Математическое обоснование масштабируемой модели рельефа: классификационный подход

УДК 519.652 П.А. Ким

ИВМиМГ СО РАН, Новосибирск

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАСШТАБИРУЕМОЙ МОДЕЛИ РЕЛЬЕФА: КЛАССИФИКАЦИОННЫЙ ПОДХОД

P.A. Kim

Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics Pr. Lavrenteva, the house 6, Novosibirsk, 630090, Russian Federation

THE MATHEMATICAL SUBSTANTIATION OF SCALABLE MODEL OF THE RELIEF: THE CLASSIFICATION APPROACH

The positive solution of problems of existencies and uniqueness of a system of integral equations of scalable model of a relief, gives high-power means for construction of surfaces, representable in a class of the continuous functions having almost everywhere a sufficient degree of differentials.

Фундаментальный характер работ по разработке масштабируемой модели рельефа, проводимых в лаборатории Обработки изображений института Вычислительной математики и математической геофизики, подчеркивает тот факт, что в расширенной постановке, масштабируемая модель рельефа, представляет собой определенную переформулировку классической проблемы аппроксимации или интерполяции функции от двух переменных, задаваемую на множестве изолированных точек... Именно по этой причине весьма актуальны вопросы существования и единственности решений системы интегральных уравнений масштабируемой модели рельефа. Положительное решение этих проблем, предоставляет мощное средство для построения поверхностей, представимых в классе непрерывных функций, обладающих почти везде достаточной степенью гладкости. В настоящей статье описывается классификационный подход, позволяющий положительно решить проблемы существования и единственности решения системы интегральных уравнений для одномерного случая, то есть для функции от одной переменной.

В более ранних работах [1] - [4] достаточно детально рассмотрена, как постановка задачи, так и конструктивные элементы технологии, позволяющие приступить к решению основной задачи. В сжатом виде эта информация представлена на иллюстрации к статье. Здесь приведены интегральные уравнения масштабируемой модели рельефа, и проиллюстрированы основные характеристики, обеспечивающие стыкуемость разномасштабных заданий информации о поведении рельефа для граничных областей.

Работа частично поддержана грантом РФФИ 07-07-00085-а.

Мера близости

В разработанной модели, естественно, определяется понятие близости, одинаковости генерируемых функций рельефа. Так, например, если мы имеем рельефы ^ и я2 , то расстоянием между ними будем считать интеграл к2)(х,у)с1х(1у . Соответственно для одномерного

случая, таким расстоянием будет интеграл |(Д -к2)(х)с1х .

Для одномерного случая справедлива следующая теорема.

Для любого конечного разбиения области задания рельефа на отрезки, существует, и, при этом, единственно, решение интегрального уравнения масштабируемой модели местности.

Доказательство реализуется методом математической индукции по числу отрезков разбиения, при этом проводится классификация ограниченного числа возможных видов решений.

Рис. 1

На основании введенной меры близости возникает новая задача о компактном представлении рельефа, через минимальное покрытие, задающее рельеф, достаточно близким к исходному рельефу. Эта постановка имеет практическую направленность, поскольку в настоящее время широко распространены навигационные ГИС, реализуемые в незначительных по вычислительным ресурсам устройствах, и проблема эффективизации представления географической информации становится весьма актуальной.

© П.А.Ким, 2008