ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО МИНИМУМА ДЛЯ ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ

ISSN 2079-3316 ПРОГРАММНЫЕ СИСТЕМЫ: ТЕОРИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ т. 11, №2(45), с. 47-59

ББК В182:В185.42 q

ГРНТИ 27.37.17,28.15.19,89.23.41 УДК 517.977

И. В. Расина, О. В. Фесько

Достаточные условия относительного минимума для дискретно-непрерывных систем

Аннотация. На основе аналога достаточных условий оптимальности Кротова выводятся достаточные условия относительного минимума для дискретно-непрерывных систем (ДНС). Эти условия могут быть использованы как проверочные для предлагаемого режима управления, так и для построения численных методов.

Введение

Гибридные системы, к которым относят системы переменной структуры [1], дискретно-непрерывные системы [2], логико-динамические системы [3,4], импульсные системы [5] и ряд других, заняли прочное место в теории оптимального управления. Иногда вместо термина гибридные употребляют название — гетерогенные. Им отводят секции на конференциях по управляемым системам, по этой же тематике издаются специальные журналы. Для каждого типа таких систем строятся математические модели и предлагаются методы их изучения и исследования.

Далее рассматривается один из классов гибридных систем: так называемые дискретно-непрерывные системы (ДНС), для которого характерна с течением времени смена описаний в терминах управляемых дифференциальных систем. Для указанного класса в [2,6-8] предложена двухуровневая математическая модель, в которой нижний уровень представляет собой описания однородных непрерывных процессов на отдельных этапах, а верхний уровень (дискретный) связывает эти описания в единый процесс и управляет функционированием всей системы в целом с целью обеспечения минимума функционала.

© И. В. РАСИНА« , О. В. Фесько« , 2020

© Институт программных систем им. А. К. Айламазяна РАН« , 2020

© Институт программных систем им. А.К. Айламазяна РАН« , 2020

© Программные системы: теория и приложения (дизайн), 2020

Для такой модели получены достаточные условия оптимальности типа Кротова и построены методы улучшения управления [6-8]. Указанные достаточные условия позволяют найти глобальный минимум функционала в поставленной ЗОУ. Однако для практических задач такой поиск сопряжен с большим количеством трудностей обусловленных, например, сложной структурой множества допустимых управлений или специфическими ограничениями на переменные состояния. Поэтому большинство разработанных численных методов, начиная с градиентного, позволяют найти лишь относительный минимум функционала. Однако проверить, действительно ли найденное решение или предлагаемое специалистами, из области практической задачи, доставляет функционалу относительный минимум не представляется возможным. Цель работы — ликвидировать этот пробел: получить достаточные условия относительного минимума, которые можно использовать для оценки предлагаемого решения задачи, а в дальнейшем для построения численных методов.

Пусть задана абстрактная дискретная управляемая система [9]:

(1) х(к + 1)= / (к,х(к),и(к)) , к е К = {к/+ 1,...,кр},

где к — номер шага (этапа), не обязательно физическое время, х и и — соответственно переменные состояния и управления, / — оператор. Все указанные объекты—произвольной природы (возможно, различной) для различных к, и(к, х) — заданное при каждом к и х множество, к/, кр — начальный и конечный шаги соответственно. На некотором подмножестве К& С К, кр £ К& действует непрерывная система нижнего уровня

(2) Xе = — = /е(г,*,хе,ие), * е Т(г) = [*/(г),*р(г)],

хе е Хе(г,*) С Шп(к), ие е ие(г,*,хе) С Шр(к\\ г = (к, х, и^).

Здесь ие(^,*,хе) — заданное множество. Оператор правой части (1) имеет вид

/ (к,х,и) = ф,7е),

Ге(г) = {7е : */ = т(г), х? = £(г), (*р, хр) £ Гр(г)} .

Здесь г = (к, х, — совокупность переменных верхнего уровня, играющих на нижнем уровне роль параметров, гпл — переменная управления произвольной природы, = т(г), х^ = £(г) — заданные функции г.

Решением этой двухуровневой системы считается набор т = = (&х(к),п(к)), называемый дискретпо-пепрерывпым процессом. При к € К& имеется в виду п(к) = (иа(к), тс(к)), где тс(к) € Юс (г(к)) — непрерывный процесс (хс(к,1),гпс(к,1)), £ € Т (г(к)). Здесь под Юс(г) подразумевается множество допустимых процессов тс, удовлетворяющих указанной дифференциальной системе (2) с дополнительными ограничениями. Предполагается, что пс(к,Ь) — кусочно-непрерывные функции, а хс(к,Ь) — кусочно-гладкие (на каждом дискретном шаге к).

Совокупность элементов т, удовлетворяющих всем выше перечисленным условиям, обозначим через Ю и назовем множеством допустимых дискретно-непрерывных процессов.

Для модели (1), (2) рассматривается задача о поиске минимума на Ю функционала I = Г(х(кр)) при фиксированных к/ = 0, кр = К, х(к1) и дополнительных ограничениях

(3) х(к) € Х(к), хс € Хс(г,г),

Х(к), Хс(г,Ь) — заданные множества.

Заметим, что модель (1), (2) удобна для представления неоднородных управляемых процессов. Ее нижний уровень представляет собой описания однородных процессов на отдельных этапах, а верхний — связывает эти описания в единый процесс и управляет функционированием всей системы в целом. В различных задачах управления, в частности в задачах оптимизации, оба уровня рассматриваются во взаимодействии. Взаимодействие с каждой подсистемой нижнего уровня осуществляется через границу этой подсистемы и соответствующего непрерывного процесса 7с.

Для удобства изложения приведем используемые далее основные конструкции и сами достаточные условия оптимальности.

Достаточные условия оптимальности для такой модели получаются по аналогии с условиями Кротова для дискретных и непрерывных систем следующим образом. Из ограничений множеств Ю и Юс исключаются дискретная цепочка и дифференциальная система, и вводятся

функционалы ф(к, х), фе(г,*,хе). Последний можно рассматривать как параметрическое семейство функций от аргументов *, хе с параметром г, которые считаются непрерывными, и по крайней мере, непрерывно-дифференцируемыми по этим аргументам, где г = ^к,х(к),и^(к)^. Кроме того, рассматривается обобщенный лагранжиан по аналогии с лагранжианами Кротова для дискретных и непрерывных систем:

Ь = С (х(кр)) - ^ Е (к,х(к),и(к)) +

+ Е (се (г(к),7е (г(к))) К& ^

- J Ее (г(к),*,хе(М),ие(М))

С(х) = ^(х) + ф(кр, х) - ф (к/, х(к/)) , Е(к, х, и) = ф (к + 1, /(к, х, и)) - ф(к, х), Се(г, 7е) = -ф (к + 1,0(г, 7е)) + ф(к, х) + фе(г, *р, хр)-- фе(^,*/,х?), Ее(г, хе, ие) = фХ!/е(г, хе, ие) + ф?(г, хе),

^е(г, *) = вир {Ее(г, хе, ие) : хе е Хе(г, *), ие е ие(г, хе)} , 1е(г) = М {Се(г, 7е) : 7е е Г(г), хе е Хе(г, *р)} ,

[вир {Е(к, х, и) : х е Х(к), и е и(к,х)} , * е К \\ К&, ^(к) = | - 1е(г) : х е Х(к), и^ е и^(к,х)}, к е К&,

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Пусть имеются последовательность дискретно-непрерывных процессов {шя} С Ю и функционалы ф, фе, такие что:

Тогда последовательность {т3} — минимизирующая для I на Ю. Доказательство дано в [6,8].

Предположим, что хс(к, ) = £ (к, х(к)), к/, кр, х(к/),1/(к),Ьр(к) фиксированы, ограничения на переменные состояния обоих уровней и управления верхнего уровня отсутствуют и подсистемы нижнего уровня не зависят от Х(к) = М^(к), Хс(к, 1) = Жр(к), и (к, х) = Мг(к), а используемые конструкции достаточных условий оптимальности таковы, что справедливы все ниже следующие операции. Пусть х(к),хс(к,Ь) элементы из Ю, причем имеется, по крайней мере, по одному элементу п(к),пс(к,Ь), соответствующих значениям х (к + 1), хс(к,Ь), а именно п(к),пс(к,Ь), которые являются внутренними точками множеств и, ис.

Обозначим через подмножество элементов множества Ю, удовлетворяющих дополнительным условиям

Будем говорить, что функционал I достигает на дискретно-непрерывном процессе т относительного минимума на Ю, если I(т) = МI.

На основании выше указанной теоремы достаточными условиями относительного минимума функций К, Кс являются:

(4) йК = 0, йРс = 0,

(5) й2К < 0, й2Рс < 0,

где Рс(к,£,хс) = вир Кс(к,£,хс,пс). и°еис

Рассмотрим конкретный вид этих условий, как указано выше, для задачи со свободным правым концом, т.е. когда х(к/) фиксировано, а х(кр) € Жа(к) свободно. При этом будем считать, что множество Гс(г) имеет вид: Гс(г) = {^с : х/ = £(г), хр € Мр(к)|. Из условия (4) следует, что

(6) кх = 0, ки = 0, р^ = 0, рС = 0,

где йК = КАх + КиАп. Все указанные производные подсчитаны на элементе т .

Из (6) имеем:

^(Л) = Hx, H = 0,

H(Л, x, u) = (Л + 1)f (Л, х, u), Л € K \\ K&,

(8) V>c(M) = -HXc, \\(м) = HX,

H(fc^xj,xF) = (Л + 1)0(fc,xJ,xF), Л € к& \\ ,

H c(M,x,xc,uc) = ^сТ(Л, t)f c(M,xc,uc), Hc = sup Hc.

Условие < 0 или

= ДхтДжжДх + 2ДхтДхиДи + ДитДииДи < 0 для Л € K \\ K&, как и в [10], заменим равносильными:

(9) max d2R< 0,

(10) ДитДииДи < 0.

Поскольку максимум достигается в стационарной точке, будем иметь ДтиДх+Дии Ди = 0, откуда Ди = —Д~и Д™ Дх. Тогда max d2 Д =

Дх (Rxx ДхиДИг1Джи)Дх-Вводя в рассмотрение отрицательно определенную матрицу ©(Л) и с учетом вида производных Дхх, Дхи, Дии, условие (6) запишем в виде равенства:

(11) а(Л) = fxT а(Л + 1)fx + Hxx — HxuHUUXHUX — ©(Л), где <г(Л) = фхх(Л,х). Рассмотрим теперь условие

d2Pc = Дхстрхссxc Дхс + 2ДхсТРхсхДх + ДхтРххДх < 0.

Матрица M вторых производных рассматриваемого дифференциала имеет вид:

/P cc c P cc \\

M _ / xcxc xcx \\

M V P c P c / .

Введем в рассмотрение матрицу

* _ I ©2 0

где ©2, ©з — отрицательно определенные матрицы. Тогда условие ¿2Рс < 0 представимо в виде равенства М = ©*, из которого следуют

уравнения:

(12) ¿гс = —НХссхс — Н^сфсос — ¿сНхХХфс — ¿сНфСфСос + @2 (к,

(13) в = —НХх — шНфсх — Нхфс ш — ш&Н.фс.фс ш + ©з(к,1),

(14) ш = —Н<ххС — НХсСфс ш — ¿сНфСх — ¿сНф сфш.

Нетрудно видеть, что на множестве К&

¿(к) = втха(к + !)вхх + Нхх + йОх° ¿(к + 1)вх+

(15) + ОХХ ¿(к + 1)0х1 (х + (¡ОХ ¿(к + 1)вх? (х+

+ (¡¿(к, I!)(х + (хШТ(к, I!) + ш(к, II).

Здесь ас(к,Ь) = фсхс хс (к,Ь,х,хс), в (к,Ь) = фхх(к,Ь,х,хс), ш(к,Ь) = = фххс(k, I, x, х°) •

Рассмотрим теперь условия первого и второго порядков минимума функций О, Ос • Обозначим через Г подмножество элементов множества Ю, удовлетворяющих дополнительным условиям 1х(кр) — х(кр)| < е, е > > 0 и через Гс подмножество элементов множества Ю, удовлетворяющих дополнительным условиям 1х(кр) — х(кр)| < е, 1хс(к,Ьр) — хс(к,Ьр)| < е, е > 0. На основании теоремы 1 достаточными условиями относительного минимума функций О, Ос на множествах Г, Гс являются:

(16) со = о, сос = о, с2о > о, с2ос > о.

Из условия (16) следует, что

ОхР =0, ох = ° О°хср = 0.

Тогда

(17) ф(кр ) = —¥хР, фс(к,1р ) = —Нху, Х(к,1р )=0.

Из условия сРО > 0 для к € К \\ К& получим: ¿(кр) = —Рхрхр +©1, где ©1 — положительно определенная матрица. В свою очередь, условие Сс2Ос > 0 по аналогии с ранее рассмотренным условием <12Рс < 0 представимо в виде:

ас(к,1р ) = ОхХъ ¿(к + 1)ОхЪ + Нху х%, ш(к,гр )=0, в(к^р )=0.

Как и ранее, все указанные производные подсчитаны на элементе

Теорема 2. Для того чтобы на элементе т достигался относительный минимум функционала I на множестве D, достаточно существования таких вектор функций ф, фе, X, матриц а, а е, ß, ш, отрицательно определенных матриц ©(k), —©1(k), ©2(k,t), ©3(k,t), что выполняются условия (7), (8), (11)-(15).

Доказательство. Зададим функции ф, фе в виде: ф(, x) = фт(k)x + ^(x — x)Ta(k)(x — x), фе(z, t, xe) = XT(k, t)x + фcT(k, t)x е+

+ 1(x е — x c)T ае (k,t)(x е — xc)+

+ ^(x — x)Tß(k, t)(x — x) + (x — x)Tш(, t)(x е — x е),

где ф, фе, X, а, ае, ß, ш удовлетворяют условиям теоремы. Выполнение перечисленных условий означает, что функции Д, Де, G, Ge достигают относительного экстремума на элементе т ив точках x(kP), xc(fc,t_F). Это, в свою очередь, означает, что найдется такое е > 0, что функции Д, Де достигают экстремума на множестве |x(k) — x(k)| < е, |xc(k,t) — — xc(k, t)| < е, а функции G, Ge достигают экстремума на множестве |x(fcp) — x (fcp)| < е, |xc(k, ) — xc(k, ) | < е. Отсюда в силу теоремы 1 следует, что функционал I достигает на элементе т минимума на множестве De, то есть относительного минимума. □

Таким образом, теорема 2 утверждает, что если в выделенной окрестности радиуса е найденного элемента т существуют решения уравнений (7), (8), (11)—(15), то этот элемент доставляет функционалу относительный минимум.

Рассмотрим работу метода на примере системы, динамика которой включает в себя два этапа.

x i — (x 1) (x 2 u) , x 2 — x ix2 ++ ^U ,

x1(0) = —1, x2(0) = —1, t € [0,2].

x 1 = (xi — t)2 + u2, t € [2, 3]. Функционал имеет вид: I = xi(3) ^ min.

Построим ДНС. Нетрудно видеть, что К = 0,1, 2. Поскольку оба этапа связаны через переменную ж1, то она и играет роль ж, а дискретный процесс верхнего уровня принимает вид:

ж(0) = ж1(0, 0) = -1, ж(1) = ж1(0, 2), ж(2) = ж1(1, 3),

I = ж(2), ж1 (1, 2) = ж(1), £ = ж(1).

Основные конструкции имеют вид:

НС(0, 4, ж1, ж2, и, фС, ф2С) = ф? ((ж?)2(ж2 - и)2) + ф2С (ж?ж2 + 3и3) ,

НС(1,4, ж 1,и, ф С) = ФС ^(ж 1 - 4)2 + и2) .

Пример был решен методом улучшения первого порядка в работе [11]. Начальное управление: и1 = 0.5, I1 = 1.98. Результаты представлены на рисунках 1, 2 и в таблице 1.

Рисунок 1. Переменные состояния Таблица 1. Изменение функционала I по итерациям

Итерация Метод 1-го порядка

Проверим, доставляет ли найденное решение функционалу относительный минимум. Так как решение примера было найдено численно,

о -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1

Рисунок 2. Управление и

то поиск функции Нс и ее производных первого и второго порядков также проводился численно. Поскольку уравнения каждого из этапов не зависят от переменной х верхнего уровня, то Л = 0, в = 0, ш = 0. Нетрудно видеть, что на первом этапе вектор ^сТ = (ФС,^2С)Т, а матрица

ас = ^ .

Результаты расчетов, приведенные на рисунках 3-4, показывают, что

Рисунок 3. Вектор -фс система векторно-матричных уравнений для фс, ас на обоих этапах

Рисунок 4. Матрица <гс

имеет решение. Следовательно, исследуемый элемент т доставляет функционалу относительный минимум.

Заключение

Таким образом, в работе получены достаточные условия относительного минимума для ДНС, позволяющие анализировать предложенное решение задачи оптимального управления на предмет обеспечения функционалу локального минимума. Приведен иллюстративный пример.

Список литературы

[1] С. В. Емельянов (ред.). Теория систем с переменной структурой, Наука, М., 1970. 147

[2] V. I. Gurman. «К теории оптимальных дискретных процессов», Автоматика и телемеханика, 1973, №7, с. 53-58. [Щ1% 47

[3] С.Н. Васильев. «Теория и применение логико-управляемых систем», Труды 2-ой Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления», SICPRO&03 (29-31 января 2003 г., Москва), Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, М., 2003, ISBN 5-201-14948-0, с. 23-52. 147

[4] А.С. Бортаковский. «Достаточные условия оптимальности детерминированными логико-динамическими системами», Информатика. Сер. Автоматизация проектирования, 1992, №2-3, с. 72-79. 47

[5] Б.М. Миллер, Е.Я. Рубинович. Оптимизация динамических систем с импульсными управлениями, Наука, М., 2005, ISBN 978-5-9710-5725-3, 429 с. 147

[6] V.I. Gurman, I.V. Rasina. «Дискретно-непрерывные представления импульсных процессов в управляемых системах», Автоматика и телемеханика, 2012, №8, с. 16-29. 47 48 61

[7] I.V. Rasina. «Итерационные алгоритмы оптимизации дискретно-непрерывных процессов», Автоматика и телемеханика, 2012, №10, с. 3-17. 0% 47 48

[8] И.В. Расина. Иерархические модели управления системами неоднородной структуры, Физматлит, М., 2014, ISBN 978-5-94052-238-6, 160 с. 147,48,51

[9] V. F. Krotov. «Достаточные условия оптимальности для дискретных управляемых систем», ДАН СССР, 172:1 (1967), с. 18-21. Д|% 48

[10] В.И. Гурман. Вырожденные задачи оптимального управления, Наука, М., 1977, 304 с. 152

[11] И.В. Расина, О.В. Фесько. «Метод улучшения первого порядка для дискретно-непрерывных систем», Программные системы: теория и

приложения, 9:3(38) (2018), с. 65-76. .url: I - 66

Поступила в редакцию 15.03.2020 Переработана 09.04.2020

Опубликована 10.05.2020

Рекомендовал к публикации

д.т.н. А. М. Цирлин

Пример ссылки на эту публикацию:

И. В. Расина, О. В. Фесько. «Достаточные условия относительного минимума для дискретно-непрерывных систем». Программные системы: теория и приложения, 2020, 11:2(45), с. 47-59.

Эта же статья по-английски: 10.25209/2079-3316-2020-11-2-61-73

Ирина Викторовна Расина

д.ф.-м.н., г.н.с. Исследовательского центра системного анализа Института программных систем им. А. К. Ай-ламазяна РАН, специалист в области моделирования и управления гибридными системами, автор и соавтор более 100 статей и 5 монографий

J!» 0000-0001-8939-2968 e-mail: irinarasina@gmail.com

Олесь Владимирович Фесько к.т.н., н.с. ИЦСА Института программных систем им. А.К. Айламазяна РАН. Специалист по численным экспериментам в математической теории управления

ПА 0000-0002-9329-5754 e-mail: oles.fesko@hotmail.com

Sample citation of this publication:

Irina V. Rasina, Oles V. Fesko. "Sufficient relative minimum conditions for discrete-continuous control systems". Program Systems: Theory and Applications, 2020, 11:2(45), pp. 47-59. (In Russian). 10.25209/2079-3316-2020-11-2-47-59

url http: //psta.psiras ,ru/read/psta2020_2_47- 59 .pdf

Об авторах:

The same article in English: