ФОРМООБРАЗОВАНИЕ СЕМЕЙСТВА КРИВЫХ СМЕЩЕНИЯ С ВЫЯВЛЕНИЕМ ИХ НЕРАБОЧИХ УЧАСТКОВ

Программные системы и вычислительные методы

Правильная ссылка на статью:

Мясоедова Т.М. — Формообразование семейства кривых смещения с выявлением их нерабочих участков // Программные системы и вычислительные методы. - 2020. - № 1. DOI: 10.7256/2454-0714.2020.1.32235 URL: https;//nbpublish.com&library_read_article.php?id=32235

Формообразование семейства кривых смещения с выявлением их нерабочих участков

Мясоедова Татьяна Михайловна

старшей преподаватель, кафедра Инженерная геометрия и САПР, Омский государственный

технический университет

Статья из рубрики "Автоматизация проектирования и технологической подготовки производства"

Дата направления статьи в редакцию:

Аннотация.

Объектом исследования является формообразование семейства кривых смещения, применяемых при проектировании траектории инструмента, обрабатывающего карманные поверхности. Предметом исследования являются рабочие кривые смещения в случае многосвязных областей. Рабочие кривые смещения- это линии, из которых удалены нерабочие участки. К нерабочим участкам относятся петли самопересечений кривых смещения и участки, образованные при пересечении кривых смещения встречных фронтов. В работе приведены способы анализа и отсечения нерабочих участков для случаев самопересечения и пересечения кривых смещения встречных фронтов. В основу пространственной геометрической модели формообразования кривых смещения положен циклографический метод отображения пространства. В качестве инструмента, выявляющего нерабочие участки для случая встречных фронтов, предложен способ тестирующего луча. В случае самопересечений кривых смещения нерабочие участки отсекаются по параметру этих линий в точках самопересечения. Новизна исследования заключается в том, что полученная математическая модель формообразования кривых смещения для многосвязных областей с контурами кривых сложной форы позволяет получать на выходе вычислительного алгоритма параметрические уравнения рабочих линий, более надежным и простым способом. Это существенно упрощает решение задачи автоматизированного проектирования траектории режущего инструмента. В работе выполнена сравнительная оценка предложенного метода формообразования

семейства кривых смещения с отсечением нерабочих участков и известных методов, использующих функцию расстояний.

В CAD/CAM системах расчет траектории режущего инструмента является важной задачей. Карманные поверхности, как правило, обрабатываются по контурно-параллельном траекториям. Для расчета траектории движения инструмента, обрабатывающего эти поверхности, необходимо строить семейство контурно-параллельных линий, т.е. кривых смещения OC ("Offset Curve ") исходного контура карманной поверхности. Семейства OC многосвязных областей образуются, когда область кармана включает в себя острова. Оптимизация семейства OC многосвязных областей сопряжена с анализом OC и удалением нерабочих участков линий семейства OC .Нерабочие участки линий семейства ОС - это линии- шумы. Они формируются как петли самопересечений ОС связных областей (локальные пересечения ОС ) и как участки, которые образуются при пересечении встречных фронтов ОС (глобальные пересечения ОС ) многосвязных областей (рисунок 1).

а) б) в)

Рисунок 1. Построение семейства ОС для многосвязной области: а) локальные пересечения семейства ОС , б) глобальные пересечения семейства ОС , б) итоговый результат.

Анализ существующих методов оптимизации семейства OC многосвязных областей по критерию отсутствия линии-шумов позволяет выделить следующие основные направления решения задачи оптимизации:

Выявление нерабочих участков линий семейства OC сводится к решению полиномиальных уравнений. Если кривая исходного контура многосвязной области имеет порядок выше второго, для отыскания корней приходится решать уравнения высоких

степеней, что приводит к не простой вычислительной задаче -Ш.

В работах задача этого направления решается на плоскости для односвязной области с применением MA ("М edial A xis" ). На плоскости каждая точка МА является центром диска максимального радиуса, вписанного в граничный контур. МА в сочетании с функцией радиуса называется "Medial Axis Transformation " (MAT ). Анализ и отсечение нерабочих участков OC осуществляется с применением сложного математического

аппарата, вычислительные алгоритмы не устойчивы и имеют высокую временную сложность. Алгоритмы нахождения М A для области, граница которой состоит из дуг окружностей и отрезков прямых работают стабильно. Однако, если граница области имеет сложную криволинейную форму, поиск МА становится сложной задачей [2-11].

В работе в качестве граничных линий области используются PH -curves (Pythagorean

- Hodograph curves ). Семейство ОС c шагом d относительно граничных кривых PH

определяется по уравнению: ^^ r(t) + dn(t) ^ в котором r^ - исходный контур,

- функция расстояния по нормали. В работе i13 на основе свойств PH -curves линии семейства ОС представлены как множество рациональных кривых. Представление PH -curves в метрике Минковского вместе с леммой о разложении области делает вычисляемым процесс отсечения линий семейства ОС для многосвязной области с криволинейным контуром. Процедура для получения усеченных линий семейства ОС, то есть ОС без линий-шумов, осуществляется в терминах функции радиуса кривизны PH -curves и MAT . Это позволяет получать семейства ОС в виде рациональных кривых Безье,

поскольку единичная нормаль имеет рациональную зависимость от параметра

кривой t .

В работах [14-16] представлен алгоритм попарного смещения для замкнутых двумерных кривых точечной последовательности для многосвязной области с криволинейным контуром, состоящим из PS- curves (Point - S equence curves ). В этом подходе петли самопересечений и пересечения встречных фронтов удаляются по тесту попарного обнаружения нерабочих участков линий семейства ОС . Алгоритм может работать за линейное время. Однако для предлагаемого алгоритма входными данными являются точечные последовательности. Предложенный алгоритм работает только с классом кривых PS , что ограничивает его возможности.

В работе предложен алгоритм, который может автоматически соединять острова с внешним контуром на ближайшем расстоянии. Но общее время расчета минимального расстояния между двумя кривыми зависит от общего количества кривых, включая контур

области и контуры островов. В работе t16 семейства OC всех островов и OC контура области объединяют в единую связную PS -кривую с помощью триангуляции Делоне. Предложенные алгоритмы работают за почти линейное время, но результат работы предложенных алгоритмов представляет собой точечные данные.

Из краткого обзора следует очевидная необходимость в разработке модели формообразования семейства ОС с более простыми алгоритмами отсечения нерабочих участков для многосвязных областей с криволинейными контурами.

Предложить геометрическую модель формообразования семейства ОС с линейными алгоритмами отсечения их нерабочих участков.

В концепции циклографического метода формообразования семейства ОС

получаются путем рассечения а -поверхностей пучком горизонтальных плоскостей вдоль оси z с шагом Zj = const . Линии сечений образуют семейства LOC ("L evel Offset Curves "

) относительноостровов и контура области, принадлежащих одной плоскости уровня в пучке плоскостей. Семейства ОС образуются путем ортогонального проецирования семейства LOC на плоскость z =0 (рисунок 2). Для определения нерабочих участков линий семейства OC выполняется анализ семейств LOC контура области и LOC встречных контуров островов. Линии семейства L OC в плоскостях пучка пересекаются в точках

AjeMAT (рисунок 2а). Точки Aj делят линии семейства L OC на рабочие и нерабочие

участки. Линия MAT в циклографической модели -этопространственная кривая, которая образуется в результате попарного пересечения а - поверхностей, построенных по составным контурам области и островов в ней. Линия MAT , а - поверхности, построенные по составным контурам области и островов, образуют в пространстве а -оболочку (рисунок 3а). На а - оболочке формируются рабочие участки линий семейства LOC в плоскостях своего уровня. Если участок линии не попадает на а - оболочку, то он нерабочий. а - оболочка, как геометрический объект, не моделируется, но используется для определения признаков принадлежности ейучастков линий семейства LOC .

Рисунок 2. Построение семейства ОС для многосвязной области: а) последовательность построения семейства ОС ; б) формирование LOC .

Точки делят линии семейства ШС на участки. Для анализа и выявления рабочих

и нерабочих участков предлагается в качестве инструмента использовать тестирующий луч . Работу тестирующего луча продемонстрируем на примере. Для анализа рассматриваются семейство LOC пересекающихся а - поверхностей контура области и контура острова в каждой плоскости пучка горизонтальных плоскостей (рисунок 3б).

а) б) в)

Рисунок 3. Фрагмент работы тестирующего луча: а) а - оболочка, б) формирование семейств LOC , в) отсечение нерабочего участка линии семейства LOC .

Линии семейств LOC контура и LOC острова пересекается в точках 1 и 2. Выполним анализ линии семейства LOC острова. Эта линия в точках пересечения разделяется на участки (1-2) и (2-1). Выбрав направление обхода этой линии, например,по часовой стрелке, анализируем участки (1-2) и (2-1). Рассмотрим участок (1-2). Проведем тестирующий луч г 1 из любой точки участка (1-2). Луч г 1 пересекает линию семейства

L О С контура области в одной точке, значит участок (1-2) находится в зоне, ограниченной линией семейства LOC контура области. Следовательно, участок (1-2) принадлежит а - оболочке и поэтому он является рабочим участком. Рассмотрим участок (2-1). Проведем тестирующий луч г 2 из любой точки участка (2-1). Луч г 2 пересекает линию семейства LOC контура области в двух точках. Следовательно, участок (2-1) не находится в зоне, ограниченной линией семейства LOC контура области. Поэтому участок (2-1) не принадлежит а - оболочке. Участок (2-1) - нерабочий и подлежит отсечению.

Анализу подвергаются все возможные пересечения линий семейств LOC встречных фронтов с отсечением нерабочих участков. В общем случае, если тестирующий луч, проведенный из любой точки участка линии семейства LOC , имеет нечетное количество точек пересечения с линией семейства LOC встречного фронта, то участок принадлежит а - оболочке. Следовательно, он рабочий участок. Если тестирующий луч, проведенный из любой точки участка линии семейства LOC , имеет четное количество точек пересечения, либо не имеет пересечений с линией семейства LOC встречного фронта, то участок не принадлежит а - оболочке поэтому он нерабочий участок.

В работе ^^ приведен укрупненный алгоритм анализа глобальных пересечений линий семейства ОС .

Петли самопересечения образуются в том случае, когда эволюта, участвующая в формировании а -поверхности, имеет особую точку (рисунок 4а). Точки

самопересечения А^ определяются из уравнения 1 а 1 ь где ta \\л - значение

параметра t /& -го сегмента контура области или контура острова, где ^[^Л]

(решением указанного векторного уравнения являются два корня tg = а и tb =Ь . Тогда для устранения петли самопересечения выполняем разбивку линии семейства LOC на три участка с параметрами 1 е\\-аМ и £ участок линии семейства ШС с

параметром отсекается. Рабочий участок линии семейства ШС составляется из

двух сегментов ^ОС - ЬОС^ ЬОСь ^

Рисунок 4. Последовательность анализа и исключения локальных пересечений: а) петли самопересечений, б) итоговый результат.

В работе [18] подробно описан способ анализа локальных пересечений на основе циклографического метода отображения. Следует отметить, что входными данными предлагаемого алгоритма являются массивы точек контуров области и островов. Дискретное множество точек интерполируется замкнутой кривой линией. Интерполяция может выполняется сегментами кривых Безье третей степени, дробно-рациональными кривыми Безье второй степени, либо по массиву точек строится обвод из сегментов

кривых второго порядка [19].

Выходными данными алгоритма являются параметрические уравнения рабочих линий семейств ОС :

^^Шапац)

ос(2) ■

г(1) = 7(1)

гх1ам10) ~~ &гЛапаЩ,}) VI ) и &хйтй^ ,))\\12 ) и ■ ■ ■ и &ЫсюйЦ^,}) Уи > >

ос{Щ ■

VI ) и г:

¿¡отсепСк^,;) (О,

где параметрические уравнения, 1-го сегмента линии ОС первого острова с параметром ¿1 е[0.1] в j -ой плоскости уровня:

параметрические уравнения, последнего сегмента линии ОС первого острова с параметром в ] -ой плоскости уровня:

параметрические уравнения, первого сегмента линии ОС последнего острова с

параметром ^ в -ой плоскости уровня:

параметрические уравнения, последнего сегмента линии ОС последнего острова с параметром г™ в -ой плоскости уровня:

&•■&&—J"- Л1» ) l^iiíorai^.j) V&M V&M /J&

is!and(k,¡, f)

параметрические уравнения, 1-го сегмента линии ОС контура области с параметром е[0,1] в j -ой плоскости:

domainal, j) ^ 1

&domainal, j)

параметрические уравнения, последнего сегмента линии ОС контура области с параметром гя в -ой плоскости:

domain(kx, j)

domain()r^, /)

Ю>Ул

bmesn^kg,])

где j - номер плоскости в пучке горизонтальных плоскостей; N =1,2,...- номер острова; n

= 1,2,... - номер криволинейного сегмента в контуре области или острова; " - параметр n -го криволинейного сегмента в контуре N -го острова; tn -параметр n -го криволинейного сегмента области.

Авторами работы выполнено сравнение предложенного метода оптимизации семейств OC по критерию отсутствия нерабочих участков с методом, близким ему по логике

выявления этих участков и основанном на функции расстояния И2!. Сравнительный анализ методов показал определенные преимущества предложенного метода. Метод оптимизации с использованием функции расстояния при исходных данных со сложными контурами области и островов ведет к вычислению корней высоких степеней, что ограничивает возможности этого метода. Предложенный авторами метод позволяет решить задачу оптимизации для многосвязных областей с контурами кривых сложной форы. Он позволяет получать на выходе вычислительного алгоритма параметрические уравнения рабочих линий семейств ОС . Это существенно упрощает решение задачи автоматизированного проектирования траектории режущего инструмента.

Основная проблема предложенного метода оптимизации для семейств ОС - это подготовка исходных данных. В работе для формирования исходных контуров области и островов использованы несколько типов кривых: кривые Безье третей степени, дробно-рациональные кривые Безье второй степени, кривые второго порядка. Очевидно, что использование PH -кривых для формообразования исходных контуров позволит усовершенствовать предложенный метод оптимизации семейств ОС .

Библиография

Berlin: Heidelberg Springer Verlag, 2008. - 732 p.