ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА СОСТАВНОГО ТИПА В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

EXACT SCIENCES / АНЩ ФАНЛАР

ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА СОСТАВНОГО ТИПА В ТРЕХМЕРНОМ

ПРОСТРАНСТВЕ

Ахмедов Максад Ибрагимович maqsad.ahmedov@mail.ru Город Ташкент, Институт ЁДЖУ

Аннотация: В данной работе рассматривается начально-краевая задача для уравнения третьего порядка составного типа в полубесконечной прямоугольной трехмерной области. Методом интегралов энергии доказано теорема единственности. С помощью метода потенциалов рассматриваемая задача сведена к эквивалентной системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Исследована разрешимость полученной системы интегральных уравнений.

УЧИНЧИ ТАРТИБЛИ ЦУШМА ТИПДАГИ НОСТАЦИОНАР ТЕНГЛАМА УЧУН ЧЕГАРАВИЙ МАСАЛА

Ахмедов Максад Ибрагимович maqsad.ahmedov@mail.ru Город Ташкент, Институт ЁДЖУ

Аннотация: Мазкур маколада учинчи тартибли кушма типдаги тенглама учун ярим чегараланган тугри бурчакли сохдда бошлангич-чегаравий масала каралган. Энергия интеграллари усули ёрдамида ягоналик теоремаси исботланган. Потенциаллар усулидан фойдаланилган хрлда урганилаётган масала эквивалент иккинчи тур Фредгольм типидаги интеграл тенгламалар системасига келтирилган. Х,осил булган интеграл тенгламалар системасининг ечимга эга булишлиги тадкик килинган.

Калит сузлар: Учинчи тартибли тенглама, чегаравий масала, энергия интеграллари усули, потенциаллар усули, бошлангич шарт, чегаравий шарт, интеграл тенглама.

BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR THIRD ORDER COMPOSITY TYPE NON-STATIONARY EQUATION IN UNBOUNDED DOMAIN

Axmedov Maksad Ibragimovich maqsad.ahmedov@mail.ru Tashkent city YODJU Institute

Abstract: In the present manuscript initial-boundary value problem for third ordercomposite type equation in unbounded rectangular three dimensional domain. Uniquiness of the solution is proven by the method of energy integrals. The considered problem is reduced to the equalient system of second kind Fredholm integral equations. The solvability of the obtained system of integral equations are investigated.

В данной работе рассматривается нестационарное уравнение третьего порядка составного типа

L(u) = uxxx + urn - ut = 0 (1)

в области O+ = {0 < x < 1, y > 0, 0 < t < T } с краевыми условиями u(x, y,0) = 0, (x, y) eQ0 (2)

u(0, y, t) = (Pi (y, t), Ux (0, y, t) = p, (y, t), (y, t) e q (3)

u(1, y, t) = Рз (^ tX (^ t) e ^

u(x, 0, t) = ц/х (x, t), u (x, 0, t) = if/2 (x, t), (x, t) e q

lim u(x, y, t) ^ 0 где

O = {(x,y,t):0 <x < 1,y > 0,t = 0}, q = {(x,y,t) :0 < x< 1,y = 0,0 <t <T}, O ={(x,y,t):x = 0,y > 0,0 < t < T}, q = {(x,y,t):0 < x < 1,y > 0,t = T}, q = {(x,y,t):x = 1,y > 0,0 < t < T} здесь

p(y,t) e Cy0,;(O,), p2(x,t) e C(q), p,(y,t) e C(П4),& x, t) e C^q),^ x, t) e С^Ц)

Теорема1. Задача (1)-(4) не имеет более одного регулярного решения. Доказательство. Допустим, что существует два решение задачи (1)-(4). Тогда обозначая, v(x, y, t) = u (x, y, t) -u2 (x, y, t) относительно функции

v( x, y, t) имеем однородную краевую задачу.

Рассмотрим тождество

J J JL(v)v(x, y, t)ekt dxdydt = 0 (6)

Интегрируя тождество (6) по частям будем иметь vx (1, y, t) = lim Vy (x, y, t) = vx (x, y,T) = 0 (7)

Вводим обозначения v(x, y, t) = v(x, y, t)ekt, k > 0. Тогда интегрируя по

частям тождество

Получим

JJJ (L (v )- kv )v dxdydt = 0 (8)

JJJ v 2( x, У, t )ekt dxdydt = 0 (9)

Отсюда у(X,у, /) - 0. Следовательно, V = 0 в О Теорема доказано.

Фундаментальные решение уравнения (1) представляется в следующем виде (см.[2])

U,(x - y - 7,t -г) =-l—v

(t -г)/з

x Ф y Ф 7, t > г,

Ui( x - y - 7, t -г) =(t -г)/3

x Ф y > 7, t > г,

U2( x -£, y -7, t -г) =

x > y Ф 7, t > г,

U3(x -£, y -7, t -г) = 2/

(t -г)/з

x > y > 7, t > г.

x - £ (t -г)1

x - £ (t -г)1

x - £ (t -г)1

x - £ (t -г)1

y-7 (t -г)1

y-7 (t -г)1

y-7 (t -г)1

y-7 (t -г)1

Здесь функции /(z) и ^(z) являются решениями уравнения

/(z) + Zp(z) = 0, z = -x-ir, (10) 3 (t -г)3

которые имеют вид

f (z) = |cos(Ä3 -Äz)dÄ, -w<z <+w,

(p(z) = J(exp(-A3 - Xz) + sin(A3 - Xz))dX, 0 < z < w.

Теорема 2. Если выполняется условия (5), то задача (1)-(4) имеет решение из класса С^/О) о 0^(0).

Приведем схему доказательство теоремы. Решение задачи (1)-(4) ищем в

виде

u( x, y, t) = JJU0 (x, y, (^,r)d^dr + JJU (x, y, t;1,^,T)a2 (^,r)d^dr +

+J J U>w(x, y, t;^,0,T)ß2(^,T)d^dT.

Ясно, что это решение удовлетворяет уравнению (1) и начальному условию Удовлетворяя граничным условиям (3)-(4) имеем

((y, t) = u (0, y, t) = J J f (0) f

а1(Л,т)

+J J fT)e( 0) f

f \\ f \\

U t T J U t -T)3 J

d^dT +

d^dT +

-J i^T f

f \\ f \\

u&-t)3 J u&-t)1 j

(p2{ y,t) = u

= ux (0, y, t) = f&( 0 ) f

i \\ y-V

f \\ f \\

-1 f y-V

Ut -r)3 J U t-r)3 j

d^dr +

d^dr +

+^^3^4 A 0) f

fl(4r) f,

f \\ f \\

V( t -r)3 J V( t -r)3 J

((y, t) = u(1, y, t) = i i f

f \\ f \\

d^dr +

f ( 0) f

f \\ y-V

JJ (t -r)

d^dr +

V V & y i \\ i

y-V (t -r)3

d^dr d^dr.

x, t) = u (x,0, t) = i i f

f \\ f \\

d^dr +

?2(V,r) (t -r)3

JJ (t-r)

y V \\ /

r rfl(£r) f

J J (t-r)

f ( 0)d^d

dvdr +

x, t) = uy ( x,0, t) = j J f

f Л f \\

didr +

^2(1,Т) (t -r)3

\\ 0 fl(£r) f J J (t-r) f

W / У V

(t -T)3 1

Теперь к интегралам

(t -Т)3 f&( 0 ) dgdУ V Л

didr +

/i( У, t) = J J f ( 0). f

& 2( У, t) "iJÄVi 0). f

У-1 v( t-r)3у

\\\\ /у

применим преобразование Абеля. Интеграл умножим на (г - г) 3 и

интегрируем его 0 до г.

ф}) /(0) ;

CCi(1,T)f

далее, меняя порядок интегрирования и дифференцируя по г, имеем й ^(х,у,г)_2ж2/(0)

■«i(y,t). (*)

dz J (Z - t)з ^

-«3( У, t).

Тогда из (11),(12),(13), (14) и (15) получим следующие интегральные уравнения 2-рода.

"Science and Education" Scientific Journal t i

A ■ a(y,t) + JJ^(x -g,y - T],t - T)a(],T)d]dT +

+J J M(x - g, y -], t - T)ß(g, T)dgdT = G

B ■ ß(x,t) + JJP(X - g,y -],t - T)a(],T)d]dT = L (17)

a(y,t) + A"1 JJK(x - g,y -],t - T)a(],T)d]dT +

+A"1J J M(x - g,y -],t - T)ß(g,T)dgdT = A"G,

f 0 K12 01 f M11 01

K = 0 K22 0 , M = M21 0

VK31 0 K33 y V M31 0 y

p1 P 12 P13

VP 21 P 22 P 23 y

&¿X x, t y l2( x, t) &- 2n2

det ^ = f(0) * 0,

K12 = ^ J-r J (^-1)3(t-t)

(z -1)3 (t -T)

(t -T)-3

( z -1) 3 (t -T)

y v \\ r

K33 = ^d J"

Mil =i.f 11 dzJ

( z - t)3 ( t -t) 1

( z -1) 3(t -r)

f \\ f \\

z f • У

(t -r)1 J U& -r)1 J

"I"

M31 =-f 31 dzJ

( z -1)3(t -r) 1

f \\ f \\

z f • У

(&-r)3 J l(& -r)3 J

( z -1)3(t -r) 1

( z -1) 3 (t -r)

v(t -r)3 j V

i \\ i x

( z -1) 3 (t -r)

J V Л /

( z -1) 3 (t -r)

J V л /

P22 = X J

W & У V i \\ i x

( z -1 )3 (t -r)

( z -1)3 (t -r)

f \\ f \\

x -1 f • -1

V( t -r)1 J U t -r)3 J

dz t (z -1) 1 (t -r)3

Согласно [3] для этих ядер системы интегральных уравнений имеют интегрируемые особенностей.

Так как ядра имеют слабые особенности, согласно теории интегральных уравнений [4], система интегральных уравнений (16)-(18) имеет единственное решение.

Использованная литература