Модель и метод многокритериальной оптимизации содержания проекта при нечетких исходных данных

Запропоновано математичну модель i метод розв&язання динамiчноi задачi багатокритерiальноi оптимiзацii змкту проекту при нечтких вихидних даних, за наявностi обмежень i заданих альтерна-тивних варiантiв виконання робт, пред-ставлених у виглядi мережевих моделей. Зм^т проекту оптимiзуeться за крите-рiями прибуток, час, варт^ть, якють i ризики

Ключовi слова: проект, зм^т, бага-токритерiальна оптимiзацiя, динамiчна

задача, нечтк вихидш дат

Предложены математическая модель и метод решения динамической задачи многокритериальной оптимизации содержания проекта при нечетких исходных данных, при наличии ограничений и заданных альтернативных вариантов выполнения работ, представленных в виде сетевых моделей. Содержание проекта оптимизируется по критериям прибыль, время, стоимость, качество и риски

УДК 001.891:65.011.56

МОДЕЛЬ И МЕТОД МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ СОДЕРЖАНИЯ ПРОЕКТА ПРИ НЕЧЕТКИХ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ

И.В. Кононенко

Доктор технических наук, профессор, заведующий

кафедрой* Контактный тел.: 050-514-20-16 Е-mail: igorvkononenko@gmail.com М.Э. Колесник Аспирант* Контактный тел.: 066-903-88-19 Е-!^!: Rozaeduard@gmail.com *Кафедра стратегического управления Национальный технический университет «Харьковский политехнический институт» ул. Фрунзе, 21, г. Харьков, Украина, 61002

Современные тенденции развития мировой экономики проявляются в том, что все чаще осуществляются масштабные проекты, на реализацию которых затрачивают огромные ресурсы. Последствия таких проектов, их влияние на жизнь общества, а также риски, с которыми они связаны, свидетельствуют о необходимости тщательного выполнения стадии планирования.

Перед реализацией проекта целесообразно осуществить оптимизацию его содержания по ряду критериев. В работе [1] рассматривается задача оптимизации содержания проекта по критериям прибыль, время, стоимость, качество, риски и предложена математическая модель для ее решения. В работе [2] предложены модель и метод оптимизации содержания проекта по критерию прибыль при наличии ограничений. Математическое обеспечение оптимизации содержания проекта по критериям прибыль, время, стоимость, качество, риски представлено в работах [3,4].

В указанных работах рассмотрены модели и методы оптимизации содержания проекта при условии, что исходные данные задачи представлены в виде действительных чисел. Однако на практике очень часто

приходится иметь дело со значительной неопределенностью исходных данных. Так неопределенным является представление о будущем спросе на продукцию, о ценах на нее, об остаточной стоимости выбывающих основных фондов, о качестве продукта проекта, который будет получен в результате, о последствиях возможных рисковых событий, об объеме денежных средств, которые могут быть выделены на осуществление проекта на конкретном этапе. Данный вид неопределенности исходных данных удобно описывать с помощью нечетких чисел, которые являются частным случаем нечетких величин.

Нечеткой величиной называют [5] произвольное нечеткое множество, которое задано на множестве действительных чисел. Нечеткое число - это нечеткая величина, которая имеет выпуклую и унимодальную функцию принадлежности.

Для применения на практике удобны нечеткие числа ^ - Я) типа [5,6]. Функции L и Я типа определяют как произвольные невозрастающие на множестве неотрицательных действительных чисел функции.

Нечетким числом ^ - Я) типа называют нечеткую величину С = {х,Цс(х)}, у которой функция принадлежности Цс(х) имеет вид:

т „ а - х ч

L(-),х < а;

Я( — ),х > а, Р

© И.В. Нононенко, М.Э. Колесник, 2013

где а> 0, Р> 0.

Параметр а называют модой или модальным значением нечеткого числа, а параметры а ив называют, соответственно, левым и правым коэффициентами нечеткости.

Целью работы является разработка математической модели и метода оптимизации содержания проекта по критериям прибыль, время, стоимость, качество, риски при нечетких исходных данных.

Перейдем к рассмотрению математической модели оптимизации содержания проекта в нечеткой постановке.

Предположим, что С^ - стоимость продукции 1-го вида в ^м году представлена нечетким числом ^ - Я) типа

^ = ( ¿Да

Объем продаж продукции 1-го вида в ^м году D(tl) представлен нечетким числом ^ - Я) типа

D(tl) =( ¿Д а^).

В<&) = ( Ь<Д а Ь1,),РЬ(1^.

ЕЦ=( е„, аеч,РеЬ)).

^ -(Уhjr,а¥ь)[,в¥ь#).

К = ( к, а

осуществления операций т , представлены детерминировано. В противном случае для определения времени выполнения всех работ по проекту необходимо применять метод критического пути или его аналог в нечеткой постановке.

В качестве детерминированной величины мы принимаем и стоимость выполнения ¿-й операции на ^м этапе для]-го варианта выполнения операций.

Математическая модель задачи оптимизации содержания проекта в нечеткой постановке примет следующий вид:

Прогнозируемый спрос на продукцию 1-го вида в ^м году также задается нечетким числом ^ - Я) типа

Остаточная стоимость выбывающих основных фондов при осуществлении на ^м этапе ]-го варианта выполнения работ по проекту как нечеткое число ^ - Я) типа имеет вид

Показатель качества г для ]-го альтернативного варианта выполнения работ по проекту или их комплексов на этапе h при его нечетком задании может быть представлен следующим образом

Негативные последствия от наступления ¿-го рискового события при осуществлении ]-го варианта сетевой модели на ^м этапе проекта удобно представлять в виде следующего нечеткого числа

И, наконец, объем денежных средств, выделяемых на ^м этапе, также является нечеткой величиной, которая может быть представлена нечетким числом ^ - Я) типа

В данной работе мы предполагаем, что сроки выполнения ¿-й операции на ^м этапе для ]-го варианта

Н Мь Н Мь

И с(Ч1)-X ¿Хх.+Х х е,хч(=1 1=1 Ь=1 ¿=1 Ь=1 ¿=1

Т Т L , ,

-I и,, хх(с(1)* а,1)+ ¿Г а,,,) +

(=1 (=1 1=1х ( &

Н МЬ Т L , ,

+11II X (с^Р^ Рс(1)) +

Ь=1 j=1 (=1 1=1

Н Мь \\

+ХХреЧхч)=тхах;

Ь=1 ^=1 j / хЧ

Трг = Ф(^хь,) ^ т1п;

XX whjxhj=F ^ т1п;

Ь=1 j=1 хч

Н Мь яЬ Н М Я

ххх ^Ьг*пгх^,х5: ^ьrа,!ormxhj,

Ь=1 ¿=1 [=1

Ь=1 ¿=1 [=1

Н Мь Яь

хх: 2ХЬгР,!1[[тх,)=а ^ тип;

Ь=1 ¿=1 [=1 "[ / хЧ

Н Мь I Н Мь I

XXX ^.лХХХ рта

Ь=1 j=1 1=1 Ь=1 ¿=1 1=1

Н МЬ I \\

XXX X РАЛ/ = Япе8 ^ т,1п;

Ь=1 ^=1 1=1 j / хч

Sh = ( Sh_1 + кк -XXwhjXhj,акь,Ркь &А >0;Ь = 1,Н; (8)

j = 1,Мь;Ь = 1, Н; Г = 1,ЯЬ;

X х,= 1;Ь = 1,Н;

Тр[ < Т"; Тр[ = ф(^хц); j = 1,Мь;Ь = 1,Н; (9)

хк]е{0,1};] = 1,Мь;Ь = 1,Н,

где а4.>,Р4.)) =

А« если А(|> <(Ь(|>,аЬ(,>,РЬ(,); (Ы&>,аь«1>,Рь«1>), если А(&> >(Ы&>,аь^);

Л«1& = фА^,хч); 1 = 1, Т; хц е {0,1}; Ь = 1,Н; ] = 1, М„.

Все переменные сохранили смысл, который пояснялся в работах [1,4].

В модели (3)-(12) значение целевой функции (3) отражает прибыль предприятия до налогообложения за все годы жизненного цикла продуктов, включающего фазы планирования, инвестиционную (осуществления проекта) и фазу эксплуатации или потребления продуктов проекта.

Значение целевой функции (4) Трг = ф^,х^) представляет собой время выполнения инвестиционной фазы проекта, которое рассчитывается с помощью метода критического пути или иного метода в сетевой модели G = {Л,Z, т^}.

Значение целевой функции (5) равно единовременным затратам на осуществление проекта.

Значение целевой функции (6) представляет собой значение обобщенного показателя качества продукта проекта. Причем качество тем выше, чем меньше Ц.

Значение целевой функции (7) является оценкой рисков, связанных с реализацией проекта.

Ограничение (8) предполагает, что при осуществлении проекта не должно быть финансовых задолженностей после завершения каждого этапа.

Ограничение (9) означает, что время выполнения инвестиционной фазы проекта должно быть не больше значения Тае£, которое заранее указано заказчиком.

Выражение (10) определяет ограничение, согласно которому качество продукта в результате выполнения ^го этапа должно удовлетворять заданному граничному значению г-го показателя качества о,ье£.

Для каждого ^го этапа выполнения работ по проекту или их комплексов, Ь = 1,Н, задаются требования по значению г-го показателя качества продукта этапа, где г = 1,ЯЬ.

Выражение (11) характеризует ограничение, согласно которому на каждом этапе h можно осуществить не более одного варианта выполнения работ.

Целевые функции (3), (4) и ограничение (9) являются алгоритмическими, остальные целевые функции и ограничения - аналитические.

В модели (3)-(12) могут быть и иные ограничения, например на расходование некоторых ресурсов, в том числе кадров, оборудования, сырья, материалов, комплектующих, на последовательность осуществления вариантов выполнения работ.

Предложенная модель является многокритериальной, динамической, с булевыми переменными, с алгоритмическими и аналитическими целевыми функциями, с алгоритмическими и аналитическими ограничениями.

Перейдем к рассмотрению метода решения рассмотренной задачи.

Данный метод по аналогии с методом оптимизации содержания проекта в детерминированной постановке опирается на результаты решения однокритериальных задач оптимизации содержания проекта по критериям прибыль, время, стоимость, качество, риски в нечеткой постановке.

В методе оптимизации содержания проекта по многим критериям используется значение прибыли предприятия до налогообложения за все годы планового периода F1 , которая получается в результате оптимизации содержания проекта только по критерию прибыль.

Также используются аналогичные значения времени F2, стоимости F3, качества F4 и рисков F5, полученные в результате решения однокритериальных задач оптимизации содержания проекта по критериям: время, стоимость, качество, риски, соответственно.

В основу многокритериального метода положено использование обобщенной целевой функции и метода неявного перебора.

Рассмотрим метод в виде последовательности шагов.

Вводим фиктивную вершину «финиш», которая обозначает окончание всех операций на этапе ^

Определяем общее время выполнения операций от 1-го до h -го этапа путем расчета продолжительности критического пути.

Присваиваем значение Г =

Определяем

Т& = г

+...+К,

Обозначаем Т = Г + Т& ,

ргь г1 f

Проверяем выполнение ограничения (9) Т < Т е;

Трг = ф(^хы); ] = 1,МЬ; Ь = 1,Н.

Проверяем выполнение ограничения (10):

а^Р^х,) > а«;г = 1ДЬ.

Проверяем и остальные ограничения, если они присутствуют в модели. И если хоть одно ограничение не выполняется, переходим к шагу 12.

Ь Мк Ь Мк

к=1 ¿=1

XX c((1)d((1)-XX ^х^И еЧхЧ-\\ (=1 1=1 к=1 ¿=1

Ь Мк Т Т L

XX(c((1)*а,т + ¿((1)*а (1)) +

XXXX^ИН0*а „+ а )

к=1 ¿=1 (=1 (=1 1=1 ^ ( ( &

Ь Мк ^ L , , ь -к

XX а^ X X (с(1)* Ра<1) + ¿((1)*Рс<1) К XX Р к=1 ¿=1 (=1 1=1 4 ( & к=1 ¿=1

= {РЬ,аРЬ ,РРь).

еЧхкЬ& Ь Мь

-XX wkjxkj.

к=1 ¿=1

Ь мь яь

Ь мь яь

Ь мь яь

ЧЬ = XXX Ь г ^^ кТгГт х к], XXX ЬгaTn°^mXkj,XXX ЬР

к=1 ¿=1 г=1

к=1 ¿=1 г=1

к=1 ¿=1 г=1

Оцениваем нижнюю границу для затрат, которые могут быть понесены в результате осуществления работ на всех оставшихся этапах, т.е. начиная от Ь + 1-го до Н -го включительно

Значения ^^тт"^^«&".&3^ были определены на этапе подготовки информации при решении задачи оптимизации содержания проекта по критерию прибыль в нечеткой постановке.

Величина п-рь&-з; = (р;-^«р;+Рз;^+«4} является верхней границей для прибыли, которая может быть получена в результате выполнения операций на этапах от 1-го до Н -го включительно.

Нормируем £ так:

£1 = Р^ £а£,Л,) /£1 (£1Рп + па{<) (^п^Д = по[т п (п, ал \\п, п2 , п2

Присваиваем £Ч := чЬ. Определяем

£4 = а^) = /- (—Р_ + —а?) (—а~ + —Р^

£4 = 1 = \\ & £"& £&

""" Р4 ар~ ,РР~) (Р

Р /—„_Р_\\ \\ — & (—4)2 & (Р4)

^ погт, а?^,Рй

Ь Мь I

Ь Мь I

Ь Мь I

НШ Р^ч, XXX рч.а V,,х« ,X X X

^"&Ч&XXX-/. к=1 ¿=1 1=1 к=1 ¿=1 1=1 к=1 ¿=1 1=1

Присваиваем £[ := гь&. Определяем

ЯЬ = ЯП+и+ЯП+82,т1п+...+ЯН:тт Ье8, а^Р^).

Обозначим £5 = £[ + Я&Ь = а?,Р?У Нормируем £5 так:

е.[т .

на всех этапах проекта от 1-го до ^го включительно:

£5™. =—

£5 = (£5,а?,Р?) = / — (£5Р_ + Р5а{Т) £5 а~ + Р5Р?)\\

= ( Рогт,аг Р.5

Р5 (^¡Л)

Р а_Р_\\ \\ Р5 & (Р5)2

Присваиваем £— := —Ь.

Рассчитываем = — • +... + — • , где ргЬ т1ПЬ+1 т1пн & р[Ь

нижняя граница для стоимости выполнения работ всех последующих этапов после ^

Обозначим £3 = Г +

Нормируем £3 так: £п3[т = —.

где ^1, ^2,..., Х5 - весовые коэффициенты, которые задаются лицом, принимающим решение, для каж5

дой целевой функции, 1 >Х1,Х2,...,Х5 >0; X^1 = 1. Если

£ > £*, переходим к шагу 12.

ТЕГ kj

ния проекта, его стоимость, качество продукта проекта и риски, связанные с ним, соответственно.

В результате проведенной работы предложены математическая модель и метод многокритериальной оптимизации содержания проекта по прибыли, срокам, стоимости, качеству и рискам при нечетких исходных данных, при наличии ограничений и заданных альтернативных вариантах выполнения работ или их комплексов, представленных в виде сетевых моделей.

Метод основан на применении обобщённого критерия в сочетании с методом неявного перебора, и предназначен для решения задач оптимизации содержания проекта в нечеткой постановке для условий, когда любая работа последующего этапа в проекте не может быть начата до завершения работ предыдущего этапа.

Литература

- С. 139-144.

- 352 с.

Abstract

The paper presents a mathematical model and method of the structural project scope optimization with fuzzy input data, which includes five objective functions. One of the functions reflects the profit for the entire project product life cycle. The other reflects the time of its realization. The third is the cost of the project. The fourth is the value of the generalized indicator of project product quality and the fifth is a risk assessment associated with the project. The model and method takes into account the restrictions on the lack of financial debt after each phase completion, the duration of the project, the quality of the separate stages products.

It is assumed that the project scope is given in the form of a network model with the alternatives of the work execution.

The suggested model is a multi-objective, dynamic, containing Boolean variables, algorithmic and analytical objective functions and constraints.

To solve the problem the method of multi-objective structural project scope optimization with fuzzy input data with constraints, based on application of generalized criterion in conjunction with the method of implicit enumeration is proposed