Спросить
Войти
УДК 517
Лямина Ольга Сергеевна Olga Lyamina
Шерстюк &Татьяна Юрьевна Tatyana Sherstuk
НЕКОТОРЫЕ АППРОКСИМАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИБЛИЖЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ОПЕРАТОРАМИ БАСКАКОВА ФУНКЦИЙ КЛАССА Lipa
SEVERAL APPROXIMATE CHARACTERISTICS OF APPROACHING BY BASKAKOV
TRIGONOMETRIC OPERATORS FUNCTIONS LIKE^ip a
Отражены результаты характера зависимости от а констант Ад а , равномерной по к ограниченности Ао, а при т = 1 и любом а €. (0, і), оценки разности Ад а — Ау а (при т = 1),а также результат динамики одного параметра, определяющеего Ау,а
The paper presents results on the nature of the dependence of the constants a Aq a , of uniform boundedness of Aq a k with m = 1 and any a G (0, l) , the
evaluation of the difference Aq a — Ay a (m = 1), as well as the result of the dynamics of one parameter
that determines the Ay a
Тригонометрическими операторами Баскакова называют (см. аппроксимирующие последовательности вида
>т-1^„:„2 ^ Лj
ч]]ки...кт
і a . 2 nt і,
t sin — dt 2
-n sin2 - П
cost - cos
где целые параметры ш, Ц не зависят от п и удовлетворяют неравенствам т > 0, 0 < к1 < к2 < ... < кт . Если т = 1 ,то вместо к пишут к.
Известно ([1,2]) , что если / ()е Прма,то
’1(.*- Хк, *)-/ (* )
< М А
[т](ки...кт Х -а
П + О
ГДЄ Ао,
[тг](і..кт) = 21+алк2П к2| і БІП і Ж
(говорят, что /() принадлежит
классу ЫрмГ, М > 0, Г(0,1], если V ^2 выполняется
|/(¿1 )- /(^2 ^ Щ\\~ ^2 Г )*
Константа аОоГ^"^&”) в неравенстве (2) точной не является и может быть (в
некоторых случаях, как установлено) улучшена.
Так, известно, что если существуют (для данных фиксированных значений
параметров) константы I, I,..., I такие? 41,0
у+1
БІП і Жі
выполня ется
I г2П(2 - г2)
м[1к к-)/, х)- / (
= 0 , при этом полагаем
< М А
[т](к1,...кт) -а
П + О
где А1утакі,-ктХ = 21+ап2т-1Пк2
т У+1
- а2 біп і аі
і2 &***• ьо -і
(см. [2]).
В [2] приведена другая форма записи этой константы, эквивалентная
приведенной. Существование множеств констант Л,
■{о г.,.
удовлетворяющих приведенным условиям, доказано в следующих частных случаях:
В данном пункте константу из неравенства (2) для сокращения будем обозначать Ао Г, отпуская верхние индексы.
[т](к1> — -кт )
При Г = 0 , константа Ао 0 обращается в главный член нормы
m\\ku...km )
- A0,0 + (1) •
При Г = 1, константа Ао 1 становится оценочной константой (см.[2]) в оценке приближения функций класса Ь1рм 1 •
Теорема 1. На отрезке [0, 1 ] величина А0 а как функция от а возрастает
выпукла вниз.
Доказательство.
Докажем сначала выпуклость вниз.
• = 2n2m-1 П k2 J
(2t)a ln2 (2t)sin2t dt
j-1 0 t2 П\\kn2 -12
При a e [0, l] интеграл в правой части (4) сходится и, очевидно, -------> 0.
Далее,
- lim_ 2n2m-1П k] J
j-1 о a t2 П
((2t )a - l)sin21 dt
Если мы докажем, что
> 0 , то теорема будет доказана.
Будем использовать тот факт, что ((2t)a- l)sin2 tdt к 0111
lim ---------v— — - - 0,111154 > 0.
a^0 + J a t
Вычисления выполнены на MathCad.
Так как подынтегральное выражение в (5) отрицательно при t e 1
положительно при t > 2, из ( 5 ) получаем
Г 1 Л 0,I 2 )
lim 0J5 ((2t)a - 1)sin21 dt
„ vA+ J
„ vA+ J
((2t)a - 1)sin21 dt
Любое значение функции
значения этой функции при t Є
Г 1,2 Л V 2 ,
при t Є
меньше любого
Отсюда получим lim J
((2t)а - l)sin21 dt
> 0 . Тем более,
lim, í((2t- l)sin21 di
o at2 П
Это значит
Теорема доказана.
В дальнейшем мы рассматриваем только случай ш=1 и обозначаем fe вместо fer В этом случае M[](k^ = А0 0 + ^,и ,
л л 7 sin2t dt
где Ао о = Ао o(k) = 2nk j ^ 2—2--------- ’ ПРИ любом фиксированном fe имеет место
,2/22 -2
t k п -1
^kn = °(l) <CM- t1])Сформулируем основной результат этого пункта.
Теорема 2. При к ^ го имеет место асимптотическое равенство
^1п кЛ
A0,0(k) = 1 + 0
Доказательство
Заметим, из равенства M[](k^(1, х) = 1 следует 2пк2 J
sin t dt
t2 (п2 -12)
=1 (см.
[1]). Отсюда получаем 2nk2 J
( Яо зависит от fe) такое, что
sin t dt
sin21 dt
> 1. Это значит, что найдется Яо < k П
Из (6) следует, в свою очередь, что
І1 ( п2 -12) і,
sin21 dt t2\\k2п2 -12\\
Из (6) и (7) приходим к выводу, что для доказательства теоремы достаточно
исследовать поведение величины J(k) = 2пк2 J
sin t dt
t2 (k2п2 -12)&
Используя равенство
t2 (i V -12J
Л i 2 2 ,2
t k ti — t J
получим
J (k )=- I
nsin21 dt Y sin21 dt
J0 kП2 — t2,
Рассмотрим первое слагаемое в правой части (8).
k n • 2,i, &"\\ 7 * 2 i,
П 0 t П 0 t
Используется, что I------2----= “ (см- [7], формула 859.002).
Покажем теперь, что второе слагаемое в правой части (8) имеет порядок
k 1 ln k. Раскладывая в сумму дробь (k(2 — t2 ) , k п • 2 > i, i /^k п • 2,i, k п • 2,1,^
sin t dt r sin t dt
имеем
kn — t
Относительно первого интеграла в скобках правой части (10) имеем
k п ■ 2 l и
sin21 dt
f^^<(k n)—1 fsin2 tdt = 0(i).
I П +1 v M w
Во втором интеграле делаем замену Т = kn — t
k п • 2,i, k п • 2,i,
sin t dt sin t dt
r Mil l Ul г
f kn — t
= O(lnk). Имея в виду (7), делаем вывод, что
В предыдущем пункте МЫ определили I = I) (к) как величину,
удовлетворяющую уравнению (6). В дальнейшем в этом пункте мы используем равенство
; sin21 dt
t2 ( П2 — t2)
Теорема 3. Существуют постоянные a0, Ь0 , такие, что 0 < a0 < Ь0 < 1 и для
Яо = Яо (к), удовлетворяющего (12), выполняется Ü0 < — < ¿0 •
Доказательство.
Фактически мы докажем более сильное утверждение, чем то, которое имеется в формулировке теоремы. А именно, что существует
Г, 0 < Г< 1, r = lim Яоо(к).
Обозначим Яо = (1 — ük)kn, F(t) = 2(2—2---------2\\ и запишем (12) в виде
t (k п — t )
J F (t) dt = о.
(1—ak )k n Или
k n (1+ak )k n 7
J1 + J2 + J3 = J F (t) dt + J F (t) dt + J F (t) dt = о.
(1—ak) k n k n (1+ak) k n
Заметим, J1 > о, J2 < J3 < о. Преобразуем J1, J2, J3 . В J1 и Jг
последовательно применяя подстановки t = kn — u , u = kn t в первом случае и t = kn + u , u = kn t во втором, получим
л vзak sin2 knt dt /, v3ak sin21 dt
J1 = (kn) J7--------^---------г> J2 =—(kn) J-------------------- .
о (1—t)21 (2—t) 2 о (1+t)2t (2+1)
\\-3a\\(5 +12 )sin2 knt dt Складывая, получим J1 + J2 = 2(k n) J -\\— •
о (1 — t2 Д4 — t2)
В J3 сделаем подстановку t = knu (для единообразия в результирующем
(i \\-3 7 sin2 kntdt
выражении вместо и записываем t). Получаем J3 = ( n) J ^.
Приходим к выводу, что ak должно быть таково, что выполняется равенство
Л(5 +12)sin2kntdt = 7 sin2kntdt
(1—)2(4—t>) <13)
Из (13) получим, что при любом k > 1 выполняются неравенства о < ak < 1. Теорема 3 будет доказана, если мы установим, что существует предел последовательности {ak }=1 и что о < lim ak < 1.
k ——7
Обозначим С1° число, удовлетворяющее равенству
Г (^)сп = | а ,14.
I(1 -Г-)2(4-Г)~I( ’
Непосредственными вычислениями (с использованием компьютерных средств) получаем С=0,16644.
Подставим в (14) Сговместо Ск и выпишем обе части получающегося уравнения:
—Сг (б + / )бш к 7^ $1 Сг (5 + I ) $ Сг (5 + / ^СОБ— к тМ $1
-1 (1 -Г)(4-Г) (1 -,2-,2) (1 -,2)4-,2) ’
л. ar (5 +t2 )еов2кntdt
Имея В ВИДУ ( 14) И ТО, ЧТО lim I ^- vw------\\- = 0,
к0 (1 -12) (4 -12)
... 7 cos2kntdt _
lim I —^-------r- = 0.
k1¿7 12
Отсюда получим: lim ak = a.
Теорема доказана.
,а у, а
Теорема 4. При любом фиксированном ае(0, i) величина
(k) = 21+а nk 2 It sin t dt
равномерна по ограничена.
Доказательство.
Представим АО а в виде суммы
Д« = 21*а пк 2+ 2&*а п к ’ = 2а(^ + J )
.^2[ t Ь111 t dt , т1+а ¿,2 f ___________
Преобразуем Ji:
j, =— 11
sin21 sin21 ~lr~+&
k —2 — t2
k — ■ 2« k — t а ‘2.Í
,, 2 f SUI t ,, Zf 1 Sin t ,, , ,
dt = n| — dt + —I k——Г1* = J11+ Ji&2&
Оценивая первое слагаемое, имеем
ok n. 2 . о “ • 2,.
< — —:--------dt .
J,, = — I —:-----------dt <— I
Последний интеграл сходится при любом а е (0,1). Далее покажем, что 31 2 = о(1) . Действительно,
= 2 k— ta sin21 dt 1
Ji,2 = _ J
fk— - 2
k — - •„ 2
c t sin t dt f ta sin t dt
I -------------------+ I -----------------------V 0 kn +1 0 kn — t
= J 1,2,1 + J 1,2,2
Ji,2,i = —2 I , +1 < TT^T I sin21 dt < -(kП)а = °(i)k - 0 k- +1 k - 0 T 1 k- ta sin21 dt (k —) k- sin21 dt
J 1,2,2 =—2 I—;——< I —;—=
k — 0 k— — t k — 0 t
Осталось оценить J2.
k l~-Vk У
J2 = 2п к2 J
ta sin2t dt 2 7 ta sin21 dt
,2 73 72 ^ ^ J ,2 ,2 2 •
к п t V - к п ) пк п t — к п
Сделаем замену T = t — кп , затем вновь обозначим t вместо Т (t + к п) sin21 dt < 2 7 sin21 dt < 2 7 sin21 dt
п 01(t + кп)1
т ъ I 2 f(t + к п) sin t dt 2 f sin t dt 2 [•
J2 = 2пк21Л-------¡-t----г----< — I —-------— < — I
I—a _ J ,2—a
Последний интеграл сходится. Следовательно, = О() •
Итак, теорема 4 доказана.
Заметим, что Л^^а равномерно ограничено при каждом фиксированном а е (0,1) , но не по всем а в совокупности. Известно (см., например, [2]), что
Л^) = О(1п к).
Обозначим A(a = 21+сск 2п
я0 ,a 2
ta sin t dt
-¿«г — a . 2 , Л sin t dt
t2 , 2 2 ,2 к п — t У
где Я0
удовлетворяет равенству (12) (а также равенству (6)).
Теорема 5. Выполняется следующая оценка A^^ — A(c^ = O Доказательство.
Учитывая (6) и принимая во внимание теорему 2, получим 21+a к2п 7_ sin21 dt Jln кЛ
к1_a Vк У
Оценим разность оценочных и улучшенных констант
кп / \\ . 2
Ак)— A(&= 21+a к п f( — t — к п )
+ 21+aк2п{ t —(t — кп))
sin2 t dt
sin t dt t2 (п2 — t2
= 61 + 62
^1 удовлетворяет следующему двойному неравенству
t2 (2п2 — 12J
< 01 < 2 a (кп) 2к2п J
sin2 t dt
t2 (2п2 — t2)&
Таким образом, 0^ имеет точный порядок О Для Q1 выполняется оценка
Q2 < 2“(kп)2kп] ,sin,2 f.dt = OÍlnk &
Теорема доказана.
Коротко об авторах___________________________________________Briefly about the authors
Лямина O.C., ст. преподаватель кафедры прикладной информатики и математики, Читинский государственныйуниверситет (ЧитГУ)
Служ. тел.: (3022) 41-73-12
O. Lyamina, Lecturer of Applied Informatics and Mathematics Department, Chita State University (ChSU)
Научные интересы: исследование тригонометрических операторов Баскакова
Scientific interests: Baskakov’s research of trigonometrical operators
Шерстюк Т.Ю., ст. преподаватель кафедры математики, Читинский государственный университет (ЧитГУ)
Служ. тел.: (3022) 41-73-12
Т. Sherstuk, Lecturer of Mathematics, Chita State University (ChSU)
Научные интересы: исследование тригонометрических операторов Баскакова
Scientific interests: Baskakov’s research of trigonometrical operators
