Методы расчета и прогнозирования прочности и деформации древесно-минерального композита

ДЕРЕВООБРАБОТКА

МЕТОДЫ РАСЧЕТА И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ПРОЧНОСТИ И ДЕФОРМАЦИИ ДРЕВЕСНО-МИНЕРАЛЬНОГО КОМПОЗИТА

В.И. ЗАПРУДНОВ, проф. каф. геодезии и строительного делаМГУЛ, д-р техн. наук, А.С. ЩЕРБАКОВ, проф. каф. безопасности жизнедеятельности МГУЛ, д-р техн. наук

Создание древесно-минерального композита и конструкций из него, сочетающих такие качества, как высокая прочность, малая средняя плотность и малые деформации, требует выбора оптимального состава компонентов и геометрических параметров его структуры.

В основу теории прогнозирования физико-механических свойств древесно-минерального композита нами положена модель механической смеси или композитного материала. Суть его состоит в том, что древесноминеральный композит представляется как многокомпонентное образование, на границе компонентов которого выполняются условия непрерывности усилий и перемещений. Если свойства каждого компонента известны, то, пользуясь уравнениями механики деформируемого твердого тела, можно в принципе определить распределение напряжений и деформаций в материале и его эффективные или макроскопические свойства.

При построении теории прочности и деформации древесно-минерального композита на первом этапе принятая модель механической смеси древесно-минерального материала нами была несколько идеализирована. Было принято допущение, что древесно-минеральный композит подчиняется закону Гука и является изотропным. Такими свойствами обладает поризованный древесно-минеральный композит. В этом случае механическое поведение линейно-упругого изотропного древесноминерального композита, находящегося под воздействием статических нагрузок, может быть описано тремя группами уравнений: уравнениями равновесия

оу, j + F, = 0, (1)

соотношениями Коши

s. = 2 (U,,j + U,), (2)

и обобщенным законом Гука

zaprudnov@mgul.ac.ru; scherb@mgul.ac.ru

оу = Xs pp §j + 2Gsj, (3)

где о.. - тензор напряжений; s.. - тензор деформаций;

U. - вектор перемещений;

F - вектор объемных сил; X,

G - упругие постоянные Ламе;

Индексы i,j, а, в принимают значения 1, 2, 3, по повторяющимся индексам ведется суммирование, запятая перед индексом означает дифференцирование по соответствующей координате.

К системе уравнений (1-2), определяющей поведение линейно-упругого древесноминерального композита в точках его объема, добавляются условия из ограничивающей поверхности. Задаются внешние поверхностные силы, действующие на древесно-минеральный композит _

О, jnj\\s = ft, (4)

или перемещение точек поверхности

; U&. , ,

где f, n. - заданные функции координат поверхности s;

п. - компоненты вектора внешней нормали к поверхности s.

Рассмотрим решение системы уравнений (1-3) для случая неограниченной упругой среды. Если подставить (2) и (3) в (1), то получим уравнение равновесия в перемещениях

(X+g)up, p + GUj, pp =-F. (6)

Пусть вектор перемещения убывает

на бесконечности как R-1, где R = (xp ■ xp)1/2 . Тогда из (6), воспользовавшись тензором влияния Кальвина-Сомильяно U.. , найдем

Ut (x(1)) = j Uу (x(1) - x(2))F(x(2))dv(2) где

U у (x) =

(о+X)

X+3GS x,- x.

----5 у +-z—

X+G j R2

интегрирование ведется по неограниченному объему v(2).

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2012

ДЕРЕВООБРАБОТКА

Представление решения системы уравнений (1-3) в форме (7) позволяет найти перемещение точек среды через массовые силы, действующие в объеме. Закон состояния линейно-упругого изотропного тела (3) можно записать в форме

a,j = ^ijnqSnq, (9)

где j = ^5;5nq + G(5in5 jq + 5 iq5 jn ) . (10)

Следует отметить, что постоянные Ламе X, G применяются преимущественно в теоретических работах, а в практике их обычно заменяют другими модулями упругости, чаще всего модулем Юнга Е и коэффициентом Пуассона ц, причем

^ G(3^ + 2G)

E =------------; |д =

^ + G 2(^ + G)

Кроме указанных постоянных в расчетах

часто используется модуль объемного сжатия

K=Х+-G. 3

В записи закона Гука (9) может быть использована любая пара из введенных выше модулей.

Однако в практике производства древесно-минерального композита наибольшее распространение к настоящему времени получил древесно-минеральный композит не поризованный, а с нерегулярной структурой. В этом случае сказывается нерегулярность расположения включений и их формы, что не позволяет воспользоваться хорошо разработанным классическим аппаратом решения задач сопряжения кусочно-однородных тел.

Различие деформативных свойств заполнителя и вяжущего обуславливает неоднородные напряжения и деформации в древесно-минеральном композите, зависящие от координат пространства. Вследствие неправильной формы включений и их хаотического расположения в пространстве, напряжения и деформации в древесно-минеральном композите представляют собой случайные поля, и для их описания необходимо привлекать аппарат теории случайных функций.

Если тензор напряжений а, является случайной функцией координат x.;(i =1, 2, 3), то его задание осуществляется в общем случае n-точечной плотностью распределения вероятностей

Г К ) = f«, а

(1) а(2)

где индексы в круглых скобках показывают номер точки пространства.

Чем больше точек, тем полнее описание напряженного состояния, однако на практике ограничиваются минимальным числом точек, рассматривая, как правило, одноточечную и двухточечную плотность распределения

f &(а,;) = f (a®), f2(a,j) = f(o»>,af). (14) Случайное поле можно характеризовать также моментами. Для одноточечной плоскости распределения напряжений момент k-го порядка определяется интегралом

-Г ) = Н *fKVaj

Для двухточечной плоскости распределения двухточечный момент k-го порядка имеет вид

Д1А a(1)k2\\ =|

=J/a(1> f (a»a™ dj*

k = kj + k2. (16)

В практике наиболее часто применяются моменты первого порядка, или просто математические ожидания

(j = \\aff (a(/))da(/) (17)

и второго порядка

(j1 v^f2)=Я a(1)a$f (j a$)d a(/) d si2, (18)

которые называются корреляционными функциями.

Часто целесообразно рассматривать функции тензора напряжений, которые определяются равенством

a; = a; -\\a;

и характеризуют отклонение случайного поля от математического ожидания. Тогда в качестве характеристик вводятся центральные моменты

(af<2)) = jJ<><Cf (20)

Они характеризуют среднеквадратичные отклонения напряжений от средних значений.

Рассмотренные статистические характеристики относятся к древесно-минеральному композиту как материалу в целом. Для оценки напряженного состояния в каждом компоненте целесообразно рассматривать условные статистические характеристики. Одной из наиболее важных является характеристика

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2012