Интегральные средние производных локально однолистных функций Блоха

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 7, 2000

УДК 517.54

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СРЕДНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ЛОКАЛЬНО ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ БЛОХА

В. В. Старков

В этой работе доказано, что интегральные средние 1 Г2п 1

Ip{rJ,) = ¿У0 Р^2&ге [М)’

производных функций Блоха / в единичном круге могут расти при Т —У 1_ не медленнее, чем Cfc(l— r)1^2~P(— log(l— r))k J Ск = const, причем к здесь — любое натуральное число.

Если функция (p(z) аналитична в круге А = {z : \\z\\ < 1}, то ее интегральным средним р-го порядка (р > 0) на окружности радиусом г Е (0,1) называется число

Например, в классе S однолистных и регулярных в А функций g{z) = z + ... известна неулучшаемая оценка [1]:

Ip{r,g&) = 0( _r^3p-i) при р > 2/5.

Эта работа является переводом с английского языка статьи, ранее опубликованной в журнале Ann. UMCS. Sec. А. 1999. V. 53. Р. 217-237.

© В. В. Старков, 2000

Поскольку произвольные функции класса *5 удовлетворяют точному неравенству \\д&{г:)| < (1 + И)(1 — И)_3> ^ £ А, то в рассматриваемом случае можно говорить о падении на 1 порядка роста интегральных средних по сравнению с порядком роста производных класса *5.

Говорят, что аналитическая в А функция / принадлежит классу Блоха В, если она имеет конечную норму Блоха

||Л|6 = |/(0)| + 8ир[(1-|г|2)|/&(г)|]; из этого определения функций Блоха вытекают точные оценки

Для самих функций Блоха тоже наблюдается падение порядка роста в результате интегрирования по окружности, поскольку (см. [2, 3])

, г —> 1. Однако для

производных функций Блоха подобное свойство уже не имеет места. Из [4, теорема 4], в частности, следует,что существует функция / Е В, для которой

здесь с = с(/) — положительная постоянная.

Обозначим В& подкласс класса В, состоящий из локально однолистных функций. К необходимости исследования /р(г, /&), / Е В&, приводят некоторые задачи комплексного анализа (например, задача

В этой статье для любого А: = 0,1, 2,... и любого р > 1/2 строятся примеры функций ^ Е В&, для которых

Ш*1*) > (1 ^¡Г-1/21р£/,:з~г7» 1>г>^(р)>о,

где с(к,р) — положительные числа, не зависящие от г. Это построение опирается на 2 леммы.

Для М > 0 обозначим Вм = {/ Е В : ||/(г) — /(0)||# < М}.

Лемма 1. Если / Е Вм, ^(¿) —аналитическая в А функция, \\ш(г)\\ <

Доказательство. По лемме Шварца (см. [6, с. 319-320]) для z е А

W{z)\\ < 1 ■ Поэтому

т. е. ||F(z) — F(0)\\\\ß < ||f(z) — f (0)||# и F Е Вм• Лемма 1 доказана. □

Лемма 2. Пусть 7 = {7(0) = г(6)егВ : в Е [—7г, 7г]} — замкнутая кусочно гладкая кривая из А, симметричная относительно вещественной оси, причем г (О) > 0 и монотонно меняется на [0,7г] от Го до г° > го- Если / регулярна в А и \\f(z)\\(l — \\z\\2) < 1 в А, то при X > 1

\\f(*W\\dz\\ >

[ \\f(z)\\x\\dz\\ - -^-((1 - г0)1“* - (1 - го)1^)

J\\z\\=r0 А“1

При А = 1

[\\f{z)\\\\dz\\ > f \\f{z)\\\\dz\\-4V2r0log^—

Л V 2 Уы=гп 1 - ^

/7 V ^ |г|=го

Если /(г) / 0 в А, то при Л Е (0,1)

[ \\т\\х^\\ >±[ |Д*)|ЛН«&Т V * «/ |^|=г*о

-4лО-(1-+л)Л)[(1 “ Го)1“Л “(1 “ Г°)1_Л) “(1 “ л)(г° “Го)]Доказательство. Не нарушая общности, можно считать, что г (в) возрастает на [0,7г]. Иначе можно перейти к рассмотрению интеграла

/\\f(—z)\\x\\dz\\^ где кривая —7 имеет параметризацию —7(в). Рассмотрим разбиение отрезка [—7г, 7г] на 2п равных отрезков: 0 < во < 0\\ < ... < 0П = 7г, 0 = б^о > #-і > ... > #_п = —7г. Обозначим 7^- = г(^), ^ = —п,... ,п; 7^- возрастает с ростом |^|. Рассмотрим замкнутую кусочно гладкую кривую 7^), образованную дугами окружностей

{г = гуе*61 : в Е [б^-і, 6^-]}, ^ = -п + 1, -п + 2,..., п,

и отрезками радиусов

{г = ге10!-1 : г Е [гу-ьГ/]}, ^ = —п + 1, -п + 2,..., п.

Обозначим = 0j —Qj-ъ Аг^- = |г*— г^_ 11, 2^ = rjeгвj, ^ = — п + 1, —п + 2,... , п,

Н = {ге<в е 7(п) . в е [0,._ь0,.]}.

Теми же символами 7,7^, 7?, 7}”&& будем обозначать соответствую-щие длины кривых. Из равномерной непрерывности \\/^)\\х в круге К = {г : \\г\\ < г0} следует, что для любого £ > 0 существует такое г] = 77(г) > 0, что для любых 2/, г" Е К, — 2/&| < г] выполнено неравенство

||/И|Л-|/Ю|Л|<г. (2)

Поскольку л/2|^т(^)| > \\с1г(6) \\ + г(6)с№ при в Е [ —7Г,7т], то для любого фиксированного 6 > 0 и достаточно больших п

(6 + 4/2)7,- > Аг^ + г^Ав^ = 7 - , ^ = -п + 1,..., п.

При достаточно большом п диаметры кривых 7, и 7.|п) станут меньше г]. Отсюда, учитывая формулы (2) и (3), получим:

(6 +у/2) [\\/(г)\\х\\<1г\\- [ |/(^)|ЛН =

«/ &у «/ &у(тг)

j=l — n

= [(6 +у/2)|№)|л-№)|а)|^|-|№)|а-|/(^)1л)1^|+

+ («5 + 72)|/(^)|АЪ- - |/(^)|А7]п)] > —£[(\\/2 + <5)7 + 7(п)]-При этом можно г взять таким, чтобы последнее выражение было

больше, чем — <5(л/2 — 1) / |/(;г:)|л|бЬ|. Следовательно,

«/&•у «/ &-у (п)

Для параметра t Е [0,1] рассмотрим семейство кривых 7(п, =

= {Ьх : х Е 7^)}; 7(п, 1) = 7^п^, 7(п, 0) = 0.

[ \\!(г)\\Х\\<1г\\ =

«/ 7(п,£)

= * Е / 1/(‘г)е’Т^+- / |/(ге"&-‘)|А|<*г| >

\\Л-1 * /

><г»Е 1/(^е*)|Аг,чЮ+— / |/(ге^-)|ЛМг| =

= *Г0Х ^ / |/(^ег(,)|лсй> j=l-n

- Г - [ Г’ \\Нге**-&)\\х~^{ге**-&)^

«/О Jтrj-l О" ^

+*’■» Ё /‘Я Г’ |/<^-)|л-1ж(ге“&_,)т!

^=1-п 0 |/тг;’-1

+ £ / |/(ге<в>-0|А|^г|.

Первую из последних 3 сумм обозначим /(£). Слагаемые 2-й и 3-й сумм при t = 1 обозначим Bj и Aj соответственно. При этом

т=С~ Ё [Г \\ПТГ^*)\\Х-^{ТГ^*)ТГ У° Т 7=1-« Л-1

СІТ ) +

(¿Т+

■ Г’ | Дге^-1) IА_1 ^ (ге^-1)

Утверждение леммы очевидно, если / = 0; далее будем считать, что это не так. Тогда функция может иметь лишь конечное множество нулей в круге К. И можно считать, что при фиксированном п существует конечное множество кривых 7(п, ¿), на которых могут лежать эти нули (в противном случае вместо /(2) рассмотрим /(^е*7) при малых 7 Е М). Далее рассматриваем те значения £ Е [0,1], для которых кривые 7(п,£) свободны от нулей функции /(г).

Для z = гегв Е 7(n,t) обозначим Ф(^) = arg f(z). По условию Коши—Римана

If! д±__М

г дг ^ дв ’ Г ^ дг дв &

Поэтому из (6) получаем:

Г \\f(tr3e^)\\xd<S>(tr3e^)

\\ п &&(п = т Е

/rrj д pb

\\f(rei$>-&)\\xd<f>(rei$>-i) = -/ |/(7(0)|A^(7(0)

rj — i ^ J a

где 7(^) — использованная нами кусочно гладкая параметризация кривой 7(п,£), задающая на 7(п,£) положительное направление обхода; параметр £ меняется на некотором отрезке [а, Ь]. Обозначим

£ = £(£) = ж(£) + *2/(0 = 1/(7(0)1Л/2е®ф(т(*)),

тогда

= |/(7(0)1а^(7(0).

и по формуле Грина

V(t) = — [ xdy — ydx = ^5(n, t),

где 5(п,£) — площадь поверхности (вообще говоря, не однолистной), на которую функция

Г |/(z)|A/2ei<i>(z) при f(z) ф О,

отображает компакт с границей 7(п,£).

Обозначим

r0tl(t)=r0ti \\f(rote%e)\\xd0 = j \\f(z)\\x\\dz\\.

J — 7Г J \\z\\=V()t

Аналогично предыдущему

I&W = A/:,, |/(roiei0)|A-1^(roiei0)rod0 =

|/(г„іе*в)|А<ІФ(гоіе*в) = —Б(г0і),

где 5(го£) — площадь поверхности, на которую функция (7) отображает круг {г : \\г\\ < го£}. Поэтому неравенство /&(£) > Х&(£) справедливо для всех £ Е [0,1], исключая, может быть, конечное множество значений Отсюда и из непрерывности /(£) и Х(£) в [0,1] получаем:

/(1)-1(0)>Х(1)-Х(0).

Но Х(0) = /(0) = 27г|/(0)|л, т. к. при достаточно малых г величина

< С — сопві:

поэтому из условий Коши—Римана

Л) т об Г

г г і оф /»£

- ІДге^-1)^ —(ге^-^гсгт <с (Гі-Гі-і)<і«/о Т 1 «/о

Последний интеграл стремится к 0 при £ —>• 0. Следовательно, /(1) > Х(1). Тогда

.7 = 1 —п

\\№\\Х№\\ > г„1( 1) + ^ (^ + В5) > г„Х(1) + 5] в5 =

,(") ¿=1-п п

= \\т\\х№\\+ х; *

«/И=г0 „-_1 „

Заметим, что

.7 = 1 —п

<9<? 89

< !*/&(*)! <

(1-Й2)2

(см. [7]). Поэтому для получения оценки \\В^ достаточно оценить

,1 Л ГТР2

Г X ГТр2

= Го - |/(гегвз&-1)|л_1|/&(гегвз&-1)|сЫт, 0 < Р1 < Р2 < 1.

«/О •/грі

Из условия леммы 2 следует, что

[1 Л ГТР2

& Л Т Л

В < г0

ТР! (1-г)А + 1 1 1

сМт =

Обозначим </?(£) подинтегральную функцию и разложим ее в ряд по степеням t.

<р(*) =ЦР2-Р1) +

А(А + 1) (^2 \\ Ч*+ № + *),* „Зч+2

Радиус сходимости ряда больше 1, поэтому

( ч , Л / ч А(Л + 1)... (А + к — 1) р2 — р1

ф)(И = \\(р2 ~ р1) + • • • + —----------------------------------- 2 7 1 + . . .

Р% - р\\ _ Рк2-р1 к+ 1 < 2 р\\+1-р\\+х

к к + 1 к Следовательно, если А > 1, то

/*(,)Л 5 МГГТ)

А: + 1

(А - 1)Л... (Л + к - 1) к+1 *+1ч

+ {к + 1у_ (р2 Рг ) + ■■

р2{\\~ 1)

X [((1 - р2)1~х - 1 - (Л - 1)/>2) - ((1 - Р1)1~Х - 1 - (Л - 1)/?1>] <

Р2 (А - 1)

((1 Р2)~ (1 Р1.) )>

\\В\\ < 4г0 [ ф{Ь)(И «/о

Поэтому

Р2(Х~ 1)

= п((1_г) (1_Го)

и из (8) имеем:

[ \\f(z)\\x\\dz\\ > [ \\f(z)\\x\\dz\\ - - г0)1^ - (1 - го)1^).

J j(n) J | z | — Т*о

Тогда из (4) получаем, что

[\\f{z)\\X\\dz

dz I >

^(Ь) |№)|>|<Ь| - Г5!«1 -r0)1" -(1 - Г”)І_Л)

В силу произвольности положительного 6 отсюда получаем утверждение леммы при Л > 1.

Если Л = 1, то

Поэтому

J ip(t)dt = log п

А В < 4r0 log ^. Р2 1—^2

<8г01о6^—и

[\\f(z)\\\\dz\\> ~^= f \\f{z)\\\\dz\\-4\\/2rolog^—

Ут V 2 У|г|=г0 1 - г°

Пусть теперь Л Е (0,1) и f(z) / 0 в Д. Тогда функция /л(^) = = fx(z) аналитична в А, \\f\\(z)\\(l — \\z\\2)x < 1. А для таких функций K. J. Wirts [7] доказал, что \\ffx(z)\\(l — |z|2)A+1 < 2(А + 1). Поэтому

Г1 1 Гт Р2

Го / - Шге16’-11drdт < 2г0(Л + 1)х

«/О •/трх

^ 1 Гр2 drdт 2г0(Л + 1) />11г/1 . л . д. ,

В качестве оценки последнего интеграла, как и в случае Л > 0, получим величину

р2( 1 - Л)

((1-pi) - (1 - р2) + (1 - \\)(pi - Р2)),

((1 - Р1у-Х - (1 - р2у-х + (1 - Л)(Р1 - р2)).

Поэтому

Тогда из (4) и (8) получаем, что

_(1_гО)1-А_(1_Л)(гО_Го)) _

Отсюда, в силу произвольности 6 > 0, получаем утверждение леммы при Л Е (0,1). Лемма 2 доказана. □

Замечание. Лемма 2 остается справедливой и в случае монотонности г{0) в [6М°] и в [#°, #о + 27г]. Она очевидным образом обобщается и на случай /¡^-кусочной монотонности непрерывной функции г (О); при этом в случае Л > 1 коэффициент 16/(Л — 1) из леммы 2 нужно заменить на 8к/(\\ — 1), аналогично и для Л Е (0,1].

как |с<;| < 1 в А, то можно определить аналитические в А функции

Теорема 1. Определенные формулой (9) функции ^ еВ2П В&. Для любого к = 0,1, 2,... и любого р > 1/2

Обозначим /(г) = к^(1 — х) Е #2,

= / о и, ^ о о;, к Е N.

при 1 > г > рк(р) > 0;

при р > 1

р—1/2

О < с = с(р) = inf [(1 - г)1~р / |1 — relt\\~pdt\\, ро(р) = 1 /л/2.

При ре (1/2,1]

п \\ Ф,Р) /п \\ Ф)е

(10-\\/7r)fefc! ’ ’ 3(27г)2 Р(2р— 1) ’

(р)= inf Г dt > О. ге[0,1)У0 |1-гег*|Р

с(0,1/2) 1-Jb+1 1

При р = 1/2 имеем: I1/2(r, F&k) > (10^( + 1), 1о§

с(0,1/2) определяется той же формулой, что и при р Е (1/2,1].

Доказательство. Из определения функций F*. следует, что все они из Б&. Из леммы 1 вытекает, что .F Е В2 для любого к, так как

log(l - z) е В2N

Для натуральных 7V положим гдг = —^====. и ¿дг = arccos гдг. Тогда

Re 1 + rNeiS- = 1 -г% = г

l — rweiSN 1 — 2гдг cos(5at + r2N

Для целого m E [0, TV] обозначим через ¿m E [0,7г] решение уравнения

Im --------= ------------------7Г- = ¿m.

Оно приводится к квадратному уравнению относительно 7 = cosám:

Из этого уравнения получаем:

Введем еще одно обозначение

а) к = 0. В принятых обозначениях

/р(глг,^о) = ^ Г Шгм^)\\Р(И = - Г >

^ У-7Г ^ Уо

>1Е Г \\г\\фиеиж\\фпе^)\\

К Л™

(1 — Гдге^)2

Заметим, что при £ Е [¿т, ¿т-1] |1 _ Гдге^| < |1 — гдгег(5т_11 и на этом

отрезке Я^) = |с<;(гдге^)| > Ят = е_7ГЖт, кроме ТОГО,

|1-ы(г^)| = |1-Д(«)е<в<*>| < |1-Лте^«| + (Д(г)-Дт) < |1 - Кте* I + (1 - ЙП.) < 2|1 - Дте^|.

Отрезок [¿ш,£ш_ 1] Э £ отображается посредством с<;(гдге^) в один виток спирали с<; = Я^)егВ^ = р(6)егВ, # Е [—27гш, — 27г(ш — 1)], при этом р($) возрастает от Ят до Дш_1. Элемент длины этой спирали |е£а;| = |с?(р(#)ег6,)| не менее элемента длины |с?(Дтег6,)| окружности {|о;| = Ят}- Учитывая все вышесказанное, получим, что

^Аг/р(гдг,Ео) > ~ —

(2тг)р-1Д^-1

-гме*™-і|2(р-і)2р У|Ы|=

Поскольку при р > 1 (см., например, [8, с. 157])

[ Ьш\\=Ят Iі

■и)\\Р

и(г) = (1 - г)?-1 —

гегі\\р Г—>1

^гГ-^г©,

то и (г) > 0 и непрерывна на [0,1] (и(1) = л/пГ

©>■

Поэтому и (г) > с > 0 при г Е [0,1]. Следовательно,

Г7гР~2 ИР

гм1р(гм,Р0) > —— £ —

Для всех целых т Є [О, АГ]

хт—і _ 4(то - I)2 + 1 2ДГ2 + 1 + 7(27У2 + I)2 - (4т2 + 1) _

жт “ 4то2 + 1 2ЛГ2 + 1 + д/(2ЛГ2 + I)2 - 4(т - I)2 - 1 ~

Поэтому

|1 — Гдгб^-1 |2 1 — ГДГ 1 — ГАГ Ю

^Аг/р(гдг, Ео) >

Из возрастания по г Е [0,1) интегральных средних /р(г, у?) для любой аналитической в А функции (р (см., например, [9, теорема 3.1]) следует, что /р(г, Е0) > /р(гдг,Ео) Для г Е [гдг, глг+1]. Поэтому для Г Е [гаг,гдг+1]

св &____________1 х ~ 1 АГ+1

.2 \\ Р-!/2

при N > 1. Из произвольности натурального ТУ вытекает справедливость неравенства (11) для г Е [1/л/2,1)Ь) Пусть утверждение теоремы доказано для некоторого целого к > 0, т. е.

^ (1 _ г2*Р-1/2 106* ГТ72 ПРИ 1 > Г - Рк £ (0,1)& (12)

Докажем справедливость этого утверждения теоремы для к + 1.

При ш = 1,..., ТУ обозначим Ьт =

— \\ujivj\\fC ) . £ Е [$т, бт-г]} , 1/—ГП — \\ujivj\\fC ) . £ Е [ $т, $т—1]}5

гм1р{гм,Р&к+1) > ^ Е / т1 \\П+Лгмен)\\р(И =

га=ЛГ ^т

Г Е [6т~1 \\К[ш{гм^)]\\р\\ш&{гмгг)\\р-1\\<1ш{гмеи)\\ >

— > 7---------Г7-Г^Т 77 / ^(а;) р еЦ >

|1 - глге*« 1|20»-1) У£ти£_т

Т53(*тДт)г’-1 / 1КМН<М>

т=1 •/ГгаиГ^

> 2?Г 1

(2тт)р~2 М

(27г)р-2л/2

./V / т=1

ор+4

-------г((1 - Дт-1)1“Р - (1 - Дт)1“Р)],

так как по лемме 1 функции ^ Е Ве, т. е. |^(г)|(1 — |^|2) < 2 при я Е А.

Поскольку 171 1 > — при целых т Е [О, ТУ], то Хщ

Хт < 10жт_1 => 7г(жт - Хт-1) < 97ТХт-1 < $(е*Хт~1 ~ 1) =>

^т-1^"(^т т — 1) ^ 9(1 -^т —1)

< 10.

Поэтому (см. (12)) при Ят Є (р, 1)

гр(Дт, *£) - —((1 - Дт-1)1_р - (1 - дто)1_р) >

— ((1 - - (1 - Дто)1_р) =

= (1-Д:

&2 \\1-и

■ 1о§

ТГ^дГ 08 ГТйГ -і

если Ят достаточно близко К 1, Т. е. Ят > 1 — £к > рк, ^ (0,1).

Хт < ~ ---------7Г 1 - £к

= 2ї?І (0 < щ < 1)

последнее же неравенство выполнено при т < N^1 если N > 1/(2^). Далее будем считать N достаточно большим (ТУ > 2/^), тогда для 1 < т < Мг]к выполнено неравенство (13). Поэтому при N > 2/г]\\

гнІр{гМіР&к+1) >

жр хск

тр- 1 /?р , 1

___ \\ Л т т ]ор- ______

-1 А (1-і?2 )Р"1/2 8 1-,

^25Р-і(1 _ г2^)Р-1 ^ (1 - в?т)

Как отмечено выше, 1 — Я^ < 2/КХгп ДЛЯ всех Ш, кроме ТОГО, Ят >

ги!р{гм,Р&к+1) >

Ск(1 — £к)Р

Поскольку жт растут с ростом ш, то слагаемые последней суммы убывают по т (можно считать г]к достаточно малым числом, тогда 47ТХт < 1). Поэтому

Ги1р{гм,Р’к+1) >

Ск(1 - £к)р

В этом интеграле сделаем замену переменной

МГ1к 1 к 1

--------(1т.

Хт 2&КХп

(2Ы2 + 1)м 4ш2 + 1

(2ЛГ2 + 1)2’ (2ЛГ2 + 1)2

тогда 2т = у/(27У2 + 1 )2и — 1 < (27У2 + 1)л/й и с1т = -------------——с1и >

Гщ 1 , к 1 ,

/ , ^ ------(1гп >

«/1 у%гп 2тгхгп

у/1 + л/Ь1« 27У2 +1 * 1 + Л/1^й

> 1а \\Zi2N2 + 1)и ^у/й 10§ 27г(2ЛГ2 + 1)и^И >

У2ЖТ1

Т2^ТТ ,+1

А ь 2тг(2ЛГ2 + 1)и и =А

к+1 27У2 + 1 _ 10р.^+1 27У2 + 1

у/Ш*ТТ к+1 4^ + 1 - 4(* + 1) 8 5

так как при a>b>OиkeN верно неравенство ак — Ьк > (а — Ъ)к. А поскольку N взято достаточно большим (N^1 > 2), то

^ 1 , * 1 , +1, к+1 —7

: ^ ----(1171 > ——--------------—- ^ V ТУ2 + 1 =

Хт 27ГЖт 4( -|- 1)

І-’-»

Таким образом, для достаточно больших номеров N

Т ( т-1/ \\ \\ ^^(1 к)Р 1 -1 /г+1 1

гдг/Р(гдг,^+1) > 8^10Р-1( + 1)2^+1 (1 _ г^р-1/2 ® 137^

Если теперь г £ [гдг,глг+1], ./Ут^ > 2, то

г\\Гр(г,^+1) > г^/р(глг,-^+1) >

Ск{1-£к)Рс& 10® 1 ,

- 8^10Р-Цк + 1)2*+1 (1 - г2)*"1/2 ’

„2 \\ Р-1/2 / „2 \\ \\ *+1.

&ЛГ+1)У щ~1’0

, „ ч • (1~г%+1у~ч* ( \\оф-г%) *

С = С (щ) = ШШ —-------о 1--Тл---2--- • -^ !•

Л^>2/^ V 1 - Г% ) V 1(^(1 - Г%+1,

В приведенных рассуждениях Ей И Г]к можно взять сколь угодно близкими к 0, поэтому можно считать, что с&{щ){1 — £и)р > 8/10. Тогда

Ск 1 т _ к+1 1

Ір{Г^к + і)> г-іп„а , 1\\0+1 (Л „2\\ю-1/2 ^

при г, достаточно близких к 1, т. е. при г > р+1 > 1/2.

Это завершает доказательство теоремы в случае р > 1.

При t Е [imjim-i] справедливы неравенства |с<;(гдге^)| < Rm-ъ |1 — гдге^|-2 < |1 — г^ег6т\\~2 = -—~~2~• Поэтому аналогично случаю

р > 1 получим

TN p(rN, о) _ 27r2_p Е (xmRm-i)1~P JH=Rm |1 При 0 < р < 1

( \\- [2п dt ^ [Зп/2 dt ^ Ж 7Г

Jo |1 - геЙ|Р “ Утг/2 |1 - гей|р > (1 + г)Р ^1 2Р&

Поэтому с = с(р) = inf и (г) > 0. Следовательно,

rNIp(rN,F^) > - rjf)1 р 53 хш 1 >

Л Жт ^

После замены переменной (14) в этом интеграле и Е [-4,-В] = 5 4АГ2 + 1 1

получим при 1 / 2 < р < 1 :

(2N2 + I)2’ (27V2 + I)2

Г 4^ > (2ЛГ2 + 1)р ¡\\р-учи > (^2 + 1)%Р-у2 =

J1 а£гр “4 JA ~ 2(2р - 1)

_ (27V2 + 1)Р г^“1/2 + о(1) _ V2iV2 + 1(1 + о(1)) _

“ 2(2р-1) (2N2 + 1)р-1/2 _ 23/2-Р(2р- 1)

здесь о(1) —У 0. Если же р = 1/2, то при достаточно больших N

N—Уоо

dm V2N2 + 1, 4N2 + 1 V-/V2 + 1

h x]l2 4 5 " 2^2

>V" log log xZ/V^+T =

Следовательно, при достаточно больших N > N0

се~п 1

глг/р(глг,^о) > 2{2тг)2~Р(2р - 1) (1 - г’ 1 > Р > 1А

се~п 1

Г~7&(Г~&^)г2(2^1оеТЗТ5/ Р = 1/2&

Если теперь ТУ достаточно велико и г Е [глт,Глн-1], т0 подобно (15) будем иметь при р Е (1/2,1] :

се—7Г 1

/г,(г’^°) - /р(ГАГ’^°) - З(2тг)2-Р(2р - 1) (1 - г2)?-1^ ’

Л/3(г.Ч)>^^1о6;г^. (17)

Следовательно, (16) и (17) выполнены для 1 > г > ро(р)Предположим, что для некоторого целого к > О справедливо утверждение теоремы, т. е. выполняются неравенства

/ 1 N *+1

Л/2(г,П) > с*(1/2) (19)

при 1 > г > рк(р)- Докажем справедливость утверждения теоремы для номера к + 1. Как и выше,

/ 1КГо;(г„еи)11р. &Т4&>

(^,^+1) >¿5: г1 |^^(г„е^)]г-^ш(глгег<)|

о л^—р Е(д—іж-)р_1 / і^мгмч

^ & =1 «Угтиг^

Поскольку ^ Е В&, то к интегралам по Гт и применима лемма 2; использование (1’) при г о > Дт, г° < Дт_1 приводит при 1/2 < р < 1 к неравенству

[ I№)П^| - ЩЦ((1 - л™)1-&1 - (1 - й™-!)1-")

^\\ш\\=Ят Р\\^~Р)

а при р = 1 — к неравенству

Т ( ч л/2 /* . ^# / ч.. , . ~ ~ , 1 — Яп

гк11(гк,Рк+1) > тг- 2^

[ |^)||^|-8Дт1о8-^

У|а;|=Дт -Кт — 1

Из (18) и (19) следует, что при 1/2 < р < 1

\\[ |^&Н||^|--81оё10>0,

гм > 1 Г2 \\7_р ^2 53 (Дп,-!^^-1^^,^). (20)

если Ят > рк(р) и Ят ДОСТаТОЧНО близки К 1, Т. е. Ят > 1 — £*., £ = = £к(р) Е (0,1). Как и раньше (см. пункт 1)), это означает, что 1 < ш < N1г]к = г]к (р) Е (0,1); считаем ТУ достаточно большим (А/^ >

> 2). Выше показано, что ------ т < 10 при т Е [0,А]. Следова1 — Ят-1

тельно, для N >2/г]1 ит Е [1,УУ?7] выполняется неравенство

(1-г^)1-^

При 1/2 < р < 1 отсюда и из неравенства 1 — Я^ < 2/кхгп получаем:

г / ТР/ \\ \\ ск{р){^ — Тдг)1 р (^т-1Жт)Р 1 Д 1 ^

Г„!ГЫ*М)> (2г)Е (1оеТТЩ:) *

> Й <1 / И& >

- (2ж)1-рУ2(2тг)р-1/2 ^ х^-1/2 \\ 2тгхт) ~

Последняя сумма в (21) того же знака, что и сумма в пункте 1, Ь); поэтому при N > 2/г]1

__________10„к+1 _ 1

г%)р-&/2 8 1 - г% ■

ГАГ/р(Г^’^+1) - 80Г( + 1)(1 - г|,)Р-1/2 10ёК+1 1 _ г2 •

Если теперь г Е [гдг,гдг+1], N^1 > 2, то, как и прежде (см. (15)), получим:

г ю гЬ- (22)

если N достаточно велико. Это означает, что (22) выполнено при г, достаточно близких к 1, т. е. 0 < рк+\\{р) < г < 1. Тем самым доказано утверждение теоремы в случае 1/2 < р < 1.

При р = 1/2 из (20) получаем:

Г*ЫГК,ГШ) > ^щ- >

Опять получили сумму того же вида, что и в (21). Поэтому при N > 2/4

<*(1/2) ,^+2 1

глг/1/2(^,^+1) > 80F(fc + 2)

Отсюда, как и раньше, следует справедливость неравенства

Т (г F& ) > (1/2) inp.fc+2 1

при г, достаточно близких к 1. Это доказывает теорему в случае р = 1/2. Теорема доказана. □

Идея построения функций Fk восходит к работе [10]. В нашей статье изучаются линейно-инвариантные семейства Ыа локально однолистных функций h(z) = z + ... порядка а (см. [11]). Для h Е Ыа

(1 + Ы)а_1

доказано ([11]) точное неравенство: \\h&(z)\\ < —------- |)a+i ’ Z ^

Поэтому

heua =*• h1 = (f&)a+1, f€B; (23)

и для функций / Е В&, определенных посредством (23), Ia+l(r,f) = = Ii(r,h&). Для h G Ыа в [12, с. 182, задача 5] имеется оценка:

h (r5 h&) < с(1 — r)~1/2~VQ!2~3/4~g7 с — const, £ > 0 сколь угодно малое. Поскольку a + 1/2 > 1/а2 — 3/4 + 1/2 = а + 1/2 + 0(1/а), а —>• оо, то здесь в результате интегрирования |//|а+1 происходит падение порядка роста Ia+1(r, /&) по сравнению с ростом

max \\h&(z)I = max \\f&(z)|а+1

больше, чем на 1/2. Естественно, возникает

ЗАДАЧА. Существуют ли функции / Е В&, для которых /р(г, /&) имеет больший порядок роста, чем указанный в теореме? Для р > О определить

inf{/3 > 0 : 1р(г, Л = 0((1 - г)-/3) V/ е В&} = /3(р).

В заключение я благодарю профессора М. Anderson’a и профессора D. Girela за обсуждение результатов статьи и за информацию о некоторых работах в этом направлении.

In this paper we give examples of locally univalent Bloch functions /*.,( = 0,1, 2,...), such that for p > 1/2 the integral means

Ip(rJf) = ^ J I re [0,1),

behave like (1 — r)1^2_p(— log(l — r))k for r 1~.

Литература

[1] Feng J., MacGregor Т. H. Estimates of integral means of the derivatives of univalent functions // J. Analysis Math. 1976. V. 20. P. 203-231.

[2] Clunie J. G., MacGregor Т. H. Radial growth of the derivative of uniwalent functions // Comment Math. Helv. 1984. V. 59. P. 362-375.

[3] Makarov N. G. On the distortion of boundary sets under conformal mappings I/ Proc. London Math. Soc. 1985. V. 81. 3. P. 369-384.

[4] Girela D. On Bloch functions and gap series // Publications Matemati-ques. 1991. V. 35. P. 403-427.

[5] Pommerenke Ch. On Bloch functions // J. London Math. Soc. 1970. V. 2. No 2. P. 241-267.

[6] Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966.

[7] Wirts K. J. Uber holomorphe Funktionen, die einer Wachstumsbeschränkung unterliegen // Archiv der Mathematik. 1978. V. 30. No 6. P. 606-612.

[8] Magnus W., Oberhettinger F., Soni R. P. Formulas and theorems for the special functions of mathematical phisics. 3rd edn. Berlin: Springer, 1966.

[9] Хейман В. К. Многолистные функции. М.: ИЛ, 1960.

[10] Starkov V. V. Directions of intensive growth of locally univalent functions

II Complex Anal, and Appl.’87. 1989. P. 517-522.

[11] Pommerenke Ch. Linear-invariante Familien analytischer Funktionen. I// Math. Ann. 1964. Hf. 155. P.108-154.

[12] Pommerenke Ch. Boundary behaviour of conformal maps. Berlin; Heidelberg: Springer—Verlag, 1992.

Петрозаводский государственный университет, математический факультет,