Спросить
Войти
Приёмы решения задач с кривыми второго порядка
Бурлов Владимир Васильевич
кандидат технических наук
профессор кафедры "Прикладная информатика", Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Пензенский государственный технологический
университет»
vladimir-burlov@yandexru, Россия, Пензинская область, г. Пенза, ул. Гагарина, 1а, кв. 11
И vladimir-burlov@yandex.ru Ремонтова Людмила Викторовна
доцент кафедры "Прикладная информатика", Федерального бюджетного государственного образовательного учреждения высшего образования «Пензенский государственный технологический
университет»
И remontova@mail.ru Косолапов Владимир Викторович
кандидат технических наук
доцент кафедры "Информационные системы и технологии" Государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Нижегородский государственный инженерноэкономический университет»
И Vladimir.kosolapov@mail.ru
Косолапова Елена Валентиновна
старший преподаватель кафедры "Технические и биологические системы", Государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Нижегородский государственный
инженерно-экономический университет»
И k-art-inka@ya.ru
Статья из рубрики "Компьютерная графика, обработка изображений и распознавание образов"
Аннотация.
Предмет исследования. В представленной рукописи рассмотрены вопросы, связанные с применением аффинных преобразований при решении задач с кривыми второго порядка, а именно растяжения и сжатия относительно прямой, то есть преобразования окружности в эллипс и наоборот. Эллипс находит самое широкое применение в различных сферах благодаря изяществу формы и своим свойствам: в искусстве, дизайне, архитектуре, физике и технике, астрономии, его свойства описаны в художественной литературе. Построение эллипса может быть выполнено очень точно с помощью подручных средств (колышков, нити, перегибами круга, с помощью полоски бумаги), специальных приспособлений и современных вычислительных систем математического моделирования и САПР. Методы построения эллипса основаны на его свойствах, отчего зависит и его форма. Использование закономерностей аффинного преобразования позволит закрепить навыки применения свойств эллипса и решения задач по определению его основных параметров. Метод проведения работы. В статье представлены приемы преобразований, направленные на определение большой и малой
осей эллипса, построения касательных к эллипсу и определения точек пересечения прямой с эллипсом.В результате проведенной работы получены алгоритмы решения задач, позволяющие, используя приём родственного преобразования, получить возможность определения точки пересечения прямой с поверхностями второго порядка (параболоида, однополостного гиперболоида) и усеченного конуса, а также определить оси эллипса, точки касания и пересечения прямой с эллипсом. Научная новизна. Предложен метод, позволяющий упростить решение конструкторских задач на пересечение поверхности второго порядка с прямой линией и с поверхностью второго порядка, что поспособствует повышению точности и адекватности их построения. Выводы. Раскрыты свойства и суть аффинного преобразования эллипса в окружность и наоборот. Продемонстрированы алгоритмы решения различных геометрических задач на основе применения родственных преобразований. Материалы работы имеют практическую значимость, так как существенно расширяют представления о способах решения различных задач с кривыми второго порядка.
прямые, родственные точки, сопряженные преобразование, окружность, касательная,
Дата направления в редакцию:
Дата рецензирования:
Предмет, цель работы.
Развитие современных промышленных и технологических комплексов требует интенсивной и качественной подготовки научных и прикладных кадров технических специальностей, способных в сжатые сроки обеспечить создание новых технологий конструирования и проектирования, обеспечивающих выполнение поставленных производственных задач. Подготовка данных кадров выполняется на каждом образовательном этапе. Основополагающей дисциплиной, направленной на получение студентами навыков пространственного мышления, является начертательная геометрия
[7, 8 17]. Кроме того, данная графическая дисциплина, изучаемая во всех технических
вузах страны, формирует у обучающихся такие качества как [18, 20]:
- пространственное (трехмерное) воображение;
- умение проецировать изображения пространственных фигур на плоскостях проекций;
- логическое мышление при решении графических задач на плоскости;
- четкое следование алгоритмам решения геометрических задач.
Современные подходы к графическим дисциплинам подразумевают активное применение
компьютерных систем отвечающих предъявляемым требованиям l10!. Их применение позволяет значительно расширить возможности по усвоению материала обучаемыми и
повысить уровень образования, в условиях дефицита учебного времени Г1,2,3,16,19"!.
Обзор литературных источников свидетельствует о том, что в разных вузах страны выбирают свою, наиболее освоенную компьютерную графическую программу, принятую
за основную в конкретном высшем учебном заведении Г4, 5& 9 11, 12, 13, 14, 15"". На конечный результат это не влияет, однако в условиях российского образования и сложившейся санкционной политики предпочтение следует уделять отечественному продукту, обеспечивающему надежное импортозамещение, например, графической
программе KOMnAC-3D, которая целиком адаптирована под ГОСТ ЕСКД J6".
В дисциплинах "Геометрия", "Алгебра" и "Начертательная геометрия" подробно изучаются свойства и способы построения эллипсов. Однако мало кто из обучающихся задумывался об их широком применении в технике, космонавтике и других областях.
Стандартные средства построения эллипса в среде автоматического программирования Компас-3D позволяют создать лишь простые варианты эллипсов, когда известны величины большой и малой его осей.
Как правило при решении большинства сложных технических задач указанных параметров недостаточно, что приводит к поиску новых подходов, позволяющих определить искомый ответ.
Цель данной статьи раскрыть свойства и суть аффинного преобразования и продемонстрировать алгоритм решения различных геометрических задач на основе его применения.
Метод или методология проведения работы. Эллипс, как одна из кривых второго порядка, имеет бесчисленное множество сопряжённых диаметров. При этом только в одной паре сопряжённые диаметры взаимно перпендикулярны (AB LCD ) (рис. 1, а). Эта пара диаметров является осями эллипса. Относительно осей эллипс обладает свойством симметрии. Если оси эллипса определены, то свойство симметрии упрощает определение точек эллипса при ручной технологии построения.
В родственном (аффинном) преобразовании окружности соответствует эллипс и наоборот. Родственное (аффинное) преобразование определяется осью родства x и парой родственных точек A и A 1 (рис. 1, б). Прямую АА1 , определяющую направление родства, называют линией связи родственных точек.
Я7Рис. 1. Варианты отображения эллипса (а ) и его аффинное отображение (б )
В любом аффинном преобразовании можно найти такие две взаимно перпендикулярные прямые, которым соответствуют также взаимно перпендикулярные прямые. Суть построений показана на рис. 1, б. Через середину отрезка АА1 , соединяющего
родственные точки, проводим перпендикуляр к АА1 до пересечения его с осью родства х
в точке Т . Проводим окружность с центром в точке Т и радиусом ТА (ТА1 ). Она
пересечёт ось родства х в двойных точках 1 и 2 . Соединив найденные точки
соответственно с А и А1 , получим при вершинах А и А1 прямые углы (90о). Найденные
прямые определяют главные направления созданного родственного преобразования.
В родственном преобразовании окружности в эллипс любым двум взаимно перпендикулярным диаметрам окружности соответствует своя пара сопряжённых диметров эллипса.
Рис. 2. Схема аффинного преобразования окружности в эллипс
На рис. 2 задана ось родства х и пара соответственных точек О и О1 . Пусть О — центр эллипса, а О1 — центр окружности, родственной эллипсу. ОО1 — направление родства. Изобразим с центром О1 какую-либо окружность. Найдём большую АВ и малую CD оси родственного ей эллипса с центром О . Для этого по аналогии с рис. 1, б, строим главные направления преобразования. Они определяют направления большой и малой оси эллипса. Вершины эллипса находим с помощью линий связи — А1А , С 1С . Для вершин В и D линии связи не показаны.
Теперь зададим в окружности два взаимно перпендикулярных диаметра — К 1 L 1 и М 1 N
Выполним зеркальное (ортогональное) преобразование относительно х окружности с центром О1 в окружность с центром О2 . Получим новое родственное соответствие между окружностью с центром О2 и эллипсом с центром О . В полученном соответствии прямая
Результаты работы.
Пример 1. Эллипс задан сопряжёнными диаметрами KL и MN . Центр эллипса О — точка пересечения диаметров. Найти большую и малую оси эллипса.
Через конец М сопряжённого диаметра MN проводим ось родства х параллельно диаметру KL . Через М=М1 проводим перпендикуляр к оси х и на нём от точки М1 задаём
положение О1 из условия М1О1 = OL . Прямая ОО1 определяет направление родства
между эллипсом и окружностью с центром О1 .
Чертим окружность с центром О] и с радиусом О1М1 , равным размеру OL полуоси сопряженного диаметра эллипса. Зеркально относительно х отображаем точку О1 в точку О2 . Соединив О и О2 , получим направление родства между эллипсом и окружностью с центром О2 (окружность не показана).
Как следует из предыдущих рассуждений, одна ось эллипса (АВ ) должна лежать на биссектрисе угла между двумя направлениями родства, а вторая (CD ) — ей перпендикулярна. Строим биссектрису угла Z(О1-О-О2) . Перпендикулярно к ней проводим прямую, на которой должны находиться концы оси CD . Она пересекает ось х в двойной точке 1. Через 1 проводим в окружности диаметр окружности С 1 D 1 , а перпендикулярно к нему диаметр А 1 В 1 . Концы осей эллипса находим с помощью линий связи А 1 А , В 1 В , С 1 С , D 1 D .
Пример 2. Построить касательные к эллипсу, параллельные заданному направлению п . Эллипс задан своими осями АВ, С D и центром О (рис. 3, а).
Ось родства х проводим через вершину С эллипса параллельно оси АВ эллипса. Согласно рис. 3а центр О1 окружности, родственной эллипсу, находится на продолжении
CD и на расстоянии |С1О1 I =|АВ/2 |.
Известно, что касательная к эллипсу, проведённая через конец одного из сопряжённых диаметров эллипса, будет параллельна второму сопряжённому диаметру эллипса (рис. 2). Используем это свойство на рис. 3, а. Через центр О эллипса проводим его диаметр параллельно заданной прямой п до пересечения с осью родства х в двойной точке 1 .
Соединив 1 с О1 , получим в окружности диаметр, родственный 1 -О . Затем в окружности проводим диаметр К 1 L 1 ±0 1 1 и удлиняем его до пересечения с осью родства х в двойной точке 2 . Соединив 2 с О , найдем диаметр KL эллипса, сопряжённый с О-1 . Проводим через K 1 и L 1 линии связи и получаем на сопряжённом
диметре эллипса точки касания Kи L . Через эти точки параллельно п проводим искомые касательные к и I .
Рис. 3. Пример построения касательных к эллипсу параллельных заданному направлению п
Пример 3. Заданы: эллипс осями АВ и CD и точка Т вне кривой эллипса. Провести через точку Т касательные к эллипсу (рис.3, б).
По аналогии с примером 2 создаём родственное соответствие между эллипсом с центром
Для этого проводим прямую ТО до пересечения её с осью х в двойной точке 1 . Соединив 1 с О1 , получим прямую, родственную прямой ОТ . С помощью линии связи,
проведённой через Т , находим родственную ей точку Т1 . Через точку Т1 проводим две
касательные к окружности. Для этого через середину Б 1 отрезка О1Т1 проводим
окружность с радиусом Б 1 О 1 . Она пересечет окружность с центром О1 в точках K 1 и L
Соединив Т с K и Т с L , получим искомое решение задачи.
Пример 4. Заданы: эллипс осями АВ и CD и прямая KL (рис. 4). Найти точки Ми N пересечения этой прямой с эллипсом.
Задаём, как и в предыдущих примерах, родственное соответствие между эллипсом и окружностью О1В1 . ОО1 — направление родства (линия связи между родственными
точками). Через центр О эллипса проводим прямую, параллельную KL , до пересечения с осью родства х в двойной точке 1 . Соединив 1 с О1 , найдём прямую, родственную О -1
. В родственном преобразовании параллельность прямых сохраняется. Поэтому находим точку 2 пересечения прямой KL с осью родства х и проводим через точку 2 прямую параллельно О1 -1 . Эта прямая соответствует прямой KL . Точкам М 1 и N 1 окружности
соответствуют точки М и N пересечения прямой с эллипсом. Точки М и N находим на с помощью линий связи, проходящих через М 1 и N 1 .
Рис. 4. Схема определения пересечения прямой KL с эллипсом Результаты работы.
В работе раскрыта суть аффинного преобразования окружности в эллипс и наоборот, что упрощает решение ряда позиционных задач и повышает точность построения. Представлены алгоритмы решения различных геометрических задач с применением свойств родственных преобразований на примере кривой второго порядка эллипса. Продемонстрировано применение нового метода при нахождении большой и малой осей эллипса, построения касательных к эллипсу при различных условиях, а также нахождении общих точек при пересечении двух геометрических объектов.
Представленный в работе метериал позволит расширить ассортимент инструментов решения сложных конструкторских задач, как обучающимися так и профессорско-преподавательсуким составом. Даннаястатья будет интереснга читательской аудитории занимающейся проблемами вычислительных систем и программных методов.
Библиография
