РАСТВОРЫ ПОЛИМЕРОВ И ИХ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

УДК 532.13+517.958 DOI 10.18522/1026-2237-2020-2-84-93

РАСТВОРЫ ПОЛИМЕРОВ И ИХ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ*

© 2020 г. В.В. Пухначев1&2, О.А. Фроловская1, А.Г. Петрова1&3

POLYMER SOLUTIONS AND THEIR MATHEMATICAL MODELS

V.V. Pukhnachev1&2, O.A. Frolovskaya1, A. G. Petrova1&3

Пухначев Владислав Васильевич - доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН, главный научный сотрудник, Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, пр. Лаврентьева, 15, г. Новосибирск, 630090, Россия; профессор, Новосибирский государственный университет, ул. Пирогова, 1, г. Новосибирск, 630090, Россия, e-mail: pukhnachev@gmail.com

Фроловская Оксана Александровна - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, пр. Лаврентьева, 15, г. Новосибирск, 630090, Россия, e-mail: oksana@hydro.nsc.ru

Петрова Анна Георгиевна - доктор физико-математических наук, профессор, факультет математики и информационных технологий, Алтайский государственный университет, пр. Ленина, 61, г. Барнаул, 656049, Россия; старший научный сотрудник, Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, пр. Лаврентьева, 15, г. Новосибирск, 630090, Россия, e-mail: annapetrova07@mail.ru

Vladislav V. Pukhnachev - Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Corresponding Member, Russian Academy of Sciences, Main Researcher, Lavrentyev Institute of Hydrodynamics, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, La-vrentyeva Ave., 15, Novosibirsk, 630090, Russia; Professor, Novosibirsk State University, Pirogova St., 1, Novosibirsk, 630090, Russia, e-mail: pukhnachev@gmail.com

Oxana A. Frolovskaya - Candidate of Physics andMathemat-ics, Senior Researcher, Lavrentyev Institute of Hydrodynamics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Lavrentyeva Ave., 15, Novosibirsk, 630090, Russia, e-mail: oksana@hydro.nsc.ru

Anna G. Petrova - Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Department of Mathematics and IT, Altai State University, Lenina Ave., 61, Barnaul, 656049, Russia; Senior Researcher, Lavrentyev Institute of Hydrodynamics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Lavrentyeva Ave., 15, Novosibirsk, 630090, Russia, email: annapetrova07@mail.ru

Математические модели движения водных растворов полимеров изучаются в течение последних 50 лет. Исходная модель (Войткунский, Амфилохиев и Павловский, 1970) содержит два ключевых параметра - релаксационную вязкость и время релаксации напряжений сдвига. В предельном случае, когда последний параметр мал, возникает модель Павловского (1971). Ее уравнения близки к уравнениям жидкости второго порядка (Ривлин и Эриксен, 1955). Статья содержит обзор работ по всем трем моделям и новые результаты, относящиеся к модели Павловского. Построено решение задачи о нестационарном слоистом течении водного раствора полимера в слое со свободной границей, в краевое условие на которой входит производная искомой функции по времени. Выведены уравнения, описывающие движение полимерного раствора в ламинарном пограничном слое вблизи прямолинейной пластины. Входящий в них параметр характеризует отношение толщины пограничного слоя Прандтля к толщине релаксационного пограничного слоя. Влияние этого параметра на картину движения исследовано на примере стационарного течения около критической точки.

Mathematical models for the motion of weak solutions of polymers have been studied over the past 50 years. The initial model (Voitkunskii, Amfilokhiev, and Pavlovskii, 1970) contains two key parameters - relaxation viscosity and shear stress relaxation time. In the limiting case, when the last parameter is small, the Pavlovskii model (1971) arises. Its equations are

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 19-01-00096).

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

close to second-grade fluid equations (Rivlin and Eriksen, 1955). The paper contains an overview of the works on all three models and new results related to the Pavlovskii model. The solution to the problem of the unsteady layered flow of an aqueous polymer solution in a layer with a free boundary, the boundary condition on which includes the time derivative of the desired function is constructed. We derive the equations that describe the motion of a polymer solution in a laminar boundary layer near a rectilinear plate. The parameter included in equations characterizes the ratio of the thickness of the Prandtl boundary layer to the thickness of the relaxation boundary layer. We study the influence of this parameter on the motion picture by the example of a stationary flow near a critical point.

Введение

Известно, что если в воду добавить небольшое количество полимера, то вязкость и плотность получившегося раствора практически не изменятся и останутся постоянными (в отличие от его реологических свойств). Зафиксированное снижение сопротивления трения за счет полимерных добавок [1] стимулировало цикл как экспериментальных работ по изучению движения водных растворов полимеров в трубах и в пограничном слое при ламинарном и турбулентном режимах течения [2-8], так и теоретических исследований [9-11]. Подробная библиография работ, посвященных течению полимерных растворов в трубах, содержится в [12].

Первая математическая модель движения водного раствора полимеров, учитывающая их релаксационные свойства, была сформулирована в работе Я.И. Войткунского, В.Б. Амфилохиева и В.А. Павловского [9]. Авторы исходили из варианта модели максвелловского типа для вязкоупругой жидкости. Искомыми функциями в этой модели являются вектор скорости V и давление жидкости р. Среда предполагается несжимаемой с постоянными плотностью р и кинематической вязкостью V. Определяющее реологическое соотношение в этой модели имеет вид

Р = —р1 + 2/лО + 2— | ехр |. (1)

— да V )

Здесь / = рv - динамическая вязкость; в -время релаксации; к - релаксационная вязкость; О - тензор скоростей деформаций, соответствующий векторному полю V; символ — / — означает оператор полного дифференцирования по времени, —V ду

так что — =--+ V • . Величины в и л также

— дг

считаются постоянными. Эта модель содержит два дополнительных параметра по сравнению с классической моделью Навье - Стокса: время релаксации и релаксационную вязкость.

Затем в работе В.А. Павловского [10] эта модель была упрощена и использовалась для описания турбулентного пограничного слоя в предельном случае малых времен релаксации. Реологическое соотношение в этой модели после удержания первого члена в асимптотическом разложении тензора напряжений (1) по параметру 0 ^ 0 принимает вид

т „ ^ dD

P = -pI + 2jLiD + 2к-. (2)

В статье [11] построено решение первой модели трех авторов, описывающее плоское стационарное течение вблизи критической точки.

Другая модификация модели движения разбавленных водных растворов полимеров состоит в замене конвективной производной тензора D в соотношении (2) его объективной производной

— = — + (v • V)D + DW - WD, dt dt У &

где W - антисимметричная часть тензора Vv (определение объективной производной см. в [13]). Еще одно упрощение получается при замещении конвективной производной вектор-функции Av ее частной производной по времени.

Близкая модель жидкости второго порядка (second grade fluid) появилась в работе [14] и с тех пор служит предметом исследования безотносительно динамики полимерных растворов [15, 16]. Аналогию с альфа-моделью турбулентности можно проследить в работах [17, 18]. Анализу корректности краевых и начально-краевых задач для моделей движения водных растворов полимеров и жидкости второго порядка посвящены работы [19-25].

Теоретико-групповые свойства первых трех моделей изучены в [26-28]. Там же приведены примеры точных решений, описывающих стационарные и нестационарные плоские и осесиммет-ричные движения около критической точки. Соответствующие им уравнения имеют двойное вырождение за счет обращения в нуль коэффициента при старшей производной на стенке и за счет малости параметра релаксационной вязкости, входящего в этот коэффициент. Оказалось, что две эти сингулярности нейтрализуют друг друга, и полученные решения не содержат функций типа пограничного слоя [29, 30].

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

Качественные свойства решений наследственной модели движения водных растворов полимеров, ее модификации в предельном случае малых времен релаксации и близкой модели жидкости второй степени исследованы в [31, 32]. Для всех трех моделей изучены нестационарные течения жидкости с прямолинейными траекториями. В первом случае уравнения движения тождественны уравнениям акустики вязкого газа при подходящем соответствии параметров моделей. В двух других случаях возможно образование слабых разрывов, которые сохраняются в процессе движения. Также построено точное решение, описывающее течение в полупространстве, индуцированное вращением твердой плоскости (аналог классического вихря Кармана). Рассмотрена задача о движении раствора в цилиндрической трубе произвольного сечения под действием продольного градиента давления. Установлено, что в первых двух моделях существуют течения с прямолинейными траекториями, аналогичные течению Пуазейля с давлением, не зависящим от поперечных координат. В третьей модели прямолинейность траекторий тоже сохраняется, однако здесь давление зависит от всех трех пространственных переменных. Для периодических по времени движений градиент давления в поперечных направлениях колеблется с удвоенной частотой по сравнению с частотой колебаний продольного градиента. Такая же ситуация имеет место и в задаче о движении раствора полимера во внешности круглого цилиндра, вызванном его продольными периодическими колебаниями [33].

В данной работе для модели Павловского [10] изучаются нестационарное слоистое движение со свободной границей и стационарное течение вблизи критической точки. Формулируются уравнения нестационарного пограничного слоя. Они содержат определяющий параметр - отношение характерной толщины пограничного слоя Прандтля к толщине релаксационного пограничного слоя. Ранее ламинарный стационарный пограничный слой в вязкоупругой жидкости при больших числах Рейнольдса исследовался в работах [34-36].

Нестационарные слоистые течения со свободной границей

Математическая модель движения водных растворов полимеров, соответствующая закону состояния (2), имеет вид [10]

ЛV 1 ^ . ЛДу _

— =--Ур + уДу + к-, шу V = 0. (3)

Здесь вместо к введен параметр к = ~ / р -нормализованная релаксационная вязкость [32]. Пусть далее л , y обозначают декартовы координаты на плоскости, а u, v - соответствующие компоненты вектора скорости v .

Рассмотрим неустановившееся слоистое течение в полосе, ограниченной снизу твердой стенкой y = 0, а сверху - параллельной ей свободной границей y = h, h = const. Ищем решение системы (3) в виде u = u(y,t), v = 0, p = p(y, t), где функция u удовлетворяет уравнению

du d3u d2u

-= К-7— + V-7.

dt dy2dt dy2

Для формулировки задачи в безразмерном виде выберем следующие единицы измерения: толщину

слоя h - для расстояния, h2 / V - для времени. В этих переменных функция u должна удовлетворять уравнению

du d3u d2u

— = 7—^ + —7. (4)

dt dy 2dt dy2

Здесь 7 = к/h2 - безразмерный параметр. На твердой стенке y = 0 выполняется условие прилипания

u = 0. (5)

На свободной границе y = 1 кинематическое условие выполняется тождественно, а динамическое условие записывается в виде

у- + — = 0.

дyдt ду

В начальный момент времени t = 0 имеем и = Ио(у). (7)

Задача (4)-(7) решалась численно при различных значениях функции щ (у). В качестве начальной выбиралась функция и0(у) = С ^т(лу / 2), с -постоянная величина. На рис. 1 показано распределение функции и(у, {) , полученное для с = 1 и различных значений параметра у .

Заметим, что при у = 0 уравнение (4) преобразуется в уравнение теплопроводности, решение которого записывается в виде

и( у, t) = с ехр(-ж2 / 4) Бт(яу / 2). Вычисления показывают, что при малых у решение задачи (4)-(7) близко к этому решению.

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

/ X ---« / ✓ / / // / s и*&

-7=1---7=0.5-----7=0.05

Рис. 1. Распределение функции u(y, t) при различных значениях параметра у в моменты времени t = 0,5 (а) и t = 1 (б) / Fig. 1. Distribution of the function u(y, t) for different values of the parameter у at the moments of time t = 0.5 (a) and t = 1 (b)

Ламинарный пограничный слой в растворе полимера

Как уже отмечалось выше, эффект Томса [1] состоит в существенном увеличении критического числа Рейнольдса при внесении в воду небольшого количества растворимого полимера. Поэтому неудивительно, что именно турбулентный пограничный слой был в центре внимания тех, кто занимался проблемой ламинарно-турбулентного перехода и снижением сопротивления за счет полимерных добавок [2-12]. Что касается ламинарного пограничного слоя в водном растворе полимера, то публикаций на эту тему практически нет. Ниже выводятся уравнения ламинарного пограничного слоя в модели Павловского. Мы ограничимся случаем плоских движений.

В координатной записи уравнения импульса и неразрывности имеют вид

V; + ЫУХ + УУУ = (8)

= — ру + уЛу + к(Лу( + и • Лух + V • Луу),

их + Vy = 0 ,

где А - оператор Лапласа по переменным х и у . Уравнения системы (8) следует привести к безразмерному виду. При этом должно быть учтено неравноправие продольной координаты х и поперечной координаты у вместе с различием характерных масштабов продольной и поперечной компонент скорости: |и| > V. Тем самым исключается

ситуация, когда и = 0 внутри области течения (за исключением твердой части границы, где выполняется условие прилипания). Ниже предполагается, что функция и положительна.

В качестве характерного масштаба скорости V естественно ввести скорость набегающего потока, а за характерный продольный масштаб длины взять длину обтекаемого контура I. Тогда характерное время определится как I / V. Что касается характерного поперечного масштаба длины, то здесь имеются две возможности. В классической теории пограничного слоя длина определяется как

Ь = Яе1/21 , где Яе = VI /v> 1 - число Рейнольд-са. Но в обсуждаемой задаче есть еще один масштаб длины А, = —12. К сожалению, из работ Войткунского и его учеников трудно извлечь информацию о величине параметра X, но можно надеяться, что этот параметр является малым. Ниже именно этот параметр выбирается в качестве поперечного масштаба длины. Тогда переход к безразмерным переменным осуществляется по формулам х = 1х&, у = ку&, г = У11г&, и = Уи&,

V = (X/ 1)Гу& , р = V2р&.

Далее верхний индекс у безразмерных величин опущен. В итоге получаются уравнения:

и + иих + ^у =—рх + иуу + иихуу + + ^ууу + Xйуу + а(игхх + ииххх + ^хху + Xйхх X а(У + иух + vvу) = —ру + а(угуу + + ХУу) +

+ а2гхх + Шххх + ™хху + ХУуу),

их + Vy = 0 ,

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

где с = (Л/1 )2 . Предельный переход в этой системе при с ^ 0 приводит к уравнениям

Щ + ищх + ^иу = —Рх + иуу + ииуу +

+ уит + Хиуу, Ру = 0,ЩХ + Vy = 0 . (9)

В системе (9) имеется единственный безразмерV Ь2

ный параметр х = ~1 .

Он может оказаться малым за счет малости коэффициента V или больших значений величины V. При этом величина числа Рейнольдса не должна быть слишком большой, чтобы движение оставалось ламинарным. Важно подчеркнуть, что параметр Л не зависит от характеристик течения и определяется только реологическими свойствами, заложенными в модель водного раствора полимера.

Классической в теории пограничного слоя является задача Блазиуса об обтекании равномерным потоком прямолинейной пластинки под нулевым углом атаки [37]. Ниже рассматривается аналог этой задачи для системы (9), в которой следует положить Щ = V = 0, рх = 0.

В полученных уравнениях

иих + ™у = иихуу + + Xйуу, Ру = 0

их + vy = °

Обозначим через у функцию тока течения, так что и = уу, V = —ух, и введем вместо у новую независимую переменную у и новые искомые функции и (х, у) = и( X, у), Ж (х, у) = и — и . Переход от переменных х, у к переменным х, у известен в теории пограничного слоя как преобразование Мизеса [37]. Вследствие соотношений

ди ди ду цди ду ду ду ду&

д2и _ д &jjdUл ду д ду2 ду ^ ду J ду ду

и(и - иууХ + v(u - иуу) =

дЖ дЖ ду

--1----—

дх ду дх

^ дЖ дЖ

+ vu-= Uдх

уравнение (13) преобразуется к виду

дЖ _ х д2(U2) дх 2 ду2

Еще одно соотношение, связывающее функции и и Ж, имеет вид

U д U 2 ду2

= U - Ж.

первое и третье образуют замкнутую систему. Для системы (10) ставятся краевые условия и = V = 0 при у = 0, (11)

и ^ 1 при у ^ ю, 0 < X < I,

где I - длина пластинки. Для замыкания постановки задачи требуется еще задать начальное условие по координате х, играющей роль эволюционной переменной,

и = Щ (у) при X = 0, у > 0, (12)

где и - заданная функция у , такая что щ (0) = 0, щ ^ 1 при у ^<х>.

В отличие от задачи Блазиуса система (10) с краевыми условиями (11) не имеет автомодельного решения (этому препятствует неизменность переменной у при сохраняющем систему (4) преобразовании растяжения X = сх&, V = с , и = и&). Тем не менее удается привести эту задачу к более обозримому виду.

Перегруппируем в первом уравнении (10) ряд членов, приводя его к виду

и(и - и„)х + v(u - uJv = Xйw.

Из условий (11) следуют краевые условия для функции и:

и = 0,у = 0; и ^1,у^ю,0 < х < I. (16) Условие (12) порождает начальное условие для функции Ж ,

Ж = Ж0(у), х = 0, у> 0, (17)

где функция Ж) У) удовлетворяет условиям согласования.

В результате приходим к формулировке начально-краевой задачи в переменных Мизеса: найти функции и , Ж , удовлетворяющие уравнениям (14), (15) в полуполосе 0 < х < 1,у> 0 и условиям (16), (17) на части ее границы. Решение этой задачи выходит за рамки данной статьи.

Движение вблизи критической точки в модели Павловского

В стационарной модели Павловского (3) в результате стандартного для задач течения вблизи критической точки представления поля скоростей в виде и = ху&(у) , V = —д(у) приходим к следующей краевой задаче для новой функции у), записанной в безразмерных переменных:

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

(q )2 - q ■ q - q" -1 =

= S(q& ■ q"-q ■ qIV ), 0 < у <œ,

д(0) = д &(0) = 0, д&(у) ^ 1, у ^ю, где 8 = к(5/ V, а Р - постоянная размерности 1/с. (В задаче о течении вблизи критической точки нет характерных масштабов времени и длины, но есть характерная скорость деформации на бесконечности. Она-то и принимается в качестве величины ¡3 . Тогда характерная скорость дается выражением V = ^3)1/2, а характерный линейный размер I = (V / 3)1/2). Далее величина 8 предполагается малой.

Вводя новую функцию г (у) = 1 — д& (у), приходим к следующей краевой задаче для интегро-дифференциального уравнения с малым параметром [29]:

r + r J (1 о

" J(1 - r (s))ds + r (r - 2) =

" J(1 - r(s))ds - r"(1 - r)

у > 0;

г(0) = 1, г(ю) = 0.

В [29] доказана однозначная классическая разрешимость этой задачи при любых значениях параметра 8 из промежутка [0,1]. Отмечено, что при 8 = 0 решение совпадает с решением Хи-менца [37], описывающим плоское стационарное течение вязкой жидкости вблизи критической точки, а при 8 = 1 решением является функция

г( у) = ехР(—у).

Помимо нелинейности, высокого порядка и неограниченности области, задача интересна «двойным вырождением» на границе у = 0 : малый параметр стоит перед произведением старшей производной и интеграла от искомой функции, обращающегося в нуль на границе. Тем не менее удается показать, что пограничный слой вблизи нуля отсутствует и решение задачи (19) можно найти в виде асимптотического ряда по степеням малого параметра

г = г +8г +... + 8кгк +..., (20)

где г является решением задачи при 8 = 0,

r" + r"J

"J(1 -r°(s))ds + r°(r° -2) = 0, у > 0;

(решение Хименца [37]). Эта гипотеза была выдвинута в работе [27]. Там же можно найти некоторые численные результаты решения рассматриваемой задачи.

Для обоснования гипотезы выпишем задачи для

определения функций гк (у) из (20):

< + КI(1 — ^ — 2гк(1 — г0) — г&|г = ^ ,

гк (0) = гк (ю) = 0. (21)

Правая часть Fk этого линейного интегро-диф-ференциального уравнения является суммой произведений функций г, I = 1,..., к — 1, их интегралов

с переменным верхним пределом и производных до 3-го порядка включительно. Оказывается, что задача (21) для однородного уравнения имеет только тривиальное решение в подходящем банаховом пространстве функций, быстро убывающих на бесконечности [29]. Далее используется теорема Фредгольма.

Наконец, для доказательства представления решения задачи (19) в виде асимптотического ряда (20) показывается, что

r ( у)-Y^ö&r ( у)

<ök+1M„, 0,

r(0) = 1, r(œ) = 0.

где постоянная Мк не зависит от 8 [30].

Представляет интерес рассмотрение другого предельного случая, когда значение параметра 8 велико. При заданных величинах К и V это может быть достигнуто увеличением значения скорости деформации 3 на бесконечности.

Перепишем уравнение (18) в виде д(8д" — д)" — д&(8д" — д) = дт +1. Это уравнение эквивалентно следующей системе:

д—1 д&=—*, дх&д&+Ц*—-1 д—1. (22)

К уравнению (22) присоединяются краевые условия

д(0) = д&(0) = 0, д&(у) ^ 1, у ^ю,

Предположим, что 5Г ^ 0, когда у ^ ю. Тогда из (22), (23) следует, что 5 ^1/8, у ^ ю. При заданном д( у) второе уравнение системы (22) относительно 5 решается в квадратурах. Это позволяет свести задачу (22), (23) к нелинейному интегро-дифференциальному уравнению. Мы не

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

будем выписывать это уравнение вследствие его громоздкости, а заметим, что при заданной функции у) решение первого уравнения (22) с условиями (23) находится явно. В частности, если 5 = 1 / 8, то это решение имеет вид

~ = у + 81/2ехр(-8~1/2 у)-81/2. (24)

Невязка при подстановке функции ~ в уравнение (18) дается формулой Д = (-1 + 8~1)ехр(-8~1/2у). Это позволяет называть функцию ~ приближенным решением задачи (18) при больших значениях величины 8. В отличие от асимптотического решения задачи (18) при малых значениях 8 , где отсутствует пограничный слой, обусловленный релаксационными эффектами, здесь их проявление

существенно в полосе с шириной порядка 8 при 8 ^ ю. Что касается асимптотики на бесконечности, то главные члены решения задачи (18) при 8 ^ 0 и функции ~ при 8 ^ ю совпадают. Однако существует различие в следующем члене. Асимптотика решения Г0 задачи Хименца имеет вид [38]

г0 = У-] + °[ехр(-у2/2)], у^ю, где ] ~ -0,65. В то же время второй член асимптотики функции ~ при больших значениях у

есть - 81/2, а остаточный член с ростом у убывает гораздо медленнее, чем в решении Хименца.

При умеренных значениях параметра 8 задача (18) решалась численно. Графики функции у) при различных значениях 3 представлены на рис. 2.

it/.- "// . А// & & / / / -¿ = 0.2

W/ - // -¿ = 0.5 -¿=1

р — ■8 = 2 -5 = 5

Рис. 2. Графики функции q& (y) при различных значениях параметра S / Fig. 2. Graphs of function q&(y) for different values of the parameter S

Заключение

Аномальные свойства водного раствора полимеров проявляются при его концентрациях порядка 0,5 %. Поэтому естественно предположить, что надежно измеряемые значения параметров р, /, 6 меняются незначительно при добавлении в воду полимера. К сожалению, в работах [9-11] отсутствуют данные о прямых измерениях величины К~ , но указывается достаточно широкий диапазон их возможных значений.

Представляется важным проведение эксперимента по определению ключевого параметра К~ обсуждаемых моделей. В механике неньютоновских сред [13] важную роль играют точные решеISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

ния соответствующих уравнений, допускающие экспериментальную реализацию. Мы надеемся, что точные решения уравнений трех указанных моделей, найденные в работах [31-33], могут быть использованы при организации такого эксперимента.

Литература

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

their symmetries // AIP Conf. Proc. 2015. Vol. 1684. Р. 020001. DOI: 10.1063/1.4934282.

References

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

Zapiski nauchnykh seminarov LOMI, vol. 38, pp. 98-136. (in Russian).

Поступила в редакцию /Received_23 марта 2020 г. /March 23, 2020