Спросить
Войти
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2
УДК 519.6 DOI 10.18522/1026-2237-2020-2-94-100
КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ГИПЕРСИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛА, СОДЕРЖАЩЕГО ВЕСОВУЮ ФУНКЦИЮ МНОГОЧЛЕНОВ ЯКОБИ С КОМПЛЕКСНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ
© 2020 г. А.В. Саакян1
A QUADRATURE FORMULA FOR A HYPERSINGULAR INTEGRAL CONTAINING THE WEIGHT FUNCTION OF JACOBI POLYNOMIALS WITH COMPLEX EXPONENTS
A.V. Sahakyan1
Саакян Аветик Вараздатович - доктор физико-математических наук, заместитель директора, Институт механики Национальной академии наук Республики Армения, пр. Маршала Баграмяна, 24б, г. Ереван, 0019, Республика Армения, e-mail: avsahakyan@gmail.com
Avetik V. Sahakyan - Doctor of Physics and Mathematics, Deputy Director, Institute of Mechanics, National Academy of Sciences of the Republic of Armenia, Marshal Baghra-myan Ave., 24b, Yerevan, 0019, Republic of Armenia, e-mail: avsahakyan@gmail.com
Понятие гиперсингулярного интеграла (ГИ) хотя и введено Адамаром еще в начале XX в., но начало его практическому применению было положено лишь во второй половине века. Широкое же развитие теория гиперсингулярных интегральных уравнений (ГИУ) получила в последние десятилетия. Это обусловлено тем, что ими описываются определяющие уравнения многих прикладных задач в различных областях: теории упругости, механике разрушения, теории дифракции волн, электродинамике, ядерной физике, геофизике, теории вибраторных антенн, аэродинамике и др.
Вычисление ГИ аналитически возможно осуществить лишь для очень узкого класса функций, поэтому приближенные методы вычисления такого интеграла всегда находятся в поле зрения исследователей и являются бурно развивающимся направлением вычислительной математики. Есть очень большое количество работ, посвященных этой тематике. В них предлагаются различные подходы как к приближенному вычислению ГИ, так и к решению ГИУ, главным образом с учетом специфики поведения плотности ГИ.
В настоящей работе получены квадратурные формулы для ГИ, плотностью которого является произведение гёльдеровской на отрезке [—1, 1] функции и весовой функции полиномов Якоби (1- х)а(1 + хУ . При этом полагается, что показатели а и в могут быть произвольными комплексными числами, удовлетворяющими условию неотрицательности вещественной части. На численных примерах продемонстрирована сходимость квадратурной формулы к точному значению ГИ. Указана возможность применения метода механических квадратур к решению разных интегральных уравнений, в том числе и ГИУ.
Although the concept of a hypersingular integral was introduced by Hadamard at the beginning of the 20th century, it began to be put into practical use only in the second half of the century. The theory of hypersingular integral equations has been widely developed in recent decades and this is due to the fact that they describe the governing equations of many applied problems in various fields: elasticity theory, fracture mechanics, wave diffraction theory, electrodynamics, nuclear physics, geophysics, theory vibrator antennas, aerodynamics, etc.
It is analytically possible to calculate the hypersingular integral only for a very narrow class offunctions; therefore, approximate methods for calculating such an integral are always in the field of view of researchers and are a rapidly developing area of computational mathematics. There are a very large number of papers devoted to this subject, in which various approaches are proposed both to approximate calculation of the hypersingular integral and to the solution of hypersingular integral equations, mainly taking into account the specifics of the behavior of the density of the hypersingular integral.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2
In this paper, quadrature formulas are obtained for a hypersingular integral whose density is the product of the Holder co n-tinuous function on the closed interval [-1, 1], and weight function of the Jacobi polynomials (i - x)a(i + xf. It is assumed that the exponents a and ft can be arbitrary complex numbers that satisfy the condition of non-negativity of the real part. The numerical examples show the convergence of the quadrature formula to the true value of the hypersingular integral. The possibility of applying the mechanical quadrature method to the solution of various, including hypersingular, integral equations is indicated.
Введение
Широкое развитие теории гиперсингулярных интегральных уравнений (ГИУ) в последние десятилетия обусловлено тем, что ими описываются определяющие уравнения многих прикладных задач в различных областях: теории упругости, механике разрушения, теории дифракции волн, теории вибраторных антенн, аэродинамике и др. [1-4]. За редким исключением, решение этих уравнений строится приближенными методами, развитию которых посвящено очень много работ, в частности [5-12]. Следует отметить, что подавляющее большинство работ относится к наиболее распространенному частному случаю, когда поведение плотности сингулярного или гиперсингулярного интеграла (ГИ) у концов отрезка интегрирования описывается корневой функцией. Существенно меньше число работ, посвященных приближенному вычислению указанных интегралов, плотности которых содержат весовую функцию многочленов Яко-би с произвольными допустимыми вещественными показателями. В [13] приведены квадратурные формулы наивысшей алгебраической точности для интеграла типа Коши, когда показатели весовой функции Якоби комплексные.
В настоящей работе строятся интерполяционные квадратурные формулы для ГИ при предположении, что его плотность содержит множителем весовую функцию Якоби с произвольными, в том числе и комплексными, допустимыми показателями.
Вывод квадратурной формулы
Рассмотрим интеграл
J О (z И
J1 (х - Z ) который при Z £ (—1,l)
dx , z е C, z ^ ±1,
понимается в смысле конечного значения по Адамару [14]
J о (z ) =
Щт * +1
ф(х1 dx - 25«
(x - z):
Интегрируя интегралы в (1) по частям и устремляя £ к нулю, приходим к соотношению
Л(^ф^Фн+[«иА. ,2)
Интеграл У0 (г) можно понимать как результат
формального интегрирования по частям, и следовательно, вычисление ГИ сведётся к вычислению интеграла
г <«М.
Предположим, что
ф(х) = р(хХ1 - *)"(1 + *)&
Яе(а),Яе(^)> 0 , (4)
((*) - гёльдеровская функция на замкнутом отрезке [—1,1].
Заменяя функцию ((*) интерполяционным многочленом
(^ V «к, Р""1^) (п (* &=£ (*—¡, ,) •
для ф(х) будем иметь
где £ ■, , = 1 , п, - корни многочлена Якоби Р"& . Они в общем случае будут комплексными. Возникает вопрос, что понимать под
, = 1, п, если функция ((*) определена на отрезке [—1,1]. В случае, если ((*) аналитически продолжается в комплексную плоскость, ) будут значениями этой функции, в противном случае - многочлена порядка (п — 1), интерполирующего функцию ((х) по узлам на отрезке [—1,1].
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2
i i -f; га x - z x- f.
Поскольку интерполяционный многочлен <рп (х) по сути является многочленом порядка
п — 1, то в случае, если <(х) будет многочленом порядка т < п, будем иметь <рп (х) = <(х).
Вычисление производной функции Ф(х) зависит от значений а и Р, и поэтому, не вдава- после определенныхупрощений придем к следующим квадратурным формулам:
ясь в подробности вычисления, выпишем эти значения:
при а Ф 0, Р Ф 0
при a Ф 0, ß Ф 0
I (z Ь I. (z ) =
ф&(х) = -(1 - х)а-1 (1 + x)ß1 х
¿—i D"
(a-1,ß-l) n+1
+ (l - x 2 ) POßM
при а = 0, ß Ф 0
(x.= 2(1 + xrf ¥(f )
ф(x )=~n+ßß+T è Pij)
(n + ß)Pnl ß "(x)
при ß = 0, a Ф 0
-(1 + x)
ф&(x ) = n + а +
(n + а)р(а-1& 1)(x) . x -f;
при а = 0 ß = 0
ф&(x) =
+ (1- x)
PM)(x ) &
(n + 1)Pi-11)(x) Pn (x )
Вернемся к построению квадратурной формулы для интеграла I (х). Подставляя каждую Ф&(х) из представлений (5)—(8) в интеграл (3), меняя порядок интегрирования и суммирования, пользуясь разложениями
(x - z )(x -f )
x - z x -f.
è D"
^a-1ß-1)(z )+
+ ra ,
при a = 0, ß Ф 0
I (z )-1„ (z ) =
_V c(f; ) i - 2ß
=è PPf) jd -f, )(z -1)
при a Ф 0, ß = 0
I (z )-In (z ) =
n + a +
f ¥(f,) Î - 2 1 è Pä+Ufl(1+f fc+1)
- (n + a)
R(a-1 1)(z ) Ra 0)(z )- R^fe)]
(z-f;)(z + 1)
при a = 0, ß = 0
I(z)« In,(z) =
_ 2 n +1—7 (z v c(f,)
î è (z -f;)P(-11)(f;)
n+1 Rn-1(z )
R(0,0)(z )-R°-°)(f,)
z-f; (1 - z )(1 -f; )
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2
J x - z "> dr
Функция R(a&/&)(z) тесно связана с функцией при / — 0
Якоби второгорода д(г) 0пП(г)= •
и определена во всей комплексной плоскости, разрезанной вдоль отрезка [— 1 , 1]. Она имеет множество различных представлений [15], из которых представим только одно:
Я" "(г) = ^ 2"+& В(п + а +1 , п + & + 1)х
n +1 , n + а + 1;2n + а + ß + 2;
Mß-i)(z )+ z )-Rn«ß)(tm ) "
(z -im)2
(n + ß)
^-1)(z) x Rnoß)(z)-R0-4L)
(z-Lm)(z-1) (z-Li
(n + а)R^(z) , ^(z)-^(L)
(z im Xz + 1)
_ 1 d2 Rа0) (z )
(z-Lm )2
- известная бета(z-im )2
Здесь В",&) = 4"М
V & Г +&)
функция; ^ (а ,Ъ; С; г ) - гипергеометрический ряд
Отметим, что функция Я"&&(г) принимает различные значения в зависимости от того, стремится ли точка г к точке £ разреза из верхней полуплоскости (^ + /0) или из нижней (£ — /0). На самом
разрезе функция Я" &&(г) определяется как полусумма этих значений:
Я" Ч) = 1 Я" Ч+/-0)+Я" —/0)] ,
—1 <£< 1.
При необходимости вычисления интеграла
соответствующем слагаемом соответствующей квадратурной формулы использовать предельные значения:
при а ф 0 и & ф 0
Представление функции ф(х) в виде (4) делает очевидным тот факт, что, за исключением случаев а = 0, ((1) ф 0, & = 0, ((— 1) ф 0 или а = & = 0 и ((+ 1)ф 0, функции Зй(г) и 1(г)
равны друг другу, и для них применима квадратурная формула (9). В исключенных же случаях функция 1(г) вычисляется по квадратурным формулам (10)-(12), а 3) определяется посредством формулы (2).
Заметим, что формулу (9) можно встретить и в работах [16, 17].
Наиболее часто встречающийся частный случай
Решения смешанных и контактных задач математической теории упругости для однородных сред в большинстве своем имеют корневое поведение у точек раздела граничных условий, т.е. а = +& = +0, 5 . Учитывая наличие условия в (4), следует положить а=& = 0, 5. Тогда для рассматриваемой функции (4) будем иметь
ф(х)=((хУТ — х , а квадратурная формула (9) примет вид
I (г Ь !п{г ) =
_ 411 — )
£ )(г Ч,)
и (z) Tn+1(z )-Tn+kj) Un(z)- (n + 1)(z-Lj)
i = cos — - , j = 1,2,....,n. j n +1
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2
При вычислении интеграла I (г) в узловой точке 2 = , т = 1 , П , следует квадратную скобку в соответствующем слагаемом заменить выражением
п + р+1 (2)" тп+1
(n +1)2 Un-l (й )
Численный анализ
Проведем численный анализ сходимости квадратурной формулы (6) в зависимости от показателей а и Р. В качестве функции p(x) выберем ppx) = sin 2x + ln (2 + x), которая аналитически
продолжается в комплексную плоскость. Поскольку главным образом будут рассматриваться комплексные значения этих показателей, то для сравнения будут вычислены не только отклонения квадратурной формулы, но и отклонение интерполирующего многочлена.
Для оценки близости интерполирующего многочлена (4) к рассматриваемой функции используем понятие среднеквадратического отклонения непрерывных функций, определяемое формулой
грала
J (((x) — (n (x))2 dx , а для близости интеJ О (z )
Е (J О (Xi )-In (Xi ))2 ;
интервала (— 1 , 1), ДЬ( =
X = —1 + г-.
т +1
С учетом того, что при комплексных значениях показателей а и 0 оба отклонения будут комплексными, в таблице приведены их модули при разных порядках аппроксимации п и различных, отличных от нуля значениях показателей а и 0.
Для случаев, когда один из показателей или оба они равны нулю, на рисунке приведены кривые, соединяющие абсолютные значения разности интеграла У0 (г) и соответствующей значениям а и 0
квадратурной суммы 1п (г), рассчитанной при
п = 12, m = 20.
Среднеквадратические отклонения Л^ и Л- . / Standard deviations Л J and Лn Отклонение а = О ,15 , ß = О , 65 а = О,3 + 0,2i, ß = 0,5 - 2i а = 0,25i, ß = 4i а = 0,25, ß = 0,5i ß а =i =i
Л z 3,0x10-4 1,1x10-3 1,0x10-2 2,1x10-4 1,7x10-4
KJ 5,4x10-3 2,6x10-2 9,8x10-1 6,9x10-3 1,2x10-2
KJ 1,4x10-4 6,6x10-4 2,7x10-2 1,6x10-4 3,1x10-4
Л z 1,3x10-7 4,7x10-7 4,7x10-6 6,7x10-8 5,8x10-8
KJ 1,5x10-6 1,6x10-5 5,6x10-4 2,2x10-6 5,6x10-6
Л z 7,7x10-8 1,6x10-7 1,2x10-6 4,8x10-8 4,3x10-8
KJ 1,2x10-6 6,5x10-6 1,5x10-4 7,1x10-7 3,1x10-6
KJ 6,5x10-8 8,1x10-8 1,7x10-6 2,4x10-8 9,7x10-8
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2
воляют с успехом применить метод механических квадратур [17] к решению как ГИУ на отрезке, так и сингулярных интегральных и интегро-диффе-ренциальных уравнений разного вида.
ß = 0 , 3 + 0 ,5/
V V #/ #/ t—ii \\\\»
Абсолютная погрешность квадратурных формул / The absolute error of the quadrature formulas
Из представленных в таблице результатов и кривых на рисунке можно сделать следующие выводы:
• квадратурная формула сходится к истинному значению интеграла независимо от значений показателей а и ft ;
• близость функций J0 (z) и I (z) на один, два порядка уступает близости функции p(x) и полинома pn (x);
• результаты 2-го и 3-го столбца таблицы при малых значениях порядка аппроксимации существенно отличаются от результатов в трех остальных столбцах, что обусловлено относительно большой мнимой частью показателя ft. То же можно заметить и на рисунке (пунктирные линии).
Относительно последнего утверждения заметим,
что корни многочлена Якоби Ра ft)(x) при комплексных значениях показателей а и ft являются комплексными и располагаются на эллипсоподоб-ной кривой по одну сторону от интервала (— 1 , l), но при n ^ да эта кривая стремится к интервалу (— 1 , l). Следовательно, при одинаковом порядке интерполяции чем больше мнимая часть показателей, тем дальше от интервала (— 1 , l) располагаются узлы интерполирования и, очевидно, тем хуже аппроксимация функции p(x) на самом интервале.
Заключение
Получены квадратурные формулы для ГИ, содержащего весовую функцию полиномов Якоби с комплексными показателями степени. Приведенные квадратурные формулы вместе с квадратурными формулами для других интегралов [16, 17] позISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2
References
Поступила в редакцию /Received
