Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке P. Найти площадь треугольника АDP, если S ∆ABP = 4 см², S ∆BCP = 12 см², S ∆CDP = 6 см².​​

Площадь треугольника АDP равна 2 см².

Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке P. Найти площадь треугольника АDP, если S ∆ABP = 4 см², S ∆BCP = 12 см², S ∆CDP = 6 см².​​

Дано: ABCD - четырехугольник;

AC ∩ BD = P;

S ∆ABP = 4 см², S ∆BCP = 12 см², S ∆CDP = 6 см².​​

Найти: S ∆АРD.

Решение:

Введем обозначения:

РВ = х; РС = у; АР = а; PD = b.

Теперь разберемся с углами:

Пусть ∠ВРС = α

• Вертикальные углы равны.

⇒ ∠APD = α

• Сумма смежных углов равна 180°.

⇒ ∠ВРА = 180° - α; ∠CPD = 180° - α.

• Синусы смежных углов равны.

⇒ sin α = sin (180° - α)

Также вспомним формулу площади треугольника:

, где a и b - стороны треугольника, α - угол между ними.

1. S ∆BCP = 12 см²

2. S ∆ABP = 4 см²

3. S ∆CDP = 6 см².​​

4. S ΔAPD = ?

Подставим значения a и b из п.2 и п.3:

Площадь треугольника АDP равна 2 см².