Математическая модель в форме Бруновского для исследования и оптимизации электропривода с учетом параллельной работы двигателей

УДК 621.9.01

В.Д. ДМИТРИЕНКО, д.т.н., проф. НТУ "ХПИ", г. Харьков,

А.Ю. ЗАКОВОРОТНЫЙ, к.т.н., доц. НТУ "ХПИ", г. Харьков,

А.О. НЕСТЕРЕНКО, магистр НТУ "ХПИ", г. Харьков

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ В ФОРМЕ БРУНОВСКОГО ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ И ОПТИМИЗАЦИИ ЭЛЕКТРОПРИВОДА С УЧЕТОМ ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ДВИГАТЕЛЕЙ

Выполнен с помощью геометрической теории управления синтез линейной математической модели тягового асинхронного электропривода в пространстве “вход-состояние”. Полученная модель в канонической форме Бруновского позволяет исследовать и оптимизировать процессы не только разгона и движения состава с заданной скоростью, но и процессы буксования. Библиогр.: 10 назв.

Постановка проблемы и анализ литературы. Вопросы исследования и оптимизации функционирования тягового подвижного состава железных дорог в течении десятилетий привлекают внимание многих специалистов [1 - 8]. Большинство исследований выполняется с помощью математического моделирования на сложных моделях, описываемых системами обыкновенных дифференциальных нелинейных уравнений высокого порядка. Однако поиск оптимальных решений на таких моделях затруднен. Поэтому в большинстве случаев при решении задач оптимального управления используются математические модели 2 - 5 порядка. При оптимизации функционирования подвижного состава с тяговым асинхронным приводом использование моделей такого низкого порядка во многих случаях невозможно в силу того, что даже упрощенная модель тягового асинхронного привода с одним эквивалентным двигателем имеет пятый порядок системы обыкновенных дифференциальных нелинейных уравнений. В тоже время исследования параллельной работы двигателей, буксования, юза требует в математической модели не менее двух двигателей. Использование известных методов оптимального управления для решения задач оптимизации функционирования подобных объектов вызывает серьезные трудности [9, 10]. В связи с этим в работах [8, 11] была предпринята попытка привлечь для решения задач оптимального управления рассматриваемыми объектами методы геометрической теории управления [12], использующие динамическую линеаризацию исходной нелинейной модели. При этом удалось получить законы оптимального

управления для объектов, которые описывались системами нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений 5 - 6 порядка. Для поиска оптимальных законов управления реальным приводом с учетом параллельной работы электродвигателей необходимо уточнение используемых моделей (получение систем обыкновенных дифференциальных уравнений десятого и более высоких порядков) и разработка метода динамической линеаризации уточненных моделей (получение линейных моделей объекта управления в форме Бруновского), и поиск оптимальных законов управления с помощью этих моделей.

Целью статьи является синтез с помощью средств геометрической теории управления математической модели тягового электропривода в форме Бруновского для последующего решения задач оптимального управления с учетом параллельной работы тяговых двигателей.

Движение дизель-поезда в режиме тяги и в режиме перехода от тяги к буксованию в первом приближении может быть описано следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений:

^ = КУ;

^ -ЧОД +Т!2Т42 -Т22Тз2 -о2о -о21У-а22У2);

—Ї- = а|1Т1‘г + а3д3Т3д + ид, д = 1, 2;

^ = а*-??* + а4д4Т4д + ид, д = 1, 2;

^ = а1№ + а^ + а5д42Т4дОд, д = 1, 2; ш

^ = ад2Т| + ад4?4д + а^Од, 3 = 1, 2,

где £ - расстояние, отсчитываемое от начала перегона; ґ - время; к, к2, а20, а2 15 а22, а і, а33 5-,а64, аб32 - постоянные коэффициенты определяемые параметрами привода; V - скорость движения состава; Т, Т/ (д = 1, 2) - потокосцепления по оси и первого и второго двигателей; Тд, Тд (д = 1, 2) - потокосцепления по оси V первого и

второго двигателей; Оь - угловые скорости вращения роторов

соответственно первого и второго асинхронных двигателей;

, Щ (д — 1, 2) - питающие напряжения, при гармоническом

напряжении имеем:

ид = Ад «*(0,0; ид — Ад 8ш(Ог0,

где Ад, 0.д (д = 1, 2) - соответственно амплитуды и частоты питающих напряжений первого и второго тяговых двигателей.

Обозначив хг = 5; х2 = V ; х3 — Т/; х4 — Т]; х5 — Т]; хб — Т];

х7 =Т32 ; х =Т12; х9 = Т4 ; х10 = Т2 , из системы уравнений (1)

получим следующую модель, описывающую движение дизель-поезда:

—2 = а х; ж 12 2

—— = «235х3х5 _ а246х4х6 + а289х8х9 _ а2,7,10х7х10 _ а200 _ а220х2 _ а222х1; dt

dх3 ТТ1

—3 = а33х3 + а34х4 + и; dt

— = а43х3 + а44х4 + а425х2 х5; dt

— = а55х5 + а56х6 + а524х2 х4; (2) dt

,, = а65х5 + а66х6 + и2; dt

— = а77х7 + а78х8 + а729х2 х9; dt

dх8 тт2

—— = а87х7 + а88х8 + и1 ; dt

— а99х9 + а9 10х10 + а927х2 х7;

—— = а10,9 х9 + а10,10х10 + и2, dt

a33 — a

a34 — a

a43 — a

a44 — a

a425 — a

a524 — a63^(л^1) ;

a78 — a*

a729 — a^42/(^^2)? a 7 — a^87 ■

a88 — a

a99 — a,

a9,10 — a&

С системой дифференциальных уравнений (2) связаны следующие векторные поля:

/1 = а12х2

/2 = а235х3х5 _ а246х4х6 + а289х8х9 ~ а2,7,10х7х10 _ а200 ~ а220х2 ~ а222х2

/3 = ^33х3 + ^34х 4

/4 = а43х3 + аллхл + ал&)*хпхъ

X (х) —

* 44х 4

/5 = a55x5 + a56x6 + a524x2 х4

f6 — a65x5 + a66x6

f7 — a77x7 + a78x8 + a729x2 x9

/8 — a87x7 + a88x8

f9 — a99x9 + a9,j0x10 + a927x2 x7

/1<0 — a10,9 x9 + a10,10x10

Y1 —10, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0|T; Y2 —10, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0|T;

Y3 —10, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0|T; Y4 —10, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1|T.

Система уравнений (2) может быть преобразована к форме Бруновского только в случае, если инволютивны распределения M0, M1, M 2 для этой системы [12]. Поскольку векторные поля Y (i — 1, 4) постоянны, то распределение M0 — span{Y1,Y2, Y3, Y4} - инволютивно и размерность распределения dimM0 — 4 (Здесь span{Y1,Y2,Y3,Y4} -линейная оболочка векторов Yb Y2, Y3, Y4 ).

Проанализируем распределение M1 — span{Y1, Y2, Y3, Y4, LxY^ LxY2, LXY3,LxY4}, где LxYk (k — 1, 4) - производные Ли вдоль векторного поля Х векторных полей Yk (к — 1, 4). Производные Ли вычисляются следующим образом:

a** — a

Ьх¥к = [ Х,Ук ] =■

Ук = х

д/1 д/1 д/1

дх1 дХ2 дх10

д/2 д/2 д/2

дХ] дх2 дх10

д/1 о д/1 0 д/ о

дХ] дх2 дх10

■ук, к = 1, 4.

Непосредственная проверка скобок Ли [ X,, X^ ], где X,, Х^- векторные поля из множества {11, У,, 13,14,ЬХУЪЬХУ2,ЬХУ3,ЬХУ4}, и

ранга матриц Бг =||У2,У2,Уз,У4, ЬхУ1, ЗД, ЗД, ЗД,[Хг , Х] ]||

показывает, что распределение М1 не является инволютивным, однако все его подраспределения М1 = span{У2,У1,У3,У4, ЬХУк }, к — 1, 4, являются инволютивными. Поэтому дополнительные переменные или интеграторы можно вводить в любой канал управления. Однако введение одного, двух или трех интеграторов в любые каналы не позволяет решить проблему получения инволютивного распределения М1 для расширенной системы. Распределение М1 становится инволютивным только при введении одного интегратора в каждый канал объекта управления.

Для расширенной модели объекта управления введем следующие обозначения:

у, = ^ I=13; У4 = и1; и1 = ■dy4; У5 = х4; У6 = х5;

У7 = х6; у8 = и2; и 2 = ~78; у9 = х7; у10 = х8 ; dt

уи = и12; из = ^т1; Уі2 = х9; уіз = хю; у14 = и22; и4 = йуи

В этих обозначениях расширенная модель объекта записывается следующим образом:

— = Ф1 = а^; аґ

Лу2 _ 2.

—— = ф2 = а235у3уб - а24бу5у7 + а289у10у12 - а2,7,10у9у1 3 а200 а220у2 а222у2;

Му3 Му9

,, = ф3 = а3зУз + а34у5 + у4; , = ф9 = а77у9 + а7У10 + а729у2у12;

Му4 тг П Му10

= и1; ф4 = 0; ,, =ф10 = а87у9 + а8у10 + у11;

ау5 ау11 тг „

—5 = ф5 = а4ауз + а44у5 + а42^2уб; ~~ГТ = ^ ф11 = 0

аґ аґ

Дуб ау 12

, =фб = а55уб + а5бу7 + а524у2у5; ,, = ф12 = а99у12 + а9,10у13 + а927у2у9;

аґ аґ

ау7 ау 13

= ф7 = аб5уб + аббу7 + у8; =ф13 = а10,9у12 + а10,10у13 + у14;

аґ аґ

% = и2; ф8 = 0; % = и4; ф14 = 0.

аґ аґ

С этой моделью объекта управления связаны следующие векторные

поля:

У(у) = |ф!> ф2= фз. ф4. ф5. фб. фу5 фв. ф^ фю> фЦ’ ф12. ф^ ф^Ґ ;

У* = |0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0|т ;

У* = |0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0|т ;

У* = |0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0|т ;

У* = |0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1|т .

Поскольку вектора У; , У2 , Уз , У4 постоянны, то распределение

М0* = 8рап{У1*,У2,У*,У4} инволютивно.

Так как производные Ли вдоль векторного поля У векторных полей Ук (к = 1, 4) являются постоянными векторами:

* * дУ* дУ * . .т

ЬуУ1 = [У,У1] = —^У-У1 = 0, 0, -1, 0, 0, 0,0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ;

ду ду

Ьуу1 = [У ,У2*] = -дУ.У* = |0, 0,0, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0|т;

ЬУУ3* = [У,У3*] = -—У3* = |0, 0,0, 0, 0, 0,0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0|т; ду

ЬУУ* = [У ,У4*] = - д. У* = |0, 0,0, 0, 0, 0,0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 0|т,

то распределение М 1* для расширенной системы является

инволютивным.

Проверка инволютивности распределения М1 = 8рап{ У*, У*, У*, У4*, ЬУУ*,ЬуУ*,ЬУУ*,ЬуУ*,Ь2УУ-*, 1.,ЬУу*,ГУ.}, где Ь2УУк (k = 1,4) производные Ли второго порядка, показывает, что оно не является инволютивным. Однако инволютивными являются подраспределения распределения М2*:

М1 = Брап{. ,У*,У3 ,У*,ЬУУ1 ,ЬУУ1,ЬУУ*,ЬУУ4,ЬУуУ* };

М1 = Брап{. ,У2,У3,У4, ЬУУ1, ЬУУ2, ЬУУ3, ЬУУ4, ЬуУ**};

М32 = 8рап{у ,У*,У3 ,У4,ЬУУ1,ЬУУ.1,ЬУУ3,ЬУУ4 ,ЬуУ** };

М1 = 8рап{у , У*, У3, У4, ЬУУ1, ЬУУ*, ЬУУ*, ЬУУ4,1.У4 }.

Это оказывается достаточным для осуществления динамической линеаризации и получения системы линейных дифференциальных уравнений в форме Бруновского. На основании теории о линейных эквивалентах для нелинейных аффинных систем с т уравнениями [12], получим математическую модель объекта управления в форме Бруновского в пространстве "вход - состояние":

— = zi+2, , = 1Д3, , Ф 4, 8, 11; dt

-2л -2л л

—4 = v2; —8 = v2; —= v3; —14 = v4, dt dt dt dt

где \\] (] = 1, 4) - управления.

Поскольку модель объекта в форме Бруновского имеет четыре клетки, то необходимо определить четыре функции Tj (у) (] = 1, 4),

преобразующие переменные расширенной модели объекта управления в переменные модели в форме Бруновского:

*1 = Т\\(УХ 25 = ТгСу); 29 = Т3(у); 2^ = Т4(у).

Методика определения этих функций известна [8, 12]. В данном случае они являются однокомпонентными составляющими вектора У = (У\\, Уъ ■■■’У\\4). Из этих функций путем последовательного дифференцирования вдоль векторного поля

У = У + и1 У1 + и2 У2 + и3 У3 + и4 У4 можно получить выражения для определения соответственно 22, 23, 24 (из функции Т (у) ), 26, 21, *8 (из функции Т2(у) ), 210, 211 (из функции Т3(у)) и 213, 214 (из функции Т4 (у)). В качестве примера рассмотрим получение зависимостей для определения 22, 23, 24 с помощью функции Т1(у). Для исследуемого объекта управления имеем: Т1(у) = у1, поэтому 21 = у1. Дифференцируя функцию Т1(у) вдоль векторного поля У и учитывая, что 22, 23 и их производные не зависят от управлений, получим

—2, 14 -Т ( V)

Ш 1 = 1 -У;

— ;=1 -У;

= а12(а235У3У6 _ а246У5У7 + Я289У1^.У12 _ а2,7,10У9У13 _ а200 _ а220У2 ~ а222У2);

Ш ;=1 -У;

= а12[(_а220 _ 2а222У2)ф2 + а235Убф3 _ а246У7ф5 + а235Узф6 _ а24У5ф7 _

_а2,7,10У13ф9 + а289У12ф10 + а289У10ф12 _ а2,7,10У9ф1з].

Аналогичным образом могут быть получены соотношения для определения остальных переменных модели Бруновского. Параллельное моделирование объекта управления в различных режимах с помощью исходной математической модели и модели в форме Бруновского показали полное совпадение процессов в обеих моделях при разгонах и движении состава по перегонам, в режимах буксования.

Выводы. Таким образом, впервые средствами геометрической теории управления получена работоспособная математическая модель в канонической форме Бруновского, которая позволяет исследовать и оптимизировать процессы управления дизель-поездом в режимах разгона и ведения состава по перегонам с известным профилем пути с учетом параллельной работы двигателей и процессов буксования.

Список литературы: 1. Бауэр Х.П. Оптимальное использование сцепления на электровозе с трехфазным тяговым приводом /Х.П. Бауэр // Железные дороги мира. - 19В7. - № 8. - С. 10 - 23. І. Ohishi K. Adhesion control of electric motor coach based on force control using disturbance observer / K. Ohishi, Y. Ogawa // IEEE, Advanced Motion Control. - April, 2000. - P. 323 - 32В. 3. Тяговые и токовые характеристики электроподвижного состава с асинхронным тяговым двигателем / Омельяненко В.И., Калюжный Н.Н., Кулиш Т.А., Кривякин Г.В. // Проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта: Тезисы LXVI международной конференции. - Днепропетровск: ДИИТ, 2006. - С. 123. 4. Шапран Е.Н. Совершенствование микропроцессорных систем управления с высоким использованием сил сцепления / Е.Н. Шапран // Вісник НТУ &^Ш". - Xарків: НТУ &^Ш". - 200б. - N° 23. - С. 145 - 154. 5. Моделирование и оптимизация систем управления и контроля локомотивов / Носков В.И., Дмитриенко В.Д., Заполовский Н.И., Леонов С.Ю. - X.: XФИ "Транспорт Украины", 2003. - 248 с. б. Артеменко А.Н. Система автоматического выравнивания нагрузки тягового электропривода карьерного электровоза / А.Н. Артеменко // Вісник Кременчуцького державного університету ім. Михайло Остроградського. - Кременчук: КДН ім. Михайло Остроградського. - 2010. - Вип. 4. - Частина 3. - С. 5б - 5В. 7. Притула М.Г., Шпакович Р.Р. Моделювання та розрахунок оптимальних параметрів руху поїздів // Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології. - 2007. - Вип. 5. -С. 139 - 145. S. Дмитриенко В.Д. Синтез оптимальных законов управления тяговым электроприводом методами дифференциальной геометрии и принципа максимума / В.Д. Дмитриенко, А.Ю. Заковоротный // Системи обробки інформації. - Xарків: XУПС. -2009. - Вип. 4 (78). - С. 42-51. 9. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 5-ти томах. Т. 4: Теория оптимизации систем автоматического управления / Под ред. К.А. Пупкова и И.Д. Егунова. - М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 744 с. 10. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 5-и томах. Т. 5: Методы современной теории управления / Под ред. К.А. Пупкова, Н.Д. Егунова. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 784 с. ll. Дмитриенко В.Д. Линеаризация математической модели привода методами дифференциальной геометрии / В.Д. Дмитриенко, А.Ю. Заковоротный // Вісник НТУ "Xm&&. - Xарків: НТУ "Xm&&. - 2007. - № 19. - С. 64 - 77. 12. Краснощёченко В.И. Нелинейные системы: геометрический метод анализа и синтеза / В.И. Краснощёченко, А.П. Грищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. - 2005. - 520 с.

УДК 621.9.01

Математична модель у формі Бруновського для дослідження та оптимізації електроприводу з урахуванням паралельної роботи двигунів / Дмитрієнко В.Д., Заковоротний О.Ю., Нестеренко А.О. // Вісник НТУ "Xm&&. Тематичний випуск: Інформатика і моделювання. - Xарків: НТУ "Xm&&. - 2011. - № 3б. - С. б1 - 70.

Виконано за допомогою геометричної теорії керування синтез лінійної математичної моделі тягового асинхронного електропривода в просторі "вхід-стан". Отримана модель у канонічній формі Бруновського дозволяє досліджувати й оптимізувати процеси не тільки розгону й руху рухомого складу із заданою швидкістю, а й процеси буксування. Бібліогр.: 12 назв.

Ключові слова: геометрична теорія керування, модель тягового асинхронного електроприводу, модель у канонічній формі Бруновського.

UDC б21.9.01

Mathematical model in form Brunovsky for research and optimize of electrical drive with parallel operation of motors / Dmitrienko V.D., Zakovorotnyi A.Y., Nesterenko A.O.

// Herald of the National Technical University "KhPI". Subject issue: Information Science and Modelling. - Kharkov: NTU "KhPI". - 2011. - № 3б. - P. б1 - 70.

Done using the geometric theory control synthesis of linear mathematical model asynchronous electric drive in the space "input-state". The resulting model in canonical form Brunovsky can research and optimize not only the acceleration and movement of rolling stock with a given speed, but also the processes of slipping. Refs.: 12 titles.

Поступила в редакцию 14.07.2011