Спросить
Войти
УДК 517.929.2
DOI: 10.14529/mmph200304
ПРИЗНАКИ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА
Д.А. Комиссарова
Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск, Российская Федерация E-mail: komissarovada@susu.ru
Непрерывные и дискретные разностные уравнения типа Вольтерра возникают во многих приложениях. В частности при исследовании моделей динамики популяций, моделировании различных экономических или физических процессов, в теории управления, медицине. В работе рассматривается проблема асимптотической устойчивости нулевого решения линейного разностного уравнения типа Вольтерра в свертках. Приводятся определения устойчивости и асимптотической устойчивости нулевого решения указанного уравнения. В статье представлены достаточные условия асимптотической устойчивости линейных разностных уравнений Вольтерра. С помощью метода z-преобразования доказаны соответствующие теоремы. Найденные признаки асимптотической устойчивости нулевого решения есть ограничения на коэффициенты исходного уравнения, то есть представляют некую область устойчивости в пространстве параметров уравнения. Производится сравнение полученных признаков с некоторыми известными достаточными условиями асимптотической устойчивости конечномерных линейных разностных уравнений. Главным преимуществом полученных достаточных условий асимптотической устойчивости линейного разностного уравнения типа Вольтерра является наглядность этих признаков и простота их применения. Кроме того, признаки такого типа полезны, если коэффициенты уравнения не известны точно.
Рассмотрим линейное разностное уравнение типа Вольтерра
ХП=ХП-1~£а*ХП-*, И =1,2,... (1)
rxeaseR,as>0 (5 = 1,2,...).
Начальное условие x0 однозначно определяет решение уравнения (1). Нулевое решение уравнения (1) называется устойчивым, если
Vs> 0 3S> 0 (Vx0 |x0| <S^Vn > 0 |xn| <г) Нулевое решение уравнения (1) называется асимптотически устойчивым, если он устойчиво и lim xn = 0 для любого решения (xn ) уравнения (1).
Уравнение Вольтерра (1) является бесконечномерным аналогом разностного уравнения
xn = xn-1 asxn-s , (2)
где as e R , a > 0 (1 < s < k) .
Для уравнения (2) известны следующие признаки асимптотической устойчивости [1]. Теорема 1. Если as > 0 (1 < s < k) и
s=1 2 sin 2(25 -1)
то нулевое решение уравнения (2) асимптотически устойчиво.
Теорема 1 является многомерным обобщением известного результата Левина и Мэя [2].
Математика
Теорема 2. Если as > 0 (1 < s < к) и
то нулевое решение уравнения (2) асимптотически устойчиво.
Признак устойчивости теоремы 1 сильнее признака теоремы 2. Теорема 1 в некотором смысле не может быть улучшена [1].
Цель работы - получить аналоги теорем 1 и 2 для разностного уравнения Вольтерра (1). Производящей функцией числовой последовательности хи (n > 0) называется ряд вида
x(z) = Z(x„) = £x„z\\ (5)
где z е C.
Сверткой двух последовательностей xn и yn называется последовательность вида
Хп°Уп=Ти Xn-SyS = Z Х*Ул~, ■ (6)
s=0 s=О
Производящая функция свертки двух последовательностей имеет вид
Z(xn°yn) = x(z)y(z) ■ Теорема 3. Пусть выполняются условия:
Тогда нулевое решение уравнения (1) асимптотически устойчиво.
Доказательство. Пусть последовательность хп (п > 0) является решением уравнения (1). Значит,
х — х (а1 х + ахг,), х^ — х (а1 х + а^Х\\ + а^Хг,
Х1 = х0 а1х0 & х2 = х1 ■ —(а1х1 + а2 х0 ) , х3 = х2 ~ (а1Х2 + а2Х1 + аЗХ0 ) & •••
Умножим обе части первого уравнение на г, второго - на г2, третьего - на г3 и так далее. Сложим полученные равенства и добавим к обеим частям х0 . Согласно определению производящей функции (5) получим
х(г) = х0 + гх(г) - .
Тогда
x(z) =-^-. (7)
Обозначим функцию
g(z) = 1 - z + Хanzn . (8)
Из условий теоремы следует, что функция g(г) является аналитической в круге |г| = Я, радиус которого Я больше единицы. Тогда из (7) следует, что х(г) раскладывается в степенной ряд по степеням г с радиусом сходимости больше единицы. Следовательно, уравнение (1) экспоненциально, а, значит, и асимптотически устойчиво при любом начальном условии х . Теорема доказана.
В работе [1] доказаны следующие вспомогательные леммы.
Лемма 1. Для любого числа с е (0; существует число т е Я , такое, что для всякого 5 е N
П . О ( 1
sin—-- sin—cos I m — о
Лемма 2. Для любого числа s е N, такое что всякого s е N
Теорема 4. Пусть выполняются условия:
s=1 2 sin 2(25 -1)
Тогда нулевое решение уравнения (1) асимптотически устойчиво.
Доказательство. Предположим, что условия теоремы выполняются и существует нуль г0 функции g(г) , такой, что \\г0\\ < 1.
Таким образом, существует a е [0;^], такое, что
- sin© + £ as sin se = 0. (11)
Из (10) очевидно, что со Ф 0 .
Пусть m е R определено согласно Лемме 1.
sin ma ,11Ч - cos ma
Умножим (10) на-у-т— , а (11) - на
_ . © ( 1 ^ _ . © ( 1 ^ 2sin—cos m — © 2sin—cos m — ©
Сложив полученные равенства, получим
, . . . ч ^ sinm©coss©-cosm©sins©
p-— ( sin m© - cos © sin m© + sin © cos m©) + ^ a „---—-= 0,
-7-г—(sin m©-sin (1 - m )©)+> a--—7—--т— = 0 .
.. © í 1 1 V V & -i \\ • © i 11 2sin—cos m — © s=1 2sin—cos m— ©
^ sin(m - s)©
s=1 2sin—cos m — ©
Из (12) и (9) при неотрицательных значениях as (.v = 1,2,...) получаем
Математика
«=!2sin--- «=1
, • - ..al 1
Это противоречит второму условию теоремы.
По 1 условию теоремы ряд ^а сходится. Отсюда следует, что последовательность много5=1
членов
Pk (Z) = 1 - Z + XasZS
сходится равномерно к функции g ( z ) внутри единичного круга.
Согласно теореме Гурвица [3] существует натуральное число k0 = k0(y), такое, что для любого натурального числа k > k0 число нулей многочлена Pk (z) внутри кривой у равно числу нулей функции g (z ) внутри этой кривой. Значит, существует нуль многочлена Pk (z ) , расположенный внутри единичного круга.
С другой стороны, из второго условия теоремы получаем, что при любом k е N выполняется условие (3). Тогда, согласно теореме 1, уравнение (2) асимптотически устойчиво при любом значении k е N . Отсюда следует, что все корни соответствующего характеристического уравнения
Àk -Xk-1 asXk-5 = 0
расположены внутри единичного круга. Следовательно, все нули многочлена Pk ( z ) расположены вне единичного круга при любом значении k е N . Получили противоречие.
Таким образом, все нули z0 функции g (z) расположены вне единичного круга. Согласно теореме 3 уравнение (1) асимптотически устойчиво. Теорема доказана. Из леммы 2 и теоремы 4 получаем следующий результат. Теорема 5. Пусть выполняются условия:
Тогда нулевое решение уравнения (1) асимптотически устойчиво.
Теоремы 4 и 5 являются бесконечномерными аналогами теорем 1 и 2 соответственно.
Поступила в редакцию 22 июня 2020 г.
Bulletin of the South Ural State University Series "Mathematics. Mechanics. Physics" _2020, vol. 12, no. 3, pp. 29-33
DOI: 10.14529/mmph200304
CRITERIA FOR STABILITY OF VOLTERRA DIFFERENCE EQUATIONS
D.A. Komissarova
South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation E-mail: komissarovada@susu.ru
Continuous and discrete Volterra-type difference equations arise in many applications. In particular, when studying models of population dynamics, modeling various economic or physical processes, in management theory, and medicine. The paper deals with the problem of asymptotic stability of the zero solution of a linear difference equation of Volterra type in convolutions. The definitions of stability and asymptotic stability of the zero solution of this equation are given. The article presents sufficient conditions for the asymptotic stability of linear Volterra difference equations. The corresponding theorems are proved using the z-transform method. The obtained criteria of asymptotic stability of the zero solution are restrictions on the coefficients of the original equation, that is, they represent a certain region of stability in the space of the equation parameters. The obtained criteria are compared with some known sufficient conditions for the asymptotic stability of finite-dimensional linear difference equations. The main advantage of the obtained sufficient conditions for asymptotic stability of a linear difference equation of Volterra type is the visibility of these criteria and ease of their application. In addition, this type of criteria is useful if the coefficients of the equation are not known exactly. Keywords: stability; difference equations; Volterra equations.
References
Received June 22, 2020
