Регуляризация некорректных математических моделей в задачах оценивания студентов

Автор: Калмыков А.А.

УДК 519.6

Калмыков А.,А, Гайдар В.,И.

І ії&УЖ’РЙВАЦЕЯ ЯЖС-РРЕКтаЖ ІІАТЕМ4ТИЧЕСКЙХ МОДЕЛЕЙ В ЗАДАЧІ; щтшт ЗНАНИИ студентов.

Abstract

Regularizing algor іilm for ill-posed problem of educat in>mi meosurment із еопзісЬзгєс2. The problem is modelling by means r.f fir зі kind operator& equation.

В статье рассматривается задача оценивания знаний студ^пов,

ч-торую мы предлагаем моделировать ошрэторньм урзвночис^ первого рода:

л» - V. о. ;>

определенным В пространстве L СТ.^Э * здесь I - МНОЖ-КТ:;&& контролируемых учебных элементов, причем о правей ч:,:ли и -о операторе а известны лишь приближенные данные с а,. о.& и сд , ^, и, ^6, dc А ,»>><». Оператор A: J„2CT,p> -» L2<.T,;.0 МОДЄЛИрУ-i Г

операцию контроля знаний, в уравнении сх> функция ?у. г-н? МОДвЛИруеТ Контролируемые знания, я функция lb T-»J? является результатом контроля знаний,

Контро, адруемые знания могут быть представлены /17» /2/, / V в виде логической, продукционной моделей, фреймов и семантической сети. Логическая модель представления знаїнш /I/ более удобна для постановки и доказательства теорем. Ф^зймы лучше всет&о использовать тогда, когда нет достаточно точней априорной информации, так как в построении Фреймов используются слоты, при помогай которых можно расширить подучаемую информацию о предмете. Семантические сети показываю!’ взаимосвязь злиментоі предмета. Положительным в продукционной модели представлення ЗЬЇНИЙ ЯВЛЯЄТСЯ простота ее построения и ВОЗМОЖНОСТЬ ЛЄГК&;

сосчитать элементы этой модели. С помошы..& нее мы можем представить любой учебный .элемент. И таким образом, поставить учебному элементу В соответствие ЧИСЛО, ЧТО ПОЗВОЛИТ! знания смоделировать в виде точек гильбертова пространства ь,.:т.^. Например, продукционная модель понятая "Образ множества" изображается следующим образом /рис.1/.

Г і з гс аз - образ множества а 1 _ .

.23 ТС АЗ : = - ГС ХЗ : Х=а| .... і

мн-ва

45 Х*0,

АсХ |

65 1- X“П

Рис.I.

Здесь зз, 4 з, 35, е:> - база данных; гз - .условная часть, соответствующая значению "Если .,." в правиле: із

заключительная часть» соответствующая значению" ... то" в правиле. Число йсю=6. Оно вычисляется по числу различных элементов модели.

Моделью контролирующей операции является линейный интегральный оператор

СА2ЭСО = С і,зЗ 2С зЗ Са,иЗС53 , ієТ.

где т - множество с конечное:) всех учебных элементов по теме; теь2ст,^; 2: т-по,+<го - поточечная мера важности учебных

элементов; рстз-го.+со] - мера важности учебного материала

с равна продолжению но аддитивности меры /Ъ; к = т«т-*я - функция, характеризующая взаимосвязь учебных элементов ігри контроле, с о, - коэффициент использования учебного элемента з«=т яри

КОН&ір.Т учебного элемента і«Т; ъ- т-»к - функция, моделируюшая конт!У;ллрувмые знания обучаемых смли полные 8 галопные знаниям; зсю - знание учебн ого элемента і«т; число ас о в нашей модели равно числу различных продукций в продукционной модели

представления знаний. Пусть, например, дано множество

учебных элементов и п=з. Здесь і - лемма Цорна, і - цепь, і -частично упорядоченное множество. Введем поточечную мэру важности учебных элементов и- т-.р, Дія каждого класса учебны,: ■ллементов она определяется неодинаково с зависит от важности учебного элементам. Так, мера какого либо зспомогзтгаьН&Л о определения может быть равна I. Например, ^ =*. Мера же

основного определения может быть равна двум. Например, «к +.л> -з. Іеоремьі тоже можно различать по важности и их меры могут достигать числа 30. Например, Мера основного примера

по теме может равняться 3. Меры же основных практических навыков могут достига’і ь числа 20.

Определим к: и«т*к - функцию взаимосвязи учебных элементов лои контроле; кс • -- коэффициент использования учебного

аъ.менга при контроле учебного элемента *.<л\\ По все?

видимости, этот коэффициент будет меньше при контроле •• аре делений и больше при контроле теорем и практических навыке}., глооймер, пусть контролируемый учебный элемент - лемма і^/р-а. іїрк формулировке этой леммы используются учебные элементы е,.

ПС отому чС1 5=1. Если бы эти учебные элементы встречалась !.;• один, а два или несколько раз, то коэффициент соответственно оы увеличился. При доказательстве же этой леммы, еся’вствеы3-& мс < ;ользуется больше учебных элементов, следовательно, коэффициент взаимосвязи будет больше.

Для учебного элемента і продукционная модель представлена ■ рис. 2.

Число ас і 5=7. Аналогичным образом можно построить о ч; аукционную модель для любого і. <еТ С і -ГТТЬ И ОЩіЄДЄЛИТЬ его

ОЮЙНОСГЬ.

Рис.г,

Таким образом, для нашего примера мы получаем модель контролирующей операции:

САЙПС!.} = 7 кС1 >у< •, Г.аьО<. :> 1бТ с з:>

; I. .11 11. j

1 = 1

где оператор А: Ь2СТ,р5->Ь2СТ,^

Практический способ решений некорректных задач представляют регулирующие алгоритмы /4/. Для решения операторного уравнения первого рода можно построить регуляризующий алгоритм при помощи аппроксимирующего семейства» которое ищется в виде /4/:

Р - ©С А А; а!) А » аеСО^а С 4}

ес А*А, аГ> = /вСХ, азахсю . -00

Семейство /?„ аппроксимирует отображение в на множестве о :

Ни !(к Г) - ей!) = о Уце.о ,

» а. & И О

где г, ~ однозначная зетвъ многозначного отс 5раже:;:ий с- = а ‘, о =1 ял а:> , ей э он - нормальное решение уравнения с &. Отображение о-. 1 «Ась ст, т. можно считать магаматмчесх:-: моделью задачи контроля знаний. В случае ?>=о регуляризаа,..:-.. некооректной математической модели в можно гл уцествитъ п формуле А.Н.Тихонова К6= СбТ+А^А^А*. аС6>>0 таг ПГ . V

регуляризации <:в нашем случае а=<5:>. Регуляркзэванноо зааче;:,^ г .=»,и- является оценкой истинных знаний студентов и стгемится к

•С? о С~>

истинным знаниям при б-*0.