УДК 514.76
Ю.И. Попов]
Поля геометрических объектов, ассоциированных со скомпонованным гиперплоскостным Н (Лп_ 2, Ь1) -распределением аффинного пространства
В данной работе рассмотрены фокальные многообразия, ассоциированные с Н(Л,Ь) -распределением аффинного пространства. В нормальных и касательных расслоениях Ь-, Л-, Я-подрасслоений введены аффинные (внутренние) связности и нормальные центроаф-финные связности соответственно. Найдены тензоры кривизны полученных связностей.
В работе используется следующая схема индексов:
/,у, к = 1,п -1;а,Ь = 2,п.
Известно [1], что скомпанованное распределение-Н(Л-2,Ь1) аффинного пространства (в дальнейшем кратко Н(Л,Ь) -распределение) задается системой уравнений
Поступила в редакцию 22.05.2020 г. © Попов Ю. И., 2020
п *п К а ла К п *п К 1 л1 К /1\\ ®1 = Л1К® , ®1 = Л1К® , ®а=ЛаК® > ®а=ЛаК® , С1)
коэффициенты которой удовлетворяют соответственно уравнениям
УЛ" = Л"аЬ, УЛа + = Л?К1аЬ,
улаак =лактрЬ, ул +ла^ =л~аЬ
Имеет место теорема существования Н(Л,Ь) -распределения:
Теорема 1. Н(Л,Ь)-распределение существует с произволом (3п —5) функций п аргументов.
Действительно, с одной стороны, утверждение теоремы 1 непосредственно следует из уравнений (1). С другой стороны, теорема 1 является при т = п — 2 следствием теоремы 1 [1].
Определение 1. Фокальной точкой текущего элемента Н(Ь) -распределения с центром в точке А, соответствующей
определенному направлению смещения центра А, называется точка Щ этого элемента, которая принадлежит также (с точностью до величины первого порядка малости) соседнему элементу этого распределения, получаемого смещением центра А в данном направлении (фокальном направлении, соответствующем данной точке Щ) [2].
Среди фокальных многообразий, ассоциированных с Ь-рас-пределением, выделим прежде всего характеристику гиперплоскости Н( Ь) при смещении центра по кривым, принадлежащим Ь-распределению. Найдем уравнения, определяющие это фокальное многообразие. Относительно репера Я0, присоединенного к текущей точке А Н(Л,Ь) -распределения, конечное уравнение плоскости имеет вид
уп = 0 . (3)
Точка Щ е Н(А) определяется координатами у3 , удовлетворяющими уравнению (3). При смещении ^-плоскости
вдоль некоторого направления точка Р перейдет в новую точку Р , координаты у3 которой относительно исходной системы координат определяются соотношениями [2]
~3 3 3 к
у = у -®ку •
Потребовав, чтобы точки Р принадлежали исходной плоскости Н(А), получим
Систему уравнений теперь представим в виде
у Ак0 + у Ак0 =00, У = 0 •
При смещении центра вдоль кривых, принадлежащих ¿-распределению, многообразие фокальных точек Р гиперплоскости Н(А) определяется системой уравнений
у1А11 + уаАа1 = 0, уп = 0 . (4)
Разделив уравнение (41) на объект А&, получим
у1 + уаА = 0, уп = 0, (5)
где А =Аа1/ А1 •
В репере Я1 величины Аа удовлетворяют уравнениям
УЛА = ы&ак0к • (6)
В общем случае, то есть когда ранг системы (4) максимальный (ранг системы равен двум), эта система в гиперплоскости Н(А) определяет (п -2)-мерную плоскость А(А), проходящую через центр А^ Плоскость А(А) (5) является характеристикой гиперплоскости Н(А) при смещении центра А по кривым, принадлежащим Х-распределению^ Таким образом, тензор |Аа | первого порядка является структурным объектом поля плоскостей А(А), и система (6) дифференциальных уравнений определяет поле А-плоскостей
Определение 2. Геометрические образы, принадлежащие текущей плоскости Н, которые ассоциируются с Ь-распределе-нием, будем называть НЬ-виртуальными геометрическими образами [3].
Поскольку плоскость Л(А) и прямая Ь(А) имеют лишь одну общую точку А, то плоскость Л(А) можно интерпретировать как Н(Ь)-виртуальную нормаль 1-го рода прямой Ь(А) внутри гиперплоскости Н(А).
Итак, поле тензора {Л } определяет поле Н(Ь)-виртуальных нормалей 1-го рода Ь-распределения.
Поле нормалей 1-го рода (поле прямых к) Н(Л,Ь) -распределения в аффинном пространстве Ап определяется полем квазитензора \\к&п }, компоненты которого в репере Я0 удовлетворяют дифференциальным уравнениям
УК +©& = к&аК . (7)
п п пК V &
Таким образом, произвольную инвариантную одномерную нормаль к 1-го рода гиперплоскости Н(А) относительно локального репера Я1 можно задать системой уравнений
У& — КУ = 0 . (8)
Плоскость Оп—1(А) = [к, Л], натянутая на инвариантную прямую к(А) и характеристику Л(А) гиперплоскости Н(А), является инвариантной нормалью 1-го рода прямой Ь(А) в каждом центре А Н(Л,Ь) -распределения пространства Ап. В локальном репере Я1 плоскость Г2п-1(A) определяется уравнением вида
У1 ^а+ (К — Л&аУК )У" . (9)
Следуя работам [2; 4], построим фокальные многообразия ¥п_2(П,Ь), ¥п_2(Л,Ь) соответственно в С2п_1 и Лп_2 при смещении центра А по кривым, принадлежащим ¿-распределению, то есть по кривым
оа = 0, у1 = ¡в , где У и1 _ ¡в = ¡в . (10)
Точка Р п_ 1 (А) является фокальной точкой при смещении центра А по кривым, принадлежащим ¿-распределению (9), когда координаты точки Р удовлетворяют системе уравнений
{ 1+ УЛ+ уп*п=0, (11)
I У1 =Луа + V _Л< )уп,
Л = Л _Лп (V1 _ЛУр )_Л&Лп(у1 _Л&ур ) _ЛЛЛр
У1а У1а1 а1\\ п п / У1аУ 111\\Уп п / у1ру1ау 11П
Vn = V1! _ ЛV _ ЛЛуап1 _ ЛЛЖ _ луп) _ _лппК _л^:)Ып _луп),
У Л = Л КоК, УV = v КоК.
а аК & п пК
Система (11) определяет в плоскости Г2п1(А) алгебраическое (п _2)-многообразие порядка один — фокальное многообразие Рп_2(П,Ь), соответствующее прямой Ь. Многообразие ¥п_2 есть плоскость размерности (п _2), которую в дальнейшем будем обозначать через Рп_2 (А) , причем ¥п_2 (А) с Пп_1 (А),
Ае2 (А).
Плоскость Лп_2 пересекает фокальное многообразие ¥п_2(А) по плоскости ¥п_2(А) размерности (п _3), которая в репере Я1 задается системой уравнений
Уп = 0, у1 = Л&ауа, 1 + Лауа= 0 . (12)
Плоскость Рп_3(А), определяемая системой уравнений (12), есть фокальное многообразие Рп-3(Л,Ь) плоскости Л, соответствующей прямой Ь, то есть полученное при смещении центра А вдоль кривых, принадлежащих Ь-распределению.
В результате приходим к следующему предложению.
Теорема 2. Геометрический объект {Л^,Ла} — тензор 2-го порядка Н(Л,Ь)-распределения определяет в Л-плоско-сти (п -3)-мерную плоскость Рп_3(Л,Ь) (12), не проходящую через центр А, которая является аналогом плоскости Кенигса [5; 6] для пары распределений (Ь, Л).
связностей на оснащенном Н (Л,Ь) -распределении
С = Л&„юК, С =ХакаК, (13)
п пК & п пК & V &
а поле нормалей 1-го рода Ы1(А) Н-подрасслоения определяется уравнениями
У4К =КкьС, УКК=ас. (14)
Таким образом, уравнения (1, 2, 13, 14) задают оснащенное полем нормалей 1-го рода Ы1(А) Н(Л,Ь) -распределение.
При фиксации точки А = х (центра Н(Л,Ь) -распределения) плоскости N 1(х), Ып-1(х), Ы2(х) и Тп-1(х), Т1(х), Тп-2(х) остаются неподвижными. Следовательно, Н(Л,Ь) -распределение индуцирует нормальные Ы1(А),Ып-1(А),Ы2(А) и Тп-1(А),Т1(А), Тп-2(А) касательные подрасслоения [7].
Структурные уравнения касательного расслоения Тп-1 (А) в силу формул (1, 2, 13) имеют следующий вид:
йаК = аЬ лС, йС =с лС + О,
Ь & а а у а &
йа1. = О, йа1 =С ла1 + О1,
йа" =а л а" + О", 1 1 & 1 &
о" = л С + а" л с/ = (Л^К] + а^к] )С ЛСК =
= -Я"КаЬ лаК,
О = (+А[Ь^К])С лаК = лаК, (16)
О"=Л^[Ь^п\\К]СЬ лсК = 2к"ькСь лаК, (17)
" = 2( Л"[Ь^К] +4^]) (19)
Я&ьк = 2( Л"[ЬЛ"К] +Л-[L^nK]), (20)
КьК = 2Л"[Ь^п\\К], (21)
я"ьк = Щь"]. (22)
Следуя работе [7], приходим к выводу, что в касательном расслоении Тп-1 (А) возникает аффинная связность у без кручения с формами связности {аК, аС}, которую назовем внутренней (касательной) аффинной связностью оснащенного Н(Л,Ь) -распределения.
Теорема 3. В дифференциальной окрестности 2-го порядка оснащенное Н(Л,Ь)-распределение (полем нормалей 1-го рода N 1(х) Н-подрасслоения) индуцирует внутреннюю аффинную связность у в касательном расслоении Tn_1(A) с формами связности {С, о&.} и 2-формами кривизны (15—18). Компоненты тензора кривизны = {К&1К^,ЩаК^, Щщ,^^}
связности уимеют строение (19—22).
С = П,
П =С л с + с Л с = (Л^Щ] + Кгь^Пщ] )С Л с =
= -2КкС ЛС,
= 2(ХгьЦк] . (24)
Согласно работе [7] получаем, что в нормальном расслоении К1(А) возникает центроаффинная связность у1 с формой связности {а>П} и 2-формой кривизны (23), которую назовем нормальной центроаффинной связностью оснащенного Н ( Л,Ь) -распределения.
Теорема 4. В дифференциальной окрестности 2-го порядка оснащенное Н(Л,Ь)-распределение индуцирует в расслоении N1(A) нормалей 1-го рода Н-подрасслоения нормальную центроаффинную связность у1 с формой связности {С} и 2-формой кривизны (23). Компоненты тензора кривизны связности у1 имеют строение (24).
Структурные уравнения нормального расслоения N1(A) имеют следующий вид:
in n n , В n , 1 n a n , s-\\n
d0a =®a + k Aap +aa =®a + п\\ ,
j a a a , s~» a
dan = ®n + Пп ,
da" = Г2",
П = 2R1K®L (25)
П =К^\\к]а = L2KLK®L (26) П (15), П (23),
RIk = 2^n[L^\\2\\K], (27)
klk = 2^l[LA\\1\\K]& (28)
RBLK (19), R1LK (24).
Теорема 5. В дифференциальной окрестности 2-го порядка оснащенное H(A,L) -распределение индуцирует в расслоении N2(A) нормалей 1-го рода нормальную центроаффинную связность J с формой связности {a } и 2-формами кривизны (15, 23, 25, 26). Компоненты тензора кривизны RnLK связности J имеют строение (19, 24, 27, 28).
Связность tj1 назовем в дальнейшем нормальной центро-аффинной связностью L-подрасслоения.
йюк = юь , = О\\,
где Я! (16), Я\\ьк (20).
Теорема 6. В дифференциальной окрестности 2-го порядка оснащенное Н(Л,Ь)-распределение (полем нормалей 1-го
рода N 1(х)) индуцирует внутреннюю аффинную связность ц в касательном расслоении Т1(А) с формами связности {юК, со&1} и 2-формой кривизны (16). Компоненты тензора кривизны Я\\ьк связности ц имеют строение (20).
Структурные уравнения нормального распределения ~М2(А) имеют следующий вид:
ёю1, = Я, ёю" = О",
аю =ю лю1 +ю люа+ю лю =ю лю£+О,
п п 1 п а п п п £ п ,
тп 1 п , а п , п п £ п , /-\\п
аю, = ю лю + ю лю + ю лю =ю1 лю * + От,
где О1 (16), О: (23),
О, = КЛ^ю люк = люк, (29)
О", люК = люк, (30)
Кк (20), ЯЩк (24),
Теорема 7. В дифференциальной окрестности 2-го порядка оснащенное Н(Л,Ь)-распределение индуцирует внутреннюю нормальную центроаффинную связность З1 в расслоении N2(A) нормалей 1-го рода Л-подрасслоения с формами связности { ю^ } и 2-формами кривизны { П1^ }, компоненты тензора кривизны которой имеют строение (20, 24, 31, 32).
Теорема 8. В дифференциальной окрестности 2-го порядка оснащенное Н(Л,Ь)-распределение индуцирует внутреннюю аффинную связность З в касательном расслоении Тп_2(А) с формами связности {юК, юра } и 2-формами кривизны (15). Компоненты тензора ЯРаЬК связности З имеют строение (19).
с1юк =юь люЩ, йюра =юуалюр +ПР,
где Пра (15), ЯРщ (19).
Список литературы
Yu. I. Popov1 11mmanuel Kant Baltic Federal University 14 A. Nevskogo St., Kaliningrad, 236016, Russia yurij.popoff2015@yandex.ru doi: 10.5922/0321-4796-2020-51-12
Fields of geometric objects associated with compiled hyperplane H (A,L) -distribution in affine space
Submitted on May 22, 2020
A compiled hyperplane distribution H(An_2 ,L1) is considered in an
n-dimensional projective space Pn. We will briefly call it a H(A,L) distribution. Note that the plane A(A) is the distribution characteristic obtained by displacement in the center belonging to the L-subbundle. The following results were obtained:
a) The existence theorem is proved: H(A,L) -distribution exists with arbitrary (3n -5) functions of n arguments.
b) A focal manifold Fn_2(Q,L) is constructed in the normal plane f2n _1 of the 1st kind of L-subbundle. It was obtained by shifting the center A along the curves belonging to the L-distribution. A focal manifold Fn_3 (A,L) is also given, which is an analog of the Koenigs plane for the distribution pair (A, L).
c) It is shown that a framed H(A,L) -distribution in the 1st kind normal field of Я-distribution induces tangent Tn_1 (A),T1(A), Tn_2(A) and N1(A),Nn_1(A),N2(A) normal bundles.
d) Six connection theorems induced by a framed H(A,L) -distribution in these bundles are proved.
In each of the bundles (Tn_1(A),N1(A)), (T1(A),Nn_1(A)), (Tn_2(A), N2(A)) the framed H(A,L) -distribution induces an intrinsic torsion-free affine connection in the tangent bundle and a centro-affine connection in the corresponding normal bundle.
e) In each of the bundles (d) in the differential neighborhood of the 2nd order, the covers of 2-forms of curvature and curvature tensors of the corresponding connections are constructed.
References