадратных однослойных и двухслойных пластинок с размерами в плане а = = Ь = 1 ми толщиной Н = 0,1 ми Н = 0,2 м. Вычисления выполнялись при 90 = 1,0 Па, р = 1500 кг/м3, ш = п = 1.
В качестве параметров модели принимались параметры, соответствующие ортотропным стеклопластикам (однонаправленный стеклопластик и СВАМ 5:1). Значения технических упругих постоянных для этих материалов, взятые из [3], приведены в табл. 1. Для нижнего слоя брались параметры материала СВАМ 5:1, для верхнего — однонаправленного стеклопластика; Л* = Л1/Н е {1,0; 0,95; 0,9; 0,75; 0,5}.
При статическом изгибе (ш = 0) величины прогиба Ш(£) и напряжений
сг£к)(0,5, 0,5, £) = 5^к)(£), стУк)(0,5, 0,5, £) = Я)к)(£) (к = 1, 2) для некоторых характерных значений £ приведены в табл. 2 (Н = 0,1 м) и в табл. 3 (Н = 0,2 м). В табл. 2 и последующих значения при Л* = 0 и Л* = 1 соответствуют однослойным пластинкам из СВАМ 5:1 (Л* = 1) и однонаправленного стеклопластика (Л* = 0).
Как следует из результатов вычислений, добавление к однослойной пластинке даже очень тонкого слоя из более жёсткого материала (е12) > Е^) при неизменной общей толщине пакета Н существенно влияет на прогибы и напряжения в пластинке. При этом двухслойная пластинка начинает работать приблизительно так же, как однослойная пластинка из более жёсткого
Таблица 1
Ег ■ 10-5, МПа Е2 ■ 10-5, МПа Ез ■ 10-5, МПа С12 ■ 10-5, МПа 023 ■ 10-5, МПа О13 ■ 10-5, МПа ^12 ^23 Из
СВАМ 5:1
Однонаправленный стеклопластик
Таблица 2
Н* 1,0 0,95 0,90 0,75 0,50 0,0
Щ(0,0) • 109 — 17,048 — 14,755 — 14,728 — 14,643 — 14,508 — 14,192
Щ(0,5) • 109 — 17,193 — 14,894 — 14,867 — 14,782 — 14,647 — 14,332
Щ(1,0) • 109 — 1,7103 — 14,781 —14754 — 14,670 — 14,537 — 14,224
^(М, Па —30,723 —23,058 —20,267 — 12,261 0,294 —
Я(2)(М, Па — —32,384 —28,460 — 17,208 0,432 —35,792
Ях(1,0), Па —30,723 —36,388 —36,364 —36,284 —36,147 —35,792
Яу (0,0), Па 16,173 13,962 13,942 13,879 13,777 12,829
Яу(0,5), Па —0,045 —0,117 —0,112 —0,096 —0,070 —0,059
^(М, Па — 16,289 — 12,761 — 11,296 —6,998 —0,070 —
Я(2)(М, Па — — 12,156 — 10,764 —6,680 —0,097 — 12,962
Яу(1,0), Па — 16,289 — 13,538 — 13,510 — 13,423 — 13,284 — 12,962
Таблица 3
н* 1,0 0,95 0,90 0,75 0,50 0,0
Ш(0,0) • 109 — 1,291 — 1,150 — 1,148 — 1,141 — 1,127 — 1,092
Ш(0,5) • 109 — 1,336 — 1,190 — 1,188 — 1,181 — 1,168 — 1,133
Ш(1,0) • 109 — 1,346 — 1,179 — 1,177 — 1,170 — 1,157 — 1,124
Ях(0,0), Па 7,577 7,101 7,074 6,989 6,814 —8,874
Ях(0,5), Па —0,017 0,236 0,226 0,182 0,112 —0,03
Я(1)(Л*), Па —7,808 —5,764 —4,945 —2,810 0,112 —
Я(2)(Л*), Па — —8,064 —6,914 —3,919 0,174 —9,105
Ях(1,0), Па —7,808 —9,307 —9,302 —9,284 —9,243 —9,105
Я у (0,0), Па 4,435 3,952 3,948 3,932 3,903 3,588
Яу(0,5), Па —0,032 —0,057 —0,054 —0,048 —0,035 —0,052
^У1)(Л*), Па —4,603 —3,674 —3,225 — 1,962 —0,035 —
ЯХ2)(Л*), Па — —3,534 —3,107 — 1,905 —0,072 —3,749
Яу(1,0), Па —4,603 —3,969 —3,961 —3,933 —3,882 —3,749
материала. Однако следует иметь в виду, что в двухслойных пластинках напряжения оХ, и тху на поверхности контакта слоёв с = Л* терпят разрыв. Напряжение при статическом изгибе меньше напряжений оХ, и по модулю не превосходит значения д0 = 1,0 Па.
Установившиеся колебания пластинок исследовались в диапазоне частот 0 < ш < 80000 с-1. Исследования показали, что у рассматриваемых пластинок имеется спектр резонансных частот шр!ез, при которых все характеристики НДС неограниченно возрастают, а при переходе через значения ш = ш^ез меняют знак. Разным значениям ш^ез соответствуют различные законы изменения характеристик НДС по толщине пластинки, которые качественно отличаются друг от друга. При колебаниях первого типа (их называем чисто изгибными) амплитуда прогиба Ш постоянна или очень мало меняется по толщине пакета, а тангенциальные смещения и и V и напряжения оХ и в пределах каждого слоя меняются по с по линейному или близкому к нему закону.
Наряду с чисто изгибными в пластинках реализуются колебания другого типа — планарные. Для таких колебаний характерно линейное со сменой знака или близкое к нему изменение прогиба Ш (эффект «разбухания» или «подтягивания»). Тангенциальные смещения при планарных колебаниях очень мало меняются по толщине, а нормальные напряжения оХ и в пределах каждого слоя почти постоянны.
Кроме указанных типов колебаний в пластинках существуют и другие, которые являются сложными комбинациями чисто изгибных и планарных с преобладанием изгибных или планарных составляющих. Такие колебания наблюдаются как при высших резонансных частотах, так и при отличающихся от них.
Резонансные частоты представляются в виде ш^ез = шс + 5 при изгибных или изгибно-планарных колебаниях и ш^ез = Ос + 5, если колебания планарные. Значения шс и Ос при 5 < 1 с-1 для пластинок с Н = 0,1 м для рассматриваемого диапазона изменения ш приведены в табл. 4, а в случае Н = 0,2 м —в табл. 5.
Таблица 4
Л* ¿1 ¿2 ¿3 Оі О2
Таблица 5
Л* ¿1 ¿2 ¿3 ш4 ¿5 ¿6 Оі О2
Как видно из этих таблиц, увеличение толщины пакета существенно уплотняет спектр резонансных частот. При этом первая резонансная частота ш1 — частота чисто изгибных колебаний — возрастает, а частоты изгибно-планар-ных и планарно-изгибных колебаний ш2, шэ,... вследствие сжатия частотного спектра убывают. Частоты О і и О чисто планарных колебаний зависят в основном от размеров пластинки в плане и в меньшей степени — от материала, с изменением Н они меняются мало. Изменение толщины Л-2 слоя из более жесткого материала сказывается на колебаниях пластинки так же, как и в случае статического изгиба.
Некоторые возможные законы изменения по £ амплитуд прогиба Ш и тангенциального смещения и при различных частотах иллюстрируют графики, представленные соответственно на рис. 2 и рис. 3. Эти графики построены для пластинки с толщиной пакета Н = 0,2 м при Л = 0,15 м и Л-2 = 0,05 м. Кривая 1 на рис. 2 соответствует частоте ш = 36000 с-1, кривая 2 — ш = = 37000 с-1, кривая 3 — ш = 54900 с-1, кривая 4 — ш = 59350 с-1, кривая 5 — ш = 57500 с-1, ординаты кривых 2 и 5 увеличены соответственно в 2 и 10 раз. На рис. 3 кривая 1 построена для частоты ш = 1000 с-1, кривая 2 — ш = 19000 с-1, кривая 3 — ш = 52000 с-1.
Отдельный интерес представляют величина и закон изменения по толщине нормального напряжения , которое в классической и большинстве других приближенных теорий считаются малыми по сравнению с и и поэтому, как правило, не учитываются. Графики, представленные на рис. 4 (сплошные линии — , штриховые — стж), показывают, что в толстой двухслойной ортотропной пластинке напряжения при некоторых значениях ш меняются по толщине по сложному закону и могут быть меньше (кривые 1, ш = 59300с-1), одного порядка (кривые 2, ш = 32300с-1) или превосходить (кривые 3, ш = 53500с-1) значения стх.
W • ю10
и ■ ю10
Сплошные линии на этом рисунке изображают поведение напряжения , штриховые — ах. При ш = 59300 с-1 в точках контакта слоёв разрыв кривой (штриховая линия 1) при выбранном масштабе незначителен и поэтому на графике практически не отображается.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Differential Equations / Russian Monographs and Texts on Advanced Mathematics and Physics. Vol. IV. New York: Gordon and Breach, 1961. 360 pp.
MSC: 74K20
STATIC BENDING AND VIBRATIONS OF MULTILAYER ORTHOTROPIC RECTANGULAR PLATE WITH SIMPLY SUPPORTED EDGES
P. Ph. Nedorezov, A. V. Aristambekova
N. G. Chernyshevsky Saratov State University (National Research University),
Faculty of Mathematics and Mechanics,
E-mails: p1934n@yandex.ru, aristambekovaav@mail.ru
Bending and vibrations of multilayer rectangular plate are considered. The plate is composed, from N orthotropic layers of arbitrary thickness. Edges of the plate are simply supported,. Possibility of closed-form solution is discussed. Numerical solution method is developed and implemented. Results are presented in table.
Original article submitted 30/XII/2010; revision submitted 28/II/2011.
Pyotr Ph. Nedorezov (Dr. Sci. (Techn.)), Professor, Dept. of Mathematical Theory of Elasticity and Biomechanics. Asel’ V. Aristambekova, Postgraduate Student, Dept. of Mathematical Theory of Elasticity and Biomechanics.
