О ЗАДАЧЕ СОПРЯЖЕНИЯ ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Естественные и математические науки в современном мире

№ 5 (40), 2016г_

^ СибАК

www.sibac.info

О ЗАДАЧЕ СОПРЯЖЕНИЯ ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Молдояров Уларбек Дуйшобекович

ст. преподаватель кафедры ИТАС, Ошский государственный университет, Кыргызская Республика, г. Ош, E-mail: ular_osh@list.ru

ABOUT THE CONJUGATION PROBLEM FOR PSEUDOPOROBOLIC THIRD ORDER EQUATION

Ularbek Moldoyarov

senior lecture, Chair of Information Technology and Automatization System Osh State University,

Kyrgyzstan, Osh

АННОТАЦИЯ

Методом функции Грина и Римана доказана разрешимость задачи сопряжения для псевдопараболических уравнений третьего порядка, когда линия изменения типа уравнений является характеристической линией.

^Г, СибАК

www.sibac.m1o

Естественные и математические науки в современном мире _№ 5 (40), 2016г.

ABSTRACT

The methods of Green and Riemann functions proved the solution of the conjugation problem for a pseudoparabolic third order equations, when the line of changing the type of equations is the characteristic line.

х=-?2(И2 >0), у = О, х = %(у\\ 0<y<h,y = h, где %(у) -монотонно невозрастающая кривая, причем

ХФ)= > tyrXO7) = О < ^з — • Рассмотрим задачу сопряжения для уравнений

L1(u) = uxxy - x"uyy = 0,(x y) е D1 , (1)

Ь2 (u) = u^ + a(x,y)ux + b(x, y)uy + c(x, y)u = 0, (x,y) e D2, (2)

где: D = Dn (x > 0),D2 = Dn (x < 0),p = const > - 1.

Пусть Cn+m означает класс функций, имеющих производные dr+s / dxrdys (r = 0, 1,...,n; s = 0, 1,...,m). Относительно коэффициентов и заданных функций предполагаем следующее

a e C(D) n C1+0 (D), b e C(D~2) n C0+1 (D2 ), c e C(D~2),

Z(y) e C[0. h] r^ C1 (0. h), Vv e [0. h]:C3< Z(y) < i,, Z(y) < 0.

Уравнения вида (1) и (2) часто называются псевдопараболическими по характеру свойств решений [6; 7]. Вырождающиеся параболические уравнения вида (1) рассмотрены в работах [1; 2; 6]. Частные случаи уравнений вида (1) и (2) встречаются при изучении поглощения почвенной влаги растениями [3].

Задача 1. Найти функцию u(x, y) e C(D) n Cl(D) n \\C1+l(D)^C2(D)^ ^iC2+1(D2)], удовлетворяющую уравнения (1) и (2) в областях D и D соответственно краевым условиям

Естественные и математические науки в современном мире № 5 (40), 2016г_

^ Сийдк

m\\nv.sibac.info

и(-е2,у) = ф1(у), о<y<h

uv (х, О) = у/2 (х), О < х < .

и начальному условию

и(х,0) = \\уъ(х), -С2 < х< О, (6)

где: - заданные гладкие функции, причем

щ еС2[0, fj, у/2 е С1 [О, fj, ц/ъ еС1 [—¿2,0], ф,Cl[0,h]{i =1,2) щ (0) = щ (0), фг (0) = щ (-С 2), ^ (f,) = ф2 (0).

Введем следующие обозначения

м, (-0, у) = м, (+0, y) = v( у), 0 < у < А, (8)

где т(у), у(у) - пока неизвестные функции.

ихх ~ хРиу =Ю(Х), (9)

где: - известная функция.

Рассмотрим следующую смешанную задачу: найти в области Д решения уравнения (9), удовлетворяющие краевые условия

их (0,у) = 1IV), и(х(у), у) = Ф х(у), 0 < у < И, н(х,0) = у1(х), 0<х<

Решение задачи (9), (10) через функции Грина представимо в виде [4]

СибАК Естественные и математические науки в современном мире www.sLbac.mt о_№ 5 (40), 2016г

и(х, V) = J ZpG2 (Х, V; С, 0)1//; (С- JG2 (х, v; 0, jj)y(jj)dijо о

y y х(л)

-fG2((x,y;z(v),v№(v)dv-fdv f G2(x,

о о о

G2 (x уЛ,п) = Ui(x yA,n)- w(x y; ^ v),

U2(x, y-A,v) =

q1(y — Л)

w(x, у; Е,, л) - является решением следующей сопряженной задачи

(х у; £ л) \\4=о = 0, х у; £ л) \\4=Х(Л)=

= U2 (x, у; %(л), л), у; % , л) \\ч=у = 0. При x = 0 из (11) получаем соотношение между и у(у):

xq +(q

e q (y-v), q = p + 2,

r(y) = -rf v(v) v + i w(о, y; о, v)y(v)dv + То (y),

о (y -v) q о (12)

гДе: foM = \\G2i{0,y хШлЖл)^! ~

-f 02^°:,y;Z(V),V)<fii(V)dV-f dv f .

о о о

(u) -uL2(S) = {uv + \\Sn + a\\u}s-\\sus -bu\\ (13)

гДе К (¿) - -¿ж - (а) е —(Ь)л + с .

Пусть М(х, у) произвольная точка области Б2 . Осуществляя

интегрирование тождества (13) по области

^ СибАК

Естественные и математические науки в современном мире №5 (40). 2016г._www.sibac.info

Д* = {(¿,г): х < £ < 0,0 < г < у} и учитывая свойства функции Римана 3(х, у;£,г), имеем представление

и(х,у) = (х,у;0,у)т(у) -3(х,у;0,у)у(у) у

+| 3 (х, у; о, +щ (х, у),

иа (х, у) = 3( (х, у; х, 0)^3 (х) + 3( х.у; 0,0)у\\ (0) - 3( (х.у; 0,0)уъ (0) х

-/ 3 (х, у; ¿,0) + Ь(£, 0)3( х, у; 0)^г (£)ё£.

Функцией Римана назовем решение уравнения

Ь&2(3) = 0, (¿,г) е Д* , (15)

удовлетворяющее условия

З(х, у ¿,г)\\^=х = 0, 3 (х, у;^,г)\\^=х = 1 0 <г< х (16) 3(х, у;£,г)\\л=у =а( х, у;£), х <£< ° (17)

причем 0)(х,у ;£) является решением следующей задачи Коши:

(х, у;£, у) + Ь(£, у)3(х, у;£, у) = 0, х < £ < 0, 3(х, у;£, у)^ = 0,3е (х, у;£, у)^ = 1. (18)

Очевидно, что решение задачи (18) существует и в единственном виде. Разрешимость этой задачи эквивалентно сводится к решению интегрального уравнения Вольтерра второго рода

^Г, СибАК

м&и&и &.яЬаагШо

Естественные и математические науки в современном мире _№ 5 (40). 2016г.

Решение интегрального уравнения (19) через резольвента представим в виде

где Я(х,£1) -ядро резольвента (£-£)Ь(£,у).

Из (15) - (18) для функции Римана получаем интегральное уравнение

Лемма 1. Если

У(х, у) е Д : Ь(х, у) < 0, (21)

У(х, у) е Д лУ^е [х, 0]: 3(х, у) х > 0. (22) Из (22) вытекает неравенство

¥у е [0,/?]: 3{С2,уЛу) > С2 > 0. (23)

Используя второе условие (4) из (14), имеем

где g0(у) = п0(-С2,у)-ф2(у).

Если учесть неравенство (23), то уравнение (24) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода и ее обращение относительно имеет вид

у(у) = Б(у)т(у) + Ци (у, фтгфг + у0 (у), (25)

^ Сийдк

Естественные и математические науки в современном мире

№_5 (40), 2016г_mvw.sibac.infо

■ 9{-(2,уЛу) & ¿(-С2,у;0,у) 3(—С2,7];0,7]) &

„, , А(-СКО,77) 77:0,77) Я(У.77) =--1—- • +—-7)& & ^-^..кО.у) ¿>(-¿3,77; 0,77) 1 & &

^ ^.т^О.т^) Л

г (у) = -V\\Уу{уВ_г^1 +£ у (у г гУсггг+т (у), (26)

g (у) = ч0 У) -{(

-а (00, у,0,ф

Vo0v)dvТак, разрешимость задачи 1 эквивалентно редуцировалась к разрешимости интегрального уравнения Вольтерра второго рода (26) имеющее слабое ядро, которое допускает единственное непрерывное решение.

Таким образом, доказана нижеследующая теорема.

Теорема. Если выполняются условия (3), (7) и (21), то решение задачи 1 существует и единственно.

Список литературы:

СибАК

Естественные и математические науки в современном мире www.sibacmlo_N°5(40). 2016г.

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

Саадалов Толонбай Ысманович

ст. преподаватель кафедры информатики Ошского технологического университета М.М. Адышева,

Кыргызская Республика, г. Ош E-mail: saadtol_68@mail. ru

BOUNDARY VALUE PROBLEMS OF CONJUGATION FOR PSEUDOPARABOLIC AND HYPERBOLIC FOURTH ORDER EQUATIONS

Tolonbai Saadalov

senior Lecturer of information Department of Osh Technological University named after M.M. Adyshev,

Kyrgyzstan, Osh

АННОТАЦИЯ

Доказано существование и единственности решения задачи для псевдопараболического и гиперболического уравнений четвертого порядка, когда условия склеивания задается на не характеристической линии.

ABSTRACT

Proved the existence end uniqueness of the solutions of the problems for pseudoparabolic and hyperbolic equations of fourth order when the conditions of conjugation are not set on the characteristic line.