ФУНКТОР IS В КАТЕГОРИИ КОМПАКТНЫХ ХАУСДОРФОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

Бюллетень науки и практики /Bulletin of Science and Practice https://www.bulletennauki.com

Т. 6. №3. 2020 DOI: 10.33619/2414-2948/52

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ/PHYSICAL MATHEMATICAL SCIENCES

УДК 515.12 https://doi.org/10.33619/2414-2948/52/01

ФУНКТОР IS В КАТЕГОРИИ КОМПАКТНЫХ ХАУСДОРФОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

©Курбанов Х. Х., Академия Вооруженных Сил Республики Узбекистан,

г. Ташкент, Узбекистан, qhamid_83@mail.ru ©Ёдгаров С. Ж., Ташкентский архитектурно строительный институт, г. Ташкент, Узбекистан, syodgarov66@mail.ru

A FUNCTOR IS IN THE CATEGORY COMPACT HAUSDORFF SPACES

©Kurbanov Kh., Academy of the Armed Forces of Uzbekistan, Tashkent, Uzbekistan, qhamid_83@mail.ru ©Yodgarov S., Tashkent architecture and civil engineering institute, Tashkent, Uzbekistan, syodgarov66@mail.ru

Аннотация. Построено пространство нормированных, однородных и max-plus-полуаддитивных функционалов и дано его описание. Установлено, что операция взятия пространства нормированных, однородных и max-plus-полуаддитивных функционалов образует нормальный функтор, действующий в категории компактных Хаусдорфовых пространств и их непрерывных отображений.

Abstract. We construct a space of normed, homogeneous and max-plus-semiadditive functionals and we give its description. Further we establish that the construction of taking of a space of normed, homogeneous and max-plus-semiadditive functionals forms normal functor acting in the category of Hausdorff compact spaces and their continuous maps.

Введение

Пусть X — компактное хаусдорфово пространство, С(Х) — алгебра всех непрерывных функций, определенных на X, с обычными поточечными алгебраическими операциями и sup -нормой. На множестве С(Х) вводят новые операции — новое умножение на число и новое сложение функций по правилам:

Определение 1 [1]. Функционал С(Х) ^ Ж называется идемпотентной вероятностной мерой на X, если он обладает следующими свойствами:

(i) (нормированность): ^(Лх) = Я для всех Я £ Ж;

(И) (max-plus-однородность): имеем ^(Л О ф) = ЛО И-(ф) для всех Я £ Ж и <р £ С(Х);

(iii) (max-plus-аддитивность): ©&ф) = ^(ф) 0 ^(&ф) для всех ф, ^ £ С(Х).

Бюллетень науки и практики /Bulletin of Science and Practice Т. 6. №3. 2020

https://www.bulletennauki.com DOI: 10.33619/2414-2948/52

Число ^(<р) называется интегралом Маслова соответствующим к д. Множество всех идемпотентных вероятностных мер на X обозначается [1] через 1(Х). Всякая идемпотентная вероятностная мера является непрерывной [2]. Следовательно, 1(Х) с Ср(С(Х)) с Мс®. Обеспечим /(X) с индуцированной из топологией. Базу окрестностей идемпотентной

вероятностной меры д Е 1(Х) относительно этой топологии образуют множества вида

(¡л; <р1,...,<рк; е) = { 1Л&Е1(ХУ. \\^&(ф1)-^(ф1)\\<Е, 1 = 1,..., к}, (1)

где (ръ ф2, •••, <Рк Е С(Х) и £ > 0.

Известно [1], что для всякого компактного хаусдорфово пространства X пространство 1(Х) также является компактным хаусдорфовым пространством.

Рассмотрим непрерывное отображение компактных хаусдорфовых

пространств. Оно индуцирует следующее естественное отображение 1(/): 1(Х) ^ 1(У):

Таким образом, конструкция I переводит компактные хаусдорфовы пространства в компактные хаусдорфовы пространства, а непрерывные отображения компактных хаусдорфовых пространств — в непрерывные отображения компактных хаусдорфовых пространств. В таких случаях говорят, что конструкция I образует функтор, действующий в категории компактных хаусдорфовых пространств и их непрерывных отображений. В работе [1] установлено, что функтор I является нормальным в смысле Е. В. Щепина [3].

Так как функтор I нормален, то для каждой идемпотентной вероятностной меры д Е 1(Х) определен ее носитель:

supp д =П {Р: Р замкнуто в X и д Е 1(Р)}.

Для положительного целого числа п определим следующее множество

Положим

Ш) = У 1П(Х).

Множество 1Ш(Х) всюду плотно [1] в 1(Х). Идемпотентную вероятностную меру д Е 1Ш(Х) называют идемпотентной вероятностной мерой с конечным носителем. Для каждой точки х Е X мера Дирака 5Х: С(Х) ^ М, определенная по формуле 5х(<р) = <р(х), <р Е С(Х), является идемпотентной вероятностной мерой с конечным носителем, причем supp 8Х = {х}. Дальнейшее продвижение теории идемпотентных мер, и ассоциированные с ней отрасли наблюдалось в работах [2, 4-7].

Следующее определение предложено А. Заитовым.

Определение 2. Функционал С(Х) ^ М называется тах-р1ш-полуаддитивным, если: ¡¿((р®^) > ¡х(<р)@1х(-ф) для всякой пары (р, ^ Е С(Х).

Множество всех тах-р1ш-полуаддитивных, нормированных и тах-р1^-однородных функционалов обозначим через №(Х). Множество 1Б(X) рассмотрим как подпространство тихоновского произведения

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice https://www.bulletennauki.com

Т. 6. №3. 2020 DOI: 10.33619/2414-2948/52

фЕС(Х)

где Шф = М — числовая прямая для каждой ф Е С(Х). Множества вида (1), более точно, множества вида

где ф1, ф2, ■••, Фк Е С(Х) и £ > 0, образуют базу окрестностей функционала д Е 1Б(Х) относительно этой индуцированной топологии. Но, с другой стороны, множества вида ( 1&) образуют топологию поточечной сходимости на №(Х).

Предложение 1. Каждый тах-р1ш-полуаддитивный, нормированный и однородный функционал р.: С(Х) ^ М непрерывен.

Доказательство. Сначала отметим, что всякий тах-р1ш-полуаддитивный функционал р.: С(Х) ^ М сохраняет порядок, т. е. для произвольной пары ф, тр Е С(Х) неравенство ф < тр влечет р.(ф) < ^(ф). Действительно, так как для функций ф, &ф Е С(Х) неравенство ф <~ф равносильно равенству ф®^ = ^, то имеем ^.(ф) < ^(ф)®^.(-ф) < ¡х(ф®^) = ¡х(&ф).

С другой стороны, всякий тах-р1ш-однородный функционал С(Х) ^ М слабо аддитивен, т. е. ^.(ф + Лх~) = ^(ф) + Л для всех ф Е С(Х), Л Е М.

Пусть теперь ф, &ф Е С(Х) - функции такие, что Ц&ф — ф\\\\ < £ для некоторого £ > 0.

Тогда

< ф - ф < ех, Ф - £Х < гр < ф + ЕХ,

ф) — £ < ¡Х(ф) < ф) + £,

\\KW — КФ)\\ < ЕПредложение 1 доказано.

Для краткости, max-plus-полуаддитивный, нормированный и однородный функционал далее будем называть max-plus-полуаддитивными функционалами.

Предложение 2. Топологическое пространство IS(X), снабженное поточечной сходимости, является компактным хаусдофовым пространством.

Доказательство. Хаусдорвофость пространства IS(X) вытекает из того, что оно является тихоновским пространством как подпространство тихоновского произведения (3).

Отметим, что IS(X) с ПфЕс{х)\\т^> ^<р\\, где для ф Е С(Х) положено т^ = min{^(x): х Е X}, М^ = тах{ф(х}: х Е X}. В самом деле, как уже в доказательстве предложения 1 было отмечено, что всякий max-plus-полуаддитивный функционал ß: С(Х) ^ М сохраняет порядок. Поэтому, в силу нормированности, двойное неравенство (ш^) < ф <

(.М<р) влечет двойное неравенство т^ < ^(ф) < М^.

Теперь так как произведение замкнутых отрезков ПфЕс{х)\\т^> ^<р\\ — компакт в топологии произведения, то достаточно установить замкнутость IS(X) в этом произведении. Возьмем произвольную сеть {^а} с IS(X). Тогда {^а} с ПфЕс{х)\\т^> ^<р\\. Поэтому, в силу компактности произведения, существует предел Е ПфЕс{х)\\т^> ^<р\\. Доказательство завершится, если установим, что Е IS(X). Для каждого Л Е М имеем ^0(Л) = Нтда(А) =

lim! = Л, т. е. нормирован. Для каждой пары ф Е С(Х) и Л Е М имеем /и.0(ЛОф) =

Иту.а(Лфф) = ИтЛф^а(ф) = ЛфИту.а(ф) = Лфу.0(ф), иными словами, max-plusБюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 6. №3. 2020

https://www.bulletennauki.com DOI: 10.33619/2414-2948/52

однороден. Возьмем произвольную пару ф, &ф Е С(Х). Имеем ^0(ф®~ф) = 1\\т ^.а(ф®-ф) >

Ит(^а(ф)@^а(&ф)) = 1[т^а(ф)®1[т^а(-ф) = ^0(ф)®^0(-ф), что означает тах-р1ша а а

полуаддитивность функционала д0. Таким образом, д0 Е №(X). Предложение 2 доказано.

Рассмотрим непрерывное отображение компактных хаусдорфовых

пространств. Оно индуцирует следующее естественное отображение 1(/): 1(Х) ^ 1(У):

Из предложения 1 вытекает, что отображение №(/) непрерывно.

Напомним следующее понятие. Пусть С = {О, М} и С& = {О&, М&} — две категории. Отображение Р:С ^ С&, переводящие объекты в объекты, а морфизмы в морфизмы, называется ковариантным функтором из категории С в категории С&, если:

Р1) для всякого морфизма [:Х ^ У из категории С морфизм Р(действует из Р(Х) в

Р2~) Р(1йх) = ¿йр(Х) для всякого X Е О;

Р3) Р([ о д) = Ро Р(д) для любых морфизмов / и д из М.

Предложение 3. Конструкция 1Б является ковариантным функтором в категории компактных хаусдорфовых пространств и их непрерывных отображений.

Доказательство. Из определения вытекает, что 1Б удовлетворяет условию F1). Пусть ¿йх: X ^ X — тождественное отображение. Для каждого д Е 1Б(X) имеем

Так как д и ф произволны, то стало быть 1Б(1йх)(^.) = д.

Покажем, что 1Б сохраняет композицию отображений. Пусть X, У, 2 — компакты и [:Х ^ У, д:У ^ 2 — непрерывные отображения. Для д Е №(Х) и ф Е С(2) имеем

Таким образом, конструкция 1Б переводя компактные хаусдорфовы пространства в компактные хаусдорфовы пространства, а непрерывные отображения компактных хаусдорфовых пространств — в непрерывные отображения компактных хаусдорфовых пространств, образует ковариантный функтор, действующий в категории компактных хаусдорфовых пространств и их непрерывных отображений.

В настоящей работе установим, что функтор 1Б является нормальным функтором в категории компактных хаусдорфовых пространств и их непрерывных отображений.

Но, обратное вообще говоря, не верно.

Бюллетень науки и практики /Bulletin of Science and Practice Т. 6. №3. 2020

https://www.bulletennauki.com DOI: 10.33619/2414-2948/52

Пример 1. Рассмотрим двухточечное дискретное пространство X = {а, Ь} и функции ф, &ф : X ^ М, определенные равенствами

ф(а) = 0, <р(Ъ) = 1;

тф(а) = 1, тф(Ъ) = 0.

Тогда

(ф©^)(а) = 1, (ф©Ф)(Ь) = 1.

Для идемпотентных вероятностных мер = О©^©!!©^, д2 = Л2©8а©0©8ь, где —ю < Л1, Х2 < -1, функционал д = + является тах-р1ш-полуаддитивным

функционалом, но не является идемпотентной вероятностной мерой, здесь а + @ = 1, а > 0, Р > 0. Действительно, имеем

¡х(ф©^) = а^.1(ф©^) + р^2(ф©^) = тах{а^1(ф),а^1(-ф)} + тах{р^2(ф), =

= тах{а^ (ф) + тах{р^ (ф), РИ-2 (&Ф)}, (-ф) + тах{р^ (ф), РИ-2 (&Ф)}} >

> тах{а^(ф) + р^(ф), а^-ф) +Р^(&Ф)} = тах{^(ф), ^(-ф)} = ^(ф)©^(-ф),

т. е. у.(ф©ф>) > ц(ф)©1х(-ф).

Покажем, что тут равенство не выполнено. Вычислим значения функционала д при ф, ^ и ф©^:

^.(ф) = а^.1(ф) + р^2(ф) = а^0+р^1 = р, у.(&ф) = а^1(-ф) + р^2(-ф) = а^1 + р^0 = а, ^(ф©гр) = а^1(ф©\\р) + ¡3^2(ф©\\р) = а+0 = 1.

Так как а < 1 и Р < 1, то ¡х(ф©-ф) = 1> а©р = ^(ф)©^.(-ф). Таким образом, д Е №(Х) \\ 1(Х), т. е. включение (4) необратимо.

Определение 3. Будем говорить, что тах-р1ш-полуаддитивный функционал д Е №(Х) сосредоточен на замкнутом подмножестве А компактного хаусдорфово пространства X, если ^(ф) = 0 для всякой функции ф Е С(Х) такой, что ф(х) = 0 при х Е А. Наименьшее множество, на котором сосредоточен тах-р1^-полуаддитивный функционал д, называется носителем д, и обозначается supp д.

Легко установить следующего утверждения, которое имеет самостоятельный интерес.

Лемма 1. тах-р1ш-полуаддитивный функционал д Е №(Х) сосредоточен на замкнутом подмножестве А компактного хаусдорфово пространства X тогда и только тогда, когда д Е К(А)

Для положительного целого числа п определим следующее множество

Положим

^(Х) = У 15п(Х).

Идемпотентную вероятностную меру д Е 1Ш(Х) называют идемпотентной вероятностной мерой с конечным носителем.

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 6. №3. 2020

https://www.bulletennauki.com DOI: 10.33619/2414-2948/52

Лемма 2. Множество 1БШ(Х) всюду плотно в 1Б(X).

Доказательство. Каждый тах-р1ш-полуаддитивный функционал д с конечным носителем представляется в виде разложения

Хц...А.1П1 Хц... Л.2П2 ^knk

V ~ + ~ + "" + v

Хц... Xini 2 X21... X2n2 11 Xki — xknk

единственным способом (с точностью до перестановки местами), где

^ = ¿nOSXii® ... @AiniQ8Xini,

[хц, ..., Xin.} С supp Д, Uli=1{xil,..., xin.} = supp Д, < Aij < 0, Лц® ... @Ain. = 0,

at>0, i = 1,...,k, YH=i^i = 1При этом, для каждого п имеем 15п(Х) = {^а^^^: [ХЦ, ...,Хы,} С X, |и(х^, ...,хы,}1 < п; а1 > 0, ^ = 1}.

Ясно, что ух&1 хЕ 1(Х), т. е. функционал ух&1 х&™1 является идемпотентной

вероятностной мерой. Поэтому из всюду плотности [1] множества 1Ш(Х) в 1(Х) вытекает всюду плотность множества 1БШ(Х) в 1Б(X). Лемма 2 доказана.

Пусть А — подмножество компактного хаусдорфово пространства 1(Х). Для каждой конечной системы {В1, ...,Вп] подмножеств В^ с А и чисел а^, удовлетворяющих условиям

а[>0, Ь = 1,2, ...,п, = (5)

определим функционал

ai,...,an

где = ® д.

Предложение 4. Для каждого множества А, системы {В1, ...,Вп] его замкнутых подмножеств и чисел а^, удовлетворяющих условиям (5), функционал Ув1&&вп, определенный равенством (6), является тах-р1ш-полуаддитивным функционалом, т. е. Ув1&"&^п Е 1Б(Х).

Доказательство. Вначале покажем, что функционал = ® Д, I = 1,...,п, является

идемпотентной вероятностной мерой, т. е. нормирован, тах-р1ш-однороден и тах-р1ш-аддитивен. Для каждого Л Е М имеем

т. е. нормированность выполнена.

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice https://www.bulletennauki.com

Т. 6. №3. 2020 DOI: 10.33619/2414-2948/52

Для каждого А Е М и каждой ф Е С(Х) справедливо

ув.(А О (р) = © ^(А©ф) = © (А©^(ф)) = Я© © ^(ф) = А©чв.(ф),

т. е. тах-р1ш-однородность выполнена. Для каждой пары <р, тр Е С(Х) верно

чВ1(<р©^) = © КФ©^) = © (КФ)©К-Ф)) = © Кф)© © К-Ф) = чв.(у)©чв.(-ф),

т. е. тах-р!ш-аддитивность выполнена. Таким образом, ув. Е 1(Х), / = 1, ...,п.

Теперь покажем, что Уб^&б™ Е 1Б(Х). Покажем его нормированность. Для произвольного А Е М верно

(п \\ п п п

^ а1Ув1) (А) = ^ (а1ув.(л)) = ^а1А = = А .

Установим тах-р1ш-однородность функционала у^&. "&¡¡п . Имеем

(п \\ п

^ ) (А©у) = ^ (^ (уВ1(А©у))) =

= ^ (^ (А©Ув.(У)У) = А©^щув.(<р) = 1=1 1=1

для каждого А Е М и каждой <р Е С(Х).

Остается показать тах-р1ш-полуаддитивность функционала у^&. &¡¡п :

г1&.&ап

(п \\ п

X atvBi \\(y©^)=X (щ (ув.(<р ©

i=i & i=i

= X (4 {VBi(v) © = X {aiVei(^) © WbW) > i=1 i=1

т. е. у

a1,:,ari Bi,:,Bn

Vb1::XW> © VbZXM для каждой пары у, ф Е С(Х).

Предложение 4 доказано. Определим следующее множество

ßv :->вп замкнуты в А; а^ > 0, i = 1, ...,п; X а^ = 1

ß-1 ,:,ВIS(X)

Следующее утверждение является ключевым результатом работы.

Теорема 1. Для каждого компактного хаусдорфово пространства X справедливо равенство

(1(Х)\\ = IS(X).

Бюллетень науки и практики /Bulletin of Science and Practice Т. 6. №3. 2020

https://www.bulletennauki.com DOI: 10.33619/2414-2948/52

Доказательство. Из леммы 2 можно сделать следующий вывод: каждый функционал ß Е 1БШ(Х) представим в виде аффинного разложения конечного числа некоторых идемпотентных вероятностных мер из 1Ш(Х). Отсюда, в силу всюду плотности 1БШ(Х), вытекает требуемое равенство. Теорема 1 доказана.

Отметим, что теорема 1 фактически описывает пространство IS(X) max-plus-полуаддитивных функционалов на языке идемпотентных вероятностных мер, т. е. элементами ß Е 1(Х).

Определение 4 [3]. Ковариантный функтор F: Comp ^ Comp называется нормальным, если он удовлетворяет следующим условиям: функтор F непрерывен, сохраняет вес, пересечения, прообразы, мономорфен и эпиморфен, переводит пустое множество в пустое, а одноточечное — в одноточечное.

Предложение 5. Функтор IS сохраняет вес бесконечных компактных хаусдорфовых пространств, т. е. для любого бесконечного компактного хаусдорфово пространства X имеет место равенство w(lS(X)) = w(X^).

Доказательство. Из равенства w(l(X)) = w(X), установленного в [1], и включения (4) вытекает, что w(lS(X)) > w(X^). Обратное неравенство, более точно неравенство w(lS(X)) < w(l(X)) вытекает из теоремы 1. Предложение 5 доказано.

Предложение 6. IS — мономорфный функтор, т. е. сохраняет инъективность отображений компактов.

Доказательство. Пусть ß2 Е IS(X) Ф д2. В силу инъективности отображения f существует функция ф Е C(Y), такая, что ^1(ф ° f) Ф ^2(ф ° f). Поэтому 15([)(^1)(ф) = д1(ф ° f) Ф ^2(ф ° f) = 1$(0(Н-2)(ф). Предложение 6 доказано.

Предложение 7. Если f:X^Y — непрерывное отображение «на», то отображение IS(f): IS(X) ^ IS(Y) - также непрерывно и «на».

Доказательство. Непрерывность отображения IS(f) показано в предложении 3. Сюрьективность отображения IS(f) вытекает из теоремы 1 и сюрьективности отображения /(/). Предложение 7 доказано.

Предложение 8. Функтор IS: Comp ^ Comp сохраняет

a) точку,

b) пустое множество.

Доказательство. а) Пусть х Е X. По определению имеем IS({x}) = {5Х}.

Ъ) Пусть X = 0. Тогда С(Х) = 0. Следовательно, Мс® = М0 = 0. Откуда IS(0) с 0. Предложение 8 доказано.

Предложение 9. Если А — замкнутое подмножество компактного хаусдорфово пространства X, то IS(A) с IS(X).

Доказательство. Пусть А замкнуто в X и ß Е IS(A). Тогда функционал ß сосредоточен на А. Это в силу леммы 1 равносильно тому, что supp ß с А. Тогда supp ß с X, откуда ß Е IS(X). Предложение 9 доказано.

Предложение 10. Если f:X^Y — непрерывное отображение между компактными хаусдорфовыми пространствами и В с Y, то IS(f-1(B)) = IS(f)-1(lS(B)).

Доказательство. Пусть д Е IS(f-1(B)). Согласно лемме 1 это означает, что д Е IS(X) и supp ß с f-1(B). Следовательно, /(supp р.)сВ. Поэтому из предложения 6 имеем supp IS(f)(^) с В. Откуда IS(f)(^) Е IS(B), т. е. ^Е IS(f)-1(lS(B)).

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 6. №3. 2020

https://www.bulletennauki.com DOI: 10.33619/2414-2948/52

Наоборот, пусть р Е IS(f)-1(lS(B)). Тогда IS(f)(p) Е IS(B), т. е. supp IS(f)(p) с В. Следовательно, согласно предложению 6 имеем f(supp у) с В. Это означает, что supp ß с f-1(B), откуда д Е IS(f-1(B)). Предложение 10 доказано.

Пусть {ха, р^; л} — обратный спектр, индексированный элементами множества А и состоящий из компактов. Через lim Ха обозначим предел этого спектра, а через ра: lim Ха ^ Ха, а Е А — предельные проекции. Обратный спектр {ха, р^; л} порождает обратный

спектр {lS(Xa), is(pa); а}, предел которого обозначим через lim lS(Xa), а предельные

проекции через pra:lim lS(Xa) ^ lS(Xa). Отображения IS(pa): IS(lim Ха) ^ IS(Xa), а Е А, порождают отображение RIS: /S(lim Ха) ^ lim IS(Xa).

Предложение 11. Функтор IS непрерывен, т. е. отображение RIS: /S(lim Ха) ^ lim IS(Xa) является гомеоморфизмом.

Доказательство. Так как взятие аффинной комбинации и взятие замыкания являются непрерывным операциями, то из теоремы 1 и непрерывности функтора I идемпотентных вероятностных мер, следует, что RIS: /S(lim Ха) ^ lim IS(Xa) есть гомеоморфизм. Предложение 11 доказано.

Предложение 12. Функтор IS сохраняет пересечение, т. е. для любой пары А, В замкнутых подмножеств компактного хаусдорфово пространства X имеет место

IS(AnB) = IS(A)nIS(B).

Доказательство. Ясно, что включение IS(A П В) с IS(A) П IS(B) справедливо. Если д Е IS(A) П IS(B), то supp д с А и supp д с В, следовательно, supp ^ с А П В. Откуда д Е IS(A П В), т. е. IS(A ПВ)^ IS(A) П IS(B). Предложение 12 доказано.

Таким образом, доказано следующий основной результат работы.

Теорема 2. Функтор IS: Comp ^ Comp является нормальным функтором.

Авторы выражают свои глубокую признательность доктору физико-математических наук Адилбеку Заитову за постановку задач и его участия в обсуждениях полученных результатов.

Список литературы:

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 6. №3. 2020

https://www.bulletennauki.com DOI: 10.33619/2414-2948/52

References:

Работа поступила Принята к публикации

в редакцию 28.01.2020 г. 31.01.2020 г.

Ссылка для цитирования:

Курбанов Х. Х., Ёдгаров С. Ж. Функтор IS в категории компактных Хаусдорфовых пространств // Бюллетень науки и практики. 2020. Т. 6. №3. С. 13-22. https://doi.org/10.33619/2414-2948/52/01

Cite as (APA):

Kurbanov, Kh., Yodgarov, S. (2020). A functor IS in the Category Compact Hausdorff Spaces. Bulletin of Science and Practice, 6(3), 13-22. https://doi.org/10.33619/2414-2948/52/01 (in Russian).