Спросить
Войти
УДК 512.81
В. Б. Цыренова]
v.ts@mail.ru doi: 10.5922/0321-4796-2020-51-14
Линии на поверхности в квазигиперболическом пространстве п£3
Квазигиперболические пространства являются проективными пространствами с распадающимся абсолютом. Данная работа продолжает работу [7], в которой рассмотрены поверхности в одном из этих пространств методами внешних форм и подвижного репера. Изучены получебышевские и чебышевские сети линий на по11 е1
верхности в пространстве .
Доказаны три теоремы. В теореме 1 получено натуральное уравнение негеодезических линий, входящих в сопряженную получебышевскую сеть на поверхности так, что вдоль них параллельно переносятся касательные к линиям другого семейства. В теореме 2 получено натуральное уравнение негеодезических линий, входящих в чебышевскую сеть. В теореме 3 доказано, что сопряженные чебышевские сети, одно семейство которых не является ни геодезическими линиями, ни евклидовыми сечениями, имеются на поверхностях с произволом четырех функций одного аргумента.
Поступила в редакцию 26.04.2020 г. © Цыренова В. Б., 2020
Введение
Квазиэллиптическое и квазигиперболические пространства изучались многими учениками Б. А. Розенфельда и Р. Н. Щербакова (напр., [3; 4]). Во всех указанных пространствах нами изучены линейчатые поверхности и конгруэнции, построены и геометрически характеризованы их канонические реперы, получены геометрические характеристики инвариантов и простейшие классы.
В данной работе продолжим рассмотрение поверхности в
трехмерном квазигиперболическом пространстве 11 $3, сетей линий на поверхности.
Квазигиперболическое пространство 11 $3 — это проективное 3-пространство, в котором метрика определяется абсолютом, заданным совокупностью пары действительных плоскостей и пары действительных точек на прямой их пересечения.
Будем пользоваться такой системой координат, в которой абсолютные плоскости ^, д2, абсолютная прямая Т0 и абсолютные точки на ней Q1, Q2 имеют соответственно уравнения
(Х,Х)1 = (х0)2 + 2х0х1 =0, х0 = х1 = 0 , (Х,Х)2 = (х2)2 -(х3)2 = 0.
Абсолютные плоскости пространства 11 $3 разбивают многообразие точек проективного пространства, не принадлежащих абсолюту, на две связные области. Мы рассматриваем ту область, для точек которой (Х, Х)1 > 0 , а их координаты и координаты точек абсолютной прямой будем нормировать соответственно условиям (Х, Х )1 = 1 и (Х, Х )2 = 1.
Расстояния 50, й и 51 между точками Х и У с нормированными координатами гиперболической, абсолютной и евклидовой прямых находятся по формулам
сН50 = (Х ,У )1, ск51 = (Х ,У )2, й2 = (X ,У )2.
Деривационные формулы наиболее общего репера пространства 11 $3 имеют вид
йА = Щ (А - Л) + О ^2 + О А3 , йА1 = -щ1 А1 + ®12 А2 + Щ А3, йА2 = со\\А3, йА3 = щ А2.
В работе [7] автором был построен полуканонический и два канонических репера поверхности. При этом поверхность задается параметрическим уравнением А = А(и1,и2). Точка поверхности и касательная плоскость (а следовательно, и нормаль) включены в репер в качестве точки А0 и плоскости ( А0 А1 А2 ) . Деривационные формулы полуканонического репера поверхности получены в виде
йА0 = 0)0 А0 - 0)0 А1 + с А2,
йА2 = (-О0 +0с) А3,
йА3 = (-^соЩ^ +Оо) А3.
Для базисных форм щ и щ имеем Вщ0 = 0,
Вщ = (1 -^ОС лО), а основная система дифференциальных уравнений [7] имеет вид
ёа л в)° + ёр л соС = (у/и + р(у - 1)ю° л со2,
ёр лю° - ёулю1=у(1 -у)®с1 лс02; (2.2)
ё/ лю° + ёу люС = (у2 - 2у + ау + р2&)ю° лс02.
Решение этой системы существует с произволом в две функции двух аргументов, что соответствует произволу существования поверхности, отнесенной к произвольному семейству линий [7].
Полную систему инвариантов поверхности образуют инварианты у, I = р2 + 2ау и значения и и у при какой-либо канонизации репера.
При а = 0, р Ф 0 и р = 0, аФ 0 получаются канонические
реперы Я1 и Я2.
Полную систему инвариантов линии С = 0 на поверхности составляют значения коэффициентов а,р,и, вычисленных вдоль этой линии. Линии С = 0 высекаются на поверхности евклидовыми плоскостями и называются евклидовыми сечениями [5]. В [4] они названы изотропными линиями кривизны.
На поверхности определены две первые квадратичные формы:
р = (¿4), оА))! = -(ю0)2;р = (¿4), ёЛ)2 = (ю2)2.
Вторая квадратичная форма поверхности имеет вид
Ч>2 = (ё2Аз,А>,Л,Л) =-а(ю0)2 -2р®042 +у(ю2)2.
Геометрическое значение второй квадратичной формы получается из соотношения (р2 = ± 28, где 8 — расстояние меж,.Аз /Л , ЛЛ , 1
ду точками 40 и В = рг/^ (^ + ёЛ + -ё2Л + [3]).
Уравнения торсов конгруэнции { А0 А3 } нормалей поверхности имеют вид Юд = 0 и р<я{° - уС = 0, фокусами образующих являются точки ^ = А +1А3 и = А3, это означает,
что одна из эволют вырождается в абсолютную прямую.
Инвариант а = — называют нормальной кривизной линии Я\\
О : О на поверхности [7]. Для линии а}0 = 0 форма = 0 , а нормальная кривизна а = —= 7 .
Поверхности V = 0 характеризуются тем, что евклидово сечение О = 0 является горловой линией регулюса {А0 А1} касательных к асимптотической линии о0 = 0 и существуют с произволом трех функций одного аргумента.
Полагая О = 0 , щ = йъ, /и = т, а = а, / = Ь , получим деривационные формулы канонического репера линии на поверхности:
^ = А0 - А1, ^ = - А1 + тА2 + аА3, ^ = -ЬА3, ^
Формулы Френе пространственной кривой можно получить в виде
йА} л л . , . йА.2 . .
— , — -А1 + К^А&), — ааа , — ааО .
йъ йъ йъ йъ
Сравнивая эти формулы, видим, что ъ есть длина дуги ли* *
нии на поверхности, а для кривизн к , к линии на поверхно(* г 2 2 *
К ) = а + т ,к =-Ь. Из деривационных формул канонического репера линии на поверхности получаются вычислительные формулы для инвариантов линии на поверхности:
а = (-а(®0)2 -2Дэ00®02 +г(®02)2):(®о)2
Ь = (-ДЭ01 + У® 02):®00,
т = (цсо0 + (1 - ): - - а)02ёа00): (®0°)3
Видим отсюда, что только инвариант т является инвариантом второго порядка.
Нами выделены следующие три основных класса линий на поверхности:
В нашем репере (А0А1А2) — касательная плоскость к поверхности (А0) в точке А0. Будем говорить [6], что гиперболическая прямая (А0М), М = А1 + хА2 «переносится параллель0 , 2 п
но» вдоль некоторой линии у®0 + г®0 = 0 на поверхности, ес>!<
М+(ёМ)
* . — ли вдоль этой линии ((ёМ) , А0,М) = 0, где точка ^1+(®0)2
М+(йМ)
есть проекция точки ^+(О0)2 из несобственной точки А3
квазигиперболической нормали на касательную плоскость (А0 А1А2), причем дифференциал йМ здесь находится вдоль
линии уО + ¿Щ = 0 .
Пусть (А0А1А2) — касательная плоскость к поверхности в точке А0. Будем говорить, что гиперболическая прямая (А0М), где М = А1 + хА2 , «переносится параллельно» вдоль некоторой линии ус0 + ¿О = 0 на поверхности, если вдоль этой линии
((йМ), А0, М) = 0, (4.1)
где точка М+(йМ) является проекцией точки М + (йМ)ущ+о=0 из несобственной точки А3 квазигиперболической нормали на плоскость (А0 А1А2) .
Условие (4.1) для линий ус + = 0 имеет вид
йх + хо00 + О = 0. (4.2)
Если переносится прямая (А0 А1), то равенство (4.2) в терминах любого из наших реперов дает
И* = V. (4.3)
Теперь, учитывая, что йх = ХЩ0 + х2о0 , получаем условие (4.2) параллельного перенесения прямой (А0М) вдоль линии семейства О = 0 в виде
х + ц + х1 = 0. (4.4)
Если прямая (А®М) переносится вдоль геодезической линии, то (4.4) имеет вид x + x1 = 0. При этом вдоль них касательные к геодезическим переносятся параллельно.
В работе [6] по аналогии с евклидовой геометрией получебы-шевской сетью линий на поверхности называется сеть, у которой касательные к линиям одного семейства переносятся параллельно вдоль линий другого семейства, а сеть, у которой касательные к линиям каждого семейства переносятся параллельно вдоль линий другого семейства, называется чебышевской.
Если семейство негеодезических линий со® = 0 включено в получебышевскую сеть так, что касательные (А0 А1) к его линиям переносятся параллельно, то второе семейство в силу (4.3) имеет уравнение
¿иса® + усО® = 0. (4.5)
При у = 0 касательные к негеодезическим линиям переносятся параллельно вдоль евклидовых сечений.
Если же семейство а® = 0 включено в получебышевскую сеть так, что вдоль его линий параллельно переносятся линии другого семейства, то уравнение последнего можно записать в виде
а® + qао2 = 0, (4.6)
При этом функция q удовлетворяет уравнению
Теорема 4.1. Линии семейства со® = 0, входящие в сопряженную получебышевскую сеть так, что вдоль них параллельно переносятся касательные к линиям другого семейства, имеют натуральное уравнение
ёЬ , ёа ,2 ,
а--Ь— = тЬ - аЬ.
ёи ёи
Доказательство. Получебышевская сеть линий на поверх2 *0 *2 р
ности с0 (с 0 + #0о) = 0 будет сопряженной, если д = —, так
как уравнение сопряженной сети имеет вид
* 0 * 2 ®о(а®о + Рс) = 0 .
Тогда условие (4.7) дает искомое натуральное уравнение.
Теорема 4.2. Если семейство негеодезических линий
О)®2 = 0 можно включить в чебышевскую сеть, то
цу2 - цу1 + уц1 - цу = 0. (4.8)
Доказательство. Искомое соотношение получается из (4.5), (4.6) и (4.7). Этих семейств на поверхности имеется бесчисленное множество.
Теорема 4.3. Если семейство линий О = 0, не являющихся ни геодезическими линями, ни линиями у = 0, можно включить в сопряженную чебышевскую сеть, то
ау-Рц = цу2 - цу1 + уц - цу = 0. (4.9)
Такие сети имеются на поверхностях, определяемых с произволом четырех функций одного аргумента.
Доказательство. Объединяя условие сопряженности сети с условием теоремы 4.2, получаем соотношение (4.9).
Присоединяя эти соотношения, а также замыкания равенств
ёц = цсС +ц2Юд,ёу = ус0 +у2®о к основной системе (2.2), получаем систему, состоящую из внешних уравнений
ёа л о)° + ёр ло02 = (ц + р(у - 1)0 л со®;
ёрЛ00° -ёула>1=у(1 -у)0 лс02; (4.10)
ёц лоо + ёц2 л О = ц2(у -1)0 л О; ёу Л022 + ёу лс02 = у2(у -1)0 л а>1
и следующих трех конечных соотношений:
av-р— = 0, —V + v—-—v1 - —V = 0,
v1 - —2 =v2 - 2v + ау + р2.
Обозначив здесь и далее буквами Qi выражения, не имеющие значения для определения произвола решения системы, из этих конечных соотношений при —V Ф 0 находим
йа = —йр + + Q2®02;
dVl = ^ й— + +
V , у— + 2^ , 0 2
й— 2 = — й— +--йр + айу + Q5ю0 + Q6a0.
Подставив полученные значения дифференциалов в систему (4.10), получаем стандартную систему внешних дифференциальных уравнений
—йр л оС + vdр ло02 = 07®С л оО, йр л ®0 - йу л 1 = у(1 - v)o33 л С,
й— ло0 + (— й— + —--— йр + айу) ло0 = л о0 ,
^^ 0,, 2 0 2
—й— ло0 + dv2 ло0 = л о0 —
со старшим характером 51 = 4. Теорема доказана.
Список литературы
V. В. Tsyrenova1 1 Banzarov Buryat State University 24а Smolin St., Ulan-Ude, Russia, 670000 v.ts@mail.ru doi: 10.5922/0321-4796-2020-51-14
Lines on the surface in the quasi-hiperbolic space "S3
Submitted on April 26, 2020
Quasi-hyperbolic spaces are projective spaces with decaying absolute. This work is a continuation of the author&s work [7], in which surfaces in one of these spaces are examined by methods of external forms and a moving frame. The semi-Chebyshev and Chebyshev networks of lines on the surface in quasi-hyperbolic space 11S^ are considered. In this paper we use the definition of parallel transfer adopted in [6]. By analogy with Euclidean geometry, the semi-Chebyshev network of lines on the surface is the network in which the tangents to the lines of one family are carried parallel along the lines of another family. A Chebyshev network is a network in which tangents to the lines of each family are carried parallel along the lines of another family.
We proved three theorems. In Theorem 1, we obtain a natural equation for non-geodesic lines that are part of a conjugate semi-Chebyshev network on the surface so that tangents to lines of another family are transferred in parallel along them. In Theorem 2, the natural equation of non-geodesic lines in the Chebyshev network is obtained. In Theorem 3 we prove that conjugate Chebyshev networks, one family of which is neither geodesic lines, nor Euclidean sections, exist on surfaces with the latitude of four functions of one argument.
References
