ПЕРЕМЕННОЕ НАГРУЖЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ПЛАСТИН И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК

УДК 539.3

ПЕРЕМЕННОЕ НАГРУЖЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ПЛАСТИН И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК

© 2020 Н.И. Дедов, В.Н. Исуткина

Самарский государственный технический университет

Статья поступила в редакцию 12.05.2020

В статье рассматривается деформированиепластин и пологих оболочек с учетом геометрической нелинейности и пластических деформаций при переменном нагружении. В случае упругопласти-ческого материала учитывается разгрузка, вторичные пластические деформации, сжимаемость материала.Приведены геометрические и физические соотношения и разрешающие нелинейные дифференциальные уравнения теории гибких пологих оболочекиз упругопластического материала для произвольного цикла нагружения. Зависимость между интенсивностью напряжений и деформаций, с использованием обобщенного принципа Мазинга, позволяет исследовать деформирование гибких пластин и оболочек из циклически идеального, упрочняемого и разупрочня-емого материалов. В выражениях для внутренних сил и внутренних моментов выделены добавочные силы и добавочные моменты, учитывающие историю нагружения пластин и оболочек на предыдущем п-1 - ом нагружении.

В данной работе исследуется напряженное и деформированное состояние гибких пластин и пологих оболочек на прямоугольном плане, при многократном упругопластическом нагруже-нии. Учитывается разгрузка, вторичные пластические деформации и сжимаемость материала. Для исследования напряженно - деформированного состояния при упругопластических деформациях пластин и оболочек необходимы физические уравнения связи напряжений с деформациями, которые определяются принятыми теориями пластичности.

В работе [1] рассмотрено исследование геометрически нелинейных пластин и пологих оболочек при упругопластическом деформировании при статическом однократном нагру-жении. Разрешающие уравнения теории гибких пластин и оболочек получены на основе деформационной теории пластичности Генки-Ильюшина с учетом разгрузки и вторичных пластических деформаций. Определены верхние и нижние критические нагрузки, показаны зоны разгрузки и вторичных пластических деформаций.

Напряженно-деформированное состояние при упругопластическом деформировании прямоугольных пластин при повторном наДедов Николай Иванович, кандидат технических наук, профессор кафедры «Механика». E-mail: nikolai_dedov@mail.ru

Исуткина Вера Николаевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики и прикладной информатики. E-mail: vera_isutkina@mail.ru

гружении исследовано в работе [2] для материалов с различными механическими характеристиками.

В работах [3-5] для решения нелинейных задач теории оболочек используется метод последовательных нагружений, разработанный В.В. Петровым. Было показано, что сходимость процесса решения нелинейных уравнений заметно ухудшается при подходе к значениям критической нагрузки.

В работах [6-8] рассматриваются устойчивость и закритическое поведение геометрически и физически нелинейных задач теории пологих оболочек. Для решения нелинейных уравнений применен метод общей итерации, разработанный М.С. Корнишиным. Метод общей итерации имеет достаточно хорошую сходимость при исследовании докритических, закритических состояний и при определении верхней и нижней критических нагрузок.

В данной работе рассматривается упруго-пластическое деформирование гибких пластин и пологих оболочек на прямоугольном плане, включая закритические деформации при

Переменном нагружении наружным давлением. Схема нагружения пологой оболочки на прямоугольном плане показана на рис. 1.

При упругопластическом деформировании пластин и пологих оболочек на участке активного нагруженияОАЛТ компоненты девиатора напряжений связаны с компонентами девиа-тора деформаций соотношениями, которые по теории малых упругопластических деформаций имеют вид

Машиностроение и машиноведение

Рис. 1. Пологая оболочка на прямоугольном плане

«,, - «о 8и =

где К =

--8о5у ), /,/=1,2,3

= <11 +<22 +<33 3

среднее напряжение,

«у = «

«у, 8у 8у 8у& *, у =1 2,3,

ра напряжений и деформаций при разгрузке, «у ,8у - величины компонентов тензора напряжений и деформаций в конце первого нагру-жения. Остальные выражения для напряжений и деформаций при разгрузке те же самые, что и при первом нагружении, отмечаются чертой сверху.

Используя общую теорему об упругопласти-ческой разгрузке, сформулированную В.В. Мос-квитиным, запишем связь между компонентами девиатора напряжений и компонентами девиа-тора деформаций при циклическом нагружени-яв виде[10]

«)= 38у +1 < (-ф,),

I, у = 1,2,3.

Здесь введены разности

«п) = >-1) - >) 8) = >-1) - >)

- модуль объемного сжатия,

и у = 1,2,3,

(п) 8п)

- средняя деформация,

«О = 3К8о - зависимость среднего напряжения от средней деформации.

Зависимость между интенсивностями напряжений и деформаций принимается в виде,предложенном А.А. Ильюшиным

« = Зв (1 -®1)е1,

где ( = / (ег) - функция А.А. Ильюшина.

Переход из упругого состояния в пласти-ческоепринимаем в соответствии с критерием Губера - Мизесапо интенсивности напряжений или деформаций [9]

« = («11 - «22 ) + («22 - «33 ) + («33 - «11 )2 + 6 («2 + «3 + «3^ ) = «Т

- по интенсивности напряжений,

в =^уу!(811 -822 )2 + (822 - 833 )2 + (833 - 811 )2 + 6 (812 + 4 + 4 ) = 8Т

- по интенсивности деформаций.

При разгрузке на участке диаграммы ЫРЯ, включающем область вторичных пластических деформаций, связь между напряжениями и деформациями на плоскости с координатами

« - 8 имеет вид

«у-«о$у = + 3 « ((-8о5у),

*, у = 1,2,3. Здесь введены разности

_ & 8, =

где «у 7, 8у 7 - величины компонентов тензора напряжений и деформаций при п -ом нагруже-(п-1) (п-1)

нии, «у 7, 8у 7 - величины компонентов

тензора напряжений и деформаций в конце

предыдущего (п - 1)-го нагружения.

Аналогично уравнениям теории малых упругопластических деформаций при циклическом нагружении имеют место следующие соотношения

>=и« )-«2&2))2♦(«М))2)))2+6 (« )2+«-<3)2 «)2)

- интенсивность напряжений,

в"&8 Ып))2+8 )-4п))2+8 ЧГ))2+6 8)2)28)2)

- интенсивность деформаций,

_(п) —(п) —(п) «(п ) = «11 +«22 +«33 3

среднее напряжение,

средняя деформация.

—(п ) —(п ) —(п ) _(п) = 811 +822 +833 -8 = 3

Связь между шаровыми составляющими тензора напряжений и тензора деформаций имеет вид

Зависимость интенсивности напряжений от интенсивности деформаций при п -ом нагру-жениипринимает вид

«п)= 3в ( -( )))(п),

где «¡у ,8у - величины компонентов тензо_(п ) У_(п П

где ( & = у I е> I - функция А.А. Ильюшина при п - ом нагружении.

В течение полного цикла нагружения внешние силы могут принимать положительные и отрицательные значения. Выражения для компонент напряжений и деформаций при п - ом нагружении примут вид

Преобразуем эти формулы,составляя последовательно соотношения, для определения напряжений и деформаций при произвольном п -ом нагружении через компоненты напряжений и деформаций при первом нагружении

-(п)—-^ V (_1)_<(к)

=o+i(-i)k~о k=2

(n) & n í i\\k-1—(n) „ „ „

j = SJ + I (-1) 4j , i, J = 1,2,3 .

При исследовании упругопластического деформирования элементов конструкций, в случае циклического нагружения, необходимо учитывать изменение упругопластических свойств материала для каждого цикла нагружения. Должны быть известны диаграммы циклического деформирования для всего процессса многократного нагружения. На рис.2 приведены диаграммы растяжения при первом нагруже-нии OAN, при разгрузке, последующем сжатии и вторичных пластических деформаций NPR и повторном нагружении RST.

Рис. 2. Диаграммы растяжения при первом нагружении OAN, при разгрузке и последующем сжатии и вторичных пластических деформаций NPR и повторном нагружении RST

В зависимости от законов изменения механических свойств, при циклических нагружени-ях, различают циклически идеальные материалы у которых упругопластические свойства не

зависят от числа циклов нагружения. У циклически разупрочняемых материалов упругопласти-ческие свойства материала уменьшаются, ауци-клически упрочняющихся - увеличиваются.

Если при первом нагружении наступление текучести материала определяется величинами —т и ¿т, то в соответствии с принципом Мазинга при циклическом нагружении наступление текучести определяется величинами —т — 2—т и ет — 2ет. Принцип Мазинга удовлетворительно описывает свойства лишь циклически идеальных материалов. Введя экспериментальный параметр 0п, В.В. Москви-тин обобщил принцип Мазинга. В этом случае наступление предела текучести на плоскости

-(п) -(п)

с координатами — и 7 определяется

<(п) —

значениями —т — оп—т по напряжениям и

е (п ) —

еТ — 0пеТ по деформациям. Зависимость параметра 0п от количества циклов нагружения

принимаем в виде[9] 0п —о^ (п_ 1)У ,у < 1 .

Постоянные 0п и у определяются экспериментально. В случае циклически идеального материала 02 — 2, у — 0. В случае циклически разу-прочняемого материал 02 — 2, у < 0, а в случае упрочняемого - 02 — 2, у > 0.

Рассмотренные соотношения деформационной теории пластичности широко применяются при решении прикладных задач расчета напряженно-деформированного состояния пластин и оболочек при пластических деформациях. Более общими являются соотношения теории течения, которые связывают приращения компонент тензора деформаций с напряжениями и их приращениями, что позволяет описывать сложное нагружение. Деформационная теория строго применима лишь в случае простого нагружения. Однако, деформационная теория обладает относительной простотой исходных соотношений и дает результаты удовлетворительно согласующиеся с экспериментом и при нагружениях отличных от простого[11]. В задачах устойчивости соотношения деформационной теории приводят к меньшим значениям критических нагрузок, причем последние лучше согласуются с экспериментом, чем критические нагрузки, определенные по теории течения [12,13].

При п - ом нагружении компоненты напряжений запишем, выделяя упругую составляющую напряжений, в виде

+ Л<} ,1,] —1,2,3

(n) y (n

ст\\ & = о V i

\\ (n) (n-1) —(n) y(n)

где boj& =oJ -oJ -oj дополнительные напряжения, учитывающие отклонения материала от закона Гука, наличие

Машиностроение и машиноведение

разгрузки и вторичных пластических деформаций.

На основании принятых соотношений для напряжений, опуская индекс «n» можно представить усилия и моменты в сечении оболочки в виде

Tj = j Vjdz = Tj

M j = j GjZfc =M> +AMj, ij = 1,2,3

N = Ny + ANi, i = 1,2

где T - усилия, действующие в срединной поверхности оболочки, AT - добавочные усилия в срединной поверхности, M ij - изгибающие и крутящий моменты, AMiJ - добавочные изгибающие моменты и добавочный крутящий момент, Nt - поперечные силы, ANj - добавочные поперечные силы.

Добавочные силы и моменты учитывают историю нагружения оболочки - напряженноеи деформированное состояние оболочки на предыдущем n-1 -ом нагружении оболочки и нелинейности за счет пластических деформаций.

При повторно переменном нагружении гибких пластин и пологих оболочек давлением, основная система дифференциальных уравнений теории тонких упругопластических оболочек с учетом разгрузки, вторичных пластических деформаций и сжимаемости материала примет вид

DV 2V2 w + F (ф ) = L (w,ф ) + G (AMy. ) + p,

± V 2V2 ô + N (w ) = K (w) + H (ATj ).

Приведенная система дифференциальных уравнений позволяет исследовать напряженно -деформированное состояние при циклическом нагружении гибких упругопластических пластин и пологих оболочек в областях докрити-ческих и закритических деформаций. Решение данных задач возможно при шаговом методе прослеживания процесса нагружения с использованием общих методов итерации.

ВЫВОДЫ

Предложенный метод позволяет проводить исследования напряженногои деформированного состояния при повторно переменном на-гружении упругопластических пластин и гибких пологих оболочек при изгибе и закритических деформациях, изготовленных из циклически идеальных, упрочняющихся и разупрочняю-щихся материалов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

VARIABLE LOADING OF NONLINEAR PLATES AND SHALLOW SHELLS

© 2020 N.I. Dedov, V.N. Isutkina

Samara State Technical University

The article discusses the deformation of plates and shallow shells, taking into account the geometric nonlinearity and plastic deformations under variable loading. In the case of an elastoplastic material, unloading, secondary plastic deformations, material compressibility are taken into account. Geometric and physical relations and solving nonlinear differential equations of the theory of flexible gentle shells of elastoplastic material are given for an arbitrary loading cycle. The relationship between the intensity of stresses and strains, using the generalized Mazing principle, allows us to investigate the deformation of flexible plates and shells of cyclically ideal, strengthened and softened materials. In the expressions for the internal forces and internal moments, additional forces and additional moments are taken into account, taking into account the history of loading of plates and shells on the previous n-1-th loading. Keywords:Geometric nonlinearity, elastoplastic deformation, supercritical deformations, unloading, secondary plastic deformations, plate, shallow shell, variable loading. DOI: 10.37313/1990-5378-2020-22-3-152-156

Nikolai Dedov, Candidate of Technical Sciences, Professor of the Department of Mechanics. E-mail: nikolai_dedov@mail.ru

Vera Isutkina, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor ofthe Department ofHigher Mathematics and Applied Informatics. E-mail: vera_isutkina@mail.ru

Сдано в набор 15.05.2020 г. Подписано к печати 29.06.2020 г. Формат бумаги 60х84У8

Офсетная печать Усл. печ. л. 18,135 Тираж 200 экз. Зак. 27

Отпечатано в типографии ООО "Инсома-пресс", 443080, г. Самара, ул. Санфировой, 110А, оф. 22А