Тауберовы теоремы с медленно меняющимися с остатком функциями и их приложения

Проблемы анализа

Том 1(19), №1, 2012

Issues of Analysis

Vol. 1(19), №1, 2012

УДК 511

Б. М. Широков

ТАУБЕРОВЫ ТЕОРЕМЫ С МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИМИСЯ С ОСТАТКОМ ФУНКЦИЯМИ И ИХ

ПРИЛОЖЕНИЯ

Аннотация. В статье доказываются две тауберовых теоремы для преобразования Лапласа медленно меняющихся с остатком функций и рассматриваются их приложения к суммам значений неотрицательных мультипликативных функций, связанных с проблемой Вирзинга, поставленной им в 1967 г. в работе [1].

Обозначения: р — простое число, п, к — натуральные числа, х и £ — вещественные числа, ст(£) — определенная для £ > 0 измеримая положительная стремящаяся к 0 при £ ^ медленно

изменяющаяся на бесконечности в смысле Караматы функция. Если ф(£) — возрастающая при £ > 0, то обозначим

ее преобразование Лапласа — Стилтьеса, причем будем считать, что преобразование определено при в > 0. /(п) — мультипликативная неотрицательная функция,

§ 1. Введение

© Широков Б. М., 2012

Для мультипликативной функции /(п) обозначим через ^(в) сумму ее ряда Дирихле

Вирзинг в работе [1] поставил вопрос: можно ли из условия

V МІПР = 0(Ь х) Р

вывести равенство

М (х) = о

Левин Б. В. и Файнлейб А. С. в работе [3] показали, что, вообще говоря, ответ отрицательный. Но в их контрпримере функция т(х) ограничена.

Если допустить, что т(х) не ограничена, то вопрос Вирзинга остается открытым.

В этой работе изучается связь между условием (1) и поведением функции т(х) в предположении т(х) ^ то при х ^ то.

Начнем с определения медленно изменяющейся с остатком функции, которое взято из книги [4, с. 100]

Определение 1. Функция а (і) называется медленно меняющейся с остатком а (і) на бесконечности, если при і ^ то для любого с > 0

И так же, как в [4], множество медленно меняющихся на бесконечности с остатком а(Ь) функций обозначим через К (а), а множество медленно меняющихся в смысле Караматы — через К.

В дальнейшем нам потребуются некоторые вспомогательные утверждения.

Лемма 1. Пусть О(Ь) измерима на [0, то) и существует такое число П > 0, что Ь-О(Ь) суммируема на [0,1], а ЬС(Ь) — на [1, то). Если

§ 2. Тауберовы теоремы

а(сі) — а(і) = 0(а(і)а(і)).

L(t) 6 K и ограничена на отрезке [0, b] для любого b > 0, то при t ^ то

СЮ СЮ

I L(tu)G(u)du ~ L(t) G(u)du.

Доказательство можно найти в [4, с. 63].

Лемма 2. Если функция ф(Ь) Е К (а), дифференцируема и существует такое число г/, что ф(Ь) возрастает, то для некоторой константы С > 0

ж5 "л

Доказательство. Пусть с > 1. Существует такое число в, 0 < в < 1, что для А = 1 + в (с — 1) будем иметь:

ф(с±) — ф(г) ф,(\\ь)(\\ь)п > ф,(г) = ф,(г) (2)

— (\\ М \\ п & V /

(с - 1)t (At)n - (At)n (A)n

С другой стороны, так как ф 6 K(а), существует такое число C > 0, что

ф(ср - фС0 < _^ф(^)о(^)_ ф(с^^(с^) < мф<*М*) (3)

(c — 1)t _ с — 1 t ф(t)а(t) _ t

Сравнивая (2) и (3), получим утверждение леммы. □

Теорема 1. Пусть a(t) и f3(t) > 0 такие возрастающие функции, что La(s) и L/з(s) дифференцируемы при s > 0 и при s ^ 0

La(s) т1 f \\ f Л\\

LOW ~ Le(s)- (4)

Если a 6 K(а), то

Y(t) = J ud/3(u) = O(ta(t)).

Доказательство. Так как

t2 JtL*( i) = —L&4 ^ = fe-V/t &"’a,

то функция Ь2— Ьа ( — ) возрастает. В силу леммы 2, аЬ \\Ь

* (£4ОМ7 & = °(а(Ь))Из условия (4) следует

Отсюда получаем

—Ь&р(^= Ь1^= / е~П1(и)йи = °(*а(*))0

С другой стороны, ввиду возрастания функции 7(*),

СЮ СЮ СЮ

/ е-“7№ — I е-“7(и)Ли — 7Ц) ! е-иЛи > 7(*).

Следовательно, 7(*) = °(*а(*))). Теорема доказана. □

Для произвольного фиксированного 5 Е (0,1) обозначим

Ьз = а(*) — а(5Ь).

Теорема 2. Пусть а(Ь) в(*) — 0 — возрастающие функции, для которых выполнено условие (4) при в ^ 0 и Ьз (*) Е К. Если

то а(Ь) Е К (а).

Доказательство. Прежде всего, интегрированием по частям получаем

СЮ СЮ

—-ь&р (= - [в-и^(иь)аи = [в-ии7(^)аи.

В силу возрастания 7(7) для и < 1 имеем 7(иЬ) < 7(*). Поэтому

[ е-ии^Ь йи = °(а(Ь)).

Из условия (5) с некоторой константой С следует

СЮ СЮ

J е-ии^йи < С ^ а(Ы)е-ии(1и. 10

А так как а(Ь) медленно изменяется, в силу леммы 1, последний интеграл есть °(а(Ь)). Таким образом,

Обозначим ( )

} (*)=а 1п £„ (1)=—^ ^ (1/ь)

аь \\ ь ) ь2 1а(1/ь)

Из условия (4) следует, что

/ (*)=°(^

Тогда с одной стороны для 5 Е (0,1)

, Ьа(1/*)

}{(и)аи=1п щщ,

а с другой —

J /(и)йи = °(а(Ь)).

Эта оценка равномерна на отрезке [а,в], если 0 < а < в < 1. Следовательно, так как а(Ь) ^ 0,

^а(1/Ь) . р./ /1\\\\

что означает, что Ьа(1/Ь) Е К (а). Так как Ьз (Ь) Е К, то, на основании леммы 1,

Ьз (Ь) ~ J е~икз (иЬ)йи = Ьа(^^ — Ь^^1

Ввиду того, что Ьа (1/Ь) Е К (а), из последнего равенства получаем

Ьз (Ь) = °(а(Ь))Ьа (1/Ь). (6)

Так как а(Ь) Е К, то из теоремы Караматы (см., например, [2]) следует, что Ьа(1/Ь) = °(а(Ь)). Теперь из оценки (6) следует, что а(Ь) Е К(а). Теорема доказана. □

§ 3. Применение к суммам мультипликативных функций

Будем предполагать, что для мультипликативной функции /(п) выполняются условия

\\ Лf (р )

) Е -^<

а) /, к

b) / (р) = °(1);

c) т(х) ^ <х, х ^ <х>,

где Лf (п) — обобщенная функция Мангольдта, определяемая равенствами

Р&(в) F&(s) _ ^ Лf (п)

Р(в) ’ Р(в) ^ п1+а ■

ч / ч / п=1

Для применения доказанных теорем к мультипликативной функции /(п) положим

а(Ь) = т(е), в(Ь) = Е ^(р)

Тогда

р<е‘ р

Ьа(в) = Р (в), 7(Ь) = Е ^ ,

Ь» (в) = Е ^ —Ьв (в) = Е ^.

Теорема 3. Если для любого с > 0

т(х) — т(сх) = 0(а(1п х)т(х)), (7)

то при х ^ то

^ = 0(^(1пх)т(х)). (8)

Р<х У

Доказательство. Из условия (7) следует, что а(ї) Є К (а). В силу условия Ь) на функцию [(п) ряд Е(в) сходится абсолютно при в > 0 и

Е&(в) _ ~ Лf (п)

LM F(s) "1+* &

\\ / \\ / n=1

С некоторой постоянной C, в силу условия а) на f (n) и предположения m(x) ^ то, при s ^ 0 имеем:

LL(s) f (P)lnP , ^ V^f(P)lnP т f„\\

—bjs)=^ ^1+^ + C ~ E ^1+^ = -Le(s).

Таким образом, условие (4) выполняется. Из теоремы 1 получаем

Е f(p)lnp = / ud(i(u) = O(<r(t)t).

P<e* P о

Полагая в этом равенстве t = ln x, получаем утверждение теоремы. □

Теорема 4. Если выполнено условие (8) и для любого фиксированного 5 £ (0,1) функция m(et) — m(eSt) £ K, то для любого с> 0

m(x) — m(cx) = O(a(ln x)m(x)).

Доказательство состоит в перефразировке теоремы 2 подобно тому, как это было сделано с теоремой 1.

Список литературы

[1] Wirsing E. Das asimtotische Verhalten von Summen uber multiplikative Funktionen. II // Acta Math. Sci. Hung. V. 18. 1967. P. 411-467.

[2] Широков Б. М. Тауберовы теоремы и их применение к суммам мультипликативных функций // Межвуз. сб. Аналитическая теория чисел. Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 1988. С. 95-104.

[3] Левин Б. В., Файнлейб А. С. Мультипликативные функции и вероятностная теория чисел // Известия АН СССР. Серия Математика. Т. 34. № 5. С. 1064-1109.

[4] Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. М.: Наука, 1985.

Петрозаводский государственный университет,

математический факультет